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2019年安徽省芜湖市中考数学一模试卷
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号写在下
面的答题表内，（本大题共10小题，每题4分，共40分．）
1．（4分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）若如图所示的两个四边形相似，则∠ 的度数是（ ）
α
A．75° B．60° C．87° D．120°
3．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC
的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
5．（4分）如图，四边形ABCD内接于 O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的
延长线上，则∠CDE的度数为（ ⊙ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
6．（4分）把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间（t 秒），
满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（ ）
A．1秒 B．2秒 C．4秒 D．20秒
7．（4分）联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概
第1页（共25页）率是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩
形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）
A．2：1 B． ：1 C．3： D．3：2
9．（4分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB
＝90°，BC＝ ，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝ ．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
10．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以 cm/s的
速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向
运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之
间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
第2页（共25页）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
11．（5分）抛物线y＝x2向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为 ．
12．（5分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线
BD于点E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ）．
π
13．（5分）如图所示，点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴
分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为 ．
14．（5分）如图所示，已知AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一
动点，若△PAD与△PBC相似，则AP＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）
15．（8分）解方程：x（x+2）＝0．
16．（8分）已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：
（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA B ，再以原点O为位似中
1 1
心，将△OA B 在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA B ；
1 1 2 2
（2）直接写出点A 的坐标，点A 的坐标．
1 2
第3页（共25页）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）
17．（8分）某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014
年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．
18．（8分）为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、
D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且
DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）
19．（10分）如图， O中弦AB与CD交于M点．
（1）求证：DM•M⊙C＝BM•MA；
（2）若∠D＝60°， O的半径为2，求弦AC的长．
⊙
20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1的顶点为C，图象与x
轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求m的取值范围；
第4页（共25页）（2）当m取最大整数时，求△ABC的面积．
六、（本题满分12分）
21．（12分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、
大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇
匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y
（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y＝ 的图象上的频率；
（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y 的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝
图象的两支上，且PB⊥x轴于点 C，PA⊥y轴于点D，AB分别与 x轴，y轴相交于点F和
E．已知点 B的坐标为（1，3）．
（1）填空：k＝ ；
（2）证明：CD∥AB；
（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，分
别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．
（1）证明：△ABE∽△BCF；
（2）若 ＝ ，求 的值；
（3）如图2，若AB＝BC，设∠DAP的平分线AG交直线BP于G．当CF＝1， ＝ 时，求
第5页（共25页）线段AG的长．
第6页（共25页）2019 年安徽省芜湖市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号写在下
面的答题表内，（本大题共10小题，每题4分，共40分．）
1．（4分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，
中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．
【解答】解：A、 ＝ ，则5y＝6x，故此选项错误；
B、 ＝ ，则5x＝6y，故此选项正确；
C、 ＝ ，则5y＝6x，故此选项错误；
D、 ＝ ，则xy＝30，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
2．（4分）若如图所示的两个四边形相似，则∠ 的度数是（ ）
α
A．75° B．60° C．87° D．120°
【分析】根据相似多边形对应角的比相等，就可以求解．
【解答】解：根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以∠ ＝360°﹣60°﹣138°﹣75°＝
87°．故选C． α
【点评】主要考查了相似多边形的性质和四边形的内角和是360度的实际运用．
3．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．
第7页（共25页）【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为：3：2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC
的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝ BC，再利用相似三角形的判定
与性质得出答案．
【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：16，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出
△ADE∽△ABC是解题关键．
5．（4分）如图，四边形ABCD内接于 O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的
延长线上，则∠CDE的度数为（ ⊙ ）
第8页（共25页）A．56° B．62° C．68° D．78°
【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°
﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可
得答案．
【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝124°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）
＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）
＝68°，
又四边形ABCD内接于 O，
∴∠CDE＝∠B＝68°，⊙
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及
圆内接四边形的性质．
6．（4分）把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间（t 秒），
满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（ ）
A．1秒 B．2秒 C．4秒 D．20秒
【分析】已知函数式为二次函数解析式，最高点即为抛物线顶点，求达到最高点所用时间，
即求顶点的横坐标．
【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，
又∵﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，有最高点，
此时，t＝﹣ ＝2．
故选：B．
第9页（共25页）【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．
7．（4分）联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概
率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后
根据概率定义求解．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，
所以小亮恰好站在中间的概率为 ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有
可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
8．（4分）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩
形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）
A．2：1 B． ：1 C．3： D．3：2
【分析】根据折叠性质得到AF＝ AB＝ a，再根据相似多边形的性质得到 ＝ ，即
＝ ，然后利用比例的性质计算即可．
第10页（共25页）【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF＝ AB＝ a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴（ ）2＝2，
∴ ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形
的对应角相等，对应边的比相等．
9．（4分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB
＝90°，BC＝ ，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝ ．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使
∠ACB＝90°，BC＝ ，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝ ，
设AD＝x，根据勾股定理得：（x+ ）2＝b2+（ ）2，
整理得：x2+ax＝b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以 cm/s的
速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向
第11页（共25页）运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之
间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH＝CH，利用∠B＝30°可计算出AH
＝ AB＝2，BH＝ AH＝2 ，则BC＝2BH＝4 ，利用速度公式可得点P从B点运动
到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，
BQ＝x，BP＝ x，DQ＝ BQ＝ x，利用三角形面积公式得到y＝ x2；当4＜x≤8时，
作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4 ，DQ＝ CQ＝ （8﹣x），利用三角形面积
公式得y＝﹣ x+8 ，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8
时，函数图象为线段，则易得答案为D．
【解答】解：作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝4cm，
∴BH＝CH，
∵∠B＝30°，
∴AH＝ AB＝2，BH＝ AH＝2 ，
∴BC＝2BH＝4 ，
∵点P运动的速度为 cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，
第12页（共25页）∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，
当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝ x，
在Rt△BDQ中，DQ＝ BQ＝ x，
∴y＝ • x• x＝ x2，
当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4
在Rt△BDQ中，DQ＝ CQ＝ （8﹣x），
∴y＝ • （8﹣x）•4 ＝﹣ x+8 ，
综上所述，y＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x
的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
11．（5分）抛物线y＝x2向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为 y ＝（ x + 1 ） 2 ．
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移
后对应点的坐标为（﹣1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位所得对应点
的坐标为（﹣1，0），所以新抛物线的解析式为y＝（x+1）2．
故答案为y＝（x+1）2．
第13页（共25页）【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，
所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移
后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12．（5分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线
BD于点E，则图中阴影部分的面积是 8 ﹣ 2 （结果保留 ）．
π π
【分析】根据S阴 ＝S△ABD ﹣S扇形BAE 计算即可；
【解答】解：S阴 ＝S△ABD ﹣S扇形BAE ＝ ×4×4﹣ ＝8﹣2 ，
π
故答案为8﹣2 ．
【点评】本题考π查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法
求阴影部分面积．
13．（5分）如图所示，点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴
分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为 4 ．
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的
面积为1，即可求得k的值．
【解答】解：设点A的坐标为（﹣a，0），
∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，
∴点C（a， ），
∴点B的坐标为（0， ），
第14页（共25页）∴ ＝1，
解得，k＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函
数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数
形结合的思想解答．
14．（5分）如图所示，已知AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一
动点，若△PAD与△PBC相似，则AP＝ 或 2 或 6 ．
【分析】由AD∥BC，∠ABC＝90°，易得∠PAD＝∠PBC＝90°，又由AB＝8，AD＝3，BC＝
4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分
析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴∠PAD＝∠PBC＝90°．
AB＝8，AD＝3，BC＝4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4，
①
解得x＝ ；
若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x），
②解得x＝2或x＝6．
所以AP＝ 或AP＝2或AP＝6．
第15页（共25页）故答案是： 或2或6．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）
15．（8分）解方程：x（x+2）＝0．
【分析】原方程转化为x＝0或x+2＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵x＝0或x+2＝0，
∴x ＝0，x ＝﹣2．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边
分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得
到一元二次方程的解．
16．（8分）已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：
（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA B ，再以原点O为位似中
1 1
心，将△OA B 在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA B ；
1 1 2 2
（2）直接写出点A 的坐标，点A 的坐标．
1 2
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△OA B ，△OA B ，即为所求；
1 1 2 2
（2）点A 的坐标为：（﹣1，3），点A 的坐标为：（2，﹣6）．
1 2
第16页（共25页）【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）
17．（8分）某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014
年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500
（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求
解．
【解答】解：设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）2万
元．
则2500（1+x）2＝3025，
解得x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝
增长后的量．
18．（8分）为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、
D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且
DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．
第17页（共25页）【解答】解：设宽度AB为x米，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ，
又∵BC＝24，BD＝12，DE＝40代入得
∴ ＝ ，
解得x＝18，
答：河的宽度为18米．
【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是
解答此题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）
19．（10分）如图， O中弦AB与CD交于M点．
（1）求证：DM•M⊙C＝BM•MA；
（2）若∠D＝60°， O的半径为2，求弦AC的长．
⊙
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠D＝∠B，证明△DMA∽△BMC，根据相似三角形的性
质列出比例式，即可证明结论；
（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，根据圆周角定理、垂径定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵ ＝ ，
∴∠D＝∠B，又∵∠DMA＝∠BMC，
∴△DMA∽△BMC，
∴ ＝ ，
∴DM•MC＝BM•MA；
（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，
第18页（共25页）∵∠D＝60°，
∴∠AOC＝120°，∠OAH＝30°，AH＝CH，
∵ O半径为2，
∴⊙AH＝
∵AC＝2AH，
∴AC＝2 ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆周角定理、
相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1的顶点为C，图象与x
轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数时，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点，得到△＞0，由此求得m的取值范围．
（2）利用（1）中m的取值范围确定m＝2，然后根据抛物线解析式求得点A、B的坐标，利用
三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1与x轴有两个交点，令y＝0．
∴x2﹣4x+2m﹣1＝0．
∵与x轴有两个交点，
∴方程有两个不等的实数根．
∴△＞0．即△＝（﹣4）2﹣4•（2m﹣1）＞0，
∴m＜2.5．
（2）∵m＜2.5，且m取最大整数，
∴m＝2．
当m＝2时，抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．
第19页（共25页）∴C坐标为（2，﹣1）．
令y＝0，得x2﹣4x+3＝0，解得x ＝1，x ＝3．
1 2
∴抛物线与x轴两个交点的坐标为A（1，0），B（3，0），
∴△ABC的面积为 ＝1．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与
系数的关系等知识点，解题时，注意二次函数与一元二次方程间的转化关系．
六、（本题满分12分）
21．（12分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、
大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇
匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y
（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y＝ 的图象上的频率；
（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y 的概率．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）找出点（x，y）落在反比例函数y＝ 的图象上的情况数，即可求出所求的概率；
（3）找出所确定的数x，y满足y 的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的结果有16种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（2，
3）；（2，4）；（3，1）；（3，2）；（3，3）；（3，4）；（4，1）；（4，2）；（4，3）；（4，4）；
（2）其中点（x，y）落在反比例函数y＝ 的图象上的情况有：（2，3）；（3，2）共2种，
则P（点（x，y）落在反比例函数y＝ 的图象上）＝ ＝ ；
第20页（共25页）（3）所确定的数x，y满足y 的情况有：（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，
2）；（3，1）；（4，1）共8种，
则P（所确定的数x，y满足y ）＝ ＝ ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知
识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝
图象的两支上，且PB⊥x轴于点 C，PA⊥y轴于点D，AB分别与 x轴，y轴相交于点F和
E．已知点 B的坐标为（1，3）．
（1）填空：k＝ 3 ；
（2）证明：CD∥AB；
（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．
【分析】（1）由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；
（2）设A点坐标为（a， ），则D点坐标为（0， ），P点坐标为（1， ），C点坐标为（1，0），
进而可得出PB，PC，PA，PD的长度，由四条线段的长度可得出 ，结合∠P＝∠P
可得出△PDC∽△PAB，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠A，再利用“同位角相等，
两直线平行”可证出CD∥AB；
（3）由四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等可得出S△PAB ＝2S△PCD ，利用三角形的面
积公式可得出关于a的方程，解之取其负值，再将其代入P点的坐标中即可求出结论．
【解答】（1）解：∵B点（1，3）在反比例函数y＝ 的图象，
第21页（共25页）∴k＝1×3＝3．
故答案为：3．
（2）证明：∵反比例函数解析式为 ，
∴设A点坐标为（a， ）．
∵PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点 D，
∴D点坐标为（0， ），P点坐标为（1， ），C点坐标为（1，0），
∴PB＝3﹣ ，PC＝﹣ ，PA＝1﹣a，PD＝1，
∴ ， ，
∴ ．
又∵∠P＝∠P，
∴△PDC∽△PAB，
∴∠CDP＝∠A，
∴CD∥AB．
（3）解：∵四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等，
∴S△PAB ＝2S△PCD ，
∴ ×（3﹣ ）×（1﹣a）＝2× ×1×（﹣ ），
整理得：（a﹣1）2＝2，
解得：a ＝1﹣ ，a ＝1+ （舍去），
1 2
∴P点坐标为（1，﹣3 ﹣3）．
第22页（共25页）【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线
的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点
的坐标特征求出k值；（2）利用相似三角形的判定定理找出△PDC∽△PAB；（3）由三角形
的面积公式，找出关于a的方程．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，分
别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．
（1）证明：△ABE∽△BCF；
（2）若 ＝ ，求 的值；
（3）如图2，若AB＝BC，设∠DAP的平分线AG交直线BP于G．当CF＝1， ＝ 时，求
线段AG的长．
【分析】（1）由余角的性质可得∠ABE＝∠BCF，即可证△ABE∽△BCF；
（2）由相似三角形的性质可得 ＝ ＝ ，由等腰三角形的性质可得BP＝2BE，即可求
的值；
（3）由题意可证△DPH∽△CPB，可得 ＝ ＝ ，可求AE＝ ，由等腰三角形的性
质可得AE平分∠BAP，可证∠EAG＝ ∠BAH＝45°，可得△AEG是等腰直角三角形，即
可求AG的长．
【解答】证明：（1）∵AB⊥BC，
∴∠ABE+∠FBC＝90°
第23页（共25页）又∵CF⊥BF，
∴∠BCF+∠FBC＝90°
∴∠ABE＝∠BCF
又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴△ABE∽△BCF
（2）∵△ABE∽△BCF，
∴ ＝ ＝
又∵AP＝AB，AE⊥BF，
∴BP＝2BE
∴ ＝ ＝
（3）如图，延长AD与BG的延长线交于H点
∵AD∥BC，
∴△DPH∽△CPB
∴ ＝ ＝
∵AB＝BC，由（1）可知△ABE≌△BCF
∴CF＝BE＝EP＝1，
∴BP＝2，
代入上式可得HP＝ ，HE＝1+ ＝
∵△ABE∽△HAE，
∴ ＝ ， ＝ ，
第24页（共25页）∴AE＝
∵AP＝AB，AE⊥BF，
∴AE平分∠BAP
又∵AG平分∠DAP，
∴∠EAG＝ ∠BAH＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形．
∴AG＝ AE＝3
【点评】本题是相似综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
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日期：2019/4/8 21:45:48；用户：大帝教育；邮箱：dadijy@xyh.com；学号：27691132
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