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2019年辽宁省本溪市高新技术开发区中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．3x2﹣7x＝﹣4x B．﹣3y2+4y2＝y2
C．（﹣a2）3＝a6 D．（﹣a）2•a4＝﹣a6
2．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
4．若a＞b成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．﹣a＞﹣b B．﹣a+1＞﹣b+1
C．﹣（a﹣1）＞﹣（b﹣1） D．a﹣1＞b﹣1
5．关于反比例函数y＝﹣ 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点（﹣1，﹣4）
B．当x＜0时，图象在第二象限
C．无论x取何值时，y随x的增大而增大
D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形6．一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣
6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（ ）
A． B． C． D．
7．某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高
了20%，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产x个足球，根据题意可列方程为
（ ）
A． + ＝21
B． + ＝21
C． + ＝21
D． + ＝21
8．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
9．已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最低点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2
10．已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（A、C除外），作PE⊥AB于点E，作
PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与
x之间的函数关系的是（ ）A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，将0.000000102用科学记数法表示为
．
12．因式分解：m3n﹣9mn＝ ．
13．已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是 ．
14．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠ 的度数等于 ．
α
15．如果样本x ，x ，x ，…，x 的平均数为5，那么样本x +2，x +2，x +2，…x +2的平均数是
1 2 3 n 1 2 3 n
16．已知 ＝1，则 的值等于 ．
17．把一个长方形纸片按如图所示折叠，若量得∠AOD′＝36°，则∠D′OE的度数为 ．
18．在直角坐标系中，直线l：y＝ x﹣ 与x轴交于点B ，以OB 为边长作等边△A OB ，过点A
1 1 1 1 1
作A B 平行于x轴，交直线l于点B ，以A B 为边长作等边△A A B ，过点A 作A B 平行于x轴，
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
交直线l于点B ，以A B 为边长作等边△A A B ，…，则等边△A A B 的边长是 ．
3 2 3 3 2 3 2017 2018 2018三．解答题（共2小题，满分22分）
19．先化简，再求值：（2﹣ ）÷ ，其中x＝ ﹣3．
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若AC＝CD，求证四边形AMCN是矩形；
（3）若∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是菱形；
（4）若AC＝CD，∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是正方形．
四．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
21．某校开展了以“责任、感恩”为主题的班队活动，活动结束后，初三（2）班数学兴趣小组提出了5
个主要观点并在本班学生中进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如
下扇形统计图，（1）该班有 人，学生选择“和谐”观点的有 人，在扇形统计图中，“和谐”观点所
在扇形区域的圆心角是 度；
（2）如果该校有360名初三学生，利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有 人；
（3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查，求恰好选到
“和谐”和“感恩”观点的概率（用树状图或列表法分析解答）．
22．如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，∠ABC的平分线交 O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断D⊙E与 O的位置关⊙系，并说明理由； ⊙
⊙
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3 ，DF＝3，求图中阴影部分的面积．
五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意
图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝20°，当点P位于初始位置P
0
时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．
（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P 上调多
0
少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上
调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，
≈1.41， ≈1.73）六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
24．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．
试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，
其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价x（元） 3.5 5.5
销售量y（袋） 280 120
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
25．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE
的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转 （0°＜ ＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关
系是否变化，写出你的结论并证明； α α
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2 ，直接写出线段BF的范围．
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
26．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC（1）点G是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点G作y轴的平行线交直线BC于
点E，作GF⊥BC于点F，点M、N是线段BC上两个动点，且MN＝EF，连接DM、GN．当△GEF的
周长最大时，求DM+MN+NG的最小值；
（2）如图2，连接BD，点P是线段BD的中点，点Q是线段BC上一动点，连接DQ，将△DPQ沿PQ
翻折，且线段 D′P 的中点恰好落在线段 BQ 上，将△AOC 绕点 O 逆时针旋转 60°得到
△A′OC′，点T为坐标平面内一点，当以点Q、A′、C′、T为顶点的四边形是平行四边形时，求
点T的坐标．2019 年辽宁省本溪市高新技术开发区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘方和幂的乘方计算即可．
【解答】解：A、3x2与﹣7x不是同类项，不能合并，错误；
B、﹣3y2+4y2＝y2，正确；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，错误；
D、（﹣a）2•a4＝a6，错误；
故选：B．
【点评】此题考查幂的乘方与积的乘方，关键是根据法则解答．
2．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．
【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．
4．【分析】根据不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两
边乘或除以一个负数，不等号的方向改变可知．
【解答】解：A、不等式a＞b两边都乘﹣1，不等号的方向不变，不等式不成立，不符合题意；
B、不等式a＞b两边都乘﹣1，不等号的方向改变，都加1，不等号的方向不变，不等式不成立，不符
合题意；
C、不等式a＞b两边都减1，不等号的方向不变，都乘﹣1，不等号的方向改变，不等式不成立，不符
合题意；
D、不等式a＞b两边都减1，不等号的方向不变，不等式成立，符合题意；
故选：D．【点评】主要考查了不等式的基本性质．不等式两边同时乘以或除以同一个数或式子时，一定要注
意不等号的方向是否改变．
5．【分析】把点的坐标代入可判断A；由函数解析式可求得图象所在的位置，则可判断B；利用反比例
函数的增减性可判断C；利用图象的性质可判断D；则可求得答案．
【解答】解：
当x＝﹣1时，y＝﹣ ＝4≠﹣4，故点（﹣1，﹣4）不在函数图象上，故A不正确；
在y＝﹣ 中，k＝﹣4＜0，
∴当x＜0时，其图象在第二象限，在每个象限内y随x的增大而增大，图象既是轴对称图形也是中
心对称图形，故B正确，C、D不正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键，即在y＝ 中，
由k的符号判断出图象的位置、增减性等．
6．【分析】根据题意得出所有2位数，从中找到两位数是3的倍数的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：根据题意，得到的两位数有31、32、33、34、35、36这6种等可能结果，其中两位数是3
的倍数的有33、36这2种结果，
∴得到的两位数是3的倍数的概率等于 ＝ ，
故选：B．
【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
7．【分析】设原计划每天生产x个足球，则采用新技术后每天生产（1+20%）x个足球，根据工作时间＝
工作总量÷工作效率结合共用了21天完成全部任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原计划每天生产x个足球，则采用新技术后每天生产（1+20%）x个足球，依题意，得： + ＝21．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不
等式的解集即可得到k的范围．
【解答】解：根据题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4（k﹣1）＝8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，
解得：k＜2，且k≠1．
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
9．【分析】由于原点是抛物线y＝（m+1）x2的最低点，这要求抛物线必须开口向上，则m+1＞0，由此可
以确定m的范围．
【解答】解：∵原点是抛物线y＝（m+1）x2的最低点，
∴m+1＞0，
即m＞﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数最值、二次函数的性质，二次函数有最低点，抛物线的开口向上是解
题的关键．
10．【分析】根据函数解析式求函数图象．
【解答】解：由题意可得：△APE和△PCF都是等腰直角三角形．
∴AE＝PE，PF＝CF，那么矩形PEBF的周长等于2个正方形的边长．则y＝2x，为正比例函数．
故选：A．
【点评】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际
意义得到正确的结论．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记
数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所
决定．
【解答】解：0.000000102＝1.02×10﹣7．
故答案为：1.02×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．【分析】原式提取mn后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝mn（m2﹣9）＝mn（m+3）（m﹣3）．
故答案为：mn（m+3）（m﹣3）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．【分析】根据平均数确定出x后，再根据方差的公式S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]计
1 2 n
算方差．
【解答】解：由平均数的公式得：（1+x+3+2+5）÷5＝3，解得x＝4；
∴方差＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（5﹣3）2+（4﹣3）2]÷5＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所以数据的和除以所有数据的个数．方差的公
式S2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]．
1 2 n
14．【分析】由图形可得AD∥BC，可得∠CBF＝30°，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的
定义列出方程可得答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠DEF＝30°，
∵AB为折痕，
∴2∠ +∠CBF＝180°，
即2∠α+30°＝180°，
解得∠α ＝75°．
故答案α为：75°．
【点评】本题考查了平行线的性质，图形的翻折问题；找着相等的角，利用平角列出方程是解答翻
折问题的关键．
15．【分析】首先由平均数的定义得出x +x +…，+x 的值，再运用求算术平均数的公式计算，求出样本
1 2 nx +2，x +2，…，x +2的平均数．
1 2 n
【解答】解：∵样本x ，x ，…x 的平均数为5，（x +2）+（x +2）+…+（x +2）＝（x +x +…+x ）+2n
1 2 n 1 2 n 1 2 n
∴样本x +2，x +2，…，x +2的平均数＝5+2＝7，
1 2 n
故答案为：7．
【点评】主要考查了平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
16．【分析】先根据已知条件可求出a﹣b＝﹣ab，再把a﹣b的值整体代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵ ＝1，
∴b﹣a＝ab，
∴a﹣b＝﹣ab，
∴ ＝ ＝0．
故答案是0．
【点评】本题考查了分式的化简求值、整体代入的思想．解题的关键是先求出a﹣b的值．
17．【分析】由翻折变换的性质可知∠D′OE＝∠DOE，故∠AOD′+2∠D′OE＝180°，求出∠D′OE
的度数即可．
【解答】解：∵四边形ODCE折叠后形成四边形OD′C′E，
∴∠D′OE＝∠DOE，
∴∠AOD′+2∠D′OE＝180°，
∵∠AOD′＝36°，
∴∠D′OE＝72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查的是图形的翻折变换，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18．【分析】从特殊得到一般探究规律后，利用规律解决问题即可；
【解答】解：∵直线l：y＝ x﹣ 与x轴交于点B
1
∴B （1，0），OB ＝1，△OA B 的边长为1；
1 1 1 1
∵直线y＝ x﹣ 与x轴的夹角为30°，∠A B O＝60°，
1 1∴∠A B B ＝90°，
1 1 2
∵∠A B B ＝30°，
1 2 1
∴A B ＝2A B ＝2，△A B A 的边长是2，
1 2 1 1 2 3 3
同法可得：A B ＝4，△A B A 的边长是22；
2 3 2 3 3
由此可得，△A B A 的边长是2n，
n n+1 n+1
∴△A B A 的边长是22017．
2017 2018 2018
故答案为22017．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的
关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得△A B A 的边长是2n．
n n+1 n+1
三．解答题（共2小题，满分22分）
19．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得
到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ × ＝ ，
把x＝ ﹣3代入得：原式＝ ＝ ＝1﹣2 ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据矩形的判定定理即可得到结论；
（3）根据菱形的判定定理即可得到结论；
（4）根据正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）由已知得AD∥BC，AD＝BC，
∵M、N分别是AD和BC的中点，
∴AM＝ AD，CN＝ BC，AM＝CN，
∵AM∥CN，AM＝CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）∵AC＝CD，M是AD的中点，
∴∠AMC＝90°，
∵由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是矩形；
（3）∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，
∴AM＝CM，
∵由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是菱形；
（4）∵AC＝CD，M是AD的中点，
∴∠AMC＝90°，
∵由（1）知四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是矩形，
∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，
∴AM＝CM，
∴四边形AMCN是菱形，
∴四边形AMCN是正方形
【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
四．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
21．【分析】（1）根据选择进取的人数是12，占总人数的30%，据此即可求得总人数；
总人数乘以选择“和谐”观点的比例即可求得选择“和谐”观点的人数；
选择“和谐”观点的百分比乘以360°，即可求得，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角；
（2）总人数360乘以选择“感恩”观点比例，即可求得；
（3）设平等、进取、和谐、感恩、互助分别用ABCDE表示．利用树状图表示，即可利用概率公式求解．
【解答】解：（1）该班的总人数是：12÷30%＝40（人）；
选择“和谐”观点的有40×10%＝4（人）；
“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是360°×10%＝36°．
（2）该校有360名初三学生，利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有：360×25%＝90（人）．
（3）设平等、进取、和谐、感恩、互助分别用ABCDE表示．利用树状图表示：共有20种情况，选择和谐、感恩的有2种情况，因而恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率是：
＝ ．
故答案是：40，4，36；90．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问
题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB＝∠EDO＝90°，进而
得出答案；
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
【解答】解：（1）DE与 O相切，
理由：连接DO， ⊙
∵DO＝BO，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC的平分线交 O于点D，
∴∠EBD＝∠DBO，⊙
∴∠EBD＝∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠EDO＝90°，
∴DE与 O相切；
⊙
（2）∵∠ABC的平分线交 O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE＝DF＝3， ⊙
∵BE＝3 ，
∴BD＝ ＝6，∵sin∠DBF＝ ＝ ，
∴∠DBA＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴sin60°＝ ＝ ＝ ，
∴DO＝2 ，
则FO＝ ，
故图中阴影部分的面积为： ﹣ × ×3＝2 ﹣ ．
π
【点评】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．
五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．【分析】（1）只要证明△CFP 是等腰直角三角形，即可解决问题；
1
（2）解直角三角形求出CP 的长即可解决问题；
2
【解答】解：（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP ＝2m，
0
如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P P ．
0 1
∵∠BEP ＝90°，∠CAB＝90°，∠ABE＝65°，
1
∴∠AP E＝115°，
1∴∠CP E＝65°，
1
∵∠DP E＝20°，
1
∴∠CP F＝45°，
1
∵CF＝P F＝1m，
1
∴∠C＝∠CP F＝45°，
1
∴△CP F是等腰直角三角形，
1
∴P C＝ m，
1
∴P P ＝CP ﹣P C＝2﹣ ≈0.6m，
0 1 0 1
即为使遮阳效果最佳，点P需从P 上调0.6m．
0
（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P 处．
2
∵P E∥AB，
2
∴∠CP E＝∠CAB＝90°，
2
∵∠DP E＝20°，
2
∴∠CP F＝70°，作FG⊥AC于G，则CP ＝2CG＝2×1×cos70°≈0.68m，
2 2
∴P P ＝CP ﹣CP ＝ ﹣0.68≈0.7m，
1 2 1 2
即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，
并结合图形利用三角函数解直角三角形．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
24．【分析】（1）根据每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，可设y＝kx+b，再
将x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，利用待定系数法即可求解；
（2）根据每天获得160元的利润列出方程（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，解方程并结合
3.5≤x≤5.5即可求解；（3）根据每天的利润＝每天每袋的利润×销售量﹣每天还需支付的其他费用，列出w关于x的函数
解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，
得 ，解得 ，
则y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+560；
（2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，
整理，得x2﹣10x+24＝0，
解得x ＝4，x ＝6．
1 2
∵3.5≤x≤5.5，
∴x＝4．
答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；
（3）由题意得：w＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80
＝﹣80x2+800x﹣1760
＝﹣80（x﹣5）2+240，
∵3.5≤x≤5.5，
∴当x＝5时，w有最大值为240．
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根
据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键．
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
25．【分析】（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由直角三角形斜边中线定理即可证明；
（2）如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，
延长ME交AN于H，交AB于O．想办法证明△ABN≌△MBE，推出AN＝EM，再利用三角形中位
线定理即可解决问题；
（3）分别求出BF的最大值、最小值即可解决问题；
【解答】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．
理由：如图1中，∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC．
（2）结论不变．
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、
AN，延长ME交AN于H，交AB于O．
∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝ EM，FC∥EM，同法FD＝ AN，FD∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，FD⊥FC．
（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3
如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝ ．综上所述， ≤BF ．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边
中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决
问题，属于中考压轴题．
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
26．【分析】（1）先求出点B、C、D的坐标，可求直线BC解析式且得到∠OCB＝45°．由GE∥y轴和
GF⊥BC可得△GEF是等腰直角三角形，则 GE最大时其周长最大．设点 G坐标为（a，﹣
a2+2a+3），则点E（a，﹣a+3），可列得GE与a的函数关系式，配方可求出其最大值，得到此时的G
坐标和EF的长，即得到MN长．求DM+MN+NG最小值转化为求DM+NG最小值．先作D关于直
线BC的对称点D ，再通过平移MD 得D ，构造“将军饮马”的基本图形求解．
1 1 2
（2）由翻折得DD'⊥PQ，PD＝PD'，再由P为BD中点证得∠BD'D＝90°，得PQ∥BD'，又D'P中点
H在BQ上，可证△PQH≌△D'BH，所以有D'Q∥BP即四边形DQD'P为菱形，得DQ＝DP．设Q
点坐标为（q，﹣q+3）即可列方程求得．再根据题意把点A'、C'求出．以点Q、A′、C′、T为顶点的
四边形是平行四边形，要进行分类讨论，结合图形，利用平行四边形对边平行的性质，用平移坐标
的方法即可求得点T．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点D（1，4），
∴直线CB解析式：y＝﹣x+3，∠BCO＝45°
∵GE∥y轴，GF⊥BC
∴∠GEF＝∠BCO＝45°，∠GFE＝90°
∴△GEF是等腰直角三角形，EF＝FG＝ GE
∴C ＝EF+FG+GE＝（ +1）GE
△GEF
设点G（a，﹣a2+2a+3），则点E（a，﹣a+3），其中0＜a＜3
∴GE＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣ ）2+
∴a＝ 时，GE有最大值为∴△GEF的周长最大时，G（ ， ），E（ ， ），
∴MN＝EF＝ ，E点可看作点F向右平移 个单位、向下平移 个单位
如图1，作点D关于直线BC的对称点D （﹣1，2），过N作ND ∥D M且ND ＝D M
1 2 1 2 1
∴DM＝D M＝ND ，D （﹣1+ ，2﹣ ）即D （ ， ）
1 2 2 2
∴DM+MN+NG＝MN+ND +NG
2
∴当D 、N、G在同一直线上时，ND +NG＝D G为最小值
2 2 2
∵D G＝
2
∴DM+MN+NG最小值为
（2）连接DD'、D'B，设D'P与BQ交点为H（如图2）
∵△△DPQ沿PQ翻折得△D'PQ
∴DD'⊥PQ，PD＝PD'，DQ＝D'Q，∠DQP＝∠D'QP
∵P为BD中点
∴PB＝PD＝PD'，P（2，2）
∴△BDD'是直角三角形，∠BD'D＝90°
∴PQ∥BD'
∴∠PQH＝∠D'BH
∵H为D'P中点
∴PH＝D'H在△PQH与△D'BH中
∴△PQH≌△D'BH（AAS）
∴PQ＝BD'
∴四边形BPQD'是平行四边形
∴D'Q∥BP
∴∠DPQ＝∠D'QP
∴∠DQP＝∠DPQ
∴DQ＝DP
∴DQ2＝DP2＝（2﹣1）2+（2﹣4）2＝5
设Q（q，﹣q+3）（0＜q＜3）
∴（q﹣1）2+（﹣q+3﹣4）2＝5
解得：q ＝ ，q ＝ （舍去）
1 2
∴点Q坐标为（ ，3﹣ ）
∵△AOC绕点O逆时针旋转60°得到△A′OC′
∴A'（﹣ ，﹣ ），C'（﹣ ， ）
∴A'、C'横坐标差为 ，纵坐标差为
A'、Q横坐标差为 ，纵坐标差为
当有平行四边形A'C'TQ时（如图3），点T横坐标为 ，纵坐标为当 有 平 行 四 边 形 A'C'QT 时 （ 如 图 4 ） ， 点 T 横 坐 标 为 ， 纵 坐 标 为
当有平行四边形A'TC'Q时（如图5），点T横坐标为 ，纵坐标为
综上所述，点T的坐标为（ ）或（ ， ）或（
）【点评】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，轴对称求最短路径问题，旋转，轴对称性质，全
等三角形的判定和性质，两点间距离公式，平行四边形的判定．考查了分类讨论、几何变换、转化
思想．第（1）题关键是通过轴对称和平移构造“将军饮马”的基本图形求线段和最小值，第（2）题
解题关键是发现四边形DQD'P的特殊性，再利用方程思想求点Q坐标；已知三点求构成平行四边
形的第4个点坐标是常见题型，但此题已知的三点坐标数值都不是整数，计算量较大．
