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第四章 一次函数
一、单选题
1．（2019·全国·八年级单元测试）若y＝mx|m﹣1|是正比例函数，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或﹣2
【答案】C
【分析】根据正比例函数的概念：形如y=kx，其中k≠0的函数，可知 ，进而求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题主要考查正比例函数的概念，熟练掌握正比例函数的概念是解题的关键．
2．（2019·全国·八年级单元测试）如图所示的计算程序计算y的值，若输入x=2，则输出的y值是（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】D
【详解】试题分析：由题可知，当x=2时，由于x≥1，所以应代入y=x+2求解，所以y=2+2=4．
解：把x=2代入y=x+2中，
得：y=2+2=4，
故选D．
考点：代数式求值．
3．（2021·山东高新技术产业开发区·八年级期中）已知点( ， )、( ， )在一次函数 的图像
上，则 、 、0的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把−1和3代入一次函数解析式中，即可算出y 与y 的值，即可得出答案．
1 2
【详解】解：当x＝−1时，y＝−（−1）＋2＝3，
1
当x＝3时，y＝−3＋2＝−1，
2
∵−1＜0＜3，
∵y＜0＜y．
2 1
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由已知自变量x的值求出函数值是解决本题的关键．
4．（2021·广西崇左·八年级期末）如图，已知正比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，下面有四个结论：① ；② ；③ 时， ；④当 时， ；其中正确的是（
）
A．①② B．①④ C．②④ D．①③
【答案】D
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵直线 经过第一、三象限，
∴k＞0，故①正确；
∵ 与y轴交点在负半轴，
∴b＜0，故②错误；
∵正比例函数 经过原点，且y随x的增大而增大，
∴当x＞0时，y＞0；故③正确；
1
当x＜-2时，正比例函数 在一次函数 图象的下方，即kx＜ ，故④错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
5．（2019·陕西西安·九年级期中）在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝﹣2x+1上，点A关于y
轴的对称点B恰好落在直线y＝kx+2上，则k的值为（ ）
A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣3
【答案】B
【分析】由点A的坐标以及点A在直线y＝﹣2x+1上，可得出关于m的一元一次方程，解方程可求出m值，
即得出点A的坐标，再根据对称的性质找出点B的坐标，由点B的坐标利用待定系数法即可求出k值．
【详解】解：∵点A在直线y＝﹣2x+1上，
∴m＝﹣2×2+1＝﹣3，
∴点A的坐标为（2，﹣3）．
又∵点A、B关于y轴对称，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在直线y＝kx+2上，
∴﹣3＝﹣2k+2，解得：k＝2.5．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是求出点
B的坐标．
6．（2021·全国·八年级课时练习）若一次函数 的图像与 轴分别交于 两点，则 的
面积为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】A
【分析】先求出点A、B的坐标，然后利用三角形的面积公式计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵ ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
∴点A为（ ，0），点B为（0， ），
∴OA=2，OB=4，
∴ 的面积为： ；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积公式，解题的关键是正确的求出一次函
数与坐标轴的交点坐标．
7．（2021·湖北襄阳·九年级期末）直线 和 在同一平面直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】根据各个图象的位置判断k、b的正负，比较即可.【详解】A、直线 解析式中，k>0，b>0，直线 解析式中， b<0，-k>0，即k<0，矛盾；
B、直线 解析式中，k>0，b>0，直线 解析式中， b>0，-k<0，即k>0，一致；
C、直线 解析式中，k<0，b>0，直线 解析式中， b>0，-k<0，即k>0，矛盾；
D、直线 解析式中，k<0，b>0，直线 解析式中， b<0，-k<0，即k>0，矛盾；
故选：B
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是正确确定待定系数k与b的正负，本题属于基础题型．
8．（2021·安徽·合肥市第四十五中学八年级期末）如图，矩形 中， ， ，点 从点 出
发，沿 向终点 匀速运动，设点 走过的路程为 ， 的面积为 ，能正确反映 与 之
间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】点P从点B到点C，△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y＝ x
（0≤x≤2）；点P从从点C到点D，△ABP的底AB的长度一定，高都等于BC的长度，所以△ABP的面积
一定，y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y＝1（2≤x≤3），即可判断出△ABP的面积y与点P运动
的路程x之间的函数大致图象．
【详解】解：点P从点B到点C，△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y＝ x
（0≤x≤1）；
∵从点C到点D，△ABP的面积一定：2×1÷2＝1，
∴y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y＝1（2≤x≤3），
∴△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数图象大致是：
故选C．【点睛】本题主要考查了动点函数的应用以及分段函数，将函数进行分段分析成为解答本题的关键．
二、填空题
9．（2020·安徽·长丰县城关中学八年级阶段练习）若函数y＝（m+1）x+（1﹣m2）是正比例函数，则m的
值是______．
【答案】1
【分析】根据正比例函数的定义列出关于 的方程和不等式，求出 的值即可．
【详解】解：∵函数 是正比例函数，
∴ ，
解得： ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数 的定
义条件是： 为常数且 ，自变量次数为1．
10．（2019·全国·八年级单元测试）已知直线 与 的交点为 ，则点 在第______象
限．
【答案】一
【分析】把 代入解析式 中，求出a，代入y=−x+b求出b的值即可判断.
【详解】∵直线 与 的交点为 ，
∴把 代入解析式 中得： ，
∴交点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在第一象限；
故答案是：一．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质和判定点所在的象限，准确计算是解题的关键．
11．（2021·山东历城·八年级期中）将一次函数 的图象进行上下平移，使得平移之后的图象经过
点 ，则平移之后图象的解析式为_______．
【答案】
【分析】根据一次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，进行解答即可．
【详解】解：设一次函数平移后的解析式为： ，
∵移之后的图象经过点 ，
∴ ，解得： ，
∴平移之后图象的解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握函数图像的平移规律：上加下减，左加右减是解本题的关
键．
12．（2021·山东阳信·八年级期中）一次函数y＝kx+b与y＝2x+1平行，且经过点（﹣3，4），则表达式为：
_____．
【答案】y=2x+10
【详解】解：已知一次函数y=kx+b与y=2x+1平行，可得k=2，
又因函数经过点（-3，4），代入得4=-6+b，解得，b=10，
所以函数的表达式为y=2x+10．
13．（2019·全国·八年级单元测试）将直线 沿y轴向下平移2个单位长度，点 关于y轴的
对称点落在平移后的直线上，则b的值为_______．
【答案】3
【分析】先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式，再把点
A（-1，2）关于y轴的对称点（1，2）代入，即可求出b的值．
【详解】解：将直线y=x+b沿y轴向下平移2个单位长度，得直线y=x+b-2．
∵点A（-1，2）关于y轴的对称点是（1，2），
∴把点（1，2）代入y=x+b-2，得1+b-2=2，
解得b=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，关于y轴对称的点坐标特征，一次函数图象上点的坐标特
征，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
14．（2019·全国·八年级单元测试）甲、乙两人进行比赛，甲比乙跑得快，现在甲y/mt让乙先跑10米，甲
再起跑.图中 和 分别表示甲、乙两人跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间的函数关系，其中
的关系式为 ，甲追上乙的时候用了________s.
【答案】5
【分析】因为甲让乙先跑，所以开始计时时乙在前甲在后．分别求出时间，用时间少的先到达终点．【详解】设y=kx+b（k≠0），
2
代入（0，10），（2，22）得
解这个方程组，得
所以y=6x+10．
2
当y=y 时，8x=6x+10，
1 2
解这个方程，得x=5．
答：甲追上乙用了5s．
【点睛】读懂图象信息，利用待定系数法求解函数解析式是本题考查的重点，也是近年中考的热点之一．
三、解答题
15．（2019·全国·八年级单元测试）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数
的图象向右平移2个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，直接写出 的
取值范围．
【答案】（1） ；（2）-2≤m≤-1．
【分析】（1）根据平移的规律即可求得．
（2）根据点（4，-4）结合图象即可求得．
【详解】解：（1）函数 的图象向右平移2个单位长度得到 ，
∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数 的图象向右平移2个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为 ．
（2）把x=4代入 ，得y=-4，
∴函数y=mx（m≠0）与一次函数 的交点为（4，-4），
把点（4，-4）代入y=mx，得m=-1，
∵当x<4时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值小于一次函数 的值，
∴-2≤m≤-1．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
16．（2019·全国·八年级单元测试）已知一次函数 的图象经过点 ，且与正比例函数
的图象相交于点 .
求：
（1）a的值；
（2）k，b的值；
（3）这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积.
【答案】（1） （2） ， （3）
【分析】（1）将 代入 ，可求a;.
（2）用待定系数法求出 ， .
（3）由（2）知一次函数表达式为 ，求出直线与坐标轴的交点坐标，再求三角形面积.
【详解】解：（1）将 代入 ，得 .
（2）将 ， 代入 ，得 ， .解得 ， .
（3）由（2）知一次函数表达式为 ，当 时，x= ，即 与x轴的交点的坐标为
，设该交点为点B.所以
【点睛】考核知识点：求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积.求出关键点坐标是关键.
17．（2019·全国·八年级单元测试）目前，全国各地都在积极开展新冠肺炎疫苗接种工作，某生物公司接
到批量生产疫苗任务，要求5天内加工完成22万支疫苗，该公司安排甲，乙两车间共同完成加工任务，乙
车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止，
设甲，乙两车间各自生产疫苗 （万支）与甲车间加工时间 （天）之间的关系如图1所示；未生产疫苗（万支）与甲车间加工时间 （天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：
（1）甲车间每天生产疫苗______万支， ______．
（2）求乙车间维修设备后生产疫苗数量 （万支）与 （天）之间的函数关系式，并写出自变量 的取值
范围．
（3）若5.5万支疫苗恰好装满一辆货车，那么加工多少天装满第一辆货车？再加工多少天恰好装满第二辆
货车？（直接写出答案即可）．
【答案】（1）2，1.5；（2）y=3.5x-5.5（2＜x≤5）；（3）加工两天装满第一辆货车，再过1天装满第二辆
货车．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲车间每天生产疫苗的数量和a的值；
（2）根据（1）中a的值和函数图象中的数据，可以求得乙车间维修设备后生产疫苗数量y（万支）与x
（天）之间的函数关系式；
（3）根据图2中的信息，可以计算出加工多长时间装满第一辆货车，再加工多长时间恰好装满第二辆货车．
【详解】解：（1）由图1可得，
甲车间每天生产疫苗：（22-12）÷5=2（万支），
由图2可得，
a=22-18.5-2×1=22-18.5-2=1.5，
故答案为：2，1.5；
（2）当乙车间维修设备后，即2＜x≤5时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，
，
解得 ，
即当2＜x≤5时，y与x的函数关系式为y=3.5x-5.5；
（3）由图2可得，
当x=2时，生产的疫苗有22-16.5=5.5（万支），
当2≤x≤5时，每天生产的疫苗有：16.5÷（5-2）=5.5（万支），
∴加工两天装满第一辆货车，再过1天装满第二辆货车．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．18．（2019·全国·八年级单元测试）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y
轴交于点A(4，0)，B(0，4)．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P为此函数图像上的一点，且 AOP是以AO为腰的等腰三角形，求此时P点的坐标．
【答案】（1）y=-x+4；（2）P( ， )或( ， )或(0，4)
【分析】（1）根据待定系数法求解函数解析式即可；
（2）分两种情况进行讨论，当 时和 时，分别求解即可．
【详解】解：（1）设 ，将A(4，0)，B(0，4)代入得
，解得 ，
即 ；
（2）设 ，由题意可得：
AOP是以AO为腰的等腰三角形
当 时，则点 与点 重合，即
当 时， ，解得
则 或
故点P的坐标为 或 或
【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解一次函数解析式，解题的关键是
根据题意正确求得一次函数解析式．
19．（2019·全国·八年级单元测试）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭
的电费．月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55
元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．
（1）当月用电量不超过200时，y与x的函数关系式为 ，当月用电量超过200度时，y与x的函数关
系式为 ．
（2）小明家十月份交纳电费117元，求本月用电多少度？
【答案】（1）y=0.55x，y=0.7x-30；（2）210．
【分析】（1）当0≤x≤200时，根据电费等于单价乘以用电量即可得到函数关系式，当y＞200时，根据电
费为200度费用加超出部分费用，整理即可求解；（2）根据小明家十月份交纳电费117元判断出用电量超过200度，把y=117代入y=0.7x-30求出x，问题得
解．
【详解】解：（1）当0≤x≤200时，y与x的函数关系式是y=0.55x；
当y＞200时，y与x的函数关系式是y=0.55×200+0.7（x-200），即y=0.7x-30；
故答案为：y=0.55x，y=0.7x-30；
（2）由题意得当用电量为200度时，电费为200×0.55=110元，
∵117＞110，
∴小明家十月份的用电量超过200度，
把y=117代入y=0.7x-30得0.7x-30=117，
解得x=210，
答：小明家十月份用电210度．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解分段函数的意义，并根据题意得到函数关系式是解题关键．
20．（2019·全国·八年级单元测试）自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的
计算方法是：每次收人不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收人超过800元但不超过4000元的，预
扣预缴税款＝（每次收人－800）×20%；……如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣预缴税款
（2000－800）×20%＝240（元）．
（1）当每次收人超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款 （元）与每次收入
（元）之间的关系式；
（2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？
（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？
【答案】（1） ；（2）540元；（3）3800元
【分析】根据所得税的计算方法，“每次收人不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收人超过800元
但不超过4000元的，预扣预缴税款＝（每次收人－800）×20%”，即可写出函数解析式；
因为某人某次取得劳务报酬3500元，即x=3500，代入关系式求解即可；
先根据预扣预缴劳务报酬所得税600元，判断此人这次取得的劳务报酬不超过4000元，再设此人这次取得
的劳务报酬是 元，列方程求解即可．
【详解】解：（1）当每次收入超过800元但不超过4000元时， ，
即 ；
∴关系式为： ；
（2）当 时， （元）；
（3）∵ （元）， ，
∴此人这次取得的劳务报酬不超过4000元，
设此人这次取得的劳务报酬是 元，
∴ ，
解得 ．∴此人这次取得的劳务报酬是3800元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确理解所得税的计算方法，写出函数解析式是关键
21．（2020·山东沂源·七年级期末）甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙
先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人分别到达Q地后停止．已知P、Q两地相距200km，设乙行驶的
时间为t（h），甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下
问题：
（1）求线段BC所在直线的函数解析式；
（2）由图象可知，甲比乙迟出发1h，解释图像中点B与点C的实际意义；
（3）求甲、乙两人的速度．
【答案】（1）y=15x-40；（2）点B：乙行驶 小时，甲乙两人相遇；点C：乙行驶5小时时，甲乙两人相
距35千米；（3）甲的速度是40km/h，乙的速度是25km/h
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段BC所在直线的函数表达式；
（2）根据图象中的信息即可得到结论；
（3）根据题意和函数图象中的数据列方程组可以求解．
【详解】（1）设线段BC所在直线的函数解析式为y=kx+b，根据题意得：
，
解得 ，
∴线段BC所在直线的函数解析式为y=15x-40；
（2）由函数图象可知：
点B：乙行驶 小时，甲乙两人相遇；
点C：乙行驶5小时是，甲乙两人相距35千米；
（2）设甲的速度为vkm/h，设乙的速度为vkm/h，由题意得：
1 2
，解得 ；
答：甲的速度为40km/h，乙的速度为25km/h．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
