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八年级数学•上 新课标[北师]
第四章 一次函数
1.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义;体会一次函数和正比例函数的意义,
能根据所给信息确定一次函数表达式.
2.能画一次函数的图象,理解当k>0和k<0时图象的变化情况,并利用一次函数图象解决简单的实际问题.
3.在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况、利用一次函数的图象解决实际问题等过程中,
体会数形结合的思想方法与一次函数y=kx+b中k与b的意义.
经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识;经历函数图象信息的识别与应用过程,
发展几何直观.
经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识;经历一次函数
的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.
一、《标准》要求
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解函数的概念;探索具体问题中的数量关系和变化规律,
掌握用函数进行表述的方法.
2.通过用函数表述数量关系的过程,体会建模思想,建立符号意识;能独立思考,体会数学的基本思想和思
维方式.
3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的
实际问题,增强应用意识,提高实践能力.
4.在运用数学表述解决问题过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.
5.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.
6.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.
7.能结合图象对简单问题中的函数关系进行分析.
8.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值.
9.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
10.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.
11.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式.
12.能利用待定系数法确定一次函数的表达式.
13.能画出一次函数的图象,根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图象的
变化情况.
14.能用一次函数解决简单实际问题.二、教材分析
函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画
和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例
引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数
的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象的方法;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得
出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采
用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识.
【重点】
1.初步理解函数的概念.
2.画一次函数的图象.
3.通过一次函数图象解决生活中的简单问题.
【难点】
1.一次函数图象的特点.
2.一次函数y=kx+b中k与b的实际意义.
1.加强与已有知识的联系.
在代数式、方程、不等式等内容的学习、探索中都已经渗透了转化的思想,要注意引导学生在原有知
识基础上理解变量和函数的概念.
2.创设丰富的现实情境,重视直观感知的作用.
3.注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用,运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中
问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进
而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.
1 函 数 1课时
2 一次函数与正比例函数 1课时
3 一次函数的图象 2课时
4 一次函数的应用 3课时
回顾与思考 1课时
1 函 数了解函数产生的背景和函数的概念,能判断两个变量间的关系是否属于函数关系.
通过对函数概念的探索,初步培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
1.经历函数概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想.
2.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有
效的学习模式.
【重点】
1.掌握函数的概念.
2.会判断两个变量之间的关系是否属于函数关系.
3.能把实际问题抽象概括为函数问题.
【难点】
1.理解函数的概念.
2.能把实际问题抽象概括为函数问题.
【教师准备】 教材图4 - 1投影图片.
【学生准备】 预习教材75~76页内容.
导入一:
长春市某天的气温随时间变化的曲线如图所示.
这条曲线反映了气温与时间之间怎样的关系?从这条曲线中又能获得哪些信息呢?
导入二:
我们生活在一个变化的世界中,时间、温度,还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化.从数学的角度
研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.
观察下图,你能大致地描述男孩和女孩平均身高的变化情况吗?
你的身高在平均身高之上还是之下?你能估计自己18岁时的身高吗?在现实生活中一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖
关系的数学模型.
一、感知函数
出示教材图4 - 1及相关问题,并由学生讨论完成题目.
(1)根据上图填表:
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
(2)对于给定的时间t,相应的高度h确定吗?
[设计意图] 由于我们已初步接触过这方面知识,所以答案较易得出.在这里要注意时间和高度这两个变
量之间的关系.
二、做一做
1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?
填写下表:
层数n 1 2 3 4 5 …
物体总数y …
【思考】 层数n和物体总数y之间是什么关系?
2.一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273 ℃,则气体的压强为零.因此,物理学中把-273 ℃
作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:T=t+273,T≥0.
(1)当t分别为-43 ℃,-27 ℃,0 ℃,18 ℃时,相应的热力学温度T是多少?
(2)给定一个大于-273 ℃的t值,你都能求出相应的T值吗?【思考】 在关系式T=t+273中,两个变量中若知道其中一个,是否可以确定另外一个?
三、函数的相关概念
一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它
对应,那么我们称y是x的函数(function),其中x是自变量.
表示函数的方法一般有:列表法、关系式法和图象法.
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于
a时的函数值.
[知识拓展] 理解函数概念时应注意:
(1)在某一变化过程中有两个变量x与y.
(2)这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y的值就随之确定.
(3)对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的一个值与它对应,如在关系式y2=x(x>0)中,当x=9时,y对应
的值为3或-3,不唯一,则y不是x的函数.
1.(1)汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时30千米,则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)之间的
关系式为 .
(2)圆的面积S与半径R的关系式为 .
答案:(1)s=30t (2)S=πR2
2.一般地,在某个变化过程中,有 个变量x,y.如果给定一个x值,相应地就 了一个y值,那
么我们称y是x的函数.其中 是自变量, 是因变量.
答案:两 确定 x y
3.对于两个变量之间的函数关系,可以采用不同的表达方式: , , .
答案:列表法 关系式法 图象法
4.圆的周长公式C=2πR中,有 个变量,是 .
答案:两 R,C
5.某30层的大厦底层高4米,以上每层高3米,从底层数起,则前n层的高度h(米)与n的函数关系式为
.
答案:h=3n+1
1 函 数
1.感知函数.2.做一做.
3.函数的相关概念.
一、教材作业
【必做题】
教材第77页习题4.1第1,2题.
【选做题】
教材第78页习题4.1第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列变量间的关系不是函数关系的是 ( )
A.长方形的宽一定,其长与面积
B.正方形的周长与面积
C.等腰三角形的底边长与面积
D.圆的周长与半径
2.下列是关于变量x和y的四个关系式:①y=x;②y2=x;③2x2=y;④y2=2x.其中y是x的函数的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表:
物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度/cm 10 12.5 15 17.5 20 22.5
下列说法错误的是 ( )
A.没挂物体时,弹簧的长度为10 cm
B.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量
C.在弹簧的弹性限度内,如果物体的质量为m kg,那么弹簧的长度y cm可以表示为y=2.5m+10
D.当物体的质量为4 kg时,弹簧的长度为20 cm
4.下列各题中,哪些是函数关系?哪些不是函数关系?
(1)匀速运动所走的路程和速度;
(2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长与半径;
(3)x+3与x;
(4)正方形的面积和梯形的面积;
(5)水管中水流的速度和水管的长度.
【能力提升】
5.如图(1)所示,在长方形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止.设点E运动的路程为
x,ΔBCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图(2)所示,则当x=7时,点E应运动到 ( )A.点C处 B.点D处
C.点B处 D.点A处
6.如下图所示的是桂林冬季某一天的气温随时间的变化图象,请根据图填空: 时气温最低,最低气温
为 ℃,当天最高气温为 ℃,这一天的温差为 ℃.(所有的结果都取整数)
【拓展探究】
7.如图所示,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点,P为正方形ABCD边上一个动点,动点P从点A出发,沿
1
A→B→C→E运动.若点P经过的路程为x,ΔAPE的面积为y,则当y= 时,求x的值.
3
【答案与解析】
面积 周长 2
( )
1.C(解析:A.长= ;B.面积= ;C.高不能确定,共有三个变量;D.周长=2π·半径.故选C.)
宽 4
2.B(解析:①③是y关于x的函数.)
3.B(解析:因为表中的数据主要涉及弹簧的长度和所挂物体的质量,所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长
度之间的关系,所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量,故选项B错误,符合题意.故选B.)
4.解:(1)匀速运动所走的路程和速度符合s=vt,是函数关系. (2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的
周长L与半径r符合L=2πr,是函数关系. (3)x+3与x,设y=x+3,即可得出是函数关系. (4)正方形的面积和梯
形的面积没有关系,所以不是函数关系. (5)水管中水流的速度和水管的长度没有关系,所以不是函数关系.所
以(1)(2)(3)是函数关系,(4)(5)不是.
5.B(解析:当E在AB上运动时,ΔBCE的面积不断增大,当E在AD上运动时,面积不变,当E在DC上运动时,
ΔBCE的面积不断减小,所以当x=7时,点E应运动到点D处.故选B.)
6.4 -2 10 12
1 1 2
7.解:①当点P在AB上运动时,如图(1)所示,y= x(0≤x<1).当y= 时,x= .②当点P在BC上运动时,如图(2)所
2 3 3
1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 5
示,y=1- ×1×(x-1)- × (2-x)- × ×1,整理得y= - x(1≤x<2).当y= 时, = - x,解得x= .③当点P
2 2 2 2 2 4 4 3 3 4 4 35 1 (5 ) 5 1 1 1 5 1
在CE上运动时,如图(3)所示,EP= -x,y= ×1×
-x
,即y= - x(2≤x≤2.5).当y= 时,
=
- x,解得x=
2 2 2 4 2 3 3 4 2
11 11 1 2 5
.因为 不在2≤x≤2.5内,所以此情况不符合要求.所以当y= 时,x的值为 或 .
6 6 3 3 3
本课时是函数学习的起始课,因此理解函数的基本思想和表达方式是本课时的重点.通过生活实例中对
变量的提取,帮助学生比较深刻地领悟了函数的意义.
教材安排的实际问题,旨在让学生通过直观感知,领悟相关概念,这些问题不宜单纯作为教师讲解的例题,
要注意引导学生观察其中数量之间的相互关系、鼓励学生发表意见,可以根据学生交流的情况,鼓励学生举
出自己熟悉的实例,穿插在几个问题的讨论之中.
本课时的学习需注意后续相关内容的渗透,例如:观察函数图象,感知函数的单调性;通过求函数值,渗透初
步的对应思想等.教师在组织教学中应注意做适当的铺垫.
随堂练习(教材第77页)解:(1)问题中有时间和温度两个变量,且温度是时间的函数,自变量的取值范围是大于等于0,小于等于24.
(2)问题中有汽车的速度v(km/h)和汽车紧急刹车后滑行的路程s(m)两个变量,且s是v的函数,v>0. (3)问题
中有信件质量m(g)与邮资y(元)两个变量,且y是m的函数,00,且x是整数.
3.解:买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与铅笔数x(支)之间的关系,其函数的关系式为y=0.4x,自变量的取值
范围是非负整数.(答案不唯一)
4.解:(1)能. (2)能. (3)能.
1.关于确定函数关系式的问题,需要分析实际问题中的等量关系,其具体方法和列方程解应用题类似.
2.关于函数自变量的取值范围的讨论,主要包含两个方面:一是自变量取值使函数关系式有意义;二是自
变量取值使实际问题有意义,这需要对实际问题作具体分析,具有一定难度.
图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层(n为正整数)圆点的个数,则下列函数
关系式中正确的是 ( )
A.y=4n-4 B.y=n2
C.y=4n+4 D.y=4n
〔解析〕 由图可知n=1时,圆点有4个,即y=4;n=2时,圆点有8个,即y=8,从而可知y=4n.故选D.
2 一次函数与正比例函数理解一次函数和正比例函数的概念,以及两者之间的关系,利用一次函数和正比例函数解决实际问题.
能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式,并利用它解决实际问题.
1.通过函数与变量之间的联系,一次函数与一次方程的联系,提高学生的数学思维能力.
2.经历利用一次函数解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力.
【重点】
1.一次函数、正比例函数的概念.
2.一次函数、正比例函数的关系.
3.会根据已知信息写出一次函数的表达式.
【难点】 一次函数知识的运用.
【教师准备】 引例和例题投影图片.
【学生准备】 复习函数的定义、函数值等内容.
导入一:
生活中充满着许许多多变化的量,你了解这些变量之间的关系吗?如弹簧的长度(在弹性限度内)与所挂
物体的质量,输液时间与相应时间内水滴数目……了解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界.函数是刻画
变量之间关系的常用模型,其中最为简单的是一次函数,那么什么是一次函数?用一次函数可以解决哪些问题
呢?你想了解这些吗?一起进入这节课的学习吧!
导入二:
汽车的平均速度为95 km/h,A地直达北京的高速公路全程为570 km,小明想知道汽车从A地驶出后,距
北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己与北京的距离.小明能得到
一个什么样的关系式呢?他是怎样想的?猜猜看.
[过渡语] 怎样写出两个变量之间的函数关系式呢?
一、出示教材引例及问题
某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1 kg,2 kg,3 kg,4 kg,5 kg时弹簧的长度,并填入下表:
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
(2)你能写出y与x之间的关系式吗?【分析】 当不挂物体时,弹簧长度为3厘米,当挂1千克物体时,增加0.5厘米,总长度为3.5厘米,增加1
千克物体,即所挂物体为2千克时,弹簧又增加0.5厘米,总共增加1厘米,由此可见,所挂物体为x千克时,弹簧
就伸长0.5x厘米,则弹簧总长为原长加伸长的长度,即y=3+0.5x.
二、做一做
某辆汽车油箱中原有汽油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.
(1)完成下表:
汽车行驶
0 50 100 150 200 300
路程x/km
耗油量y/L
(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?
(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?
【答案与提示】 (1)如下表所示:
汽车行驶
0 50 100 150 200 300
路程x/km
耗油量y/L 0 6 12 18 24 36
x 3
=
(2)y=6· x.
50 25
3
(3)z=60- x.
25
【归纳】 若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次
1
函数.例如y=2x+1, y= x-1等都是一次函数.
2
特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如,y=2x,y=-3x等都是正比例函数.
正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数.正比例函数与一次函数的关系如图所示.
[知识拓展] 正比例函数也是一次函数,不过是特殊的一次函数,就像是等边三角形与等腰三角形的关系
一样.
三、例题讲解
写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系;
(3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水,进水速度为5 m3/h,x h后这个水池内有水y m3.
(由学生交流讨论完成)
解:(1)由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
(2)由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.
(3)这个水池每小时增加5 m3水,x h增加5x m3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函
数.
【思考】 两个变量之间存在函数关系,它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗?我国自2011年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入不超过3500元的部分
不收税;月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴纳个
人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8(元).
(1)当月收入超过3500元而又不超过5000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入x(元)
之间的关系式;
(2)某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?
(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元?
〔解析〕 一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根
据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.
解:(1)当月收入超过3500元而不超过5000元时,
y=(x-3500)×3%,即y=0.03x-105.
(2)当x=4160时,y=0.03×4160-105=19.8(元)
(3)因为(5000-3500)×3%=45(元),19.2<45,所以此人本月工资、薪金收入不超过5000元.设此人本月工资、
薪金收入是x元,则:
19.2=0.03x-105,x=4140.
即此人本月工资、薪金收入是4140元.
1.一根弹簧的原长为12 cm,它能挂的重量不能超过15 kg并且每挂重物1 kg就伸长0.5 cm,则在弹性
限度内,挂重物后的弹簧长度y(cm)与所挂重物x(kg)之间的函数关系式是 .
解析:弹簧伸长后的长度等于原长加上挂重物后伸长的长度,所以y=0.5x+12.由于这是实际问题,自变量
的取值要有实际意义,所以0≤x≤15.故填y=0.5x+12(0≤x≤15).
2.y=kx+b是一次函数,则k为( )
A.一切实数 B.正实数
C.负实数 D.非零实数
解析:y=kx+b是一次函数,也就是说kx+b是关于x的一次式,所以k是不等于0的实数.故选D.
3.下列函数中,y是x的一次函数的是 ( )
A.y=-3x+5 B.y=-3x2
1
C.y= D.y=2❑√x
x
解析:形如y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的函数是一次函数.故选A.
4.下列说法不正确的是 ( )
A.一次函数不一定是正比例函数
B.不是一次函数就一定不是正比例函数
C.正比例函数是特殊的一次函数D.不是正比例函数就一定不是一次函数
解析:正比例函数是特殊的一次函数,不是正比例函数也可能是一次函数,如y=2x-3.故选D.
5.某面包厂现年产值是15万元,计划从今年开始每年增加产值2万元.
(1)写出年产值y(万元)与年数x之间的函数表达式;
(2)求5年后的年产值.
解析:(1)年产值等于现年产值加上每年增加的年产值乘年数.(2)将x=5代入(1)中求得的表达式即可得解.
解:(1)y=2x+15.
(2)当x=5时,y=2×5+15=25,
即5年后的年产值为25万元.
2 一次函数与正比例函数
1.出示教材引例及问题.
2.做一做.
3.例题讲解.
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第82页习题4.2第1,2题.
【选做题】
教材第82页习题4.2第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若函数y=(m-5)x+(4m+1)x2(m为常数)中的y与x成正比例,则m的取值范围为 ( )
1
A.m>- B.m> 5
4
1
C.m=- D.m=5
4
1
2.下列函数:①y=4x+3;②y= x;③y=x4;④y=x2;⑤y=1-x中,一次函数有 ( )
12
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1 1 1
3.在函数y= x, y= x+3,y= ,y=2x2-3, y=2(x-3)中, 是关于x的正比例函数.
3 2 x+3
【能力提升】
4.容积为800 L的水池内已蓄水200 L,若每分钟注入的水量是15 L,设池内的水量为Q(L),注水时间为
t(min).
(1)请写出Q与t的函数关系式;
(2)注水多长时间可以把水池注满?
(3)当注水时间为0. 2 h时,池中水量是多少?
5.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一
般车保管费是每辆一次0.3元.(1)若一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;
(2)若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆次不小于总辆次的25%,但不大于40%,试求该保管站这
个星期日保管费收入总数的范围.
【拓展探究】
6.为了节约资源,科学指导居民改善居住条件,小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.
人均住房面积/m2 单价/(万元/m2)
不超过30的部分 0.3
超过30不超过n(m2)
0.5
的部分(45≤n≤60)
超过n(m2)的部分 0.7
根据这个购房方案解决下列问题:
(1)若某三口之家欲购买120 m2的商品房,求其应缴纳的房款;
(2)设某三口之家购买商品房的人均面积为x m2,应缴纳房款为y万元,请写出y关于x的函数表达式.
【答案与解析】
{
m≠5,
{m-5≠0, 1
1.C(解析:∵函数y=(m-5)x+(4m+1)x2中的y与x成正比例,∴ 即 1 ∴m=- .故选C.)
4m+1=0, m=- , 4
4
1
2.C (解析:①y=4x+3是一次函数;②y= x是一次函数;③y=x4的自变量的次数不为1,故不是一次函数;④y=x2
12
的自变量的次数不为1,故不是一次函数;⑤y=1-x是一次函数.故选C.)
1 1
3.y= x(解析:只有y= x符合y=kx(k≠0)的形式.)
3 3
4.解:(1)Q=200+15t,0≤t≤40. (2)注水40 min可以把水池注满. (3)当注水0.2 h,即12 min时,池中水量为
380 L.
5.解:(1)y与x的关系式是y=0.3x+0.5×(3500-x),即y=-0.2x+1750(0≤x≤3500,且x为整数). (2)因为变速车停放
的辆次不小于3500的25%,但不大于3500的40%,所以一般自行车停放的辆次在3500×60%与3500×75%之
间.当x=3500×60%=2100时,y=-0.2×2100+1750=1330;当x=3500×75%=2625时,y=-0.2×2625+1750=1225.所以
该保管站这个星期日保管费收入总数在1225元至1330元之间.
6.解析:(1)根据房款=房屋单价×购房面积就可以表示出应缴房款.(2)分别求出当0≤x≤30,30n时y
与x之间的表达式即可.解:(1)由题意,得应缴纳房款为0.3×90+0.5×30=42(万元). (2)由题意得:①0≤x≤30时,
y=0.3×3x=0.9x;②30n时,y=0.3×90+0.5×3(n-30)+0.7×3×(x-
n)=2.1x-18-0.6n.
教学时从学生熟悉的实际问题入手,旨在让学生通过直观感知领悟相关概念,通过学生的合作交流得到
一次函数和正比例函数的定义,引导学生把新学习的函数知识与实际问题联系起来.
对正比例函数和一次函数之间的区别和联系没
有做重点强调,这对于学生以后画函数图象和分析图象、性质会带来一定的困难.在教学过程中要适当增加习题,设计不同层次的习题,让不同层次的学生得到不同程度的练习,以提高学
生的解题能力和对一次函数与正比例函数的理解和掌握.
随堂练习(教材第80页)
1.解:依题意得y=2.2x,所以y是x的一次函数,y也是x的正比例函数.
2.解:(1)y=80x+100,y是x的一次函数. (2)当x=0.5时,y=140.
习题4.2(教材第82页)
1.解:y=-3x.
1
2.解:(1)y=3x,y是x的一次函数, 也是x的正比例函数. (2)y= (10-2x)·x=-x2+5x,y不是x的一次函数,也不是x
2
的正比例函数.
3.解:(1)y=12+0.2x. (2)48元. (3)440 min.
4.解:(1)y=0.25x. (2)45元. (3)400 min.
5.解:y =0.2x+12,y =0.25x.(1)当x=300时,y =0.2×300+12=72,y =0.25×300=75.因为y 0时,经过第 象限,从左往右升,即y随x增大而 ;当k<0时,经过第 象限,
从左往右降,即y随x增大而 .
[知识拓展] 函数的图象可以是直线,也可以是曲线,描点时,所描出的点越多,图象越精确,有时不能把所
有的点都描出,就用平滑的曲线连接描出的点,从而得到函数的近似图象.函数的图象是由函数的表达式决定
的,因此函数的表达式与图象之间有一种对应关系.
1.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点的一条直线.通常画正比例函数y=kx(k≠0)的图象时,只取一点
(1,k),然后过原点和这一点画直线即可.2.正比例函数y=kx(k≠0)的性质.
k的取值 k<0 k>0
图象
图象特征 过点(0,0)和(1,k)的直线
变化规律y随x的增大而减小 y随x的增大而增大
1.正比例函数的图象是一条过 的直线.
答案:原点
2.正比例函数y=kx(k为常数,k≠0).当k>0时,直线过第 象限,从左向右 ,y随x的增大而
;当k<0时,直线过第 象限,从左向右 ,y随x的增大而 .
答案:一、三 上升 增大 二、四 下降 减小
3.如图所示,射线l ,l 分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所行路程s(米)与时间t(分)的函数图
甲 乙
象.则他们行进的速度关系是 ( )
A.甲、乙同速
B.甲比乙快
C.乙比甲快
D.无法确定
解析:因为s=vt,所以同一时刻,s越大,v越大,图象表现为越陡峭.故选B.
1
4.关于函数y=- x,下列说法中正确的是 ( )
5
A.函数图象经过点(1,5)
B.函数图象经过第一、三象限
C.y随x的增大而减小
D.不论x取何值,总有y<0
1
解析:函数y=- x,因为自变量的系数小于0,所以它的图象经过第二、四象限,y随x的增大而
5
减小.故选C.
5.画出函数y=-2x的图象.解:如图所示.
第1课时
1.函数图象的概念.
2.画正比例函数的图象.
3.正比例函数的性质.
一、教材作业
【必做题】
教材第85页习题4.3第1,2题.
【选做题】
教材第85页习题4.3第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限,则k的取值范围是 ( )
A.k>0 B.k<0
C.k≥0 D.k≤0
2.下列各点在正比例函数y=2x的图象上的是 ( )
A.(2,1) B.(1,2)
C.(-1,2) D.(1,-2)
3.对于函数y=k2x(k是常数,k≠0)的图象,下列说法不正确的是( )
A.是一条直线
(1 )
B.过点
,k
k
C.经过第一、三象限或第二、四象限
D.y随着x的增大而增大
4.正比例函数y=(2m+2)x中,y随x的增大而减小,则m的取值范围是 ( )
A.m>-1 B.m<-1
C.m=-1 D.m<15.物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如图所示,则下滑2秒时物体的速度为
.
6.写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式: (写出一个即可).
(1)y随着x的增大而减小;
(2)图象经过点(0,0).
7.写出一个y随x的增大而增大的正比例函数的解析式: .
【能力提升】
8.画出函数y=3x的图象.
【拓展探究】
9.甲车从A地出发匀速驶往B地,同时乙车从B地出发匀速驶往A地.下图表示甲、乙两车在全程行驶的过
程中,离各自出发地的路程y(千米)与出发时间x(时)的函数图象.
(1)求A,B两地距离及甲车的速度;
1
(2)当乙车距A地的距离为A,B两地距离的 时,甲车刚好行驶80千米,求此时乙车到达A地还需行驶多长时
3
间.
【答案与解析】
1.A(解析:由正比例函数图象的性质可知k>0时,函数y=kx的图象经过第一、三象限.)
2.B
3.C (解析:k2>0(k是常数,k≠0),则直线y=k2x(k是常数,k≠0)经过第一、三象限,y随着x的增大而增大,不经过第
二、四象限,所以C是错误的.)
4.B(解析:正比例函数y=(2m+2)x中,y随x的增大而减小,则2m+2<0,所以m<-1.)
5.4米/秒(解析:由图象可看出v是t的正比例函数,当t等于2时,对应的v的值是4.)
6.y=-3x(解析:由已知条件(1)y随着x的增大而减小;(2)图象经过点(0,0)可知此函数是正比例函数,并且自变量
的系数k小于0.答案不唯一.)
7.y=6x(解析:y随x的增大而增大的正比例函数,只要满足k大于0即可,答案不唯一.)
8.解析:画正比例函数的图象的方法是先确定函数图象经过的两点的坐标,如(0,0),(1,3),然后过这两点作直线.解:如图所示.
9.解析:(1)由图象提供的信息可以得出A,B两地间的距离,再根据速度=路程÷时间就可以求出
速度.(2)由(1)知甲车的速度,求出甲车行驶的时间,就是乙车行驶的时间,再利用乙车行驶的路程除以时间就可
以求出乙车的速度,进而求出乙车到达A地的时间.
解:(1)由图象得A,B两地的距离为180千米,甲车的速度为180÷3=60(千米/时). (2)乙车的速度是:180×
( 1) 80 1 2
1- ÷ =90(千米/时),则乙车到达A地还需行驶的时间为:180× ÷90= (小时).
3 60 3 3
本节利用数形结合的思想引入新课,通过学生的自主探索与合作交流得到正比例函数的图象和性质,使
学生易于接受新知识.通过例题的讲解,加深了学生对正比例函数的图象和性质的理解,提高了学生应用正比
例函数的图象和性质解题的能力.
在探讨正比例函数图象、性质的时候,留给学生
观察图象、分析图象的时间不多.通过函数图象分析函数的性质,才能加深对函数图象的理解和记忆.
教学中要重视知识的形成过程,讨论时不要流于形式,要充分调动学生的积极性.对于学生所画的图象,教
师可以通过多媒体展示正确的画法,这样便于学生观察,更有效地节省了时间,达到课堂教学的有效性.
随堂练习(教材第85页)
1 1
解:所画图象如图所示.函数y= x中,y随x的增大而增大;函数y=- x中,y随x的增大而减小.
2 3
习题4.3(教材第85页)1.解:点(-1,5)和点(0.5,-2.5)在正比例函数y=-5x的图象上.
2.解:如图所示.
3.(2)(4)
4.解:由图象知此函数是正比例函数,设函数的表达式为y=kx,将x=1,y=3代入,得3=k·1,解得k=3,所以函数的表
达式为y=3x.
5.解:小明的想法的实质是:图象上其他点与原点的连线,和水平方向所成的角相同,因此这些点都在一条直线
上.
如果一个正比例函数的图象经过不同象限内的两点A(2,m),B(n,3),那么一定有 ( )
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0D.m<0,n<0
〔解析〕 ∵正比例函数的图象经过第一、三象限或第二、四象限,且不同象限内的两点A(2,m),B(n,3)
在正比例函数的图象上,∴m<0,n<0.故选D.
第 课时
1.理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系.
2.会选择两个合适的点画出一次函数的图象.
3.掌握一次函数的性质.
1.通过研究一次函数的图象,经历知识的归纳、探究过程.
2.通过一次函数的图象归纳函数的性质,体验数形结合、从特殊到一般的数学思想.1.通过画函数的图象,并借助图象研究函数的
性质,体验数与形的内在联系,感受函数图象的简洁美.
2.在探究函数的图象和性质的活动中,通过一系列的富有探究性的问题,渗透与人合作交流的意识和探
究精神.
【重点】 一次函数的图象和性质.
【难点】 由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解.
【教师准备】 教材例2投影图片.
【学生准备】 复习正比例函数的性质.
导入一:
下列哪个是函数y=2x-1的图象呢?
导入二:
①y=2x+1;
②y=2x+2;
③y=2x+3.
以上三个函数的图象有什么位置关系呢?
导入三:
正比例函数是特殊的一次函数,正比例函数的图象是一条直线,那么一次函数的图象也是一条直线吗?从
表达式上看,正比例函数与一次函数相差什么?如果体现在图象上又会有怎样的关系呢?
[设计意图] 体现特殊与一般的关系并引发猜想,渗透数形结合思想.
[过渡语] 正比例函数y=-2x的图象是过原点的一条直线,那么一次函数y=-2x+1的图象又是怎样的呢?
下面我们研究一次函数y=kx+b的图象.(教材例2)画出一次函数y=-2x+1的图象.
解:列表.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 5 3 1 -1 -3 …
描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.
连线:把这些点依次连接起来,得到y=-2x+1的图象(如图所示),它是一条直线.
【思考】 (1)直线y=-2x和直线y=-2x+1是什么位置关系?
(2)画正比例函数图象和画一次函数图象有什么共同之处?
(3)根据上面的函数图象,怎样比较简单地画出一次函数y=-2x+3的图象?
【总结】 一次函数y=kx+b的图象是一条直线,因此画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两点画
直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
【做一做】 在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=2x+3,y=-x,y=-x+3和y=5x-2的图象.
【议一议】 (1)上述四个函数中,随着x值的增大,y的值分别如何变化?相应图象上点的变化趋势如何?
(2)直线y=-x与y=-x+3的位置关系如何?你能通过适当的移动将直线y=-x变为直线y=-x+3吗?一般地,直
线y=kx+b与y=kx又有怎样的位置关系呢?
(3)直线y=2x+3与直线y=-x+3有什么共同点?一般地,你能从函数y=kx+b的图象上直接看出b的数值吗?
【提示与解答】 (1)函数y=2x+3和y=5x-2都是y随x的增大而增大,相应图象上点的位置逐渐升高.函
数y=-x和y=-x+3都是y随x的增大而减小,相应图象上点的位置逐渐降低.
(2)直线y=-x与直线y=-x+3互相平行,将直线y=-x向上平移3个单位长度就变为直线y=-x+3了.当
k≠0,b≠0或k=0,b≠0时,直线y=kx+b与y=kx平行;当k≠0,b=0或k=0,b=0时,直线y=kx+b与y=kx重合.
(3)直线y= 2x+3和直线y=-x+3与y轴相交于同一点(0,3).直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标就是b的值,
一般能从函数y=kx+b的图象上直接看出b的数值.
【总结】 一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b).当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;当k<0时,y的值
随着x值的增大而减小.
[知识拓展] 1.直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系:
①直线y=kx+b平行于直线y=kx;②当b>0时,把直线y=kx向上平移b个单位长度,可得直线y=kx+b;③当
b<0时,把直线y=kx向下平移|b|个单位长度,可得直线y=kx+b.
2.一次函数y=kx+b 与y=kx+b 中:若k=-k,b=b,则两直线关于y轴对称;若k=-k,b=-b,则两直线关于
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x轴对称;若k=k,b≠b,则两直线平行.
1 2 1 2一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b),当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;当k<0时,y的值随着x值的
增大而减小.
1.函数y=3x+1的图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 .
1
解析:3x+1=0→3x=-1→x=- ;当x=0时,y=1.
3
( 1 )
答案:
- ,0
(0,1)
3
2.在同一直角坐标系中,描绘出了下列函数:①y=-x+1;②y=x+1;③y=-x-1;④y=-2(x+1)的图象,则下列说法正
确的是 ( )
A.过点(-1,0)的是①③
B.交点在y轴上的是②④
C.互相平行的是①③
D.关于x轴对称的是①②
解析:当k值相等,b值不等时,两直线平行.故选C.
3.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)y=2x+1; (2)y=-2x+1.
解:如图所示.
4.已知一次函数y=(4m+1)x-(m+1).
(1)m为何值时,y随x的增大而减小?
(2)m为何值时,直线与y轴的交点在x轴下方?
解:(1)∵y随x的增大而减小,
1
∴4m+1<0,解得m<- .
4
1
∴当m<- 时,y随x的增大而减小.
4
(2)y=(4m+1)x-(m+1)与y轴的交点坐标为(0,-m-1),
∵直线与y轴的交点在x轴下方,
∴-(m+1)<0,解得m>-1.
1
又∵4m+1≠0,∴m≠- ,
41
∴当m>-1且m≠- 时,直线与y轴的交点在x轴下方.
4
第2课时
1.例2.
2.做一做,议一议.
一、教材作业
【必做题】
教材第87页习题4.4第1,2题.
【选做题】
教材第88页习题4.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.将直线y=x+4向下平移2个单位长度,得到直线的表达式为 ( )
A.y=x+6 B.y=x+2
C.y=2x+4 D.y=-2x+4
1
2.已知点(-4,y),(2,y)都在直线y=- x+2上,则y,y 的大小关系是 ( )
1 2 2 1 2
A.y>y B.y=y
1 2 1 2
C.y3
4.一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限,则下列结论正确的是 ( )
A.m<0,n<0B.m<0,n>0
C.m>0,n>0D.m>0,n<0
5.已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而减小,则该函数的图象经过 ( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
2
6.函数y= x+4的图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 .
3
7.在同一直角坐标系中分别作出下列一次函数的图象.
(1)y=2x+6;
(2)y=-x.
1
8.作出函数y=- x-2的图象,并求图象与x轴、y轴的交点坐标.
2
【能力提升】
9.根据作函数图象的一般步骤,作出函数y=x+1的图象,并根据图象回答:
(1)x为何值时,y的值为0?
(2)y为何值时,x的值为0?
(3)x为何值时,y>0?10.如图所示,点P(x,y)是第一象限内一个动点,且在直线y=-2x+8上,直线与x轴交于点A.
(1)当点P的横坐标为3时,ΔAPO的面积为多少?
(2)设ΔAPO的面积为S,用含x的式子表示S,并写出x的取值范围.
【拓展探究】
11.阅读下面的材料:
在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行
的定义:设一次函数y=kx+b(k≠0)的图象为直线l,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象为直线l,若k=k,且b≠b,
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
我们就称直线l 与直线l 互相平行.
1 2
解答下面的问题:
(1)求过点P(1,4)且与直线y=-2x-1平行的直线l的函数关系式;
(2)设(1)中直线l分别与y轴、x轴交于点A,B,如果直线m:y=kx+t(t>0)与直线l平行且交x轴于点C,求出
ΔABC的面积S关于t的函数表达式.
【答案与解析】
1.B (解析:将直线y=x+4向下平移2个单位长度,则得直线y=x+2.)
2.A(解析:由直线解析式可知y随x的增大而减小,故y>y.)
1 2
3.D(解析:直线y=3x+k-3与y轴交点在x轴上方,则k-3>0,所以k>3.)
4.A(解析:一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限,画出它的大致图象如图所示,由一次函数图象的性
质可以判断m<0,n<0.)5.B(解析:k和-k互为相反数,若y随x的增大而减小,则k<0,所以直线y=kx-k的大致图象如图所示.故选B.)
6.(-6,0) (0,4)(解析:图象与x轴的交点的纵坐标为0,当y=0时,x=-6,所以此图象与x轴的交点坐标是(-6,0);图
象与y轴交点的横坐标为0,当x=0时,y=4,所以此图象与y轴的交点坐标是(0,4).)
7.解析:由于一次函数的图象是一条直线,故画函数图象的时候先确定函数图象经过的两个点的坐标,然后过
这两个点作直线即可.
解:如图所示.
8.解:图象如图所示.与x轴交点的坐标是(-4,0),与y轴交点的坐标是(0,-2).
9.解析:因为一次函数图象是一条直线,所以采用两点法作图象.结合一次函数的图象及性质进行解答.
解:列表:
x 0 -1
y=x+1 1 0描点、连线,如图所示.(1)当x=-1时,y=0. (2)当y=1时,x=0. (3)当x>-1时,y>0.
10.解:(1)令y=0,则-2x+8=0,解得x=4,所以OA=4,因为点P(x,y)是第一象限内一个动点,且在直线y=-2x+8上,所
以当x=3时,y=
1 1 1
(-2)×3+8=2,所以S = ×4×2=4. (2)因为点P (x,-2x+8),所以S = OA×(-2x+8)=
ΔAPO 2 ΔAPO 2 2
×4×(-2x+8)=-4x+16(00,所以 >0,所以C点在x轴的正半轴上.当C点在B
2 2
1 ( t ) 3t 1 (t ) 3t
点左侧时,此时06,S= × -3 ×6= -9.所
2 2 2 2 2 2
3
{- t+9(06).
2
一次函数的图象和性质是在正比例函数基础上的继续学习,有了上一个课时的学习经历,学生对本课时
的学习在方法上有了一定的了解.因此本课时的基本思路是通过学生的类比学习、探究学习达到理解知识、
掌握知识的目标.教学实践证明本课时的教学设计指导思想是正确的.
本课时在引导学生分析k值的影响时做得不够
到位.研究一次函数图象及其性质,除了借助图象本身去分析外,还应该注重引导学生思考k值对函数图
象和性质的影响,只有深刻领会k值的影响,才能从更深层次理解一次函数图象及性质.
除了教材的例题外,再增加一个练习题.这样可以帮助学生深刻领会一次函数图象之间的特殊位置关系.随堂练习(教材第87页)
1.解:如图所示.
2.增大 (0,-3)
12 12
3.提示:当y=10时,由2x+6=10得x=2,由5x-2=10,得x= .因为2< ,所以y=2x+6的值先到达10.当y=20时,
5 5
22 22
由2x+6=20,得x=7,由5x-2=20,得x= ,因为 <7,所以函数y=5x-2的值先到达20.说明略.
5 5
习题4.4(教材第87页)
1.解:当x=2时,y=2×2-3=1;当x=0时,y=2×0-3=-3;当x=3时,y=2×3-3=3.只有点(2,1)在y=2x-3的图象上.
2.解:如图所示.
3.(1) (2) (2)(3)
4.解:设直线OA的表达式为y=kx,则2k=4,所以k=2,即直线OA的表达式为y=2x,将直线OA向上平移1个单位
长度得到一次函数的图象,该一次函数的表达式为y=2x+1.
1
5.提示:(1)答案不唯一,只要m<0即可,如m=-1,m=-0.5等. (2)答案不唯一,只要m< 即可,如m=0,m=-2等.
2
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质如下表所示.
性质
函数 图象
经过象限 变化规律第一、二、
b>0
三象限
y随x的增
大而增大
第一、三
k>0 b=0
象限
第一、三、
b<0
四象限
y=kx+b(k,b为
常数,且k≠0)
第一、二、
b>0
四象限
y随x的增
k<0
大而减小
第二、
b=0
四象限
第二、三、
b<0
四象限
4 一次函数的应用1.经历分析实际问题中两个变量之间的关系,并解决有关问题的过程,发展应用意识.
2.进一步体会数形结合思想,发展用数形结合思想解决问题的能力.
利用一次函数图象分析、解决简单的实际问题,
发展几何直观.
初步体会函数与方程的联系.
【重点】 运用一次函数解决简单实际问题.
【难点】 理解函数与方程的联系.
第 课时
了解两个条件确定一个一次函数,一个条件确定一个正比例函数.
能由两个条件求出一次函数的表达式,由一个条件求出正比例函数的表达式,并解决有关实际问题.
进一步培养学生的合作意识和自主探索的精
神,体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.
【重点】 根据所给的信息确定一次函数的表达式.
【难点】 用一次函数解决有关实际问题.
【教师准备】 教材图4 - 6投影图片.
【学生准备】 复习一次函数图象及其性质.导入一:
小红同学受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作.
你能根据以上信息求出放入小球后量筒中水面的高度与小球个数之间的关系吗?学了本节内容后,你就
能明白其中的秘密.
导入二:
什么叫一次函数?一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)中,k,b对函数图象有什么影响?
一次函数在现实生活中有非常重要的作用,怎样建立一次函数关系式,并用来解决实际问题呢?今天我们
来学习用待定系数法确定一次函数表达式.
[过渡语] 一次函数的关系式y=kx+b(k≠0)中,如果知道k与b的值,函数表达式就确定了,那么由怎样的
条件才能求出k和b的值,从而确定一次函数的表达式呢?
一、确定一次函数的表达式
出示教材图4 - 6及问题.
某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式;
(2)下滑3 s时物体的速度是多少?
【分析】 要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定它是正比例函数的图象,还是一次函数图象,
然后设出函数关系式,再把已知的坐标代入关系式,求出待定系数即可.
二、例题讲解
(教材例1)在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5
cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时
弹簧的长度.
〔解析〕 因为一次函数的图象是一条直线,两点确定一条直线,所以需要两个条件,而正比例函数的图
象是经过原点的一条直线,所以只需要确定另外一点坐标就可以确定这条直线的关系式.
解:设y=kx+b(k≠0),根据题意,得14.5=b,①
16=3k+b.②将①代入②,得k=0.5.
所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5.
当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5.
即物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm.
[知识拓展] 利用待定系数法确定一次函数的关系式,其步骤为:一设:根据题意,先设出函数关系式为
y=kx+b(k≠0);二代:确定两对对应值或图象上两个点的坐标,分别代入函数关系式,得到关于k,b的两个方程;三
解:求出k,b的值(暂时可以通过等量代换的方式去求两个未知数);四定:最后确定函数关系式.
确定一次函数表达式的方法:由问题的实际意义直接确定出函数表达式的一般形式:若为正比例函数,则
设其表达式为y=kx(k≠0),代入一个除原点以外的点的坐标,求出k的值,即可确定函数表达式;若为一般的一次
函数,则设其表达式为y=kx+b(k≠0),代入两个点的坐标,求出k,b的值,从而确定一次函数的表达式.
1.已知一次函数y=kx-4的图象经过点P(2,-1),则函数的解析式为 .
3
答案:y= x-4
2
2.一次函数y=x+b的图象经过点A(1,2),则函数的表达式为 .
答案:y=x+1
3.要确定正比例函数y=kx的解析式,只需除原点外 个点的坐标,而确定y=kx+b的解析式,则至少
需要 个点的坐标.
答案:1 2
4.如图所示,直线l是一次函数y=kx+b的图象.
(1)图象经过点 (0, )和点(4, );
(2)函数的解析式是 ;
(3)当x=10时,y= .
3 1
答案:(1)3 0 (2)y=- x+3 (3)-4
4 2
第1课时
1.确定一次函数的表达式.
2.例题讲解.
一、教材作业【必做题】
教材第90页习题4.5第1,2题.
【选做题】
教材第90页习题4.5第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一根蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧剩下的长度y厘米与燃烧时间x小时的函数关系用图
象表示为下图中的 ( )
2.一次函数y=kx+b的图象如图所示,那么k,b的值分别是 ( )
1
A.k=- ,b=1
2
B.k=-2,b=1
1
C.k= ,b=1
2
D.k=2 ,b=1
3.一个正比例函数的图象经过点(2,-3),则其表达式是 ( )3 2
A.y=- x B.y= x
2 3
C.y=2x D.y=-3x
4.已知直线l经过点(0,3)和点(3,0),求直线l的解析式.
【能力提升】
5.如图所示,直线y=kx+b交坐标轴于A (-3,0),B(0,5)两点,则不等式-kx-b<0的解集为( )
A.x>-3
B.x<-3
C.x>3
D.x<3
6.已知直线y=kx+b经过点(k,3)和(1,k),则k的值为 ( )
A.❑√3 B.±❑√3
C.❑√2 D.±❑√2
7.已知直线y=kx+b与直线y=2x平行,且它与直线y=5x+4的交点在y轴上,则其函数表达式是 ( )
A.y=4x+2 B.y=2x+5
C.y=2x+4 D.y=5x+2
8.已知一次函数y=kx+b的图象经过(0, 2),(1,3)两点,若一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A(a,0),则a=
.
9.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.
(1)求一次函数的解析式;
(2)将该函数图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴的交点坐标.
【拓展探究】
10.已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P(-2,2),且一次函数的图象与y轴相交于点Q(0,4).
(1)求这两个函数的表达式;
(2)在同一坐标系内分别画出这两个函数的图象;
(3)求出ΔPOQ的面积.
【答案与解析】
1.B(解析:蜡烛剩下的长度随时间增大而缩短,根据实际意义可知选B.)
2.B(解析:因为一次函数y=kx+b的图象经过y轴上纵坐标为1的点,所以b=1,即y=kx+1.又因为图象经过点
(1 ) 1
,0
,所以 k+1=0,解得k=-2.所以k=-2,b=1.)
2 2
3.A
4.解:直线l的解析式为y=-x+3.
5.A6.B(解析:先将(1,k)代入y=kx+b,得b=0,再将(k,3)代入 y=kx+b,可得k的值.)
7.C(解析:因为直线y=kx+b与直线y=2x平行,所以k=2,又因为与y轴的交点坐标为(0,4),所以b=4,所以这条直
线的函数表达式为y=2x+4.故选C.)
8.-2(解析:由题意得b=2,k+b=3,解得b=2,k=1,则y=x+2,当y=0时,x=-2,即a=-2.)
1 1 1
9.解:(1)将x=2,y=-3代人y=kx-4,得-3=2k-4,∴k= ,∴一次函数的解析式为y= x-4. (2)将y= x-4的图象向上
2 2 2
1
平移6个单位长度得y= x+2的图象,当y=0时,x=-4. ∴平移后的图象与x轴的交点坐标为(-4,0).
2
10.解:(1)设正比例函数表达式为y=kx,一次函数表达式为y=kx+4,将(-2,2)分别代入可得2=-2k,2=-2k+4,解得
1 2 1 2
k=-1,k=1,∴函数表达式分别为y=-x及y=x+4. (2)根据过点(-2,2),(0,4)可画出一次函数图象,根据过点(0,0),
1 2
1
(-2,2)可画出正比例函数图象,画图略. (3)ΔPOQ的面积= ×2×4=4.
2
确定函数解析式看似简单,但学生在刚刚接触到这个问题的时候往往无从下手.本课时正是基于这点认
识,借助引例,首先从方法上指导学生确定函数解析式,即从判断类型、确定k值(或k和b的值)两个方面确定
函数解析式.
本课时的例1在确定解析式的过程中,没有向学生说明为什么此时不能列出正比例函数解析式.
由于学生此时尚没有学到二元一次方程组,对于确定一次函数解析式存在一定的困难,教师可以
建议学生用“代换”的方式,转化为一元一次方程,以此求出一次函数解析式当中的两个未知数,进而确
定一次函数的解析式.
随堂练习(教材第89页)
1.解:由题意设直线l的表达式为y=kx(k≠0),则3=-k,所以k=-3,所以直线l的表达式为y=-3x.点A,B在该函数的
图象上.
2.解:由题意把(-1,1)代入y=2x+b中,得1=-2+b,所以b=3,所以y=2x+3.点B和点C在该函数图象上,点D不在.
3.(1)-18 (2)-42
习题4.5(教材第90页)
1.解:a=2.
4 3
2.提示:k=- ,b=1,所求三角形的面积为 .
3 8
3.解:有道理,当一次函数中x增加1时,y就增加[k(x+1)+b]-(kx+b)=k.因此,当x从1变成2时,函数值从3变为5,
则k=5-3=2,所以小明确定k的方法有道理.
4.解:(1)设这个一次函数的关系式为v=kt+b(k≠0),由题意得25=k×0+b,5=2k+b,解得k=-10,b=25.所以v=-10t+25.
(2)当v=0时,0=-10t+25,解得t=2.5.答:经过2.5 s后,物体将达到最高点.已知y与x-3成正比例,且当x=4时y=3.
(1)求这个函数的表达式;
(2)求当x=3时y的值.
〔解析〕 (1)设 y=k(x-3)(k≠0),将x=4,y=3代入该函数表达式来求系数k的值.(2)将x=3代入(1)中的函
数表达式即可求得相应的y值.
解:(1)设y=k(x-3)(k≠0),则根据题意,
得3=(4-3)k,解得k=3,
所以该函数的表达式是y=3(x-3),即y=3x-9.
(2)当x=3时,y=3×(3-3)=0.
已知正比例函数的图象经过点(-3,6).
(1)求这个正比例函数的表达式;
(2)若这个图象还经过点A(a,8),求点A的坐标.
〔解析〕 先设出表达式,求出待定系数的值,再把A点坐标代入求出a值.
解:(1)设表达式为y=kx(k≠0),
∵正比例函数的图象经过点(-3,6),
∴6=-3k,解得k=-2,∴y=-2x.
(2)把(a,8)代入y=-2x,
得8=-2a,解得a=-4,
故点A的坐标是(-4,8).
第 课时
1.能通过一次函数图象获取信息,进一步训练学生的识图能力.
2.能利用一次函数图象解决简单的实际问题,进一步发展学生的数学应用能力.
能利用一次函数图象获取信息,进一步培养学生的数形结合意识,发展学生的数学应用能力.
通过一次函数图象来解决实际问题,使学生初步认识数学与生活的密切联系及对人类历史发展的作用,
从而培养学生学习数学的兴趣,使学生积极参与数学活动,进而更好地解决实际问题.
【重点】 一次函数图象的应用.
【难点】 从函数图象中正确获取信息.【教师准备】 教材图4 - 7和图4 - 8投影图片.
【学生准备】 预习教材第91~92页内容.
导入一:
李老师开车从甲地到相距260千米的乙地,如果油箱剩余油量y(L)与行驶里程x(km)之间是一次函数关
系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是多少?
导入二:
某人从家走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后,又用15分钟返回家里,下面图象中表示
此人离家距离y(米)与所用时间x(分)之间的关系的是哪幅图?
[过渡语] 在前几节课中,我们分别学习了一次函数的定义,一次函数的图象及一次函数的性质,并且了
解到一次函数的应用十分广泛,与我们日常生活密切相关,因此本节课我们一起来学习一次函数图象的应用.
一、引例
出示教材图4 - 7及问题.由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V(万m3)与干旱持续时间
t(天)的关系如图所示,根据图象回答下列问题:
(1)水库干旱前的蓄水量是多少?
(2)干旱持续10天,蓄水量是多少?干旱持续23天呢?
(3)蓄水量小于400万 m3时,将发出严重干旱警报.干旱持续多少天后将发出严重干旱警报?
(4)按照这个规律,预计干旱持续多少天水库将干涸?
【分析】 (1)原蓄水量就是图象与纵轴交点的纵坐标.
(2)求干旱持续10天时的蓄水量,也就是求t等于10时所对应的V的值.当t=10时,V约为1000.同理可知
当t为23时,V约为750.
(3)当蓄水量小于400万 m3时,即V小于400,所对应的t值约为40.
(4)水库干涸也就是V为0,函数图象与横轴交点的横坐标即为所求.当V为0时,所对应的t的值约为60.
二、例题讲解
(教材例2)某种摩托车的油箱加满油后,油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图
所示.根据图象回答下列问题:
(1)油箱最多可储油多少升?
(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?
(3)摩托车每行驶100 km消耗多少升汽油?
(4)油箱中的剩余油量小于1 L时,摩托车将自动报警,行驶多少千米后,摩托车将自动报警?
〔解析〕 ①函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程,与y轴交点的纵坐标即为最多
储油量.②x从0增加到100时,y从10开始减少,减少的数量即为行驶100 km消耗的油量.③当y<1时,摩托
车将自动报警.
解:观察图象,得:
(1)当x=0时,y=10.因此,油箱最多可储油10 L.(2)当y=0时,x=500.因此,一箱汽油可供摩托车行驶500 km.
(3)x从0增加到100时,y从10减少到8,减少了2,因此摩托车每行驶100 km消耗2 L汽油.
(4)当y=1时,x=450.因此,行驶450 km后,摩托车将自动报警.
[设计意图] 让学生学会利用数学语言、数学符号来表示问题、解决问题.让学生用数学知识去解决现
实生活中的问题,体验成功解决问题后的快乐,及数学在自然学科中的魅力,从而使学生更加喜欢数学、更乐
于钻研数学.
三、一次函数与一元一次方程
如图所示的是某一次函数的图象,根据图象填空:
(1)当y=0时,x= ;
(2)这个函数的表达式是 .
【师生活动】 学生分组讨论,小组简单交流,师生共同归纳结论.
【教师小结】 一般地,当一次函数y=kx+b的函数值为0时,相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.
从图象上看,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
[设计意图] 使学生明确一次函数还有其他方面的应用,提高学生的探究能力.知道一次函数与一元一次
方程之间的关系,掌握知识间的密切联系.
一次函数图象的应用:(1)准确读图,找到图象与x轴、y轴的交点,根据这些关键点解题.
(2)在实际问题中,注意自变量的取值范围,在画图和读图时也要注意.
1.如图所示.
(1)当x=0时,y= ;
(2)当y=0时,x= ;
(3)y随x的增大而 ;
(4)直线对应的函数表达式为 .
答案:(1)2 (2)-2 (3)增大 (4)y=x+22.汽车由天津驶往相距120 km的北京,s(km)表示汽车离天津的距离,t(h)表示汽车行驶的时间,其关系如
图所示.
(1)汽车经过 h从天津到北京,速度是 ;
(2)当汽车行驶了1 h时,离开天津 km.
答案:(1)4 30 km/h (2)30
3.小明骑自行车到学校去上学,学校离家20千米,他离家的距离s(千米)和时间t(分)的关系如图所示.根据
图象回答下列问题:
(1)小明到达学校需用多长时间?
(2)小明10分钟骑自行车行驶的路程是多少?
(3)小明骑车行驶15千米需用多长时间?
(4)小明骑车的速度是多少?
解:(1)由图象可知小明到达学校需用40分钟.
(2)由图象知小明10分钟骑车行驶5千米.
(3)由图象可知小明行驶15千米需用30分钟.
20
(4)小明骑车40分钟,行驶20千米,所以他骑车的速度为 =0.5(千米/分).
40
第2课时
1.引例.
2.例题讲解.
3.一次函数与一元一次方程.
一、教材作业【必做题】
教材第92页习题4.6第1,2题.
【选做题】
教材第93页习题4.6第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小明早晨从家骑车到学校,先上坡后下坡,行程情况如图所示.若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变,那么
小明从学校骑车回家用的时间是 ( )
A.37.2分钟 B.48分钟
C.30分钟 D.33分钟
2.小车沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与时间t(s)的关系如图所示,v与t之间的关系式是 ,下滑3 s
时小车的速度是 .
3.如图所示的折线ABC为某地出租车收费y(元)与乘坐路程x(千米)之间的函数关系图象,当x≥3时,该函数的
解析式为 ,乘坐2千米时,车费为 元,乘坐8千米时,车费为 元.
4.一元一次方程0.5x+1=0的解是一次函数y=0.5x+1的图象与 的横坐标.
5.画出函数y=x+6的图象,利用图象回答下列问题:
(1)求方程x+6=0的解;
(2)求不等式x+6>0的解;
(3)若0≤y≤6,求x的取值范围.
【能力提升】
6.某公司市场营销部营销人员的个人收入与其每月的销量成一次函数关系,其图象如下图所示,由图中所给
的信息可知营销人员没有销售时的收入是 ( )
A.310元 B.300元C.290元 D.280元
7.已知摩托车油箱中的余油量与其行驶的路程成一次函数关系,如图所示的为一辆摩托车余油量与行驶路程
的关系,观察图象回答下列问题:
(1)开始时,油箱中共有油 升,摩托车最多能行驶 千米;
(2)这辆摩托车每百千米的耗油量是 升;
(3)该车余油量y(升)与行驶的路程x(千米)的函数关系式应为 ;
(4)自变量x的取值范围是 .
【拓展探究】
8.有一个附有进、出水管的水池,每单位时间内进、出水管的进、出水量都是一定的,设从某时刻开始,4小时
内只进水不出水,在随后的时间内不进水只出水,得到时间x(时)与池内水量y(米3)之间的关系.(如图所示)
回答下列问题:
(1)进水管4小时共进多少米3水?每小时进水多少米3?
(2)当0≤x≤4时,y与x有何关系?
(3)当x=9时,水池中的水量是多少?
(4)4小时后,只放水不进水,那么又经过多少小时可将水池中的水放完?【答案与解析】
1.A (解析:由图可知去学校时,上坡路的路程为36百米,所用时间为18分,∴上坡速度=36÷18=2(百米/分),下坡
路的路程是96-36=60(百米),所用时间为30-18=12(分),∴下坡速度=60÷12=5(百米/分).∵去学校时的上坡回家
时变为下坡,去学校时的下坡回家时变为上坡,∴小明从学校骑车回家用的时间是
60÷2+36÷5=30+7.2=37.2(分).故选A.)
2.v=2.5t 7.5 m/s
3.y=x 3 8
4.x轴交点
5.解析:本题考查了一次函数与一元一次不等式及一元一次方程的关系,属于基础题,关健是正确根据图象解
题.
解:函数y=x+6的图象如下图所示.(1)由图象知方程x+6=0的解为x=-6. (2)由图象知不等式x+6>0的解为
x>-6. (3)由图象知若0≤y≤6,则x的取值范围是-6≤x≤0.
6.B
7.(1)12 400 (2)3 (3)y=-0.03x+12 (4)0≤x≤400
8.解:(1)由图象可知,4小时共进水20米3,所以每小时进水20÷4=5(米3). (2) y是x的正比例函数,设y=kx,由
于其图象过点(4,20),∴20=4k,k=5,即y=5x(0≤x≤4). (3)由图象可知当x=9时,y=10,即水池中的水量为10米3.
(4)由于x≥4时,y是x的一次函数,故可设y=kx+b(k≠0).由图象可知,该直线过点(4,20),(9,10),所以有
20=4k+b①,10=9k+b②.由①得b=20-4k,由②得b=10-9k,∴20-4k=10-9k,∴k=-2,将k=-2代入①中得
b=28,∴y=-2x+28.令y=0,则-2x+28=0,∴x=14,14-4=10(小时),所以4小时后,只放水不进水,10小时就可以把水池
里的水放完.
根据函数图象解读简单的生活问题是本课时的教学重点,也是教学的难点.在本课时的教学过程中,紧紧
围绕从图形到实际问题的主线,帮助学生建立数学和生活的联系.在例2的教学过程中,为了加深学生对函数图象的理解,应该让学生先确定函数解析式,这样更能让学生
准确理解函数图象的含义.在教学过程中,这一点没有做出强调.
函数和我们的生活密切相关.函数图象可以直观地反映一些规律,关于函数图象的理解,其关键是弄清函
数图象上的点的意义,即横坐标与纵坐标的意义.讲解时应渗透数形结合的数学思想,通过小组合作交流获取
信息,让学生学会应用所学的知识解决有关一次函数的问题.教学时还可以根据学生的实际情况,结合函数图
象提出相应的实际问题.
习题4.6(教材第92页)
1.解:约2.5 kg.
2.解:(1)5.1 cm. (2)11.4 cm. (3)约10天. (4)k表示该植物每天生长的高度,b表示该植物起初的高度.
3.解:(1)120 km. (2)k=60,这里k的含义是汽车行驶的平均速度.
某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程,如图所示.开始时风速平均每小时增加
2千米,4小时后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加4千米,一段时间内,风速保持不变.当沙尘
暴经过绿色植被区时,其风速平均每小时减少1千米,最终停止,结合风速与时间的图象,回答下列问题:
(1)在y轴( )内填入相应的数值;
(2)沙尘暴从发生到结束,共经过多长时间?
解:(1)从下到上依次填8,32.
(2)32+25=57(时),
∴沙尘暴从发生到结束共经过57小时.
第 课时1.通过观察函数图象,能够从两个一次函数图象中获取信息,理解函数图象交点的实际意义.
2.通过函数图象解决实际问题.
通过创设较深层次的问题情境,激发学生参与探索活动,强化数学建模思想,提高学生应用已有知识灵活
处理问题的能力.
通过探索两个一次函数图象,提高学生自主学习的意识.
【重点】 利用图象解决实际问题.
【难点】 从函数图象中提炼出有用的信息.
【教师准备】 教材图4 - 10及例3投影片.
【学生准备】 预习教材93~95页内容.
导入一:
学校有一批复印任务,原来由甲复印社承接,按每100页40元计费.现乙复印社表示:若学校先按月付给
一定数额的承包费,则可按每100页15元收费.两复印社每月收费情况如图所示.
根据图象回答:
(1)乙复印社每月的承包费是多少?
(2)当每月复印多少页时,两复印社实际收费相同?
(3)如果每月复印页数在1200页左右,那么应选择哪个复印社?
导入二:
某学校准备组织师生去长白山游玩,甲、乙两家旅行社原价都是每人60元,且都表示对学生优惠,甲旅行
社表示:全部8折收费,乙旅行社表示:若人数不超过30人,则按9折收费;若超过30人,则超过部分按7折收费,
其余按9折收费.如果你是一位老师,你觉得选择哪家旅行社更优惠呢?你能用图象说明你发现的问题吗?[过渡语] 我们能不能用一次函数解决一些比较复杂的问题呢?
一、引例研讨
如图所示,l 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系,l 反映了该公司产品的销售成本与销售量的
1 2
关系,根据图象填空:
(1)当销售量为2 t时,销售收入= 元,销售成本= 元.
(2)当销售量为6 t时,销售收入= 元,销售成本= 元.
(3)当销售量等于 时,销售收入等于销售成本.
(4)当销售量 时,该公司盈利(收入大于成本);当销售量 时,该公司亏损(收入小于成本).
(5)l 对应的函数表达式是 ,l 对应的函数表达式是 .
1 2
【思考】 l 对应的一次函数y=kx+b 中,k 和b 的实际意义各是什么?l 对应的一次函数y=kx+b 中,k
1 1 1 1 1 2 2 2 2
和b 的实际意义各是什么?
2
【师生活动】 学生小组讨论,根据图象加以说明:l 对应的函数关系式是y=1000x,1000表示每销售1 t,
1
销售收入是1000元,这里的“b=0”,说明该产品没销售时无收入;l 对应的函数关系式是y=500x+2000,这里
2
500表示的是销售量每增加1 t,销售成本增加500元,没销售时成本是2000元.
[设计意图] 培养学生观察图象及分析问题的能力,了解y=kx+b中,k和b在实际问题中的意义.
二、例题讲解
(教材例3)我边防局接到情报,近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶.边防局迅速派出快艇B追赶(如
图(1)所示).图(2)中l,l 分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系.
1 2
(1)根据图象回答下列问题:
(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系?
(2)A,B哪个速度快?
(3)15 min内B能否追上A?
(4)如果一直追下去,那么B能否追上A?
(5)当A逃到离海岸12 n mile的公海时,B将无法对其进行检查.照此速度,B能否在A逃入公海前将其拦
截?
(6)l 与l 对应的两个一次函数y=kx+b 与y=kx+b 中,k,k 的实际意义各是什么?可疑船只A与快艇B的
1 2 1 1 2 2 1 2
速度各是多少?
〔解析〕 本例题主要通过对函数图象的分析解决问题,首先要准确判断l 和l 哪个代表A,哪个代表B.
1 2
从A和B的速度角度看,l 较陡,l 较平,这说明l 的速度快.如果l 和l 有交点,交点的坐标就能反映出追赶上的
1 2 1 1 2
时间和距离海岸的距离.根据图中的坐标关系,可以求出两条直线的解析式,通过解析式就能准确解决问题.
简要解答:
(1)l 表示B到海岸线的距离与追赶时间之间的关系.
1
(2)B的速度快.
(3)15 min时B尚未追上A.
(4)l,l 延长之后必相交,所以B一定能追上A.
1 2
(5)在A逃入公海前,B能够追上A.
(6)k 表示快艇B的速度,k 表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2 n mile/min,快艇B的速度是
1 2
0.5 n mile/min.
建立适当的函数模型是解题的基础
{
比较函数值的大小时,往往要运用方程、
不等式等有关知识
一次函数的应用 由解析式可以解决一些简单的函数值比
较问题
选择方案时,要综合分析各种可能情况,
并进行比较
1.如图所示,OA,BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象,图中s和t分别表示运动路程和时间,
根据图象求快者的速度比慢者的速度每秒快 ( )A.2.5 m B.2 m
C.1.5 m D.1 m
答案:C
2.小明骑自行车从A地去B地,一段时间后小刚骑摩托车也从A地出发追赶小明,两人走的路程s(千米)
与小明骑行时间t(时)的关系如图所示.
(1) 表示小明行驶的路程与时间的关系(填“l”或“l”);
1 2
(2)小刚比小明晚出发 小时;
(3)v = ,v = ;
小刚 小明
(4)小刚出发 小时后追上小明.
答案:(1)l (2)2 (3)40千米/时 20千米/时 (4)2
1
第3课时
1.引例研讨.
2.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】
教材第95页习题4.7第1,2题.【选做题】
教材第96页习题4.7第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小刚、小强两人进行赛跑,小刚比小强跑得快,如果两人同时跑,小刚肯定赢,现在小刚让小强先跑若干米,图
中的射线a,b分别表示两人跑的路程与小刚追赶时间的关系,根据图象判断小刚的速度比小强的速度每秒快
( )
A.1米 B.1.5米
C.2米 D.2.5米
2.一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列
结论错误的是 ( )
A.摩托车比汽车晚到1 h
B.A,B两地的距离为20 km
C.摩托车的速度为45 km/h
D.汽车的速度为60 km/h
3.如图所示,l ,l 分别是甲、乙两弹簧的长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系图象,设甲弹簧每挂1
甲 乙
kg物体伸长的长度为k cm,乙弹簧每挂1 kg物体伸长的长度为k cm,则k 与k 的大小关系是 (
甲 乙 甲 乙
)
A.k >k B.k =k
甲 乙 甲 乙
C.k y 时,0.1x+6>0.12x,得x<300;当y=y 时,0.1x+6=0.12x,得x=300;当y300.∴当100≤x<300时,选择乙种方式合算;当x=300时,甲、乙两种方式一样合算;当
3000,y随x的增大而增大
{
k<0,y随x的增大而减小
性质
b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,b>0时直线交y轴于正半轴,b<0时直线
与y轴交于负半轴
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数的应用
专题一 函数的概念
【专题分析】
一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值和它
对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量.一定要理解好函数的概念,再解决相关的问题.近年来,在全国
各地的中考中,涉及一次函数、正比例函数的知识比较多,一次函数的概念、利用待定系数法求一次函数的
关系式、一次函数与其他知识的综合运用是重点,考题多以填空题、解答题为主,也不乏创新探究题出现.
如图所示的图形中不能表示y是x的函数的是 ( )〔解析〕 选项A,B,D中给定自变量x一个值,有且只有一个函数值y与其对应,所以A,B,D都可表示y
是x的函数.故选C.
【针对训练1】 下列关于变量x, y的关系式:①3x-2y=5;②y=|x|;③2x-y2=10.其中表示y是x的函数的是
( )
A.①②③ B.①②
C.①③ D.②③
〔解析〕 根据函数的定义可知①②表示y是x的函数.故选B.
【针对训练2】 若y=(m-3)x|m|-2+m是一次函数,则m= .
〔解析〕 根据一次函数的定义可知|m|-2=1,且 m-3≠0,所以m=-3. 故填-3.
[规律方法] 一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)要注意以下三个要点:(1)等式两边是整式;(2)自变量x
的次数是1次;(3)自变量的系数k不等于0.
专题二 一次函数和正比例函数的图象和性质
【专题分析】
函数图象是数形结合思想的重要体现之一,结合函数图象可以综合考查很多相关知识.一次函数
y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象及其性质是由k,b决定的,k决定直线的方向及倾斜程度,b决定直线与y轴
的交点坐标.一次函数的性质主要包括k和b的取值、图象位置和函数增减性,它们之间可以相互推导,互为
条件和结论.
将函数y=-3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后,所得图象对应的函数关系式为 ( )
A.y=-3x+2 B.y=-3x-2
C.y=-3(x+2)D.y=-3(x-2)
〔解析〕 根据一次函数平移规律“上加下减”,得将函数y=-3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度
后,所得图象对应的函数关系式为y=-3x+2.故选A.
【针对训练3】 在平面直角坐标系中,已知一次函数y=2x+1的图象经过P(x,y),P(x,y)两点,若x”“<”或“=”).
1 2
〔解析〕 根据一次函数的性质,当k>0时,y随x的增大而增大.∵一次函数y=2x+1中,k=2>0,∴y随x的
增大而增大,∵x0时, =2,解得k=1;
k2
当k<0时,- =2,解得k=-1.
k
故此函数的表达式为y=x+2或y=-x+2.
[解题策略] 求正比例函数解析式只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数
y=kx+b解析式则需要两组x,y的值.求解析式时,一般要先求出图象上的特殊点的坐标,为待定系数法创造条
件.
(5 ) 25
【针对训练4】 已知直线y=kx+b经过点
,0
,且与坐标轴围成的三角形的面积为 ,求此直线的
2 4
解析式.
(5 )
解:因为直线经过点
,0
,
2
5
所以0= k+b①,
2
设直线y=kx+b与x轴、y轴的交点分别为A,B,O为坐标原点,
( b ) 25
故A
- ,0
,B(0,b)且S = ,
k ΔABO 4
1 1| b| 25
-
所以S = OA·OB= ·|b|= ,
ΔABO 2 2 k 4
1| b| 25
-
即 ·|b|= ②,
2 k 4
5
由①得b=- k,代入②得|k|=2,
2
所以k=2,k=-2.
1 2
当k=2时,b=-5;当k=-2时,b=5.
1 1 2 2
所以直线的解析式为y=2x-5或y=-2x+5.
[解题策略] 在解决有关面积与函数相结合的问题时,一定要分类讨论,不同的情况会得到不同的结果.
专题四 数形结合思想
【专题分析】
数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想.利用数形结合思想解决
与函数有关的问题时,往往能起到事半功倍的效果.平面直角坐标系把数和形结合起来之后,自变量与函数值
所确定的点一一对应在函数图象上,很好地体现了数形结合,根据函数的关系式画出函数的图象,由函数的图
象获取信息等都要用到数形结合思想.函数y=(3-a)x+b-2在直角坐标系中的图象如图所示,化简|b-a|-❑√(a-3)2-|2-b|=
.
〔解析〕 本题利用数形结合思想解题,先根据图象判断出a,b的取值范围,再根据绝对值的性质去掉绝
对值符号即可.根据图象可知直线y=(3-a)x+b-2经过第二、三、四象限,所以3-a<0, b-2<0 ,所以a>3,b<2,所
以b-a<0,a-3>0,2-b>0,所以|b-a|-❑√(a-3)2❑
-|2-b|=a-b-|a-3|-(2-b)=a-b-a+3-2+b=1.故填1.
【针对训练5】 如图所示,已知直线y=ax-b,则关于x的方程ax-1=b的解为x= .
〔解析〕 根据图象可知,当y=1时,x=4,即ax-b=1时,x=4.故方程ax-1=b的解为x=4.故填4.
专题五 分类讨论思想
【专题分析】
在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就
需运用分类讨论思想.分类讨论思想是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,不重复、不遗漏
是对分类提出的基本要求.
甲、乙两地相距50 km.星期天上午8:00,小明同学骑山地车从甲地前往乙地,2 h后,小明的父亲
骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地,他们行驶的路程y(km)与小明行驶的时间x(h)之间的函数关系如图
所示,小明父亲出发 h时,行进中的两车相距8 km.
〔解析〕 根据图象求出小明和父亲的速度,然后设小明的父亲出发x h时两车相距8 km,再分相遇前
和相遇后两种情况列出方程求解即可.由图可知小明的速度为36÷3=12(km/h),父亲的速度为36÷(3-2)=36(km/h),设小明的父亲出发x h两车相距8 km,则小明出发的时间为(x+2)h,根据题意得12(x+2)-36x=8或
2 4 2 4 2 4
36x-12(x+2)=8,解得x= 或x= .所以出发 h或 h时,行进中的两车相距8 km.故填 或 .
3 3 3 3 3 3
【针对训练6】 在一条笔直的公路上有A,B两地,甲骑自行车从A地到B地,乙骑自行车从B地到A地,
乙到达A地后立即按原路返回,如图所示的是甲、乙两人离B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图
象,根据图象解答下列问题:
(1)写出A,B两地之间的距离;
(2)求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)若两人之间的距离不超过3 km时,能够用无线对讲机保持联系,请写出甲、乙两人能够用无线对讲
机保持联系时x的取值范围.
〔解析〕 (1)由图象可直接得A,B两地之间的距离.(2)根据图象求出甲、乙两人的速度,再利用相遇问
题的求法求出相遇时间,然后求出乙行驶的路程即可得到点M的坐标以及实际意义.(3)分相遇前和相遇后两
种情况求出x的值,再求出最后两人都到达B地前两人相距3 km的时间,然后写出两个取值范围即可.
解:(1)由图象可知A,B两地之间的距离为30 km.
2 2
(2)由图可知甲的速度为30÷2=15(km/h),乙的速度为30÷1=30(km/h),30÷(15+30)= (h), ×30=20(km),
3 3
(2 ) 2
所以点M的坐标为
,20
,表示 h后两车相遇,此时距离B地20 km.
3 3
(3)设x h时,甲、乙两人相距3 km.
①若是相遇前,则15x+30x=30-3,
3
解得x= ;
5
②若是相遇后,则15x+30x=30+3,
11
解得x= ;
15
③若是到达B地前,则-30x+60-(-15x+30)=3,
9
解得x= .
5
3 11 9
所以当 ≤x≤ 或 ≤x≤2时,甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系.
5 15 5
专题六 一次函数的应用
【专题分析】
一次函数的应用问题是新课标重点考查的知识点之一,主要考查一次函数的表达式及从图象中获取信
息解决问题的能力,综合应用一次函数的图象、一次函数的性质等知识是中考必考内容,还常常与方程、不
等式、几何图形等知识综合考查.某商店销售A,B两种品牌的彩色电视机,已知A,B两种彩电的进价每台分别为2000元,1600元,
一月份A,B两种彩电的销售价分别为每台2700元,2100元,月利润为1.2万元.为了增加利润,二月份营销人员
提供了两套销售策略.
策略一:A种每台降价100元,B种每台降价80元,估计销售量分别增长30%,40%;
策略二:A种每台降价150元,B种每台降价80元,估计销售量都增长50%.
请你解答下列问题:
(1)若设一月份A,B两种彩电销售量分别为x台和y台,写出y与x的关系式,并求出A种彩电销售的台数
最多是多少;
(2)二月份这两种策略是否能增加利润?
(3)二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种,方能使该商店所获利润较多?请说明理由.
〔解析〕 根据月利润可列出关于x,y的方程,即可得到y与x的函数关系式,由x,y为整数,求出A种彩
电销售台数的最大值.写出策略一、策略二的利润与x,y的关系,再和12000比较,即可得出结论.
解:(1)依题意,有(2700-2000)x+(2100-1600)y=12000,即700x+500y=12000,
7 ( 120 )
则y=24- x
0≤x< ,且x为整数
,
5 7
因为y为整数,
所以x为5的倍数,故x的最大值为15,
即A种彩电销售的台数最多为15台.
(2)策略一:利润W=(2700-100-2000)·(1+30%)x+(2100-80-1600)(1+40%)y=780x+588y,
1
策略二:利润W=(2700-150-2000)(1+50%)x+(2100-80-1600)(1+50%)y=825x+630y.
2
因为700x+500y=12000,
所以780x+588y>12000,
825x+630y>12000.
故策略一、策略二均能增加利润.
(3)因为W-W=45x+42y>0,
2 1
所以W>W,
2 1
故策略二使该商店获得的利润较多,应采用策略二.
[归纳拓展] 营销策略问题是现实生活中常见的问题,解题的关键是建立一次函数模型,运用一次函数的
性质结合方程、不等式等知识求解,从而确定最佳营销策略,这类题的特点是数据多,关系复杂,解题时要认真
读题,弄清各个量之间的联系.
【针对训练7】 某食品加工厂需要一批食品包装盒,现有两种方案可供选择:
方案一:从包装盒加工厂直接购买,购买所需的费用y 与包装盒数x满足如图(1)所示的函数关系.
1
方案二:租赁机器自己加工,所需费用y(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒数x满足如
2
图(2)所示的函数关系.
根据图象回答下列问题:(1)方案一中每个包装盒的价格是多少元?
(2)方案二中租赁机器的费用是多少元?生产一个包装盒的费用是多少元?
(3)请分别求出y,y 与x的函数表达式;
1 2
(4)如果你是决策者,你认为选择哪种方案更省钱?并说明理由.
〔解析〕 解关于一次函数的应用问题的基本思路是先建立实际问题中的变量之间的函数关系式,然
后写出关系式中自变量的取值范围,或根据函数的图象,确定点、线所代表的实际意义.
解:(1)500÷100=5,
∴方案一中每个包装盒的价格为5元.
(2)根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为20000元,包装盒的单价为(30000-20000)÷4000=2.5(元).
(3)设方案一的函数表达式为y=kx(k≠0),
1 1 1
由图象知直线经过点(100,500),
∴500=100k,解得k=5,
1 1
∴函数表达式为y=5x;
1
设方案二的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
2 2 2
由图象知直线经过点(0,20000)和(4000,30000),
∴b=20000,把b=20000代入4000k+b=30000得k=2.5,
2 2
∴函数的表达式为y=2.5x+20000.
2
(4)令5x=2.5x+20000,解得x=8000,
∴当x=8000时,两种方案同样省钱;
当x<8000时,选择方案一;
当x>8000时,选择方案二.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列函数中,不是一次函数的是( )
A.y=3x B.y=2-❑√3x
1 1 1
C.y= x- D.y= -3
2 2 x
2.已知直线y=kx+b经过点(-5,1)和(-3,3),那么函数的解析式为( )
A.y=-2x-3 B.y=x-6
1 3
C.y=- x- D.y=x+6
2 2
3.已知油箱中有油25升,每小时耗油5升,则剩油量p(升)与时间t(时)之间的函数关系式为( )A.p=25+5tB.p=25-5t
25 25
C.p= D.p=5+
5t t
4.关于x的函数y=(m-3)xm2-8+3为一次函数,则m的值为
( )
A.-3 B.3
C.±3 D.9
5.已知函数y=-2x+b的图象经过点A(-1,y)和点B(3,y),则y 与y 的大小关系为 ( )
1 2 1 2
A.yy
1 2 1 2
C.y=y D.不能确定
1 2
6.已知一次函数y=ax+b(a,b是常数,a≠0)中,x与y的部分对应值如下表:
x -2 -1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 -2 -4
那么方程ax+b=0的解及不等式ax+b>0的解集分别为 ( )
A.x=1,x>1 B.x=-1,x>1
C.x=1,x<1 D.x=-1,x<1
3
7.直线y=- x+6与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ( )
5
A.6 B.10
C.20 D.30
8.直线y=kx与直线y=kx+k在同一坐标系中的位置可能是下图中的 ( )
1 29.如图所示,点P按A→B→C→M的顺序在边长为1的正方形上运动,M是CD边的中点.设点P经过的路程x
为自变量,ΔAPM的面积为y,则y关于x的函数关系的大致图象是下图中的 ( )
10.如图所示的图象(折线ABCDE)描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中,汽车离出发地的距离s(千米)
与行驶时间t(时)之间的函数关系,根据图中提供的信息,给出下列说法:①汽车共行驶了120千米;②汽车在行
80
驶途中停留了0.5小时;③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 千米/时;④汽车出发后3小时至4.5小时
3
之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法共有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.若一次函数y=kx+b的图象交y轴于负半轴,且y的值随x值的增大而减小,则k 0,b 0.(填
“>”“<”或“=”)
12.有一本书,每20页厚1 mm,设从第1页到第x页的厚度为y(mm),则y与x之间的函数关系式为 .
13.当x= 时,函数y=3x-2与y=5x+1有相同的函数值.
14.直线y=2x+8与坐标轴围成的三角形的面积为 .
15.已知y与x+1成正比例,且x=1时,y=2,则x=-1时,y的值是 .16.一辆汽车在行驶过程中,路程y(千米)与时间x(时)之间的函数关系如图所示.当0≤x≤1时,y关于x的函数
解析式为y=60x,那么当13时,函数的图象经过第二、三、四象限.
n>3,
21.解:(1)y =0.6x+400;y =x. (2)作图略.
甲 乙
(3)当x=2000时,y =0.6×2000+400=1600,y =2000.答:学校至少要付出印刷费1600元.
甲 乙
22.解:(1)交点P表示小东和小明出发2.5小时在距离B地7.5 km处相遇. (2)设y 与x的函数关系式为
1
y
1
=kx+b(k,b为常数,且k≠0),因为函数图象经过点(2.5,7.5),(4,0),所以2.5k+b=7.5,① 4k+b=0,② 由①得b=7.5-
2.5k,由②得b=-4k,所以7.5-2.5k=-4k,解得k=-5,b=20,所以y 与x的函数关系式为y=-5x+20. (3)令x =0,得y
1 1 1
2
=20,所以A,B两地间的距离为20 km.小明的速度为7.5÷2.5=3(km/h),小明到达A地所需的时间为20÷3=6
3
(h).
23.解:(1)画出的图象如图所示. (2)由于图象是直线,故猜想其为一次函数. (3)设y与x之间的函数关系式
为y=kx+b(k≠0).在表中选取两组数据(-10,14),(0,32)代入y=kx+b,得14=-10k+b,32=b,解得k=1.8,所以y与x之间
的函数关系式为y=1.8x+32.当x=10时,y=1.8×10+32=50;当x=20时,y=1.8×20+32=68.故猜想的函数类型和所
求的关系式是正确的.
24.解:(1)90 4000 100 (2)依题意及函数图象得100×(90-50)x=400000+100×4000,解得x=200.答:200天后共
节省燃料费40万元.
