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八年级数学•上 新课标[北师]
第五章 二元一次方程组
1.了解二元一次方程(组)的有关概念,会解简单的二元一次方程组(数字系数);能根据具体问题中的数量
关系,列出二元一次方程组解决简单的实际问题,并能检验解的合理性.
2.体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系,会利用待定系数法确定一次函数的表达式.
经历从实际问题中抽象出二元一次方程(组)的过程,体会方程的模型思想,发展灵活运用有关知识解决实
际问题的能力,培养良好的数学应用意识.
了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元思想”,从而初步理解化未知为已知和化复杂问题
为简单问题的化归思想.
一、《标准》要求
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律,掌握用方程、函数进行表述的方法,体会模型的思想,建立符
号意识.
2.初步学会在具体的情境中能从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法等解决简
单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
4.掌握代入消元法和加减消元法,能解二元一次方程组.
5.能解简单的三元一次方程组.
6.体会一次函数与二元一次方程的关系.
7.会利用待定系数法确定一次函数的表达式.
二、教材分析
具体地,第1节通过丰富的实例,建立二元一次方程和二元一次方程组,让学生观察归纳出二元一次方程
和二元一次方程组的有关概念,并从中体会方程的模型思想.第2节,顺理成章地给出现实问题的解答,进而通
过具体方程总结出求解二元一次方程组的两种基本方法——代入消元法、加减消元法.第3~5节再次通过
几个问题情境,进行列二元一次方程组解决实际问题的训练.这样,一方面,在列方程组的建模过程中,强化了方
程的模型思想,培养了学生列方程解决现实问题的意识和能力;另一方面,将解方程组的技能训练与实际问题
的解决融为一体,在实际问题的解决过程中提高学生的解题技能.第6节通过对二元一次方程、二元一次方
程组与一次函数关系的讨论,建立方程与函数的联系,引导学生从“形”的角度看待二元一次方程和二元一
次方程组.第7节通过待定系数法,利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.第8节作为选学内容介绍三
元一次方程组的基本解法.【重点】
1.二元一次方程组的解法.
2.二元一次方程组在生活中的应用.
【难点】 一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系.
1.教学要注意与一元一次方程的类比,让学生体会学习二元一次方程组的必要性,结合自己已有的解一
元一次方程的经验,探索二元一次方程组的解法,体会消元、转化的数学思想方法.
2.教学内容的选取和呈现要关注现实意义和学生的兴趣,充分利用学生已有经验,尽量创设有利于学生
自主探究的课堂氛围,鼓励学生合作探究,提倡用学生的智慧解决学生的问题.
3.关注学生对知识与技能的理解和应用.对知识与技能的评价,应重视学生的理解和在新情境中的应用,
如考查学生能否根据实际问题正确地建立模型,能否选择恰当的方法解二元一次方程组,解方程组正确与否,
能否检验求得结果的合理性.
4.关注学生列方程解决实际问题的意识、水平及在学习过程中的表现,注重培养学生的应用意识.例如,
让学生以小组合作学习的形式分析一下开放性的问题,并说出心得体会,在学生的交流中对其进行评价;让学
生自主地观察生活实际,并据此编制有关应用问题,从学生所编制的应用问题中评判其应用意识和应用水平.
1 认识二元一次方程组 1课时
2 求解二元一次方程组 2课时
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼 1课时
4 应用二元一次方程组——增收节支 1课时
5 应用二元一次方程组——里程碑上
1课时
的数
6 二元一次方程与一次函数 1课时
7 用二元一次方程组确定一次函数表
1课时
达式
*8 三元一次方程组 1课时
回顾与思考 1课时
1 认识二元一次方程组通过实例了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念,并会判断一组数是不是某个二元一次方
程组的解.
发展学生的归纳、观察和概括的能力,同时培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.
激发学生的求知欲望,培养他们勇于探索的精神.
【重点】 对二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念的理解,并会判断二元一次方程组的
解.
【难点】 对二元一次方程及二元一次方程组的解的个数的判断.
【教师准备】 预设学生学习过程中可能出现的问题.
【学生准备】 复习一元一次方程的有关概念.
导入一:
每块饼干的质量是x克,每颗糖果的质量是y克,小明拿了一个等臂天平,在左边秤盘放两块饼干,右边秤
盘放三颗糖果,结果天平两臂平衡,当在左边秤盘里又放了三块饼干,右边秤盘里又放了四颗糖果时,天平并没
有平衡,只好在右边秤盘里又加了1克的砝码才使得天平平衡.上面的例子中,可以得到两个方程是2x=3y和
5x=7y+1,怎样看待这两个方程呢?它们的解有什么实际意义?
导入二:
我们已经学习了一元一次方程,你能举一个一元一次方程的例子吗?
生:(轻松回答)3x+4=5x,0.5x=3.
师:很好!那么什么是一元一次方程?
生:含有一个未知数,并且所含未知数的次数为1的整式方程叫一元一次方程.
师:非常准确!从这节课开始我们将进一步来学习有关方程的问题.我们都知道牛和马是人类最忠诚的帮
手,在那个非机械化的年代,是它们为我们驮运货物,帮助农民耕地……活干多了,牢骚也来了.请同学们看下面
的故事,同时请两个同学来为它们配音.(多媒体出示)
(显示对话,老牛与小马,学生配音)
老牛喘着气吃力地说:“累死我了.”小马说:“你还累,这么大的个,才比我多驮了2个.”老牛气喘吁吁
地说:“哼,我从你背上拿来1个,我的包裹数就是你的2倍!”小马不相信地说:“真的?!”
生:(笑)……
师:两位同学表演得很不错,请同学们想一想它们在争论什么呢?
生:它们在争论谁的包裹多.
师:对,那么你能用数学知识帮助它们解决这个问题吗?
让每个学习小组讨论(讨论2分钟,然后发言).教师注意引导学生设两个未知数,从而得出两个二元一次
方程.
师:题目中等量关系有几个?你是如何得到的?生:2个等量关系.
依据老牛的包裹数比小马多2个得到:老牛驮的包裹数-小马驮的包裹数=2个.依据老牛从小马背上拿来
1个包裹,这时老牛驮的包裹数是小马驮的2倍得到:老牛驮的包裹数+1=(小马驮的包裹数-1)×2.
师:你能设出适当的未知数列出相应的方程吗?请大家写下来.
生:(板演)设老牛驮了x个包裹,小马驮了y个包裹.根据题意得x-y=2,x+1=2(y-1).
[设计意图] 以动漫的形式引出方程问题,调动学生的积极性,让学生再次经历建模的同时,以相对轻松
的状态进入后面的学习.通过自主探究来认识体会二元一次方程建模思想的过程,也是学生完成从一元到多
元的认识转化过程.
[过渡语] 我们以前学过的方程都是含有一个未知数的,如果方程中含有两个未知数,这样的方程是怎样
的呢?
一、认识二元一次方程
思路一
出示教材第103页上半页情境图,师生交流.
①怎样列一元一次方程解决这个问题呢?
生1:设老牛驮了x个包裹,则有2(x-3)=x+1.
生2:设小马驮了x个包裹,则有2(x-1)=x+3.
②如果设两个未知数,怎样解决这个问题呢?
设老牛驮了x个包裹,小马驮了y个包裹.老牛驮的包裹数比小马驮的多了2个,由此你能得到怎样的方
程?
生:x-2=y.
若老牛从小马背上拿来1个包裹,这时老牛的包裹数是小马的2倍,由此你又能得到怎样的方程?
生:x+1=2(y-1).
③怎样列出教材第104页引例中的方程?
生:x+y=8,5x+3y=34.
小结:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
思路二
大家观察下面的5个方程,是我们学过的一元一次方程吗?
360x+720y=17280;x-y=2;x+1=2(y-1);x+y=8;5x+8y=34.
生:不是.
师:与一元一次方程的特征相比较我们可以给它们取一个什么名称呢?
生:二元一次方程!
师:很好,请同学们找出二元一次方程有什么特征?
生1:含有两个未知数.
生2:未知数的次数是1.
生3:方程两边都是整式.
(多媒体同一页显示,便于学生逐条比较)
师:对于方程xy+8=5x,大家认为是二元一次方程吗?(学生认识不统一,有说是,有说不是)xy(多媒体用红色
圈出)这个项的次数是几?(学生有的说是2,有的说是1.此时老师加以纠正,单项式的次数是单项式中所有字母
的指数和,因此项xy次数为2,原方程不是二元一次方程)
师:我们应将“未知数的次数是1”更正为什么?
生:含未知数的项的次数是1.
师:很好,现在大家知道什么叫二元一次方程了吗?生:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
(多媒体显示二元一次方程的概念,并让学生加以巩固)
[设计意图] 为了让学生尽快理解新知识,教学通过类比的方法,引导学生与一元一次方程相比较,逐步
理解二元一次方程的概念,同时培养学生归纳概括能力.
师:两人一组,分别写出几个方程,让另一位同学判断是不是二元一次方程.
(学生迅速出题,然后互相判断,很多小组出现争执,场面非常活跃,教师巡视,对出现的争执及时给予评判)
[知识拓展] 1.二元一次方程还可以定义为:在方程中有两个未知数,未知数与未知数之间没有乘法、除
法运算,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
2.本节课常出现的错误是对二元一次方程的概念理解不准确,其表现形式有两种:一种是把“含未知数
的项的次数都是1”理解为“每个未知数的次数都是1”,误认为xy+2=0也是二元一次方程,另一种是遇到
含有字母系数的方程时,容易忽略“未知数的系数不等于零”这个隐含条件,如二元一次方程ax+y=6中a≠0
这个条件.
含有两个未知数,
{
3.二元一次方程满足的条件 含未知数的项的次数为1,
整式方程.
二、认识二元一次方程组
问题1
在前面的实际问题中,这两个方程中x的含义相同吗?分别是什么含义?y呢?
问题2
若x,y同时满足这两个方程,用什么方式把这两个方程联立起来,即写成什么形式呢?
问题3
如果两个方程中相同字母所代表的含义相同,把它们联立起来,就组成了二元一次方程组,你能归纳出二
元一次方程组的概念吗?
问题4
根据二元一次方程组的概念回答问题:
①二元一次方程组中每个方程都必须是二元一次方程吗?
②一次方程指的是“含未知数的项的次数是1”还是“各个未知数的次数是1”?
③二元一次方程组中一定只能含有两个一次方程吗?
[处理方式] 学生独立思考后小组讨论交流,小组代表发言.教师适时点拨,逐步总结出二元一次方程组
的定义(含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组).强调定义中的两个未知数
是指两个方程共含两个未知数,一次方程可以是一元一次方程,也可以是二元一次方程.点拨性语言例如:成为
二元一次方程组应满足几个条件?
{ a-b=-1, {m+1=5,
根据上面的定义分别判断这样的两个方程组:(1) (2) 是不是二元一次方程
5a+4b=3; -2+n=7
组?让学生对二元一次方程组的定义进行再认识.
[设计意图] 将方程返回实际问题中理解研究,体现数学与生活实际的联系.通过一个个问题的设计,将
二元一次方程组的概念进行解剖,帮助学生理解概念.
[知识拓展] 1.二元一次方程组的概念也不是严格的定义.例如:
{y=2x+2, { x=8, {2x=4,
① ② ③ 这三个方程组都是二元一次方程组,其中方程组②
3x- y=7; 9x+10 y=6; 9 y=6.
中的第一个方程只有一个未知数;方程组③中的两个方程也都分别只有一个未知数,但它们仍然都是二元一
次方程组.为了更好地识别一个方程组是不是二元一次方程组,我们可以这样叙述:在一个方程组中,共有2个
未知数,并且每个方程都是一次方程,这样的方程组就是二元一次方程组.2.事实上,共含有两个未知数的几个二元一次方程组成的方程组都是二元一次方程组,而我们最常见的
是两个二元一次方程组成的方程组.
三、二元一次方程和二元一次方程组的解
思路一
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.如x=6,y=2是方程x+y=8的
{x=6, {x=5,
一个解,记作 同样 也是方程x+y=8的一个解.
y=2, y=3
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
{x=5, { x+ y=8,
例如: 就是二元一次方程组 的解.
y=3 5x+3 y=34
思路二
(1)x=6,y=2适合方程x+y=8吗?x=5,y=3呢?x=4,y=4呢?你还能找出适合方程x+y=8的x,y的值吗?
(2)x=5,y=3适合5x+3y=34吗?x=2,y=8呢?
(3)你能找到一组x,y的值,同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗?
生1:x=6,y=2适合二元一次方程x+y=8;x=5,y=3;x=4,y=4都适合,还有x=0,y=8;x=-1,y=9……
生2:x=5,y=3适合二元一次方程5x+3y=34;x=2,y=8也适合.
(多媒体出示)适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
{x=6, {x=5,
师:x=6,y=2是二元一次方程x+y=8的一个解,记作 同时 也是二元一次方程x+y=8的一
y=2, y=3
个解.大家说二元一次方程有多少个解呢?
生1:很多个.
生2:无数个!
(师强调:二元一次方程的一个解不是一个值,而是一对值;一般地,二元一次方程有无数个解)
师:刚才我们找出二元一次方程的解,那么有没有一组x,y的值同时适合这两个方程呢?
{x=5,
生: 同时适合这两个方程.
y=3
(多媒体出示概念)二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.(给两分钟时间
巩固理解概念)
[知识拓展] 1.二元一次方程组的解是一对数,要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验,这对数
只有满足方程组中的每一个方程,这对数才能是这个方程组的解.
2.一般情况下,二元一次方程的解有无数个,而二元一次方程组的解是唯一的.但当对二元一次方程的解
{x=1,
加以限制时也可能变为有限个了,如x+y=2的正整数解只有
y=1.1.下列选项中,是二元一次方程的是 ( )
A.7x+3y=2 B.xy=9
4
C.x+2y2=11D. =2
2x- y
解析:本题考查二元一次方程的定义,B选项的次数为2,C选项的最高次数为2,D选项不是整式方程,故选
项B,C,D都不是二元一次方程.故选A.
2.下列方程组中,属于二元一次方程组的是 ( )
{x+3 y=5, {m+n=5,
A. B.
2x-3z=3 mn+n=6
{m+3n=1, {2x-3 y=10,
C. m 2n D. 1
+ =1 -5 y=6
6 3 x
解析:本题主要考查二元一次方程组的定义,A选项共含有三个未知数;B选项是二元二次方程组;D选项
1
中 -5y=6不是整式方程,不是二元一次方程组.故选C.
x
{7x-3 y=-11,
3.下面各组数中,是二元一次方程组 的解的是 ( )
2x+ y=8
{x=-1, {x=2,
A. B.
y=-1 y=4
{x=4, {x=1,
C. D.
y=2 y=6
答案:D
{x=-1, {3x+2y=m,
4.已知 是二元一次方程组 的解,则m-n的值是 .
y=2 nx- y=1
{x=-1, {3x+2y=m, {m=1,
解析:把 代入方程组 解得 则m-n=1-(-3)=1+3=4.故填4.
y=2 nx- y=1, n=-3,1 认识二元一次方程组
1.认识二元一次方程
2.认识二元一次方程组
3.二元一次方程和二元一次方程组的解
一、教材作业
【必做题】
教材第106页习题5.1第1,2题.
【选做题】
教材第106页习题5.1第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列方程组是二元一次方程组的是 ( )
1
{x+ =1,
{ x+ y=5, y
A. B.
y=3+x+z 1
- y=3
x
1 1
{ x- y=3,
{x+ y-xy=4, 2 2
C. D.
4x-2y=3 1 1
y- x=5x-7
4 3
2.对于二元一次方程4x-3y=7,下列说法正确的是 ( )
A.只有一个解
B.只有两个解
C.有无数个解
D.任何一对有理数都是它的解
{x+ y=2,
3.二元一次方程组 的解是 ( )
2x- y=1
{x=0, {x=1,
A. B.
y=2 y=1
{x=-1, {x=2,
C. D.
y=-1 y=0
{5x+7 y=297,
4.对于二元一次方程组甲: 与二元一次方程乙:9x-13y=135的关系,下面说法正确的是(
9x-13 y=135
)
A.方程组甲的解必是方程乙的解
B.方程乙的解必是方程组甲的解
C.方程组甲的解不一定是方程乙的解
D.方程组甲的解与方程乙的解完全相同
5.为了研究吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地抽查了10000人,并进行统计分析,结果显示:在吸烟
者中患肺癌的比例是2.5%,在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%,吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人,如果设这10000中,吸烟者患肺癌的人数为x,不吸烟者患肺癌的人数为y,根据题意,下面列出的方
程组正确的是 ( )
{ x- y=22,
A.
2.5%x+0.5% y=10000
{
x- y=22,
B. x y
+ =10000
2.5% 0.5%
{ x+ y=10000,
C.
2.5%x-0.5% y=22
{
x+ y=10000,
D. x y
- =22
2.5% 0.5%
【能力提升】
{x=2,
6.若 是二元一次方程ax+by=-2的一个解,则代数式2a-b+7= .
y=-1
7.若x2m-7+4y3n-2=0是二元一次方程,则m= ,n= .
{ x=2,
8.请写出一个二元一次方程组: ,使它的解为
y=-1.
9.已知二元一次方程2x+3y+5=0.
(1)将已知方程写成用含有y的代数式表示x的形式;
(2)写出方程的三个解.
10.根据题意列出方程组.
(1)明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚,共花去20元钱,那么明明两种邮票各买了多少枚?
(2)将若干只鸡放入若干个笼中,若每个笼中放4只,则有一鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放.
那么有多少只鸡,多少个笼?
{mx- y=1, {x=2,
11.已知方程组 的解为 求(m-n)2的值.
x+ny=3 y=1,
【拓展探究】
12.已知方程(k2-4)x2+(k+2)x+(k-6)y=k+8,则:
(1)当k为何值时,方程为关于y的一元一次方程?
(2)当k为何值时,方程为关于x,y的二元一次方程?
【答案与解析】
1.D(解析:A选项含有三个未知数,B选项的未知数x,y出现在分母上,不是整式方程,C选项的xy项为二次项.)
2.C(解析:二元一次方程的解应该有无数个,但若加以限制可能只有有限个了.)
3.B(解析:根据二元一次方程组的解的定义,将四组值依次代入原方程组检验即可,而检验只有选项B中x,y的
值能使二元一次方程组中的每个方程左右两边都相等.故选B.)
4.A(解析:方程组的解是组成这个方程组的各个方程的公共解.)
5.B
{x=2,
6.5(解析:将 代入ax+by=-2,得2a-b+7=-2+7=5.)
y=-1
7.4 1(解析:根据二元一次方程的定义可知2m-7=1,3n-2=1,故m=4,n=1.){x+2y=0,
8. (答案不唯一)
2x- y=5
{ 5 { 11
3 5 x=- , x=- ,
9.解:(1)由2x+3y+5=0,得2x=-5-3y,所以x=- y- . (2)答案不唯一,如: 2 或 2 或
2 2
y=0 y=2
{
x=0,
5
y=- .
3
{ x+ y=13,
10.解:(1)设0.8元的邮票买了x枚,2元的邮票买了y枚,根据题意得 (2)设有x只鸡,y
0.8x+2y=20.
{ 4 y+1=x,
个笼,根据题意得
5(y-1)=x.
{x=2, {2m-1=1, {m=1,
11.解:将 代入原方程组得 解得 所以(m-n)2=0.
y=1 2+n=3, n=1,
{k2-4=0, {k2-4=0,
12.解:(1)依题意,得 k+2=0, 即k=-2时,原方程为关于y的一元一次方程. (2)依题意,得 k+2≠0,即
k-6≠0, k-6≠0,
k=2时,原方程为关于x,y的二元一次方程.
在学习一元一次方程的基础上,延伸到二元一次方程组的学习,通过知识的类比和迁移,学生可以比较顺
利地了解二元一次方程组的相关概念.通过具体的生活情境,帮助学生从生活的角度感知数学知识的存在.
忽略强调二元一次方程的解有无数个(一般情况下),忽略二元一次方程组可能存在无解现象.不强调这一
点,会加大今后理解一次函数与二元一次方程组关系的难度.
根据知识之间的内在联系,可以引导学生从一元一次方程相关概念出发,引导学生探索发现二元一次方
程组的概念,类比方程的解的概念,自己总结出方程组的解的概念.
随堂练习(教材第105页)
1.解:设小明买了面值为50分的邮票x枚,买了面值为80分的邮票y枚,依题意得
{ x+ y=9,
0.5x+0.8 y=6.3.
{x=3, {x=6,
2.解:(2) 和(4) 是二元一次方程2x+y=10的解.
y=4 y=-2
3.(3)习题5.1(教材第106页)
1.(1)4x+7y=76 (2)4 (3)5
2.解:(2)是该方程组的解.
{x+ y=45,
3.解:(1)设该班有男生x人,女生y人,则可列方程组 (2)设有x个同学,y本笔记本,则可列方程
x=2y-9.
{5x+8= y,
组
8x-7= y.
{x=1, { x=2,
4.解:(1)答案不唯一,如: 和
y=-1 y=-2.
{ x=1, {x=2, { x=1,
(2)答案不唯一,如: (3)
y=-1, y=0. y=-1.
{ x=1,
(4)
y=-1.
5.解:他们所列的方程组都可以看成是正确的,产生分歧的原因是:小明设苹果每千克x元,梨每千克y元,而小
丽设梨每千克x元,苹果每千克y元.
教学时应注意让学生理解以下几点:(1)运用类比的方法比较二元一次方程与一元一次方程的有关概念
的异同,加深对概念的理解;(2)方程思想是一种重要的数学思想,注意结合实际,从而理解方程是刻画现实世界
的有效数学模型;(3)正确理解二元一次方程及二元一次方程组的解的含义,与一元一次方程的解做好区分,找
出异同;(4)学习中加强方程中“元”和“次”的认识,为以后学习中遇到的“消元”和“降次”做好基础铺
垫.
{x=2,
{x=3, {x=4, {x=2,
已知下列四对数值:① ② ③ 4 ④
y=1; y=3; y= ; y=2.
3
(1)哪几对是方程2x-y=5的解?
(2)哪几对是方程x+3y=6的解?
{2x- y=5,
(3)哪几对是方程组 的解?
x+3 y=6
〔解析〕 根据二元一次方程的解的定义和二元一次方程组的解的定义进行验算.
解:(1)①和②是方程2x-y=5的解.
(2)①和③是方程x+3y=6的解.
{2x- y=5,
(3)①是方程组 的解.
x+3 y=6
[注意事项] 二元一次方程组的解是方程组中各个方程的公共解,因此在检验方程组的解时,应对每个方
程进行检验,而初学者往往只会对其中的一个方程进行检验,而忽略对方程组中其他方程的检验.
2 求解二元一次方程组会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组.
了解二元一次方程组的“消元”思想,初步体会化未知为已知的化归思想.
培养学生探索尝试的创新精神.
【重点】 解二元一次方程组的两种基本方法.
【难点】 二元一次方程组转化为一元一次方程.
第 课时
会用代入消元法解二元一次方程组.
培养学生独立思考问题的能力,同时能对复杂的问题有计划、有步骤地处理.
在探索新知的过程中,体会数学的趣味性,进而养成善于思考、勤于钻研的好习惯.
【重点】 用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤.
【难点】 在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
【教师准备】 预想学生学习中可能遇到的问题.
【学生准备】 复习二元一次方程组的相关概念.导入一:
上节课我们讨论了老牛和小马驮的包裹谁的多的问题,经过大家的共同努力,得出了二元一次方程组
{ x- y=2,
到底谁的包裹多呢?这就需要解这个二元一次方程组.一元一次方程我们会解,二元一
x+1=2(y-1).
次方程组如何解呢?(课件展示问题)
[处理方式] 小组展开讨论,完成自主学习.
[设计意图] 通过提出这个实际问题,得出解方程组的必要性.充分调动学生的积极性,发挥团结合作,激
发学生学习兴趣.
导入二:
大家都喜欢吃水果,老师这里也买了一些苹果和梨,请大家帮老师算算水果的质量(课件展示):
市场上1斤苹果售价3元,1斤梨售价2元,老师买了苹果x斤,梨y斤,共用了18元钱,则苹果和梨之间的
等量关系是什么?
[处理方式] 学生畅所欲言,在表达自己的想法的过程中发现无法得出确切的水果质量.
生1:苹果的总价+梨的总价=18元.
生2:我可以列方程为3x+2y=18.
师:那老师增加一个条件,如果买了苹果4斤,你又能列出什么样的关系式?
{ x=4,
生:可以列方程组为
3x+2y=18.
师:你能求出具体的质量了吗?
生:可以,把x=4代入到第二个方程中,即可求出未知数y的值,也就可以得出苹果及梨的具体质量.
[设计意图] 通过解决相关题目使学生感受要想求出两个未知数的值,必须先知道其中一个未知数的值.
这样设计为下面用代入消元法解二元一次方程组打下基础:即消去一个未知数,转化为一元一次方程去解.同
时情境的创设贴合实际,可以激发学生的求知欲.
[过渡语] 我们怎样解二元一次方程组呢?
一、解二元一次方程组
思路一
问题1
在老牛和小马的问题中,二元一次方程组是怎样变成一元一次方程的?
问题2
在这个变化的过程中未知数的个数发生了怎样的变化?
问题3
求出一个未知数的值后,第二个未知数的值可如何求出?
【学生活动】 学生独立完成.小组交流上面三个问题.二元一次方程组有两个未知数,如果消去其中的
一个未知数,就可以将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,就可以求解了,那么我们究竟怎么转
化呢?我们发现由方程x-y=2可以得到y=x-2,把它代入到方程x+1=2(y-1)中,将方程x+1=2(y-1)中的y换为x-2,
这个方程就化为一元一次方程了.这样便将我们不会解的方程组转化为我们会解的方程了.
[设计意图] 通过自学老牛和小马的问题,锻炼学生的自学能力,让学生经历利用代入消元法将方程组转
化为方程的过程.
展示交流解题方法:
{ x- y=2,①
解: (为了书写方便,先标上序号)
x+1=2(y-1).②
由①得y=x-2.③ (变形,用含x的代数式表示y)将③代入②得x+1=2(x-2-1),(将二元一次方程转化为一元一次方程)
解得x=7.(解一元一次方程,求出x的值)
把x=7代入③,得y=5.(再代入求y的值)
{x=7,
所以原方程组的解为 (总结,写出方程组的解)
y=5.
所以老牛驮了7个包裹,小马驮了5个包裹.
[设计意图] 运用数学中“化未知为已知”的化归思想,使问题得到解决,培养学生的自主探索意识、合
作交流的精神,启发学生并跟学生一起探讨“化未知为已知”的方法,这样进行教学既能及时发现学生的闪
光点,又能培养学生良好的合作关系,提高学生的学习兴趣.
师:在解上面的二元一次方程组时,我们是将其中的一个方程变形,即用其中一个未知数的代数式表示另
一个未知数,然后代入第二个未变形的方程中,从而由“二元”转化为“一元”而达到消元的目的.我们将这
种方法叫代入消元法.这种解二元一次方程组的思想为消元思想.
思路二
代入法的基本思路是:通过“代入”达到“消元”(即消去一个未知数)的目的,从而将解二元一次方程组
转化为解一元一次方程.
代入法的一般步骤:
{2x- y=5,①
下面以方程组 为例,具体说明如下:
3x+4 y=2②
第一步:由方程①得到y=2x-5;
第二步:将y=2x-5代入②中,得到3x+4(2x-5)=2;
第三步:由3x+4(2x-5)=2,解得x=2;
{ x=2,
第四步:将x=2代入y=2x-5,求得y=-1,得到原方程组的解为
y=-1.
由上例可总结出代入法的一般步骤为:
(1)选择较简单的方程,用其中一个未知数表示另一个未知数,写成x=……或y=……的形式.
(2)代入:将(1)中x=……或y=……代入另一个方程中,消去一个未知数.
(3)求其中一个未知数的值:解(2)中的一元一次方程,求出一个未知数的值.
(4)求另一个未知数的值:将求出的一个未知数的值代入方程组中的任一方程,可求出另一个未知数的值,
也可代入(1)中得到的x=……或y=……中.
(5)写出方程组的解.
这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.
[设计意图] 通过探究,使学生初步感知用代入法解二元一次方程组的基本思路,为下面例题的解答奠定
良好的基础.
二、例题讲解
{3x+2y=14,①
解方程组
x= y+3.②
解:将②代入①,得3(y+3)+2y=14,
3y+9+2y=14,5y=5,y=1.
将y=1代入②得x=4.
{x=4,
所以原方程组的解是
y=1.
【思考】 (1)将y=x-3代入①可以吗?
(2)还有其他的代入方法吗?
(3)在代入的过程中要注意什么?{2x+3 y=16,①
解方程组
x+4 y=13.②
解:由②得x=13-4y,③
将③代入①,得2(13-4y)+3y=16,
26-8y+3y=16,-5y=-10,y=2.
将y=2代入③得x=5.
{x=5,
所以原方程组的解是
y=2.
【教师总结】 上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”.主要步骤是:①将
其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;②将这个代数式代入另一个方程中,
从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程;③解这个一元一次方程;④把求得的一次方程的解
代入方程组中的任一方程,求得另一个未知数的值,组成方程组的解,这种解方程组的方法称为代入消元法,简
称代入法.
[知识拓展] 当二元一次方程组中的系数或未知数的关系较为复杂时,可先将方程组整理成二元一次方
{a x+b y=c ,
1 1 1
程组的标准形式 这里a,b,c,a,b,c 是整数,x,y是未知数,例如:解方程组
a x+b y=c . 1 1 1 2 2 2
2 2 2
x-1
{ -2y+3=0,
4 {x-8 y=-11,
时,应先经过去分母、移项、合并同类项等步骤,将方程组变为
x y+3 2x+ y=15.
3- =
3 6
1.解方程组的代入消元法是指把一个二元一次方程中的 用含有 的代数式表示出来,并
另一个方程中,从而消去一个未知数,化为 .
答案:某个未知数 另一个未知数 代入 一元一次方程
{3x+4 y=2,①
2.用代入法解方程组 使得代入后消元较容易变形的是( )
2x- y=5,②
2-4 y 2-3x
A.由①得x= B.由①得y=
3 4y+5
C.由②得x= D.由②得y=2x-5
2
答案:D
{ x+ y=12,①
3.用代入消元法解方程组
2x+3 y=34.②
解:由①得x=12-y,③
把③代入②得2(12-y)+3y=34,解得y=10,
{ x=2,
把y=10代入①得x=2,所以
y=10.
第1课时
例1
例2
代入消元法
一、教材作业
【必做题】
教材第109页随堂练习.
【选做题】
教材第110页习题5.2第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
{x+ y=1,①
1.(2014·娄底中考)方程组 的解是 ( )
2x- y=5②
{x=-1, {x=-2,
A. B.
y=2 y=3
{x=2, {x=2,
C. D.
y=1 y=-1
2.已知x+3y-6=0,用含x的代数式表示y为 .用含y的代数式表示x为 .
{ x- y=1,①
3.解方程组
2x+ y=2.②
【能力提升】
{3x-4 y=5,①
4.四名同学解二元一次方程组 提出四种不同的解法,其中解法不正确的是 ( )
x-2y=3,②
5+4 y
A.由①得x= ,代入②
3
3x-5
B.由①得y= ,代入②
4
x-3
C.由②得y=- ,代入①
2
D.由②得x=3+2y,代入①{x+2y=7,①
5.用代入法解方程组 由②得y= ,③ 把③代入①,得 ,
4x- y=1,②
解得x= ,再把求得的x值代入②,得y= .原方程组的解为 .
【拓展探究】
{2x-3 y=3, {3x+2y=11,
6.已知关于x,y的方程组 和 的解相同,求a,b的值.
ax+by=-1 2ax+3by=3
【答案与解析】
1.D(解析:由①得y=1-x,③ 把③代入②得2x-(1-x)=5,解得x=2.把x=2代入①得y=-1.所以原方程组的解是
{ x=2,
)
y=-1.
6-x
2.y= x=6-3y
3
3.解:由①得x=y+1,③ 把③代入②,得2(y+1)+y=2,解得y=0.把y=0代入③,得x=1.所以原方程组的解是
{x=1,
y=0.
3-x
4.C(解析:由②得y=- .)
2
{x=1,
5.4x-1 x+2(4x-1)=7 1 3
y=3
{2x-3 y=3,① 2x-3
6.解:由题意可得方程组 由①得y= ,③ 将③代入②得x=3.将x=3代入①得
3x+2y=11,② 3
{x=3, {ax+by=-1, {3a+b=-1, {a=-2,
y=1.将 代入 中,得 解这个方程组,得 因此a,b的值分别
y=1 2ax+3by=3 6a+3b=3, b=5.
是-2,5.
本节课的重点是用消元的思想方法去解二元一次方程组.理解方程组的解的含义和理解方程组内两个
方程之间的关系,是把学生引入“代入法”解二元一次方程组的关键.在教学的过程中,不是直接告诉学生方
法,而是通过探索领悟“代入法”的实质.
在处理例题思考的时候,课堂上存在蜻蜓点水的倾向,应该当做课堂教学的一个重要环节来处理,这样更
能强化学生对知识的理解.
通过不同的代入方法的比较,帮助学生认识到要选择简便的方法进行代入.增设例题,强化对代入法这种
数学思想方法的理解.
随堂练习(教材第109页)
{x=4, { x=5, {x=9, {x=3,
解:(1) (2) (3) (4) (过程略)
y=8. y=15. y=2. y=0.习题5.2(教材第110页)
{x=-1, {x=3, { x=2, {m=3,
1.解:(1) (2) (3) (4) (过程略)
y=-1. y=2. y=-1. n=2.
{ x+ y=8,①
2.解: 由①得x=8-y,③ 把③代入②得5(8-y)+3y=34,解得y=3,把y=3代入③得x=5,所
5x+3 y=34,②
{x=3,
以 是原方程组的解.上一节课的方法是试验求值,而本节课的方法是代入求值,比上一节课的方法更
y=5
简单、直观.
解二元一次方程组的关键是要化“二元”为“一元”,即把陌生的“二元一次方程组”转化为熟悉的
“一元一次方程”,求解的关键是“消元”,当方程组中某个未知数的系数为±1或常数项为0时,用代入法解
方程组比较简单.
第 课时
会用加减消元法解二元一次方程组.
培养学生归纳总结问题的能力,同时使学生会使用较严密的数学语言概括出问题的主要方面.
在解决实际问题的过程中,大胆尝试不同解法,并在体验成功的快乐的同时,激发学生浓厚的学习兴趣.
【重点】 用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤.
【难点】 形成加减消元的基本思路,并能灵活选择代入法、加减法解二元一次方程组.
【教师准备】 预想学生学习本课时会遇到的问题.
【学生准备】 复习、体会解二元一次方程组的消元思想.
导入一:同学们,上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组,哪位同学能说一说解方程组的基本思路是
什么?代入法解方程组的主要步骤有哪些?
【学生活动】 先独立思考,再小组交流.
生1:解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”.
生2:代入法解方程组的主要步骤有:
(1)变形——用含一个未知数的代数式表示另一个未知数(选系数较简单的);
(2)代入——消去一个未知数;
(3)求解——分别求出两个未知数的值;
(4)写解——写出方程组的解.
师:回答得很好.本节课我们继续学习求解二元一次方程组.
[设计意图] 通过对解方程组的基本思路、代入法解方程组的主要步骤的复习回顾,进一步加深学生对
解方程组的主要步骤的理解,为本课时的教学做准备.
导入二:
用代入法解下面的二元一次方程组:
{3x+5 y=21,①
2x-5 y=-11.②
【学生活动】 学生独立解答,小组内交流解法.
展示解题方法:
5 y-11
解法1:把②变形,得x= ,③
2
5 y-11
把③代入①,得3× +5y=21,
2
解得y=3.
把y=3代入②,得x=2.
{x=2,
所以方程组的解为
y=3.
解法2:由②得5y=2x+11,③
把5y看成一个整体,将③代入①,得3x+(2x+11)=21,
解得x=2.
把x=2代入③,得y=3.
{x=2,
所以方程组的解为
y=3.
师:请同学们仔细观察方程组中y的系数,有什么特点?你们还有什么想法?
本节课我们继续学习求解二元一次方程组.
一、二元一次方程组的解法(加减消元法)
{3x+5 y=21,①
师:解二元一次方程组 除了用“代入消元”法解方程组之外,你还有什么想法?
2x-5 y=-11,②
生:我的想法是:5y与-5y互为相反数,可以把①②直接相加便消去y了.
所以根据等式的基本性质,方程①+方程②得5x=10,
解得x=2,
把x=2代入①,解得y=3,{x=2,
所以方程组的解为
y=3.
师:他应用了一种新的解题方法,并且分析得很好!你们能理解这种方法吗?
生:能.方程①和②中的5y和-5y互为相反数,根据相反数的和为零,将方程①和②的左右两边相加,然后根
据等式的基本性质消去了未知数y,得到了一个关于x的一元一次方程,从而实现了化“二元”为“一元”的
目的.
师:这种解法是否更简便呢?
生:是.
师:很好!这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法.
[设计意图] 通过学生练习、对比、讨论,既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识,又在此过
程中发现了新的解二元一次方程组的方法——加减消元法.
二、例题讲解
[过渡语] 参考刚才的解题思路,怎样解下面的二元一次方程组呢?
{2x-5 y=7,①
(教材例3)解方程组
2x+3 y=-1.②
【师生活动】 学生分析,教师巡视、引导、解疑,注意发现学生在解答过程中出现的新的想法,可以让
用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上,完成后进行评析.
生:在这个方程组中,未知数x的系数相等,都是2.把这两个方程两边分别相减,可消掉未知数x.解法如下:
解:由②-①,得8y=-8,y=-1.
把y=-1代入①,得2x-5×(-1)=7,x=1.
{ x=1,
所以原方程组的解是
y=-1.
解答完本题后,教师提醒学生口算检验,让学生养成检验的习惯,同时强调以下两点:
(1)注意解此题的易错点是“②-①”时,是(2x+3y)-(2x-5y)=-1-7,方程左边去括号时注意符号;另外解题时,
“①-②”或“②-①”都可以消去未知数x,不过在“①-②”时,得到的方程中,y的系数是负数,所以在上面的
解法中选择“②-①”.
(2)把y=-1代入①或②,最后结果是一样的,但我们通常的做法是将所求出的一个未知数的值代入系数较
简单的方程中,求出另一个未知数的值.
师:通过刚才的解答你们能发现前面这两个方程组有什么特点吗?解这类方程组的基本思路是什么?主要
步骤有哪些?(小组内讨论,2分钟后找学生回答)
生:特点为某一个未知数的系数相同或互为相反数.
基本思路:“二元” “一元”.
主要步骤:①加减消元,得到一个一元一次方程;②解一元一次方程;③把求出的未知数的解代入原方程
组中的任一方程,求出另一个未知数的值,从而得方程组的解.(教师用多媒体出示)
【小试牛刀】(课件展示)
{x+3 y=17,
1.将方程组 中的两个方程的两边 ,就可以消去未知数 .
3x-3 y=6
{25x-7 y=16,
2.将方程组 中的两个方程的两边 ,就可以消去未知数 .
25x+6 y=10
3.用加减消元法解下列方程组.
{5x-2y=9, {3x+ y=8,
(1) (2)
5x+ y=3; 2x- y=7.[设计意图] 通过学生的观察、探索、归纳、总结,得到了加减消元法的原理和方法,使学生明确使用加
减法的条件,体会在一定条件下使用加减法的优越性.之后,由学生做练习,体会加减消元法的基本特点,熟悉加
减消元法的基本步骤,提升学生用加减消元法解二元一次方程组的基本技能,积累解二元一次方程组的活动
经验.
三、拓展延伸,深化认知
{2x+3 y=12,①
(教材例4)解方程组
3x+4 y=17.②
师:有方法可以解决这个问题吗?
生:有!可以运用等式的性质使某一个未知数的系数相同或互为相反数,然后再用加减消元法解方程组.
师:很好.但是你必须首先选择好先消去哪一个未知数.例如这个方程组,可以先消去x.现在我们一起写出
解答过程.
解:由①×3得6x+9y=36,③
由②×2得6x+8y=34,④
由③-④得y=2.
把y=2代入①,得x=3.
{x=3,
所以原方程组的解是
y=2.
师:分析上面的解答过程,你能归纳出什么叫加减消元法吗?
生:在组成方程组的两个方程中,若某个未知数的系数互为相反数,则可直接把这两个方程的两边分别相
加,消去这个未知数,若某个未知数的系数相等,可直接把这两个方程的两边分别相减,消去这个未知数得到一
个一元一次方程,从而求出它的解,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.
[知识拓展] 1.当方程组中的两个方程的某个未知数的系数相同或互为相反数时,用加减消元法求解比
较简便.
2.若两个方程中同一个未知数的系数成倍数关系,可利用等式的性质将其转化成系数相同或互为相反数
的类型,选择加减消元法求解.
3.若两个方程中同一个未知数的系数的绝对值都不相等,则应选一组系数(一般选绝对值的最小公倍数
较小的一组系数),求出其绝对值的最小公倍数,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等,
再用加减消元法求解.
4.对于比较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、移项、合并同类项等),通常要把每个方
程整理成含有未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再计算.
1.解二元一次方程组常用的方法有 消元法和 消元法.答案:代入 加减
{3x+2y=a,
2.已知方程组 若要求x-y,则最简便的方法是( )
2x+3 y=b,
A.代入消元法 B.加减消元法
C.两种一样D.以上都不正确
答案:B
{6x-5 y=11,①
3.用加减消元法解方程组 较简便的解法步骤:将两个方程 ,消去未知数
6x+7 y=-1②
,得到关于 的一元一次方程,解得y,再求 ,从而得到原方程组的解.
答案:相减 x y x
{3x-5 y=8,①
4.用加减法解方程组
7x+5 y=2.②
{ x=1,
解:由①+②,得10x=10,x=1,③ 把③代入①,得3×1-5y=8,y=-1,所以原方程组的解为
y=-1.
第2课时
例3
例4
一、教材作业
【必做题】
教材第113页习题5.3第1,2题.
【选做题】
教材第114页习题5.3第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
{x+ y=1,
1.方程组 的解是 ( )
2x- y=5
{x=-1, {x=-2,
A. B.
y=2 y=3
{x=2, {x=2,
C. D.
y=1 y=-1
{ x+3 y=4,
2.二元一次方程组 的解是 ( )
2x-3 y=-1
{x=1, {x=-1,
A. B.
y=1 y=-1
{x=-2, {x=-2,
C. D.
y=2 y=-1
{2x+3 y=1,
3.用加减消元法解方程组 时,有以下四种变形,其中正确的变形是 ( )
3x-2y=8{6x+9 y=3, {4x+6 y=1, {6x+9 y=3, {4x+6 y=2,
① ② ③ ④
6x-4 y=8; 9x-6 y=8; 6x-4 y=16; 9x-6 y=24.
A.只有①和② B.只有③和④
C.只有①和③ D.只有②和④
{x=2, {mx-ny=1,
4.若 是方程组 的解,则m,n的值是 ( )
y=1 nx+my=8
{m=2, {m=2,
A. B.
n=1 n=3
{m=1, {m=3,
C. D.
n=8 n=2
【能力提升】
{2x+ y=5,
5.已知x,y满足方程组 则x-y的值为 .
x+2y=4,
6.若(5x+2y-12)2+|3x+2y-6|=0,则2x+4y= .
【拓展探究】
{ax+by=16,① {x=1,
7.在解方程组 时,小明把方程①抄错了,从而得到错解 而小亮却把方程②抄
bx+ay=19② y=7,
{x=-2,
错了,得到错解 你能求出原方程组正确的解吗?原方程组到底是怎样的?
y=4,
【答案与解析】
1.D(解析:两个方程相加消去y,得3x=6,解得x=2,将其代入第一个方程,得y=-1.)
2.A
3.B
{2m-n=1,①
4.B(解析:把x,y的值代入方程组,得 由①×2+②,得5m=10,m=2,将m=2代入①,得n=3.故
2n+m=8,②
选B.)
5.1(解析:用第一个方程减去第二个方程即可得到x-y=1.)
6.0(解析:两个非负数的和为0,只能各自为0.)
{x=1, {x=-2,
7.解:把 代入方程②,得b+7a=19,把 代入方程①,得-2a+4b=16.解方程组
y=7 y=4
{ b+7a=19, {a=2, {2x+5 y=16, {x=3,
得 所以原方程组为 解得
-2a+4b=16, b=5. 5x+2y=19, y=2.
本节课在引入加减法解二元一次方程组时,通过对上一节课的学习,比较了代入法的两种不同思路,在整
体代入的基础上,自然引入加减法解二元一次方程组.达到消元的目的后,解二元一次方程组就是水到渠成了.
根据方程组的特点,选取灵活的方式解二元一次方程组,是学生形成解题能力的一个重要方面.本节课在
总结的时候,忽略了对灵活选取方法的强调.在练习题的设置过程中,增加对比性较强的方程组,便于学生思考解方程组要注意选择灵活的方法.
随堂练习(教材第112页)
{x=-1, {x=-2, {s=-1,
解:(1) (2) (3)
y=-5. y=-3. t=3.
{x=-3,
(4) (过程略)
y=-4.
习题5.3(教材第113页)
{ 1
{x=5, {x=2, x= , {x=5,
1.解:(1) (2) (3) 2 (4) (过程略)
y=2. y=5. y=7.
y=-3.
{x=5,
2.提示:方程组的解为 两种方法的共同点是都先消去一个未知数,将二元一次方程组转化为一元一
y=2.
次方程来解.
{x=5, {5a-3b=16, {a=5,
3.(1)解: (过程略) (2)解法1:设x+y=a,x-y=b,则原方程组化为 解得 所以
y=3. 3a-5b=0, b=3,
{x+ y=5, {x=4, {5(x+ y)-3(x- y)=16,
用加减消元法解得 解法2:把原方程组 化简成
x- y=3, y=1. 3(x+ y)-5(x- y)=0
{x+4 y=8, {x=4,
用加减消元法解得 解法1可以利用(1)中的结论,比解法2简便一些.
x-4 y=0, y=1.
4.解:一定能求出这两个数.理由如下:设这两个数分别为x和y,它们的和为a,差为b(a,b为已知数),则
a+b
{x= ,
{x+ y=a, 2
解得
x- y=b, a-b
y= .
2
1.加减消元法.
(1)加减消元法的选择方法是:①选择系数绝对值较小的未知数消元;②某一未知数绝对值相等,如果符号
不同,用加法消元,符号相同,用减法消元;③某一未知数系数成倍数关系时,直接对其中一个方程变形,使其系
数绝对值相等,再运用加减消元;④当相同的未知数的系数都不相等时,找出某一个未知数的最小公倍数,同时
对两个方程进行变形,转化为绝对值相同的系数,再用加减法来解.
(2)用加减法解方程组时需注意:①对某个方程变形处理时各项都要扩大相同的倍数;②两个方程的左右
两边的各项都要同时相加或相减.
2.技巧方法小结.
(1)解二元一次方程组的关键在于消元,也就是要化“二元”为“一元”,即把陌生的“二元一次方程
组”转化为熟悉的“一元一次方程”.消元有两种方法:代入消元法和加减消元法.
(2)解二元一次方程组时常出现的错误有:①求解不完整,只求出一个未知数的值就认为解完了;②将两个
方程相减时容易弄错符号;③方程两边同乘一个不等于零的数时,容易漏乘某项.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
能分析简单问题中的数量关系,建立二元一次方程组解决实际问题.
在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程(组)解决现实问题的意识和应用能力.
在用方程组解决实际问题的过程中,培养应用数学的意识,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
【重点】 让学生经历和体验方程组解决实际问题的过程.
【难点】 用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题的过程.
【教师准备】 教材“鸡兔同笼”问题的投影图片.
【学生准备】 总结二元一次方程组的解法.
导入一:
古代算书《九章算术》卷七中有“盈不足”问题:今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大
小器各容几何?意思是说:有大小两种盛米的桶,已知5个大桶加1个小桶可以盛3斛米;1个大桶加上5个小
桶可以盛2斛米,求1个大桶和1个小桶分别可以盛几斛米.
[设计意图] 由数学历史故事为背景,激发学生的学习热情,感受数学在生活中的应用,吸引学生的注意
力,同时为本课的学习做好铺垫.
导入二:
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
[设计意图] 多媒体展示“鸡兔同笼”问题后,说明该问题是古代著名的“难题”,以此激发学生解决问
题的好奇心;提出问题后,让学生先思考,后讨论,然后找学生说出他的解题思路,写出解题过程,让学生讨论对
不对,有没有不同的思路和观点;最后在学生充分讨论的基础上进行讲解.
今天,我们就一起研究列二元一次方程组解决实际问题.[过渡语] 我们如何应用学过的知识解决一些实际问题呢?
一、出示教材“鸡兔同笼”的问题
“雉兔同笼”题为:“今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问雉兔各几何?”
(1)“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”呢?
(2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗?
(3)你能解决这个有趣的问题吗?与同伴进行交流.
思路一
【师生活动】 教师讲数学历史引入“鸡兔同笼”问题,多媒体展示具体“历史记载”激发学生兴趣,
引起学生思考,并找语文素养好的学生翻译成现代文,如“笼子里装有鸡和兔子,从上面数共有35个头,从下
面数共有94只脚,求鸡和兔子各多少只.”
1.用一元一次方程求解.
解:设有鸡x只,则有兔(35-x)只,
得2x+4(35-x)=94,2x+140-4x=94,-2x=-46,x=23,35-x=12.
所以有鸡23只,兔12只.
小结:一元一次方程解法的优点是思维便捷.一元一次方程解法的不足是计算较复杂.
2.用二元一次方程组求解.
{ x+ y=35,①
解:设有鸡x只,兔y只,则
2x+4 y=94.②
由①×2,得2x+2y=70,③
由②-③,得2y=24,y=12,
把y=12代入①,得x=23.
所以有鸡23只,兔12只.
小结:用二元一次方程组解答的优点是思维快速简单.用二元一次方程组解答的不足是计算复杂些.
[设计意图] 体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程,通过比较列一元一次方程求解、列二元一次方程
组求解的优缺点,从而感受方程模型思想的必要性和优越性,并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方
法中,领会列二元一次方程组思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越
性.
思路二
第(1)问由学生讨论完成,明确基本数量关系.
第(2)问分成两组进行.第一组列一元一次方程解决,第二组列二元一次方程组解决.
第(3)问学生解答各自列出的方程(组),并体会二元一次方程组为解决问题带来的便利.
【教师总结】 列二元一次方程组解决问题的步骤:
(1)弄清题意和题目中的数量关系,设出题中的两个未知数;
(2)找出表示应用题全部含义的两个相等关系;
(3)根据找出的两个相等关系列出所需的方程,从而列出方程组;
(4)解方程组;
(5)检验所得的解是不是方程组的解,并且要检验其是否符合题意,否则要舍去;
(6)写出答案,包括单位名称.
二、学以致用
以绳测井.若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?
问题1
“将绳三折测之,绳多五尺”,什么意思?“若将绳四折测之,绳多一尺”,又是什么意思?【学生活动】 学生拿出准备的绳子以小组为单位,动手演示“绳三折,绳四折”,要求组员间互相纠错.
最后找学生总结“将绳三折测之,绳多五尺”是指将一条绳子分成相等的三份,还剩五尺;“将绳四折测之,绳
多一尺”是指将一条绳子分成相等的四份,还剩一尺.
问题2
找出等量关系并完成题目.
【师生活动】 学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生
指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必
须做到解题规范.
解:设绳长x尺,井深y尺,
x
{ - y=5,①
3
根据题意,得
x
- y=1,②
4
x x x
由①-②,得 - =4, =4,x=48.
3 4 12
将x=48代入①,得y=11.
答:绳长48尺,井深11尺.
问题3
你能否总结出列二元一次方程组解应用题的一般步骤?
【学生活动】 放手让学生以小组为单位进行总结,要求小组找出发言人,其他成员有序地进行补充.
总结:(1)审:审清题意;(2)设:设出两个未知数;(3)找:弄清各个量之间的关系,找出等量关系;(4)列:根据题意
列出二元一次方程组;(5)解:正确地求出二元一次方程组的解;(6)答:根据实际情况检验方程组的解后写出答案.
[设计意图] 此例用于巩固引例中用列二元一次方程组解应用题的思路以及掌握列二元一次方程组解
应用题的方法和步骤.学生在列方程组的建模过程中,一方面强化了方程的模型思想,也培养了学生列方程组
解决实际问题的意识和应用能力.另一方面,将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,在实际问题
的解决过程中,进一步提高学生解方程组的技能.
三、变式练习
问题:古有一捕快,一天晚上他在野外的一个茅屋里,听到外边来了一群人,在分赃,他隐隐约约地听到几个
声音,下面有一古诗为证:“隔壁听到人分银,不知人数不知银.只知每人五两多六两,每人六两少五两,问你多
少人数多少银?”
【师生活动】 学生独立完成,教师巡视学生做题情况,并对出现的问题及时的解决纠正,在学生完成后
组织学生进行交流、评价、展示、纠错.
[设计意图] 利用与前面类似的题目,让学生尝试运用解题步骤解决问题,同时巩固建立方程模型的思想
方法,规范学生的解题步骤.
[知识拓展] 列方程组解应用题:
(1)列方程组解应用题的关键是准确找出题目中的相等关系,正确地列出方程组.
(2)列方程组时应注意:①方程两边表示的是同类量;②同类量的单位要统一;③方程两边的数值要相等;
④一般来说,设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组.
(3)作答时,要根据实际问题的意义,判断求得的结果是否合理,不合理的解应该舍去.
(4)审题、找相等关系以及检验过程只需在草纸上完成,书写的过程只需设、列、解、答四步.在设、答
两步要写清单位名称.1.已知长江比黄河长836 km,黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284 km.设长江、黄河的长分别是x
km,y km,则下列方程组中正确的是( )
{ x- y=836, { y-x=836,
A. B.
5x-6 y=1284 6 y-5x=1284
{ x- y=836, { y-x=836,
C. D.
6 y-5x=1284 5x-6 y=1284
解析:根据长江比黄河长836 km,得x-y=836;根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284 km,得
{ x- y=836,
6y-5x=1284.可列方程组为 故选C.
6 y-5x=1284.
2.甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行,2 h后相遇,若甲比乙每小时多骑2.5 km,则
乙的速度是每小时( )
A.12.5 km B.15 km
C.17.5 km D.20 km
解析:本题中的两个等量关系为:甲的速度=乙的速度+2.5;2×甲的速度+2×乙的速度=65.设甲的速度是每
{x= y+2.5, {x=17.5,
小时x km,乙的速度是每小时y km.则 解得 所以乙的速度是每小时15 km.
2x+2y=65, y=15,
故选B.
3.用一根绳子环绕一棵大树,若环绕大树4周,则绳子还多1尺;若环绕大树5周,则绳子又少3尺.设这根
绳子有x尺,环绕大树一周需要y尺,则下列所列方程组正确的是 ( )
{4 y=x+1, {4 y+1=x,
A. B.
5 y=x-3 5 y-3=x
{4x+1= y, {4x-1= y,
C. D.
5x-3= y 5x+3= y
答案:B
4.某班有40名同学去看演出,购买甲、乙两种票共用去370元,其中甲种票每张10元,乙种票每张8元,
设购买了甲种票x张,乙种票y张,由此可列出方程组: .
解析:根据题意可找到等量关系:甲种票的数量+乙种票的数量=40,购甲种票的总费用+购乙种票的总费
{ x+ y=40,
用=370.故填
10x+8 y=370.
5.李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种
蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?{ x+ y=10,
解:设李大叔去年甲种蔬菜种植了x亩,乙种蔬菜种植了y亩,则 解得
2000x+1500 y=18000,
{x=6,
答:李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩,乙种蔬菜种植了4亩.
y=4.
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第116页习题5.4第1,2题.
【选做题】
教材第116页习题5.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小刚买了两种不同的贺卡共5张,单价分别是1元和2元,共用8元.设小刚买的1元和2元的贺卡分别为x
张,y张,则下面的方程组正确的是( )
{ y {1 y
x+ =5, + =5,
A. 2 B. x 2
x+ y=8 x+2y=8
{x+ y=5, {x+ y=5,
C. D.
x+2y=8 2x+ y=8
2.某车间有56名工人生产螺栓和螺母,每人每天平均生产螺栓16个或螺母24个,求怎样分配工人才能恰好
使每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套.设分配x人生产螺栓,y人生产螺母,依题意列方程组是 ( )
{ x+ y=56, { x+ y=56,
A. B.
2×16x=24 y 2×24x=16 y
{x+ y=56, {x+ y=56,
C. D.
16x=24 y 24x=16 y
3.一副三角板按如图所示的方式摆放,且∠1的度数比∠2的度数大50°,若设∠1=x°,∠2=y°,则可得到方程组为
( )
{x= y-50, {x= y+50,
A. B.
x+ y=180 x+ y=180{x= y+50, {x= y-50,
C. D.
x+ y=90 x+ y=90
4.如图所示,两台天平保持平衡,已知每块巧克力的质量相等,且每个果冻的质量也相等,则每块巧克力和每个
果冻的质量分别为 ( )
A.10 g,40 g B.15 g,35 g
C.20 g,30 g D.30 g,20 g
【能力提升】
5.若马四匹,牛六头,共价四十八两;马三匹,牛五头,共价三十八两.求马、牛各价几何.
6.某专业户今年养的鸭是去年的5倍,今年养的鹅是去年的15.5倍.已知今年养的鸭和鹅的总数是7200只,恰
好是去年总数的12倍,这个专业户在今年和去年养的鸭和鹅各是多少只?
7.4辆小卡车和5辆大卡车一次共可运货物27吨,6辆小卡车和10辆大卡车一次共可运货物51吨,求小卡车
和大卡车每辆每次可以各运货物多少吨.
【拓展探究】
8.如图所示,在长方形ABCD中,AB=8 cm,BC=6 cm,且ΔBEC的面积比ΔDEF的面积大5 cm2,求DF的长.
【答案与解析】
1.C
2.A
3.C
4.C
{4x+6 y=48,①
5.解:设每匹马价x两,每头牛价y两,则 ①×3-②×4,得18y-20y=144-152,y=4.将y=4代
3x+5 y=38,②
入①,得x=6.答:马价6两,牛价4两.
{5x+15.5 y=7200, {x=200,
6.解:设去年养鸭x只,养鹅y只,则 解得 答:这个专业户在今年养鸭
12(x+ y)=7200, y=400.
1000只,养鹅6200只,去年养鸭200只,养鹅400只.
{4x+5 y=27, {x=1.5,
7.解:设小卡车每次运货物x吨,大卡车每次运货物y吨,则 解得 答:小卡车每
6x+10 y=51, y=4.2.
辆每次可以运货物1.5吨,大卡车每辆每次可以运货物4.2吨.8.解:设ΔBEC的面积为x cm2,ΔDEF的面积为y cm2,梯形ABED的面积为z cm2,依题意,得
{ x- y=5,① 1
由②-①,得y+z=43,即ΔABF的面积为43 cm2.设DF的长为a cm,则有 ×8×(6+a)=43,
x+z=6×8,② 2
19 19
解得a= ,即DF的长为 cm.
4 4
从解二元一次方程组到列二元一次方程组解实际问题,对于学生来说是一个知识的跨越,表面看多设一
个未知数列方程比设一个未知数容易找等量关系,事实上列方程组解决问题对学生来说还存在一定的难度,
本节课正是基于这种认识,细化列方程组解决问题的过程,比较好地突破了教学难点.
设立不同的未知数,对所列的方程组的形式有一定的影响.课堂中应该把学生所列的方程组进行比较,便
于学生领悟总结列方程组解决问题的步骤.
帮助学生领悟方程思想在解决实际问题中的重要性.通过例题帮助学生理解,有时候列一元一次方程解
决问题是困难的,甚至是不能解决的.
随堂练习(教材第116页)
34
{x= ,
{5x+2y=10, 21 34
解:设每头牛价值x两金,每只羊价值y两金,由题意得 解得 答:每头牛价值
2x+5 y=8, 20 21
y= .
21
20
两金,每只羊价值 两金.
21
习题5.4(教材第116页)
1.提示:“鸡兔同笼”问题:(用一元一次方程解)设鸡有x只,则兔有(35-x)只.依题意得2x+4(35-x)=94,解得
x=23,35-23=12(只).(用算术方法解)(4×35-94)÷(4-2)=23(只),35-23=12(只).“随堂练习”的问题:(用一元一次方
1 5 34 1 34
程解)设每头牛价值x两金,则每只羊价值 (10-5x)两金,依题意得2x+ (10-5x)=8,解得x= , × 10-5×
2 2 21 2 21
20 34 ( 34 ) 20
10- ×5
= (两金).(用算术方法解)10+8=18(两金),[10-18÷(5+2)×2]÷(5-2)= (两金), ÷2= (两
21 21 21 21
金).
{3 y+4=x, {x=25,
2.解:设这根绳子长x尺,环绕大树一周需要y尺.根据题意得 解得 答:这根绳子长25
4 y-3=x, y=7.
尺,环绕大树一周需要7尺.{
x+ y=100,
{x=25,
3.解:设大马有x匹,小马有y匹.根据题意得 1 解得 答:大马有25匹,小马有75匹.
3x+ y=100, y=75.
3
{8x= y+3, { x=7,
4.解:设有x人,物品价值y元.根据题意得 解得 答:有7人,该物品价值53元.
7x= y-4, y=53.
《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是
由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图(1)(2)所示,图中
各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图(1)所示的算筹图用我们现在所
{3x+2y=19,
熟悉的方程组形式表述出来,就是 则图(2)所示的算筹图我们可以表述为 ( )
x+4 y=23,
{2x+ y=11, {2x+ y=11,
A. B.
4x+3 y=27 4x+3 y=22
{3x+2y=19, {2x+ y=6,
C. D.
x+4 y=23 4x+3 y=27
〔答案〕 A
4 应用二元一次方程组——增收节支
1.会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系,列出相应的二元一次方程组解决简单的实际问题.
2.加强学生列方程组的技能训练,形成解决实际问题的一般性策略.
通过列方程组解决实际问题.1.通过列方程组解决实际问题,培养应用数学的意识,提高学习数学的趣味性、现实性、科学性.
2.培养学生的创新能力以及克服学习中困难的精神.
【重点】 用列表的方式分析题目中的各个量的关系,加强学生列方程组的技能训练.
【难点】 借助列表分析问题中所蕴含的数量关系.
【教师准备】 预想学生在列方程、解方程过程中可能遇到的问题.
【学生准备】 总结列方程解决实际问题应注意的事项.
导入一:
在当地农业技术部门指导下,小明家增加种植菠萝的投资,使今年的菠萝喜获丰收,下面是小明和爸爸、
妈妈的一段对话.
请你用学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入.(收入-投资=净赚)
[设计意图] 本环节应给学生充足的时间进行练习和探究,通过学生参加的社会实践活动入手,采取变式
的形式让学生对于本节课的内容产生一定的兴趣.
导入二:
师:同学们,假设你是一个成功的企业家,你觉得如何让企业增加更多利润呢?
生1:调动员工的工作积极性!
生2:扩大生产!
生3:多种经营,增加收入!
生4:减少不必要的开支,降低成本!
……
师:很好!只要我们增加收入,减少不必要的开支,我们的生活会越来越好!那就让我们共同来探究增收节
支的问题吧!(板书课题)
[设计意图] 转换角色,激发学生的学习兴趣,同时点明主题,让学生明确本节课的任务.
[过渡语] 通过列二元一次方程组,可以帮助我们解决生活中的许多问题.
一、问题引入
思路一某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了
10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?
设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,则有:
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年
问题1
某工厂去年的总收入设为x万元,今年的总收入比去年增加了20%,今年的总收入为 .
学生通过分析得出:今年的总收入=去年的总收入×(1+20%)=(1+20%)x万元.
问题2
这个工厂去年的总支出设为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出为 .
生:今年的总支出=去年的总支出×(1-10%)=(1-10%)y万元.
问题3
这个工厂今年的利润为780万元,根据问题1,2,可得 =780万元(利润=总收入-总支出).
生:根据“利润=总收入-总支出”,得出(1+20%)x-(1-10%)y=780万元.
师:题中是否蕴含着第二个方程,如果有,让学生列出方程组并解方程组.
[设计意图] 本环节的安排,让学生真正地感受到数学来源于生活,通过自己亲身经历的事情以及遇到的
一些常见的数学问题,要求学生能回顾一下增收节支的一些基础问题并解决这些问题,使学生能了解一下利
润问题,为本节课的学习减少了一些困难.
思路二
出示教材第117页引例,让学生小组讨论完成表格,并解答.
生:讨论得出下列内容:
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 (1+20%)x (1-10%)y 780
{ x- y=200, {x=2000,
根据题意,得 解得
120%x-90% y=780, y=1800.
师:若条件不变,求今年的总收入,总支出各是多少万元.
{
x- y=780,
若设今年的总收入为x万元,总支出为y万元,则 x y
- =200,
120% 90%
请同学们解出这个题.
{x=2400,
生:讨论得出
y=1620.
师:解题的过程烦琐吗?这个题有没有更好的解决办法?
学生讨论探索,得出可设间接未知数,设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,计算更方便些.
[设计意图] 通过学生熟悉的生活中的经济问题去激发学生学习本节课的兴趣.让学生明确“利润=收
入-支出”这个关系式,为后面的学习做好铺垫,打下基础.通过完成表格使学生初步感受用适当的图表,可以
帮助理清题目中的数量关系,从而提高分析问题和解决问题的能力.在实际问题的解决过程中,进一步提高学
生解方程组的技能.
二、例题讲解
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁
质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质,若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、
乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?师:每餐甲、乙原料中含蛋白质及铁质应如何表示呢?
生:每餐甲原料中含蛋白质=0.5×每餐甲原料的质量;每餐乙原料中含蛋白质=0.7×每餐乙原料的质量;每
餐甲原料中含铁质=1×每餐甲原料的质量;每餐乙原料中含铁质=0.4×每餐乙原料的质量.
师:设每餐需甲原料x g,乙原料y g,那么你们能完成下面的图表吗?
甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含
蛋白质
其中所
含铁质
[处理方式] 学生分析独立作答,教师巡视、指导学生,待学生完成后,教师用实物投影展示答案.
甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含
0.5x单位 0.7y单位 35单位
蛋白质
其中所
x单位 0.4y单位 40单位
含铁质
师:你能从上面图表中找出等量关系吗?
生:可知等量关系为:营养品中的蛋白质=甲原料中所含蛋白质+乙原料中所含蛋白质;营养品中的铁质=
甲原料中所含铁质+乙原料中所含铁质.
师:根据等量关系,列出方程组,请完成问题的解答.
[处理方式] 学生独立解决,教师巡视、指导学生,鼓励学生板演,完成后,教师校正答案、评价,并展示正
确答案,规范解题步骤.
解:设每餐需甲原料x g,需乙原料y g,
{0.5x+0.7 y=35,
根据题意,得
x+0.4 y=40.
{5x+7 y=350,①
化简,得
5x+2y=200.②
由①-②得5y=150,y=30.
将y=30代入①,得x=28.
所以每餐需甲原料28 g,乙原料30 g.
师:由此我们可知,图表分析有利于理清题中的未知量、已知量以及等量关系,很容易列出方程组解决问
题.
[设计意图] 通过“例题探索”使学生初步学会建立适当的图表,理清题目中的数量关系,列出方程组,
从而提高学生分析问题和解决问题的能力.
[知识拓展] 列方程组解应用题时应掌握的几个技巧:(1)列方程组时,要抓住关键词语,如:和、差、倍、
几分之几、多、少、大、小等,要挖掘各类问题中的相等关系,如:相遇问题,相遇时二人所走路程之和等于两
地的距离;浓度问题,稀释前后溶质不变;追及问题,速度差×时间=追及前相隔距离等;(2)借助几何图形或表格,
帮助我们理解题意,如:工程问题、行程问题可以利用线段图形来分析理解,浓度问题可以借助表格来帮助理
解题意;(3)注意检验,检验所求是否为正确的解答,既要检验所求结果是否为方程组的解,又要检验是否符合题
意.1.21枚1角与5角的硬币,共是5元3角,其中1角与5角的硬币各是多少?设1角硬币x枚,5角硬币y枚,
填写下表,并求出x,y的值.
1角 5角 总和
硬币数 x y 21
钱数 5元3角
解:填表如下:
1角 5角 总和
硬币数 x y 21
钱数 x 5y 5元3角
{ x+ y=21, {x=13,
根据题意得 解得
x+5 y=53, y=8.
2.某单位购买甲、乙两种纯净水共用250元,其中甲种水每桶8元,乙种水每桶6元;乙种水的桶数是甲种
水桶数的75%.设买甲种水x桶,买乙种水y桶,则所列方程组中正确的是 ( )
{8x+6 y=250, {8x+6 y=250,
A. B.
y=75%x x=75% y
{6x+8 y=250, {6x+8 y=250,
C. D.
y=75%x x=75% y
答案:A
3.下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价.(收盘价:股票每天交易结束时的价格)
时间
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
种类
甲 12 12.5 12.9 12.45 12.75
乙 13.5 13.3 13.9 13.4 13.15
某人在该周内持有若干甲、乙两种股票,若按照两种股票每天收盘价计算(不计手续费、税费等),该
账户上星期一至星期二获利200元,星期二至星期三获利1300元,求此人持有甲、乙股票各多少股.
解:设此人持有甲、乙股票分别是x股,y股,由题意得
{(12.5-12)x+(13.3-13.5)y=200, {x=1000,
解得 答:此人持有甲、乙股票分别
(12.9-12.5)x+(13.9-13.3)y=1300, y=1500.
为1000股,1500股.4 应用二元一次方程组——增收节支
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第119页习题5.5第1,2题.
【选做题】
教材第119页习题5.5第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.甲种电影票每张20元,乙种电影票每张15元,若购买甲、乙两种电影票共40张,恰好用去700元,则甲种电
影票买了 .
2.小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨,准备做萝卜排骨汤.妈妈:“今天买这两样菜共花了45元,上
月买同重量的这两样菜只要36元.”爸爸:“报纸上说了萝卜的单价上涨50%,排骨的单价上涨20%.”小明:
“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少.”请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨
的单价(单位:元).
3.商店新进一批商品准备出售,若打8折出售,则10天可以售完,并能获利10000元;若打7.5折出售8天可以
售完,可获利8000元.商品存放一天需要100元的存货费.求这批商品的本钱(购货价)和预售总价各是多少.
【能力提升】
4.水果市场批发一种水果,价格如下表:
批发水果数量/kg x≤20 2040
批发价格/(元/kg) 6 5 4
若某水果商店两次共进50 kg这种水果,并且共付264元钱,则两次购进水果的数量分别是多少?
5.用甲、乙两种原料配制某种营养液,已知这两种原料的维生素C含量及价格如下表:
甲种原料 乙种原料
维生素C/kg 600 100
原料价格/(元/kg) 8 4
现要求花72元钱配制含5000单位的维生素C的一种营养液,则应分别买这两种原料各多少千克?
【拓展探究】
6.有四种原料:①浓度50%的酒精溶液150克;②浓度90%的酒精溶液45克;③纯酒精45克;④水45克.请你
设计一种方案,只选取三种原料(各取若干或全部),配制成浓度60%的酒精溶液200克.你准备选哪三种原料?
各取多少?用列方程组的方法说明你的配制方法的正确性.
【答案与解析】
{ x+ y=40, {x=20,
1.20张(解析:设购买甲种电影票x张,乙种电影票y张,由题意得 解得 即甲
20x+15 y=700, y=20,
种电影票买了20张.)
2.解法1:设上月萝卜的单价是x元,排骨的单价是y元,根据题意得
{ 3x+2y=36, { x=2,
解得 这天萝卜的单价是(1+50%)x=(1+50%)×2=3(元),
3(1+50%)x+2(1+20%)y=45, y=15.
这天排骨的单价是(1+20%)y=(1+20%)×15=18(元).答:这天萝卜的单价是3元,排骨的单价是18元.解法2:这天{ 3 2
x+ y=36, { x=3,
萝卜的单价是x元,排骨的单价是y元,根据题意得 1+50% 1+20% 解得 答:这天
y=18.
3x+2y=45,
萝卜的单价是3元,排骨的单价是18元.
{0.8 y-x-100×10=10000,
3.解:设这批商品的本钱(购货价)为x元,预售总价为y元,根据题意得 解
0.75 y-x-100×8=8000,
{x=24200,
这个方程组得 答:这批商品的本钱为24200元,预售总价为44000元.
y=44000.
{ x+ y=50, {x=14,
4.解:设第一次购进x千克,第二次购进y千克.①当x≤20,2040时, 解得 (不符合题意,舍去).③当20a,将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内,则下图中正确的是( )
{y=bx+a,
解析:由方程组 的解,知两直线的交点为(1,a+b),根据交点的坐标可判断出图象的位置.图A
y=ax+b
中交点横坐标是负数,故图A不对;图C中交点横坐标是2,故图C不对;由图D中一条直线可知a<0,b>0,与另
一条直线不符,故图D不对.故选B.
4.如下图所示的四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的是( )
1
解析:本题实际是判断所给四个图象中哪个是函数y= x-1的图象.将四个图象中直线与x轴和y轴的交
2
1
点坐标分别代入函数解析式,相吻合的就是函数y= x-1的图象.故选C.
2
6 二元一次方程与一次函数
一、二元一次方程与一次函数的关系二、二元一次方程组与一次函数的关系
三、跟踪训练
一、教材作业
【必做题】
教材第124页习题5.7第1,2,3题
【选做题】
教材第125页习题5.7第4题
二、课后作业
【基础巩固】
1.如下图所示的是在同一坐标系内作出的两个一次函数的图象l,l,设y=kx+b,y=kx+b,则方程组
1 2 1 1 2 2
{y=k x+b ,
1 1
的解是 ( )
y=k x+b
2 2
{x=-2 {x=-2
A. B.
y=2 y=3
{x=-3 {x=-3
C. D.
y=2 y=3
{ x+ y=2, 3
2.显然方程组 没有解,由此可知一次函数y=-x+2与y=-x+ 的图象必定 ( )
2x+2y=3 2
A.重合 B.平行
C.相交 D.无法判断
3.如图所示的四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x-y=2的解的是 ( ){y=ax+b,
4.如下图所示,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象,可得二元一次方程组 的
y=kx
解是 .
{4x- y=1,
5.方程组 的解是 ,则一次函数y=4x-1与y=2x+3的图象的交点为 .
y=2x+3
6.下图中的两直线l 与l 的交点P的坐标可以看成是方程组 的解.
1 2
【能力提升】
7.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时,在同一直角坐标系内画出了相应的两个一次函数的图象l,l,如
1 2
图所示,则他解的这个方程组是 ( )
{y=-2x+2
{y=-2x+2
A. 1 B.
y= x-1 y=-x
2{y=3x-8 {y=-2x+2
C. 1 D. 1
y= x-3 y=- x-1
2 2
8.在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程2x-y-2=0和x-y+3=0所对应的一次函数的图象.利用图象求:
(1)方程2x-2=x+3的解;
{2x- y-2=0,
(2)方程组 的解.
x- y+3=0
【拓展探究】
9.已知两直线y=2x-3,y=6-x.
1 2
(1)在同一坐标系中作出它们的图象;
(2)求它们的交点A的坐标;
(3)根据图象指出x为何值时y>y;
1 2
(4)若直线y=2x-3,y=6-x分别与x轴相交于点B,C,求这两条直线与x轴所围成的ΔABC的面积.
1 2
【答案与解析】
1.B(解析:仔细观察图象即可求解.)
2.B(解析:当k值相等b值不相等时,两直线平行.)
3.B(解析:∵2x-y=2,∴y=2x-2,∴当x=0时,y=-2;当y=0时,x=1.∴一次函数y=2x-2的图象与y轴交于点(0,-2),与x轴
交于点(1,0),即可得出选项B符合要求.故选B.)
{x=-4,
4.
y=-2
{x=2,
5. (2,7)
y=7
{ 1
- x+1= y,
6. 2
-2x-2= y
7.D(解析:由图可知直线l 过(0,2),(2,-2),因此直线l 对应的函数表达式为y=-2x+2,直线l 过(-2,0),(2,-2),因此直
1 1 2
{y=-2x+2,
1
线l 对应的函数表达式为y=- x-1.因此所求的二元一次方程组为 1 故选D.)
2 2 y=- x-1.
2
8.解析:(1)首先画出y=2x-2,y=x+3的图象,方程的解看两直线的交点,横坐标的值即x值.(2)方程组的解看两直
线的交点,x=横坐标的值,y=纵坐标的值.
解:画y=2x-2和y=x+3的图象如图所示.(1)根据图象可知方程2x-2=x+3的解为x=5.
{2x- y-2=0, {x=5,
(2)根据图象可知方程组 的解为
x- y+3=0 y=8.
{y=2x-3, {x=3,
9.解:(1)如图所示. (2)解方程组 得 所以A(3,3). (3)当x>3时,y>y. (4)可求得B
y=6-x, y=3, 1 2
(3 ) 1 ( 3) 27
,0 ,C(6,0),则S = × 6- ×3= .
2 ΔABC 2 2 4
本节课是数形结合思想的重要体现,教学的过程始终是围绕这一数学思想展开的.教学的过程中不是直
接交代给学生知识,而是通过事例让学生通过探索来发现二元一次方程和一次函数的关系.学生发现了二者
直接的关系,自然就会发现两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.如果两个一次函
数图象没有交点(不重合),与之相对应的二元一次方程组也就无解.
在教学的过程中,在处理一次函数与二元一次方程关系的时候,处理得比较简单.此问题是理解二元一次
方程组与一次函数关系的基础,应该进行更多的研究和讨论.
为了深化学生对数形结合思想的领悟,在设计习题的时候,应该减少有计算难度的习题数量,增加读图分
析的习题数量.
随堂练习(教材第124页)
{x=1
1.
y=2
2.解:没有一组数值同时适合方程x+y=2和x+y=5,直线y=2-x与y=5-x互相平行.
习题5.7(教材第124页)
(4 )
1.解:所求交点坐标为
,1
.
3{x=1, {2x- y=0, { 2-a=0, {a=2,
2.解:由题意知 是方程组 的解,所以 解得 所以方程组
y=a x+ y-b=0 1+a-b=0, b=3,
{2x- y=0, {x=1,
的解为
x+ y-b=0 y=2.
{y=3x-5, { x=1,
3.解:因为y=3x-5与y=2x+b的图象的交点为P(1,-2),所以 的解为 所以-2=2×1+b,所
y=2x+b y=-2,
以b=-4.
{y=x+2,
4.解:(1) 是无解方程组(答案不唯一). (2)能写出其他无解的二元一次方程组.这些方程组的共同
y=x-2
{y=k x+b ,
1 1
特征可表示为 其中b≠b,k≠0.
y=k x+b , 1 2 1
1 2
1.二元一次方程与一次函数的关系:以二元一次方程y-kx=b(k,b是常数且k≠0)的解为坐标的点组成的图
象就是一次函数y=kx+b的图象,是一条直线.
{y=kx+b,
2.二元一次方程组与一次函数的关系:二元一次方程组 (k,b,m,n是常数,k≠0,m≠0,k≠m)的解
y=mx+n
是一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)与y=mx+n(m,n是常数,m≠0)的图象的交点的横坐标和纵坐标;反之,一次
函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)与y=mx+n(m,n是常数,m≠0)的图象的交点的横、纵坐标即为二元一次方程组
{y=kx+b,
的解.
y=mx+n
7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1.进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系,体会知识之间的普遍性和知识之间的相互转化.
2.理解待定系数法,会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
让学生体会一次函数与二元一次方程组的相互联系,感受“数形结合”在数学研究中的作用.
通过积极参与数学学习活动,培养学生独立思考,团结合作的精神.【重点】 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
【难点】 应用方程与函数的联系解决实际问题.
【教师准备】 教材图5 - 3及例题.
【学生准备】 复习二元一次方程组与一次函数的关系.
导入一:
师:上节课,我们学习了二元一次方程与一次函数,那么二元一次方程(组)与一次函数有哪些联系?
生1:以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是一条直线.
生2:确定两条直线交点的坐标,就相当于求相应的二元一次方程组的解;另一方面,解一个二元一次方程
组就相当于确定相应两条直线交点的坐标.
师:因此,方程问题可以通过函数知识来解决;反之,函数问题也可以通过方程知识来解决.
这节课我们就来学习用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
(板书课题:7 用二元一次方程组确定一次函数表达式)
[设计意图] 回忆旧知,体会函数和方程之间的联系,为后面利用二元一次方程组确定一次函数的表达式
埋下伏笔.
导入二:
[过渡语] 第四章我们学习了一次函数表达式的简单求法,首先我们看这个问题.
如下图所示,直线l是一次函数的图象.回答下列问题.
(1)b= ,k= ;
(2)当x=30时,y= ;
(3)当y=30时,x= .
问题1
【课件1】 一般设一次函数的表达式为什么?
问题2
【课件2】 确定一次函数的表达式关键是确定哪个参数的值?
问题3
【课件3】 确定一次函数的表达式需要几个点的坐标?
问题4
【课件4】 确定一次函数的表达式需要几个步骤?
问题5
【课件5】 当一次函数的图象与y轴相交时,交点的纵坐标与一次函数的表达式中的b的取值有关吗?[处理方式] 通过合作交流,自主完成上面的问题,帮助学生回忆已学过的知识.对于题目下的各个问题
可以多找几个同学归纳总结,总结不精确的地方,老师点拨.问题1,2,3学生比较容易得出答案,问题4在学生总
结的基础上,教师点拨确定一次函数表达式的一般步骤为:(1)设函数表达式为y=kx+b.(2)根据已知条件列出关
于k,b的方程.(3)解方程.(4)把求出的k,b值代回表达式中即可.
问题5可以让学生结合图象得出当一次函数的图象与y轴相交时,交点的纵坐标就是一次函数表达式中
的b的值.
师:同学们对已学过的知识掌握得很好.此题中的b的值可以直接由一次函数图象与y轴交点的纵坐标
确定.但有些题目b值不能直接给出,我们将如何解决呢?这节课我们将研究实际问题中的用二元一次方程组
确定一次函数表达式.
(板书课题:7 用二元一次方程组确定一次函数表达式)
[过渡语] 用画图象的方法能不能准确地解决问题呢?
一、用图象法解决问题的不足之处
出示教材“引例”:
A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,则他们
各自到A地的距离s(km)都是骑车时间t(h)的一次函数,1 h后乙距离A地80 km;2 h后甲距离A地30 km.经
过多长时间两人将相遇?
让学生讨论:
(1)思考:你有几种解决上述问题的方法?它们各有什么不足之处?
(2)对照教材,比较你的做法与小明、小颖、小亮的做法有什么不同,与同伴交流.
(3)思考讨论:图象法和代数法在解决问题时有什么不同?
学生讨论后教师小结:在上面的问题中,用画图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以准确
获得问题的结果,为了获得准确的结果,我们一般用代数方法.
[设计意图] 通过实际问题情境,进一步加强函数与方程的联系,让学生在用多种方法解决问题的思考和
比较中体会作图象方法与代数方法各自的特点,为讲解待定系数法确定一次函数的表达式做好铺垫.同时理
解知识之间有着广泛的联系.通过“小明的方法求出的结果准确吗?”自然过渡到本节课的主要内容.
二、用待定系数法确定一次函数的表达式
出示教材例题:
某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费
y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知李明带了60 kg的行李,交了行李费5元;张华带了90 kg的行李,交了
行李费10元.
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李?
引导学生分析设出关系式并解答.
展示学生研究的结果并进行讲评,出示答案.
解:(1)设y=kx+b,{5=60k+b,①
根据题意,得
10=90k+b.②
1
②-①,得30k=5,k= .
6
1
将k= 代入①,得b=-5.
6
1
所以y= x-5.
6
(2)当x=30时,y=0.所以旅客最多可免费携带30 kg的行李.
【教师总结】 待定系数法:先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函
数表达式的方法,叫做待定系数法.
待定系数法求一次函数表达式的一般步骤是:
(1)先设出一次函数的一般形式,即y=kx+b(k≠0);
(2)将自变量x的值及与它对应的函数y的值代入所设的表达式中,得到关于待定系数k和b的方程组;
(3)解方程组,求出待定系数的值,进而写出函数表达式.
[知识拓展] 求正比例函数表达式,只要一对x,y的对应值就可以.因为它只有一个待定系数;而求一次函
数的表达式,则需要两组x,y的对应值.
1.直线y=kx+b在坐标系中的位置如图所示,则 ( )
1
A.k=- ,b=-1
2
1
B.k=- ,b=1
2
1
C.k= ,b=-1
2
1
D.k= ,b=1
2{0=2k+b,
解析:设函数表达式为y=kx+b,由图可得函数图象过点(2,0)和(0,1),将这两点坐标代入得 解
1=b,
{ 1
k=- ,
得 2 故选B.
b=1.
2.已知函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为-2,且当x=2时,y=1.那么此函数的表达式为
.
{ 3
{ b=-2, k= , 3 3
解析:将(0,-2)与(2,1)代入y=kx+b得 解得 2 则函数解析式为y= x-2.故填y= x-2.
2k+b=1, 2 2
b=-2,
3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,-1)和点B(-1,3),求这个一次函数的表达式.
{k+b=-1, {k=-2,
解:依题意将A(1,-1)与B(-1,3)代入y=kx+b,得 解得 ∴所求的表达式为y=-2x+1.
-k+b=3, b=1,
7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
一、用图象法解决问题的不足之处
二、用待定系数法确定一次函数的表达式
一、教材作业
【必做题】
教材第128页习题5.8第1,2题.
【选做题】
教材第128页习题5.8第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一次函数的图象经过点A(-2,-1),且与直线y=2x-3平行.则此函数的表达式为 ( )
A.y=x+1 B.y=2x+3
C.y=2x-1 D.y=-2x-5
2.已知某个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2,0),(0,4),求这个函数的表达式.
3.一个一次函数的图象平行于直线y=-2x,且经过点A(-4,2),求这个函数的表达式.
4.某商场搞促销活动,一次性购买x件T恤的价格为y元,x与y之间的关系如下表:
x/件 1 2 3 4
y/元 38 68 90 108
能将y看成x的一次函数吗?
1
5.直线l与直线y=2x+1的交点的横坐标为- ,与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1,求直线l对应的函数表达式.
2
【能力提升】6.根据下列各小题中的条件,求相应的一次函数关系式.
(1)一次函数的图象经过点A(2,4),B(0,2),求其表达式;
(2)一次函数的图象如图所示,求其表达式;
(3)一次函数的图象经过点A(2,0)且与直线y=-x+3平行,求其表达式;
(4)一次函数的图象经过点P(1,2)且与直线y=2x+3的交点在y轴上,求其表达式.
7.某市自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按月用水量分段收费办法,某户居民应交水费y(元)与用水量
x(吨)的函数关系如图所示.
(1)分别写出当0≤x≤15和x>15时,y与x的函数关系式;
(2)若某用户10月份用水量为10吨,则应交水费多少元?若该用户11月份交了51元的水费,则他该月用水多
少吨?
【拓展探究】
8.某超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒,乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍,考虑各
种因素,预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示.当购进的
甲、乙品牌的文具盒中,甲有120个时,购进甲、乙品牌文具盒共需7200元.
(1)根据图象,求y与x之间的函数关系式;
(2)求甲、乙两种品牌的文具盒的进货单价.
【答案与解析】
1.B(解析:设此函数的表达式为y=kx+b,因为该直线与直线y=2x-3平行,所以k=2,又因为图象经过点A(-2,-1),所
以将此点的坐标及k的值代入表达式即可求出b.)
{0=-2k+b, {k=2,
2.解:设一次函数表达式为y=kx+b,由题意得 ∴ 故这个一次函数的表达式为
b=4, b=4.
y=2x+4.
3.解:设一次函数表达式为y=kx+b,∵它的图象平行于直线y=-2x,∴k=-2,又∵该函数图象经过点(-4,2),∴函数表
达式为y=-2x-6.
4.解:假设y与x的关系为一次函数关系,设为y=kx+b,由题可知该直线经过点(1,38)和点(2,68),从而
38=k+b,68=2k+b,k=30,b=8.∴y=30x+8,当x=3时,y=30×3+8=98≠90,∴y不是x的一次函数.1 ( 1 )
5.解:把x=- 代入y=2x+1,得y=0,∴直线l与直线y=2x+1的交点坐标为
- ,0
;同理可求得直线l与直线
2 2
( 1 ) 2 1
y=-x+2的交点坐标为(1,1).设直线l的解析式为y=kx+b,将
- ,0
,(1,1)代入,可求得表达式为y= x+ .
2 3 3
{4=2k+b, {k=1,
6.解:(1)设y=kx+b,∵图象经过点A(2,4),B(0,2),∴ 解得 ∴所求一次函数表达式为y=x+2.
2=b, b=2.
{k+b=0, { k=2,
(2)设y=kx+b,根据图象可知点(1,0),(0,-2)在直线y=kx+b上,∴ 解得 ∴所求一次函数表达
-2=b, b=-2.
式为y=2x-2. (3)设y=kx+b,∵函数y=kx+b的图象与直线y=-x+3平行,∴k=-1,又∵其图象经过点
A(2,0),∴0=-1×2+b,解得b=2.∴所求一次函数表达式为y=-x+2. (4)设y=kx+b,∵直线y=2x+3与y轴的交点为
(0,3),而直线y=kx+b与直线y=2x+3的交点在y轴上,∴直线y=kx+b与y轴的交点就是(0,3),∴3=b,又∵直线
{ b=3, {k=-1,
y=kx+b经过点P(1,2),∴ 解得 ∴所求一次函数表达式为y=-x+3.
2=k+b, b=3.
9 9
7.解:(1)当0≤x≤15时,设y=kx,根据题意得27=15k,解得k= ,所以当0≤x≤15时,y= x;当x>15时,设y=kx+b,
1 1 1 5 5 2
{27=15k +b, { k = 12 , 12
根据题意可得方程组 2 解这个方程组,得 2 5 所以当x>15时,y= x-9. (2)当x=10
39=20k +b, 5
2 b=-9.
9 12
时,代入y= x中,得y=18.故10月份应交水费18元.当y=51时,代入y= x-9中,得x=25.则11月份用水25吨.
5 5
{250=50k+b, {k=-1,
8.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由函数图象,得 解得 所以y与x
100=200k+b, b=300.
之间的函数关系式为y=-x+300. (2)因为y=-x+300,所以当x=120时,y=180.设甲品牌的进货单价是a元,则乙
品牌的进货单价是2a元,由题意得120a+180×2a=7200,解得a=15,所以乙品牌的进货单价是2×15=30(元).答:
甲、乙两种品牌的文具盒的进货单价分别为15元、30元.
为了进一步深化对数形结合思想的理解,需要帮助学生理解利用一次函数图象解决问题的不足,这就调
动了学生进一步探索二元一次方程组与一次函数关系的积极性.通过本节课的教学,帮助学生认识了方程组
可以解决两个一次函数图象的交点问题,也可以求出一次函数的表达式.
在本节课的教学过程中,忽略了强调从实际意义理解二元一次方程组与一次函数的关系.方程组无解不
等于函数关系式没有意义,方程组的解也不一定适合实际生活.
对用待定系数法求函数关系式的理解,要向学生强调必须结合生活实际去理解.随堂练习(教材第127页)
{y=-x+4,
1.
y=2x+1
1
{k= ,
{15=k+b, 2 1 29
2.解:设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.由题意得 解得 所以y= x+ ,当x=4
16=3k+b, 29 2 2
b= ,
2
1 29 33
=
时,y= ×4+ .
2 2 2
习题5.8(教材第128页)
1.解:(1)y=7.5x+0.5. (2)当x=10时,y=7.5×10+0.5=75.5.
{28=8x+3 y,
2.解:设标准内水价为x元/m3,超过标准部分的水价为y元/m3,根据题意得 解这个方程组,得
44=8x+7 y,
{x=2,
答:标准内水价为2元/m3,超过标准部分的水价为4元/m3.
y=4.
{3u+b=14, {u=-12,
3.解:(1)3 31 (2)设y与x之间的关系式为y=ut+b,则 解得 所以关系式为
b=50, b=50,
y=-12t+50. (3)够用.理由如下:以70 km/h的速度行驶210 km需3 h,每小时耗油12 L,3 h耗油36 L,加完
油后,油箱中有油45 L,45 L>36 L,所以油箱中的油够用.
用待定系数法确定函数表达式.
(1)定义:先设待求函数表达式(其中含有未知的系数),再根据条件列出方程或方程组求出未知数,从而得
到所求结果的方法,叫做待定系数法,其中的未知数也称为待定系数.
(2)用待定系数法求表达式的一般步骤:①根据已知条件写出含有待定系数的表达式;②将x,y的几对对
应值或图象上几个点的坐标代入上述的表达式中,得到以待定系数为未知数的方程或方程组;③解方程(组),
得到待定系数的值;④将求出的待定系数代回所设的函数表达式中,得到所求的函数表达式.
两摞相同规格的饭碗整齐地叠在桌面上,请根据图中给出的数据信息,解答问题.
(1)求整齐地叠在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数关系式(不要求写出自变量x的
取值范围);
(2)若桌面上有12个饭碗,整齐地叠成一摞,求出它的高度.{4k+b=10.5, {k=1.5,
解:(1)设函数表达式为y=kx+b,根据题意得 解得 ∴y与x之间的关系式
7k+b=15, b=4.5,
为y=1.5x+4.5.
(2)当x=12时,y=1.5×12+4.5=22.5,∴桌面上12个整齐叠放的一摞饭碗的高度为22.5 cm.
*8 三元一次方程组
1.理解三元一次方程和三元一次方程组的概念.
2.会解简单的三元一次方程组.
3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想.
通过三元一次方程组的解法练习,培养学生的分析能力,能根据题目的特点,确定消元方法、消元对象.培
养学生的计算能力、训练解题技巧.
让学生通过自己的探索、尝试、比较等活动去发现一些规律,体会一些数学思想,从而激发学生的求知
欲望和学习兴趣.
【重点】 使学生会解简单的三元一次方程组,经过本课教学,进一步熟悉解方程组时“消元”的基本
思想和灵活运用代入法、加减法等解方程组.
【难点】 针对方程组的特点,选择最佳的消元方法.
【教师准备】 预想学生在解三元一次方程组过程中存在的困难.
【学生准备】 总结、回忆解二元一次方程组的方法.
导入一:
有甲、乙、丙三种货物,若购进甲3件、乙7件、丙1件,共需3.15元;若购进甲4件、乙10件、丙1件,
共需4.20元.现在购进甲、乙、丙各1件,共需多少钱?
[处理方式] 想一想,如何列方程组解决实际问题,让学生在回顾二元一次方程组应用的基础上列出方程
组,这里有三个要求的量,怎么办?学生预设直接设单价分别为x,y,z元,用它们可以表示哪些等量关系?顺理成
章,直截了当,容易理解.解:设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x元,y元,z元.
{3x+7 y+z=3.15,①
根据题意得
4x+10 y+z=4.20.②
这是一个一次方程组,这里有几个未知数?
怎样解这个方程组呢?
(板书课题:8 三元一次方程组)
今天,我们就一起来研究如何解三元一次方程组.
导入二:
[过渡语] 为了创建省级文明城市,我校参加区中学生运动会的有28名运动员,其中男运动员比女运动
员的2倍多4人,求男、女运动员各多少人.、
[处理方式] 在多媒体上展示,让学生说出如何解、设、列出方程组,也是对二元一次方程组的回顾.实
际上,有不少问题中会含有更多的未知数,对于这样的问题,我们将如何来解决呢?(板书课题)
出示教材引例:
已知甲、乙、丙三数的和是23,甲数比乙数大1,甲数的2倍与乙数的和比丙数大20,求这三个数.
[处理方式] 让学生在回顾二元一次方程组应用的基础上列出方程组,这里有三个要求的量,直接设这三
数分别为x,y,z,用它们可以表示哪些等量关系?顺理成章,直截了当,容易理解.
[设计意图] 在二元一次方程组的基础上,让学生理解这个方程组和前面学过的二元一次方程组的区别
和联系,未知数个数和方程都比二元一次方程组多一个,所含未知数的项的次数都是一次.
[过渡语] 什么是三元一次方程及三元一次方程组呢?
一、三元一次方程及三元一次方程组
思路一
[过渡语] 请同学们想一想,通过观察,方程所含未知数的个数及次数与之前所学的方程组有何区别?用
自己的语言叙述规律.在这个方程组中,x+y+z=23和2x+y-z=20都含有三个未知数,并且所含未知数的项的次
数都是1,这样的方程叫做三元一次方程.像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫做
三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次方程组的解.
[处理方式] 鼓励学生进行大胆的发现,用比较发现的方法总结相关结论.在活动中让学生发现不同,得
出相关结论,尽量由学生归纳得出,教师可以给予适当的指导.对定义的理解给学生留足时间.
[设计意图] 通过创设问题情境,引入新课,使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题,
强调审题时抓住的三个等量关系,从而表示成以上三个方程,这个问题的解答必须同时满足这三个条件,因此,
{
x+ y+z=23,
把这三个方程联立起来,成为 2x+ y-z=20,引出三元一次方程组的概念.
x- y=1,
思路二
出示下列问题:
有人问甲、乙、丙三人的年龄.甲说:“我们三个人的年龄之和为23.”丙说:“甲的年龄比乙大1岁,甲
年龄的2倍与乙年龄的和比丙大20岁.”聪明的你能算出甲、乙、丙的年龄各是多少吗?
师:我们先尝试下设3个未知数怎么解决这个问题.
解:设甲的年龄为x岁,乙的年龄为y岁,丙的年龄为z岁,
{
x+ y+z=23,
根据题意得
x- y=1,
2x+ y-z=20.在老师的引导下,让学生认真观察这三个方程的特点,给此方程组下一个定义.
师:出示三元一次方程组的概念:
这种由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组.
提示三元一次方程组与一元一次方程及二元一次方程组的关系.
二、三元一次方程组的解法
引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本思想——消元,以及消元的基本方法(代入消元、加
{
x+ y+z=23,①
减消元),尝试对 2x+ y-z=20,② 进行消元,从而解决教材引例.
x- y=1③
步骤(1):选取一种方法解此三元一次方程组,由学生独立思考解决,教师注意规范板书.
步骤(2):在学生独立选择方法解决的基础上,引导学生进行比较:在解三元一次方程组时的消元与解二元
一次方程组时的消元有什么不同?解上面的方程组时,你能先消去未知数y(或z),从而得到方程组的解吗?
[处理方式] 先让学生独立思考,然后在学生充分思考的前提下,进行小组讨论,在此基础上由学生代表
回答,老师适时地引导与补充,力求通过学生观察、思考与讨论后能得出要点,教师板书用代入法消元的求解
过程,强调解题的格式.(多媒体展示解题方法及过程)
[设计意图] 让学生体会将三元转化成二元的消元思路,尝试用代入或加减的消元方法来解决.
三、自主探究
1.三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行.
2.用代入消元法:由于方程组中③式的特点,可将③式分别代入①,②式,消去x,从而转化为关于y,z的二元
一次方程组再求解.
3.用加减消元法:由于③式中没有含z,可以将①,②式联立相加,消掉z,从而转化为关于x,y的二元一次方
程组再求解.
4.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元,实现三元→二元→一元的转化.在消元过程中,消
“谁”都行,用哪种消元方法(代入法、加减法)均可,但如果选择方法合适,可提高计算的效率.
[处理方式] 给学生留3分钟的时间交流,比较一下两种方法的特点,针对不同的方程组,先分析其特点,
再选取消元法.
[设计意图] 想让学生深刻理解代入消元法和加减消元法的特点,在解题时直接选对方法,少走弯路,提
高解题效率.
四、跟踪训练
解方程.
{
x+ y+z=26,①
(1) 2x- y+z=18,②
x- y=18.③
{
x+ y+z=10,①
(2) 2x+3 y+z=17,②
3x+2y-z=8.③
[处理方式] 方程组(1)是在课本例题的基础上,改变数据所得,因为本题的意图是让学生模仿老师的做法
自行操作的题,所以尽量让各项系数简单一些,让学生练习时感觉愉悦一些.方程组(2)是三个方程均含有三个
未知数的三元一次方程组,和学生一起探求出解决的整体思路.然后让学生自行求解,使其进一步理解三元一
次方程组的求解方法,培养计算能力.[设计意图] 结合新课导入二中列出的方程组,类比前面所学二元一次方程组的解法,得到解三元一次方
程组的整体思路——消元,并找出相应的消元方法.求解完后引导学生总结三元一次方程组的求解思路:三元
→二元→一元,关键在于消元.
[知识拓展] 1.三元一次方程组中一共含有三个未知数,并不一定每个方程都含有三个未知数.
2.三元一次方程组与二元一次方程组有很多类似的地方,学习时可运用类比的思想方法比较三元一次方
程组与二元一次方程组有关概念的相同点和不同点,这样不仅能加深对概念的理解,还能提高对“元”和
“次”的认识,而且可以逐步提高类比分析和归纳概括的能力.
1.下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
{ x+ y=1 { x2-4=0
A. 2y+z=-2 B. y+1=x
3 y=6 xy-z=-3
{
x=2 {y-x=-1
C. 2y=-3 D. x+z=3
x-z=1 2y-z=0
解析:由题意知含有三个不同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1次,并且一共有三个方程,
这样的方程组叫做三元一次方程组.A.满足三元一次方程组的定义,故A选项错误;B.x2-4=0,未知数x的次数
为2次,∴不是三元一次方程,故B选项正确;C.满足三元一次方程组的定义,故C选项错误;D.满足三元一次方
程组的定义,故D选项错误.故选B.
{x+ y=1,①
2.三元一次方程组 y+z=5,② 的解是 ( )
z+x=6③
{x=1 {x=1
A. y=0 B. y=2
z=5 z=4
{x=1 {x=4
C. y=0 D. y=1
z=4 z=0
解析:由②得y=5-z,④ 由③得x=6-z,⑤ 将④和⑤代入①,得11-2z=1,∴z=5,∴x=1,y=0,∴方程组的解为
{x=1,
y=0, 故选A.
z=5.
{
3x- y+z=4,①
3.解三元一次方程组 2x+3 y-z=12,②
x+ y+z=6.③
解析:因为三个方程中z的系数相同或互为相反数,所以应用加减法来解.解:①+②得5x+2y=16,④
③+②得3x+4y=18,⑤
{5x+2y=16,
得方程组
3x+4 y=18,
{x=2,
解得
y=3.
代入③得2+3+z=6,
∴z=1.
{x=2,
∴方程组的解为
y=3,
z=1.
8 三元一次方程组
一、三元一次方程及三元一次方程组
二、三元一次方程组的解法
三、自主探究
四、跟踪训练
一、教材作业
【必做题】
教材第131页习题5.9第1,2题.
【选做题】
教材第131页习题5.9第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
{
z=x+ y,
1.方程组 2x-3 y+2z=5, 的解是 ( )
x+2y-z=3
{x=3 {x=4
A. y=2 B. y=3
z=5 z=7
{x=2 {x=2
C. y=3 D. y=2
z=5 z=3
{
x-z=4,①
2.解方程组 2y-z=1,② 最简便的方法是 ( )
x+ y-z=-1,③
A.直接用代入法消去x
B.先用③-①消去x,z
C.用①-②,②-③先消去z
D.先用2×③-②消去y{3x- y+2z=3,
3.解方程组 2x+ y-4z=11, 若要使运算简便,消元的方法应选取 ( )
7x+ y-5z=1,
A.先消去xB.先消去y
C.先消去zD.以上说法都不对
4.解下列方程组.
{3x- y+2z=3,
(1) 2x+ y-3z=11,
x+ y+z=12.
{2x+4 y-3z=9,
(2) 3x-2y-4z=8,
5x-6 y-5z=7.
【能力提升】
5.设“●”“■”“▲”表示三种不同的物体,现用天平称了三次,如下图所示,那么这三种物体的质量分别是
.
1 1
6.甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大5,乙数的 等于丙数的 .求这三个数.
3 2
7.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而
成,乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成,丙种盆景由10朵红花,18朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些
盆景一共用了2900朵红花、3750朵紫花,则黄花一共用了多少朵?
【拓展探究】
8.为了组织一个50人的旅游团开展“乡间民俗游”活动,旅游团住村民家,住宿客房有三人间、二人间、单
人间三种,收费标准是三人间每人每晚20元,二人间每人每晚30元,单人间每人每晚50元,旅游团共住20间
客房(每间都住满),旅游团如何安排住宿才能够使得住宿费用最低?并说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:代入方程组,能使方程组中每个方程都成立的就是方程组的解.)
2.B(解析:①和③中x,z的系数正好都相同,相减可做到“一箭双雕”.)
3.B(解析:y的系数最简单而且绝对值相等.)
x=-1,
{x=3, {
1
4.提示:(1) y=8, (2) y= ,
2
z=1.
z=-3.5.34 g,28 g,8 g(解析:设“●”“■”“▲”的质量分别为x g,y g,z g,依三个图中的信息列出三元一次方程
{
x+2z=50,
组 x+ y+z=70, 求解即可.)
x+ y+z=x+36,
x+ y+z=35,
{ {x=10,
2x- y=5,
6.解:设甲、乙、丙三个数分别为x,y,z,依题意得 解得 y=15,故甲、乙、丙三个数分别
y z
= , z=10.
3 2
为10,15,10.
7.解:设步行街摆放甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆,y盆,z盆.由题意,得
{15x+10 y+10z=2900,①
由①得3x+2y+2z=580,③ 由②得x+z=150,④ 把④代入③,得
25x+25z=3750.②
x+2y=280,所以2y=280-x,⑤ 由④得z=150-x,⑥ 所以4x+2y+3z=4x+(280-x)+3(150-x)=730,所以黄花一共用了
24x+12y+18z=6(4x+2y+3z)=6×730=4380(朵).答:黄花一共用了4380朵.
8.解:设三人间、二人间、单人间分别住了x,y,z间,其中x,y,z都是自然数,总的住宿费为W元.则
{x=10, {x=11, {x=12,
{ x+ y+z=20, { x=10+z,
解得 因为x,y,z都是自然数,所以 y=10,或 y=8,或 y=6,
3x+2y+z=50, y=10-2z.
z=0 z=1 z=2
{x=13, {x=14, {x=15,
或 y=4, 或 y=2, 或 y=0, 由题知W=20x+30y+50z=500+10z,所以z越小,W越小,所以当z=0,即
z=3 z=4 z=5.
x=10,y=10,z=0时,住宿的总费用最低,为500+10×0=500(元).
本节课是选学的内容,为了帮助学生深刻领会解方程组的消元思想,鼓励学生按照先前的解方程组的思
路,尝试探索三元一次方程组的解法.在老师的肯定和指导下,学生探索尝试的欲望较强,比较好地实现了本节
课的教学目标.
在教学的过程中,应该鼓励学生用多种方法去“消元”,以此达到灵活解方程组的目的.
在本节课的习题设计当中,涉及用三元一次方程组解实际问题的题目比较多,应该减少解决实际问题的
类型题,强化对解方程组技能的训练.
随堂练习(教材第131页){
x+z= y,①
1.解:设这个三位数的百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z,依题意得 7x= y+z+2,② 把①分别
x+ y+z=14,③
{3x-z=1, {x=2,
代入②和③并整理得 解得 代入①得y=7,所以这个三位数为275.
x+z=7, z=5,
{
x+ y+z=26,①
2.解: x- y=1,② ③-①得x-2y=-8,④ ②-④得y=9,把y=9代入②得x=10,把x=10,y=9代入①得
2x- y+z=18,③
{x=10,
z=7,所以方程组的解为 y=9,
z=7.
习题5.9(教材第131页)
{2x- y+2z=8,①
1.解:(1) y+2z=-2,② ①+②得x+2z=3,④ ①+③得5x-2z=9,⑤ ④+⑤得6x=12,x=2.把x=2代入
3x+ y-4z=1,③
x=2,
{
{
x+ y+z=10,①
1 1 y=-3,
④得z= ,把z= 代入②得y=-3,所以方程组的解为 (2) 2x+3 y+z=17,② ②-①得
2 2 1
z= . 3x+2y-z=8,③
2
x+2y=7,④
{x=3,
②+③得x+y=5,⑤ ④-⑤得y=2,把y=2代入④得x=3,把⑤代入①得z=5,所以方程组的解为 y=2,
z=5.
{x+ y=15,①
2.解法1: y+z=5,② ①+②+③得2x+2y+2z=40,所以x+y+z=20,④ ④-②得x=15,④-③得y=0,④-①
z+x=20,③
{x=15, {x+ y=15,①
得z=5,所以方程组的解为 y=0, 解法2: y+z=5,② ①-③得y-z=-5,④ ②+④得2y=0,所以y=0,
z=5. z+x=20,③
{x=15,
把y=0代入①得x=15,把y=0代入②得z=5,所以方程组的解为 y=0,
z=5.
{
x+ y+z=651, {x=231,
3.解:设七年级有x人,八年级有y人,九年级有z人,由题意得 y=(1+10%)z,解得 y=220,答:七年级
x=(1+5%)y, z=200.
有231人,八年级有220人,九年级有200人.
4.解:设这个三位数的百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z,依题意得
{
y-z=2, {y-z=2, {x=6,
x=2y,
整理得
x=2y,
解得
y=3,
答:这个三位数是
(100x+10 y+z)-(100z+10 y+x)=495, x-z=5, z=1.
631.
复习题(教材第132页)
1.C5 11
{ x= , {x=- , {x=2,
{x=5, {x=2, 8 13
2.(1) (2) (3) (4) (5) y=3,
y=5. y=7. 9 23
y=- . y=- . z=5.
8 13
{x=1, {x=0, {a-3=b, {a=5,
3.解:把 和 代入方程ax-y=b中,得 解得
y=3 y=-2 b=2, b=2.
{
a+b+c=0,
{
a=11,
4.解:(1)依题意得 4a+2b+c=3, 解得 b=-30, (2)当x=-1时,原式=a-b+c=11+30+19=60.
9a+3b+c=28, c=19.
{x- y=-1,
5.
2x- y=1
{x=2,
6.解:设直线l 的解析式为y=kx(k≠0),把 代入y=kx中,得2=2k,解得k=1.所以直线l 的解析式为y=x.同
1 y=2 1
5
{x= ,
{ y=x, 3
理可得直线l 的解析式为y=-2x+5.由此可得方程组 解得 所以点A的坐标为
2 y=-2x+5, 5
y= .
3
(5 5)
,
3 3
{2(x+ y)=44, {x=15,
8.解:设小长方形的长和宽分别为x cm和y cm.则 解得 答:小长方形的长和宽
3 y-x=6, y=7.
分别为15 cm和7 cm.
{x+ y=60, {x=45,
9.解:设长方形地砖的长和宽分别为x cm和y cm.则 解得 答:长方形地砖的长和宽
x=3 y, y=15.
分别为45 cm和15 cm.
10.解:设∠A=x°,∠B=y°,因为EC∥AD,所以∠BEC=∠A=x°,又因为EC=EB,所以∠ECB=∠B=y°,所以
{ y-x=30, {x=40,
解得 所以∠A=40°,∠B=70°.
2y+x=180, y=70.
{ 6x=5 y, {x=500,
11.解:设甲组一天生产x个产品,乙组一天生产y个产品.则 解得 答:甲
300+4x+100=4 y, y=600.
组一天生产500个产品,乙组一天生产600个产品.
{4(x+ y)=80, {x=18,
12.解:设船在静水中的速度为x km/h,水流速度为y km/h.则 解得 答:船在静水
5(x- y)=80. y=2.
中的速度为18 km/h,水流速度为2 km/h.
{ x+ y=15, {x=10,
13.解:设该专业户去年计划生产水稻x t,小麦y t,则 解得
(1+15%)x+(1+10%)y=17, y=5.
(1+15%)x=1.15×10=11.5.(1+10%)y=1.1×5=5.5.答:该专业户去年实际生产水稻11.5 t,小麦5.5 t.
{ x+ y+2=14, {x=4,
14.解:设姚明投中了x个两分球,y个罚球.则 解得 答:姚明投中了4个两分
2x+ y+3×2=22, y=8.
球和8个罚球.{ y-x=45, {x=155,
15.解:设该商品进价为x元,定价为y元,则 解得 答:该商
8(85% y-x)=12(y-35-x), y=200.
品进价为155元,定价为200元.
{7 9
(1+40%)x+ (1+40%)y=399,
16.解:设甲、乙两种商品的进价分别为x元和y元.则 10 10 解得
(1+40%)x+(1+40%)y=490,
{x=150,
答:甲、乙两种商品的进价分别为150元和200元.
y=200.
1
{x+ y=50,
2 {x=37.5,
17.解:设甲、乙两人分别带钱x,y,根据题意得 解得 答:甲、乙两人分别带钱
2 y=25.
y+ x=50,
3
37.5,25.
{ x+ y=102, {x=49,
18.解:设(1)班有x人,(2)班有y人.根据题意得 解这个方程组,得 1118-
12x+10 y=1118, y=53,
8×102=302(元).答:(1)班有49人,(2)班有53人,两班联合起来购票能省302元.
19.解:设这个长方形中右下角的两个正方形的边长为x,则其他正方形的边长依次为x+1,x+2,x+3.由题意,得
2x-(x+3)=1,所以x=4,所以这个长方形的长为13,宽为11.所以S =13×11=143.
长方形
{-2x+ y=3,
20.提示:方程组 有无穷多个解.两个方程对应的两个一次函数的图象重合为一条直线.
4x-2y=-6
1.能让学生理解三元一次方程组的概念,并掌握用“代入法”“加减法”对三元一次方程组进行消元,
逐步领会如何选择适合的方法,以提高解题效率.倡导学生主动参与、独立思考,给予学生足够的时间让学生
探索,同时借助多媒体教学,从而更好地激发学生的学习兴趣,以提高教学效率.
2.在教学过程中不宜深入讲解,只要学生能够根据自己的观察解题即可.
3.由于学生已经有了解方程组的基础,对解方程组的基本思路也已了解,所以注重学生的自主探索,并强
调小组之间的合作,强化应用意识,培养学生自主探究的能力.
{2x+6 y+3z=6,①
解方程组
3x+15 y+7z=6,②
4x-9 y+4z=9.③
〔解析〕 此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1,所以考虑用加减消元法,选择消去系数较简
单的未知数x,由①和②,①和③两次消元,得到关于y,z的二元一次方程组,最后求x.
解:①×3,得6x+18y+9z=18,④
②×2,得6x+30y+14z=12,⑤
⑤-④,得12y+5z=-6,⑥
①×2,得4x+12y+6z=12,⑦
⑦-③,得21y+2z=3,⑧{12y+5z=-6,
由⑥和⑧组成方程组
21y+2z=3,
{ 1
y= ,
解方程组,得 3
z=-2,
1
把y= ,z=-2代入①,
3
1
得2x+6× +3×(-2)=6,
3
∴x=5,
x=5,
{
1
∴方程组的解为
y= ,
3
z=-2.
[规律总结] 解三元一次方程组,除了要考虑好选择哪种方法和决定消去哪一个未知数之外,关键的一步
是由“三元”化为“二元”,特别注意两次消元过程中,方程组中每个方程至少要用到1次,并且①,②,③三个
方程中先由哪两个方程消某一个未知数,再由其他两个方程(一个是用过的)仍然消这个未知数,防止第一次消
去y,第二次消去z或x,仍然得到三元一次方程组,没有达到消“元”的目的.
1.熟练掌握二(三)元一次方程组的解法.
2.运用二元一次方程组解决一次函数问题和生活中的实际问题.
通过解决实际问题,培养良好的数学应用意识.
初步理解化未知为已知和化复杂问题为简单问题的化归思想.
【重点】
1.二元一次方程组的解法.
2.列二元一次方程组解决实际生活问题.
【难点】 一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系.二元一次方程组:共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组
{ {
二元一次方程的一个解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解
二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解
概念
三元一次方程:含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做三元一次方程
三元一次方程组:共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫做三元一次方程组
三元一次方程组的解:三元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次方程组的解
解法{代入消元法
加减消元法
二元一次方程(组)与一次函数的关系
列方程组解决实际问题
专题一 方程组的解法
【专题分析】
二元一次方程组的解法是初中数学的重点内容,也是中考命题的重要考点之一,命题形式灵活多样,单独
考查时通常以选择题、填空题为主,属中、低档题.有时还与其他知识融合,综合考查,一般以解答题的形式出
现,属中、高档题.
解下列方程组.
x+ y x- y
{ + =7.5,①
2 3
(1)
3 1
x+ y=5.4.②
5 2
{
x+z=0,①
(2) x+5 y=5,②
y+z=1.③
{5x+ y=45,③
解:(1)原方程组可化为
6x+5 y=54,④
③×5-④,得19x=171,
解得x=9,
把x=9代入③得45+y=45,
解得y=0,
{x=9,
所以原方程组的解为
y=0.
(2)由①-③得x-y=-1,④
{x+5 y=5,
④和②组成方程组
x- y=-1,
{x=0,
解得
y=1,把x=0代入①得z=0,
{x=0,
所以原方程组的解为
y=1,
z=0.
[解题策略] 所有的二(三)元一次方程组都既可以用“代入法”解,又可以用“加减法”解,但是通过比
较,我们发现对于同一个方程组,用两种方法解有“烦”“简”之别,所以应该根据方程组的结构特点,选择最
优的方法,但“加减法”比“代入法”更直观些,所以在解二(三)元一次方程组时常常选用“加减法”,除了
这两种方法之外,对于一些特殊的二(三)元一次方程组也有一些特殊的解法.
{ 7x-3 y=5,①
【针对训练1】 解二元一次方程组
-5x+6 y=-6.②
〔解析〕 解方程组的基本思路是消元,消元有代入消元法和加减消元法,本题可用两种方法求解.
3 5
解法1:由①得x= y+ ,③
7 7
(3 5)
将③代入②得-5
y+
+6y=-6,
7 7
17
∴y=- ,④
27
4
将④代入③得x= .
9
4
{ x= ,
9
∴方程组的解为
17
y=- .
27
4
解法2:①×2+②得9x=4,x= ,
9
4 17
把x= 代入①得y=- .
9 27
4
{ x= ,
9
∴方程组的解为
17
y=- .
27
[规律方法] 一般地,当某个未知数系数为±1时,用代入法解比较简便;当方程中有一个未知数的系数的
绝对值相等或成整数倍或容易化成某一个未知数的系数绝对值相等时,用加减消元法解较为简便.
{
x+ y+z=12,①
【针对训练2】 解方程组 x+2y+5z=22,②
x=4 y.③
〔解析〕 解三元一次方程组的基本思路是消元.把三元化成二元,再把二元化成一元.
{5 y+z=12,④
解:把③分别代入①,②得
6 y+5z=22,⑤
{y=2,
解得
z=2.把y=2代入③,得x=8.
{x=8,
∴原方程组的解是
y=2,
z=2.
[规律方法] 一般地,当方程组中已经有一个未知数的系数为±1时,通常把这个方程代入其他的方程中
达到消元的目的.
专题二 用二元一次方程组解决实际问题
【专题分析】
二元一次方程组的应用主要是指用二元一次方程组解决实际问题.它能够进一步激发我们学习数学的
兴趣,增强应用数学的意识,它的实质是把实际问题中“未知”转化成“已知”,但应用题中的数量关系复杂
而多变,既要从生活实际中抽象出数学模型进行分析,也要从题目给出的大量信息中分析出数量关系,这一点
是非常重要的.
列二元一次方程组解实际问题是历届中考的重要考点之一,许多地区都以此来考查运用数学知识解决
实际问题的能力.有关本章内容的考题一般都以实际生活、社会生产为背景,具有时代气息和地方特点,多以
解答题的形式出现,有时也结合其他知识命题,属中档题.
为响应“美丽河池,清洁乡村,美化校园”的号召,红水河中学计划在学校公共场所安装温馨提
示牌和垃圾箱.已知安装5个温馨提示牌和6个垃圾箱需730元,安装7个温馨提示牌和12个垃圾箱需1310
元.
(1)安装1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元?
(2)安装8个温馨提示牌和15个垃圾箱共需多少元?
〔解析〕 (1)先设安装1个温馨提示牌需要x元,1个垃圾箱需要y元,根据安装5个温馨提示牌和6个
垃圾箱需730元,安装7个温馨提示牌和12个垃圾箱需1310元,列出方程组,求出方程组的解即可.(2)根据安
装1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需50元、80元,可得安装8个温馨提示牌和15个垃圾箱共需的钱数是:
50×8+80×15,再进行计算即可.
解:(1)设安装1个温馨提示牌需要x元,1个垃圾箱需要y元,
{ 5x+6 y=730,
根据题意,得
7x+12y=1310,
{x=50,
解得
y=80.
答:安装1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需50元、80元.
(2)安装8个温馨提示牌和15个垃圾箱共需的钱数是50×8+80×15=1600(元).
答:安装8个温馨提示牌和15个垃圾箱共需1600元.
【针对训练3】 某服装店用6000元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利
润=售价-进价),这两种服装的进价、标价如下表所示:
(1)求这两种服装各购进的件数;
(2)如果A种服装按标价的8折出售,B种服装按标价的7折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按
标价售出少收入多少元?
〔解析〕 (1)设A种服装购进x件,B种服装购进y件,由总价=单价×数量,利润=售价-进价建立方程组
求出其解即可;(2)分别求出打折后的价格,再根据总利润=A种服装的利润+B种服装的利润,求解即可.解:(1)设A种服装购进x件,B种服装购进y件,
{ 60x+100 y=6000,
由题意,得
(100-60)x+(160-100)y=3800,
{x=50,
解得
y=30.
答:A种服装购进50件,B种服装购进30件.
(2)由题意得3800-50×(100×0.8-60)-30×(160×0.7-100)=3800-1000-360=2440(元).
答:服装店比按标价售出少收入2440元.
专题三 方程思想
【专题分析】
方程是描述现实世界的有效数学模型,在日常生活、工农业生产、城市规划及国防领域等方面都有广
泛的应用,列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找等量关系,寻找等量关系应从以下两方面入手:(1)仔
细审题,寻找关键词语;(2)采用画图、列表等方法挖掘等量关系.
某城市规定:出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米,超过3千米的部分按每千米另收费.甲
说:“我乘这种出租车走了11千米,付了17元.”乙说:“我乘这种出租车走了23千米,付了35元.”请你算一
算,这种出租车的起步价是多少元?超过3千米后,每千米的车费是多少元?
〔解析〕 本题考查了二元一次方程组的应用,找出等量关系,准确列出方程组是解决问题的关键.
解:设这种出租车的起步价是x元,超过3千米后每千米收费y元,
{x+(11-3)y=17,
根据题意,得
x+(23-3)y=35,
{ x=5,
解得
y=1.5.
答:这种出租车的起步价是5元,超过3千米后每千米收费1.5元.
【针对训练4】 某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件.已知捐给甲校的矿泉水
件数比捐给乙校件数的2倍少400件,求该企业分别捐给甲、乙两所学校各多少件矿泉水.
〔解析〕 设该企业向甲学校捐了x件矿泉水,向乙学校捐了y件矿泉水,则根据总共捐赠2000件,及捐
给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件分别可得出方程,联立求解即可.
解:设该企业向甲学校捐了x件矿泉水,向乙学校捐了y件矿泉水,
{x+ y=2000,
由题意,得
x=2y-400,
{x=1200,
解得
y=800.
答:该企业向甲学校捐了1200件矿泉水,向乙学校捐了800件矿泉水.
专题四 转化思想
【专题分析】
将要研究和要解决的问题转化为已经学过的问题来处理的数学思想称为转化思想,它是一种研究和解
决数学问题的基本思想,如方程组中含有多个未知数,解方程组的基本思想是“消元”,化多为少,而代入法和
加减法则是落实转化思想的具体措施.
{x=2,
已知 是关于x,y的二元一次方程❑√3x=y+a的解,求(a+1)(a-1)+7的值.
y=❑√3
〔解析〕 本题综合考查了二元一次方程的解的概念,将方程的解代入可得到关于a的方程,解出其值
代入代数式即可.{x=2,
解:将 代入❑√3x=y+a中,得a=❑√3.
y=❑√3
[解题策略] 对二元一次方程求解时,往往需要用含有一个未知数的代数式表示出另一个未知数,从而将
求方程的解的问题转化为求代数式的值的问题.
【针对训练5】 小明从家到学校的路程为3.3千米,其中有一段上坡路,平路和下坡路.如果保持上坡路
每小时行3千米,平路每小时行4千米,下坡路每小时行5千米.那么小明从家到学校用一个小时,从学校到家
要44分钟,求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米.
〔解析〕 本题中需要注意的一点是:去时的上坡路和下坡路与回来时的上坡路和下坡路正好相反,平
路路程不变.题中的等量关系是:从家到学校的路程为3.3千米;去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时;回
时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分,据此可列方程组求解.
解:设去时上坡路是x千米,平路是y千米,下坡路是z千米.
x+ y+z=3.3,
{
x y z
+ + =1,
依题意得 3 4 5
z y x 44
+ + = ,
3 4 5 60
{x=2.25,
解得
y=0.8,
z=0.25.
答:小明家到学校的上坡路为2.25千米,平路为0.8千米,下坡路为0.25千米.
[解题策略] 本题考查了三元一次方程组的应用,本题有三个未知量,需注意去时是上坡路,回来时是下
坡路,平路不变.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知两数x,y之和是10,x比y的3倍大2,则下面所列方程组正确的是 ( )
{x+ y=10 {x+ y=10
A. B.
y=3x+2 y=3x-2
{x+ y=10 {x+ y=10
C. D.
x=3 y+2 x=3 y-2
2.二元一次方程x-2y=1有无数多个解,下列四组值中不是该方程的解的是 ( )
{
x=0
{x=1
A. 1 B.
y=- y=1
2
{x=1 {x=-1
C. D.
y=0 y=-1
3.(2014·锦州中考)哥哥与弟弟的年龄和是18岁,弟弟对哥哥说:“当我的年龄是你现在年龄的时候,你就是18
岁”.如果现在弟弟的年龄是x岁,哥哥的年龄是y岁,那么下列方程组正确的是( )
{ x= y-18 { y-x=18
A. B.
y-x=18- y x- y= y+18{ x+ y=18 { y=18-x
C. D.
y-x=18+ y 18- y= y-x
{-2x- y=m, {x=2,
4.若关于x,y的方程组 的解是 则|m-n|的值为 ( )
x+my=n y=1,
A.1 B.3 C.5 D.2
5.陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种,两种气球的价格
不同,但同一种气球的价格相同,由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二束气球的
价格如图(1)(2)所示,则第三束气球(如图所示)的价格为( )
A.9元 B.18元 C.16元 D.15元
{2x+3 y=k,
6.关于x,y的方程组 的解x,y的和为12,则k的值为 ( )
3x+5 y=k+2
A.14 B.10 C.0 D.-14
{ax+by=2, {x=-2, { x=3,
7.解方程组 时,一学生把c看错而得到 而正确的解是 那么a,b,c的值应
cx-7 y=8 y=2, y=-2,
是 ( )
A.不能确定
B.a=4,b=5,c=-2
C.a,b不能确定,c=-2
D.a=4,b=7,c=2
{x=2, {ax+by=7,
8.已知 是二元一次方程组 的解,则a-b的值为 ( )
y=1 ax-by=1
A.-1 B.1 C.2 D.3
9.在世界杯足球赛中,32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛,小组比赛规则如下:胜一场得3分,平一场
得1分,负一场得0分.若小组赛中某队的积分为5分,则该队必是 ( )
A.两胜一负 B.一胜两平
C.一胜一平一负D.一胜两负
{k x- y=-b ,
1 1
10.若一次函数y=kx+b 与一次函数y=kx+b 的图象没有交点,则方程组 的解的情况是(
1 1 1 2 2 2 k x- y=-b
2 2
)
A.有无数组解 B.有两组解
C.只有一组解 D.没有解
二、填空题(每小题4分,共32分)
{2x+ y=7,
11.已知 则x-y= ,x+y= .
x+2y=8,
12.有甲、乙两数,甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47,甲数的5倍比乙数的6倍小1,这两个数分别为
.{2x-3 y=8,
13.x,y,z满足方程组 3 y+2z=0,则xyz= .
x-z=-2,
{2x+ y=3k-1,
14.若关于x,y的二元一次方程组 的解满足x+y>1,则k的取值范围是 .
x+2y=-2
15.如图所示的是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案中花盆
的总数是s,按此规律推断,以s,n为未知数的二元一次方程是 .
16.直线l:y=kx+b与直线l:y=-3x在同一平面直角坐标系内的图象如图所示,则关于x,y的方程组
1 2
{y=kx+b,
的解为 .
y=-3x
{4x-3 y-6z=0, 2x2+3 y2+6z2
17.已知 (x,y,z≠0),则 的值为 .
2x+4 y-14z=0 x2+5 y2+7z2
18.如图(1)所示,在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形,再将图中的阴影部分剪拼成一个长
方形,如图(2)所示,这个拼成的长方形的长为30,宽为20,则图(2)中Ⅱ部分的面积是 .
三、解答题(共58分)
19.(8分)解方程组.{3x- y=7,
(1)
x+3 y=-1;
{
x+ y+z=6,
(2) 3x- y=3,
2x+3 y-z=12.
5
20.(8分)当自变量x取何值时,函数y= x+1与y=5x+6的值相等?这个函数值是多少?
2
21.(10分)一个两位数,它的两个数位上数字的和的5倍再加上这个两位数所得的和等于将这个两位数的两
个数字交换位置后所得的两位数,求原两位数.
22.(10分)小李骑电动自行车,预计用相同的时间往返于甲、乙两地,去时电动自行车的车速是18 km/h,结果
早到20 min;返回时,以每小时15 km的速度行进,结果晚到4 min.求甲、乙两地间的距离.
23.(10分)某中学组织学生春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客
车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车每日每辆租金为220元,60座客车每日每辆租金为300
元.
(1)参加春游的学生共多少人?原计划租45座客车多少辆?
(2)若租用同一种车,要使每位同学都有座位,怎样租车更合算?
24.(12分)为方便市民出行,减轻城市中心交通压力,长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1,2号线.已
知修建地铁1号线24 km和2号线22 km共需投资265亿元.若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的
平均造价多0.5亿元.
(1)求1号线、2号线每千米的平均造价分别是多少亿元;
(2)除1,2号线外,长沙市政府规划到2018年还要再建91.8 km的地铁线网,据预算,这91.8 km地铁线网每千
米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍,则还需投资多少亿元?
【答案与解析】
1.C
2.B
3.D
4.D
{3x+ y=14,①
5.C(解析:设笑脸气球x元一个,爱心气球y元一个,由题意得 (①+②)÷2得2x+2y=16.)
x+3 y=18,②
{x=2k-6,
6.A(解析:解方程组得 根据题意得(2k-6)+(4-k)=12,解得k=14.故选A.)
y=4-k,
{x=-2, {x=3, {3a-2b=2,①
7.B(解析:把 和 分别代入ax+by=2,得 ①+②得a=4.代入①解得
y=2 y=-2 -2a+2b=2,②
{x=3,
b=5.把 代入cx-7y=8得3c+14=8,所以c=-2.)
y=-2
8.A(解析:将x,y的值代入方程组中,得到关于a和b的二元一次方程组后,再求解.)
9.B(解析:根据题意,32支足球队分为8个小组进行单循环比赛,每组4支球队,也就是说每支球队都要进行三
场比赛,设其胜局数为x,平局数为y(x,y是整数),必有y=5-3x,且0≤5-3x≤3.可得x=1,y=2.故选B.)
10.D(解析:两函数的图象没有交点,则说明相对应的二元一次方程组无解.)
11.-1 5(解析:分别将两个方程相加和相减,得到对应的关于x+y和x-y的式子后再计算.)
17
12.10
2{2x-3 y=8,①
13.-6(解析: 3 y+2z=0,② 由①+②得x+z=4,④ 由④+③得2x=2,∴x=1,把x=1代入③得z=3,把z=3代
x-z=-2,③
入②得y=-2,∴xyz=1×(-2)×3=-6.)
{2x+ y=3k-1,①
14.k>2(解析: ①-②×2得y=-k-1,将y=-k-1代入②得x=2k,∵x+y>1,∴2k-k-1>1,解得
x+2y=-2,②
k>2.)
15.s=3n-3(解析:如果将各顶点处的花盆算在各边之内,那么各个顶点处的花盆恰好重复计算一次,所以
s=3n-3.)
{x=-1,
16. (解析:∵直线l:y=kx+b与直线l:y=-3x的交点的横坐标为-1,∴y=-3×(-1)=3,∴两直线的交点坐标
y=3 1 2
{y=kx+b, {x=-1, {x=-1,
为(-1,3),∴关于x,y的方程组 的解为 故填 )
y=-3x y=3. y=3.
{x=3z, 2(3z)2+3(2z)2+6z2
17.1(解析:把z看成常数,解得 则所求式子= =1.)
y=2z, (3z)2+5(2z)2+7z2
{a+b=30, {a=25,
18.100(解析:根据题意得出 解得 如图所示,故Ⅱ部分的面积是AB·BC=5×20=100.)
a-b=20, b=5,
{3x- y=7,①
19.解:(1) ①×3+②得10x=20,解得x=2,将x=2代入①得y=-1,则方程组的解为
x+3 y=-1,②
{
x+ y+z=6,①
{ x=2,
(2) 3x- y=3,② ①+③得3x+4y=18,④ 由②得y=3x-3,⑤ 把⑤代入④得
y=-1.
2x+3 y-z=12,③
3x+4(3x-3)=18,解得x=2,把x=2代入⑤得y=3×2-3=3,把x=2,y=3代入①得2+3+z=6,解得z=1,所以原方程组的
{x=2,
解为
y=3,
z=1.
{ 5
y= x+1,① 5
20.解法1:由题意可建立方程组 2 把①代入②得 x+1=5x+6,解得x=-2.此时
2
y=5x+6,②
5
y=5×(-2)+6=-4.即当x=-2时,两个函数的值相等,这个函数值为-4.解法2:在平面直角坐标系中作出函数y=
2
5
x+1和y=5x+6的图象,如图所示.由图象可以看出,直线y= x+1与直线y=5x+6的交点坐标为(-2,-4),即当x=-2
2时,两个函数的值相等,这个函数值为-4.
21.解:设原两位数的十位数字为x,个位数字为y,根据题意得5(x+y)+(10x+y)=10y+x,所以7x=2y.因为x,y为1~9
{x=2,
的自然数(0不符合),所以7x=2y的唯一一个解是 所以这个两位数为27.
y=7,
s 1
{ + =t,①
18 3
22.解:设预计的相同时间为t h,甲、乙两地间的距离为s km,根据题意,得 由②得
s 1
- =t,②
15 15
15t+1 1 7 7 7
+
s=15t+1,③ 把③代入①,得 =t,解得t= .把t= 代入③,得s=15× +1=36.答:甲、乙两地间的距
18 3 3 3 3
离为36 km.
{ 45 y+15=x,
23.解:(1)设参加春游的学生有x人,原计划租用45座客车y辆.根据题意,得 解方程组,得
60(y-1)=x,
{x=240,
答:春游学生共240人,原计划租45座客车5辆. (2)租45座客车:240÷45≈5.3(辆),所以需租车6
y=5.
辆,租金为220×6=1320(元);租60座客车:240÷60=4(辆),所以需租4辆,租金为300×4=1200(元).所以租用4辆
60座客车更合算.
{24x+22y=265,
24.解:(1)设1号线,2号线每千米的平均造价分别是x亿元,y亿元,由题意得 解得
x- y=0.5,
{ x=6,
答:1号线,2号线每千米的平均造价分别是6亿元和5.5亿元. (2)由(1)得出
y=5.5.
91.8×6×1.2=660.96(亿元).答:还需投资660.96亿元.
