文档内容
北师大版（2024）第四章《一次函数》回顾与思考教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 回顾与思考 课时 1
一次函数是初中数学从“常量数学”迈向“变量数学”的关键一步。是整个初中数学函数知识
的基石，它不仅承载丰富的数学知识（如解析式、图像、性质），更蕴含核心的数学思想（如，数形
课标 结合思想、模型思想），学好一次函数不仅是当前考试，更能为后续学习反比例函数、二次函数乃
要求 至高中阶段函数知识，打下坚实的基础。
本章节课标要求：强调从具体情境中抽象出数学问题，建立函数模型，并用函数知识解决实际问
题。
本节内容是北师大版八年级数学上册第四章一次函数的整理复习课。通过整理复习，进一
步理解和掌握一次函数的概念、图像的性质、利用一次函数的知识解决实际问题。本节内容是同
教材 学进一步学习“数型结合”这一数学思想方法的很好素材。也为后面学习反比例函数、二次函
分析 数的学习奠定基础，同时整个初中阶段一元一次方程、一元一次不等式都存在于一次函数中，三
者互相依存，紧密联系，也为方程、不等式、函数解法提供了新的途径。
学习一次函数,意味着由常量数学的学习进入变量数学的学习,学生的思维方式要随之而变,
这是对学生思维能力的考验,也是其数学认识的一次重要飞跃。学生在学习一次函数的过程中,
对简单问题(如简单地应用待定系数法求一次函数、直接应用图象特征判别问题特征等)往往能
学情 根据课堂所学的概念知识,加上参阅书本知识,画出相应的函数图象解决,看不出学生对一次函数
分析
的理解程度。但随着时间的推移,随着问题情境复杂化,他们就会表现出对一次函数知识理解深
度不够,停留在感性认识多些,理性认识少些,对一次函数解析式的直接应用多些,对解析式与图象
问的内在联系运用薄弱些,需要多练、多探、多问、总结经验
1、掌握函数的概念，初步形成用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
核心 2、理解一次函数和正比例函数的概念，会写出简单的一次函数的表达式。
素养
3、熟练作出一次函数图象，掌握一次函数及其图象的简单性质。
目标
4、能利用函数图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力。
教学 一次函数的图象、性质
重点
教学 一次函数表达式的求法,一次函数图象性质及数形结合思想的渗透.
难点
教学 课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识 展示课前布置的 利用思维导图的
架构 思维导图 形式构建本章节
知识点。对本章
知识具有初步的
了解。
1二、知识 一：常量和变量 1、学生回顾常量 对常量与变量、
梳理 1、 数值始终不变的量 叫常量， 与变量、函数的 函数、一次函
2、 数值发生变化的量 叫变量。 定义，根据定义 数、确定一次函
二、函数 对函数作出正确 数的表达式、一
函数的定义： 的判断。 次函数的运用这
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并 2、回顾一次函数 几个模块进行知
且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对 和正比例函数的 识梳理，梳理过
应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y 是因 定义，根据定义 程进行讲练结
对一次函数作出 合。
变量。
正确的判断。 对于一次函数和
注意：常见自变量取值范围
3、回顾求一次函 正比例函数的图
(1）含有整式的函数，自变量取值范围是全体实数 。
数、正比例函数 像和性质采用表
(2)含有分式的函数，使分母不为零
的图像和性质， 格的方式呈现便
( 3)含有二次根式的函数，被开方数是非负数
利用性质解决实 于学生进行比较
(4) 与实际问题有关的函数，自变量取值范围是使实际
际问题。 和掌握。
问题有意义
4、观察图像得出 一次函数的运
.函数常用表示方法
一次函数、正比 用，通过例题示
列表法、图象法、关系式法（解析式法）
例的图像的性质 范使学生掌握图
练一练
并把表格补充完 像所蕴含的数学
1.下列关系中，y不是x的函数有（ 1 ）个
整，完成相应练 信息，利用图中
习。 信息解决实际问
5、回顾待定系数 题。从而体现数
2. 下列图象中，表示y是x的函数的个数有( 2 )个
法求一次函数的 形结合对于解决
表达式，了解一 问题非常实用，
般步骤,根据已 发展学生的数学
知条件求一次函 应用能力。
数的表达式
6、理解一次函数
与方程的关系，
从图像中获取信
息解决实用问
题。
解析：根据“变量x的每一个值，变量y都有唯一的值
与它对应，那么我们称y是x的函数”
第一题：②中每一个x的值，y有2个值与之对应，故②
不是函数，其他均为函数。
第二题：图3和图4中每一个x的值，y有2个值与之对
应，故图3和图4不是函数，其他均为函数。
3. 函数y＝2＋ 中自变量x的取值范围是
________
4.在函数y= ，中，自变量x的取值范围是（
2A ）
A.x≤1且x≠﹣2 B.x≤1
C.x＜1且x≠﹣2 D.x＞1且x≠2．
解析：根据被开方数大于或等于0，分母不能为0，综合
两种结果求出自变量取值范围。
三、一次函数与正比例函数的概念
一般地，如果y＝ k x＋b (k、b是
一次函数
常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋
正比例函
b变为y＝kx(k为常数，k≠0)，这时y
数
叫做x的正比例函数
练一练
1、找出下列一次函数和正比例函数
y=-4+3x y=kx+b y=2(x+1) y=x-5
一次函数有：y=-4+3x y=2(x+1) y=x-5
正比例函数有
2、若 是关于x 的正比例函
数，则m= - 3
若 是关于x 的一次函数，
则m ≠ 3 。
四、正比例函数图像与性质
函数 K 图像 经 过 象 性质
限
K＞0 一、三 y随x增
大而
y=kx 增加
（k≠0） K＜0 二、四 y随x增
大而
减少
五、一次函数的图像和性质
图像
K K＞0 K＜0
3b b＞0 b＜0 b＞0 b＜0
经 过 象 一、二、 一、三、 一、二、 二、三、
限 三 四 四 四
增减性 y 随 x 的增大而增 y 随 x 的增大而减
大 少
练一练
1、填空题：
有下列函数：① y=6x-5 ,②y=2x , ③y=x+4，
④y=-4x+3其中过原点的直线是 ② ；函数y随x的
增大而增大的是 ①②③ ；函数y随x的增大而减小
的是 ④ ；图象在第一、二、三象限的是 ③
2、根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图
中k、b的符号
K＞0 K＞0 K＜0 K＜0
b＞0 b＜0 b＞0 b＜0
六、求一次函数的表达式
求一次函数表达式一般步骤：
（1）先设出函数表达式；
（2）根据条件列关于待定系数的方程（组）；
（3）解方程（组）求出表达式中未知的系数；
（4）把求出的系数代入设的表达式，从而具体写出这个
表达式.
练一练
1. 一次函数的图像经过点（2,0），(0,-3)求该一次函数
的表达式。
解：设一次函数的表达式是y=kx+b
图像经过（2，0）；0，-3），
把（2，0）；(0，-3）代入y=kx+b中，得
2k+b=0
-3=k×0+b
求出b=-3;k=1.5
所以一次函数的表达式是y=1.5x-3
2．一次函数的图象过点P(0.6，0)且与函数y＝3x＋5的
图象交于y轴上同一点，则这个一次函数的解析式为(
D )
A．y＝3x＋5 B．y＝3x－5
4C．y＝－3x－5 D．y＝－3x＋5
3．将函数y＝－3x的图象沿y轴向上平移2个单位长
度后，所得图象对应的函数关系式为( A )
A．y＝－3x＋2 B．y＝－3x－2
C．y＝－3(x＋2) D．y＝－3(x－2)
七、一次函数的运用
1.一次函数与一元一次方程的关系:
一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与x轴的交点的横坐标为
方程kx+b=0的解
2.一次函数解决实际问题：
观察图像，获取关键信息；应用信息，解决实际问题
练一练
1.已知直线y=kx+b(k≠0)经过点A（-4,0）和B（0,2），那
么关于x的方程kx+b=0的解 x= -4 .
2．已知一次函数y＝kx＋b(k、b为常数且k≠0)的图象经
过点A(0，－2)和点B(1,0)，则k＝ 2 ，b＝ -2 .
3．已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1
图象上的两点，则a与b的大小关系是 a ＞ b.
4、自来水公司有甲、乙两个蓄水池，现将甲池中的水匀
速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水
时间x(时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下
列问题．
(1) 分 别 求 出 甲、乙两
个蓄水池中水 的深度 y
与注水时间 x 之间的函
数表达式；
解：(1)设它们的函数关系式为y＝kx＋b，根据甲的函数
图象可知，
当x＝0，y＝2；当x＝3时，y＝0，
将它们代入关系式y＝kx＋b中，
得k＝ ，b＝2，
所以甲蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数
关系式为：y＝ x＋2.
同理可得乙蓄水池中水的深度 y与注水时间x之间的
函数关系式为：y＝x＋1；
(2)求注入多长时间后甲、乙两个蓄水池的深度相同；
5解： 由题意得 x＋2＝x＋1，
解得x＝0.6 .
故当注水0.6小时后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
(3)3小时后，若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄
水池，又需多长时间？
解：4÷(3÷3)＝4小时．
所以若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又
需要4小时．
6五、课堂 基础达标： 完成课堂练习 引导学生能够在
练习 1. 直线y＝2x－4与y轴的交点坐标是( D ) 课堂练习的完成
A．(4，0) B．(0，4) C．(－4，0) D．(0，－4) 过程中对要点知
2. 若点A(2，4)在函数y＝kx－2的图象上，则下列各点 识加深巩固，有
效应用。
在此函数图象上的是( A )
A．(0，－2) B．(，0) C．(8，20) D．(，)
3. 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－3，0)，点
B(0，2)，那么该图象不经过的象限是( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4 已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而
减小，则一次函数y＝x＋k的图象大致是( B )
A B C
D
5. 关于一次函数y＝－2x＋5的描述，下列说法错误的
是( D )
A．y随x的增大而减小,
B．直线经过第一、二、四象限
C．直线从左到右是下降的
D．直线与x轴交点坐标是(0，5)
6. 已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x
的方程kx＋b＝0的解为x＝ - 2 .
,
7. 如图，射线OA，BA分别表示甲、乙两人骑自行车运
动过程的一次函数的图象，图中s，t分别表示行驶距离
和时间，则这两人骑自行车的速度相差 8 km/h.
能力提升：
78.已知一次函数y=ax+b（a、b为常数），x与y的部分对
应值如右表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4
那么方程ax+b=0的解是 x= 1 ，不等式ax+b
＞0的解是 x ＜ 1
9.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀
速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2
秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的
时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：
①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（ A ）
A,①②③ B.仅有①② C.仅有①③ D.仅有②③
拓展迁移：
10.小林参加了一次迷你马拉松项目，上午8：00起跑，
在比赛中，小林匀速前行，如图所示的是他距离终点的
路程s(km)与跑步的时间t(h)的函数图象的一部分．
(1)求s与t之间的函数关系式；
(2)求a的值；
(3)当小林跑了5 km时，他想挑战自己在上午8：55之
前跑到终点，那么接下来一段路程他的速度至少应为多
少？
解：(1)设s＝kt＋b，经过（0,8）和（ ，5）
则b＝8，k＋b＝5，解得k＝－，
跑完全程的时间8÷ =
所以s＝－t＋8(0≤t≤)
(2)因为点(a，3)在s＝－t＋8的图象上，所以－a＋8＝3，
解得a＝
(3)接下来一段路程他的路程是3千米，
8时间是
速度至少应为3÷ ＝13.5(km/h)
11．《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”．作为
“全国智慧城市”试点，我市通过“互联网”、“大数
据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市
“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准
是：停车不超过30分钟，不收费；超过30分钟，不超过
60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小
时的部分按每小时2元收费(不足1小时，按1小时计).
(1)填空：若市民张先生某次在该停车场停车2小时10
分钟，应交停车费______元．若李先生也在该停车场停
车，支付停车费11元，则停车场按_______小时(填整
数)计时收费；
(2)当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y(单位：元)
关于停车计时x(单位：小时)的函数表达式．
解：(1)若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分
钟，即停车130分钟。
应交停车费为：3＋2×2＝7(元)；
若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，
则超出时间为(11－3)÷2＝4(小时)，
所以停车场按5小时计时收费．
故答案为：7；5
(2)当x取整数且x≥1时，该停车场停车费y(单位：元)关
于停车计时x(单位：小时)的函数表达式为：y＝3＋2(x
－1)，即y＝2x＋1
六、提升 引导学生对本节 引导学生从知识
课进行小结。 内容、研究方法
以及运用过程三
个方面总结自己
的收获，让学生
全面把握本节课
的重点和难点，
并启发学生用类
比或迁移的方法
学习后续课程。
9板书设计 利用简洁的文
字、符号、图表
等呈现本节课的
新知，可以帮助
学生理解掌握知
识，形成完整的
知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1. 已知正比例函数的图象过点(2，－3)，则该函数图象经过以下的点( C )
习） A．(3，－2) B．(－3，2) C．(－2，3) D．(2，3)
2. 已知函数y＝3x＋1，当自变量x增加m时，相应函数值增加( B )
A．3m＋1 B．3m C．m D．3m－1
3. 关于一次函数y＝－x＋1的图象，下列正确的是( C )
4. 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－3，0)，点B(0，2)，那么该图象不经过的象限是(
D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. 将直线y＝－2x向下平移两个单位，所得到的直线为( C )
A．y＝－2(x＋2) B．y＝－2(x－2) C．y＝－2x－2 D．y＝－2x＋2
6. 点(－3，2)，(a，a＋1)在函数y＝kx－1的图象上，则k＝ - 1 ，a＝ - 1 __．
7. 某食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有
15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个
以上可一次性返还现金4元，则一次性购买盒子所需要的费用最少为 2 9 元．
型号 A B
单个盒子容量(升) 2 3
单价(元) 5 6
能力提升：
8.如图①，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运
动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，如果y与x的函数图象如图②
所示，则长方形ABCD的面积为 2 4 _.
109.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A.设
P点经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能大致反映y与x
的函数关系的是( A )
拓展迁移：
10． 如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋5的图象l 分别与x轴、y轴交于A，B两
1
点，正比例函数的图象l 与l 交于点C(m，4)．
2 1
(1)求m的值及l 的表达式；
2
(2)求S －S 的值；
AOC BOC
(3)一次△函数y＝△kx＋1的图象为l，且l，l，l 不能围
3 1 2 3
成三角形，直接写出k的值．
解：(1)把C(m,4)代入y＝－x＋5
得m＝2，
设l 的解析式是y=kx,经过（2,4）求出k=2,
2
所以l 的解析式y=2x
2
(2) 过点C作CD⊥AO于点D，CE⊥BO于点E，则CD＝
4，CE＝2.易知A(10，0)，B(0，5)，
所以AO＝10，BO＝5，
所以S －S ＝×10×4－×5×2＝15
AOC BOC
(3) 当l△经过点△C(2，4)时，k＝；
3
当l，l 平行时，k＝2；
2 3
当l，l 平行时，k＝－.因为l，l，l 不能围成三角形，所以k的值为或2或－
1 3 1 2 3
11． 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙
特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产
的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司销售甲、乙两种
特产各多少吨？
(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
解：(1)设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产(100－x)吨．根据题意，
得10x＋(100－x)×1＝235，
解得x＝15. 所以100－x＝85.
11答：这个月该公司销售甲种特产15吨、乙种特产85吨．
(2) 设利润为w万元，销售甲种特产a吨，
则w＝(10.5－10)a＋(1.2－1)×(100－a)＝0.3a＋20.
因为0≤a≤20，所以当a＝20时，w取得最大值，
此时w＝26.
答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．
教学反思
12
