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数学——答题思路
数学解题思想是数学解题的灵魂，知晓数学解题思想，你就拥有了破题利器。
解题思想
01函数与方程思想
函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。
所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或
构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。
而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程
的性质去分析解决问题。
02数形结合思想
数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助
几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代
数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。
常见解题类型：
①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，
反映几何图形内在的属性。
②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应
的数量关系，提示出数与式的本质特征。
③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分
析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
03分类讨论思想
分类讨论的思想之所以重要，
原因一是因为它的逻辑性较强，
原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，
原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。
原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。
常见解题类型：
类型1：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置
关系等概念的分类讨论;
类型2：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题;
类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引
起的讨论;
类型4：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引
起的讨论。
类型5：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的
影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距
的影响等。
分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片
面性，全面考虑问题。分类的原则：分类不重不漏。
04转化与化归思想
转化与化归是中学数学最基本的数学思想之一，是一切数学思想方法的核心。数形结合的
思想体现了数与形的转化;函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化;分
类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体
呈现。
转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是
必要的;不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将
不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和
直观的问题;将复杂的转为简单的问题;将一般的转为特殊的问题;将实际的问题转为数学的
问题等等使问题易于解决。
常见的转化方法：
①直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题;
②换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、
不等式问题转化为易于解决的基本问题;
③数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获
得转化途径;
④等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的;⑤特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合
原问题;
⑥构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题;
⑦坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径。
05特殊与一般思想
用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情
况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此，用
这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用。
06极限思想
极限思想解决问题的一般步骤为：一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变
量;二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;三、构造函数(数列)并利用极
限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
各类题型解题技巧
选择填空题
选择题十大速解方法：
排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳
法、感觉法、分析选项法；
填空题四大速解方法：
直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。
解答题
专题一、三角变换与三角函数的性质问题
1.解题路线图①不同角化同角
②降幂扩角
③化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h
④结合性质求解。
2.构建答题模板
①化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、
一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结
果。
④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
专题二、解三角形问题
1.解题路线图
(1) ①化简变形；②用余弦定理转化为边的关系；③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角；②用基本不等式求范围；③确定角的取值范围。
2.构建答题模板
①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方
向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部
转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
专题三、数列的通项、求和问题
1.解题路线图
①先求某一项，或者找到数列的关系式。
②求通项公式。
③求数列和通式。
2.构建答题模板
①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或
累乘法求通项公式。
③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法（如公式法、裂项相消法、错
位相减法、分组法等）。
④写步骤：规范写出求和步骤。
⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。
专题四、利用空间向量求角问题
1.解题路线图
①建立坐标系，并用坐标来表示向量。
②空间向量的坐标运算。
③用向量工具求空间的角和距离。2.构建答题模板
①找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线。
②写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标。
③求向量：求直线的方向向量或平面的法向量。
④求夹角：计算向量的夹角。
⑤得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角。
专题五、圆锥曲线中的范围问题
1.解题路线图
①设方程。
②解系数。
③得结论。
2.构建答题模板
①提关系：从题设条件中提取不等关系式。
②找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式。
③得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围。
④再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。
专题六、解析几何中的探索性问题
1.解题路线图
①一般先假设这种情况成立（点存在、直线存在、位置关系存在等）②将上面的假设代入已知条件求解。
③得出结论。
2.构建答题模板
①先假定：假设结论成立。
②再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解。
③下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯。 定假设；若推出矛盾则否定假设。
④再回顾：查看关键点，易错点（特殊情况、隐含条件等），审视解题规范性。
专题七、离散型随机变量的均值与方差
1.解题路线图
（1）①标记事件；②对事件分解；③计算概率。
（2）①确定ξ取值；②计算概率；③得分布列；④求数学期望。
2.构建答题模板
①定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。
②定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。
③定型：确定事件的概率模型和计算公式。
④计算：计算随机变量取每一个值的概率。
⑤列表：列出分布列。
⑥求解：根据均值、方差公式求解其值。
专题八、函数的单调性、极值、最值问题1.解题路线图
（1）①先对函数求导；②计算出某一点的斜率；③得出切线方程。
（2）①先对函数求导；②谈论导数的正负性；③列表观察原函数值；④得到原函数
的单调区间和极值。
2.构建答题模板
①求导数：求f(x)的导数f′(x)。（注意f(x)的定义域）
②解方程：解f′(x)＝0，得方程的根。
③列表格：利用f′(x)＝0的根将f(x)定义域分成若干个小开区间，并列出表格。
④得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等。
⑤再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察f(x)的间断点及步骤规范
性。
