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第四章 一次函数
1. 理解函数、一次函数及正比例函数的概念，能辨别其关系，会确定简单实际问题
教学目标 中自变量的取值范围并求函数值。
2. 掌握一次函数表达式y=kx+b（k≠0），能通过已知条件确定表达式，会绘制其图象并探索k、b对图象的影响。
3. 能用一次函数解决简单实际问题，体会数形结合与模型思想，发展应用意识与几
何直观。
1.重点
（1）核心概念与表达式：明确一次函数和正比例函数的定义、关系，熟练用待定系
数法求表达式。
（2）图象性质与应用：掌握一次函数图象特征及k、b的意义，能运用其解决实际问
题与基础综合题。
教学重难点
2.难点
（1）性质理解：难以深度关联一次函数表达式中k、b的取值与图象变化趋势、函数
增减性的关系。
（2）建模应用：难以将分段计费、方案选择等实际问题抽象为一次函数模型并求
解。
知识点01 函数的概念
在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那
么就说y是x的函数，x是自变量。
知识点02 一次函数的表达式
形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函
数。
知识点03 一次函数的图象与性质
b
一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增
k
大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。
知识点04 一次函数的实际应用
利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合
图象或性质求解。
题型01 函数概念的理解
【典例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列式子中 不是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级下·四川内江·期末）下列各图中表示y是x的函数的是（ ）A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列曲线中．表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列关于 的图表或图象能表示y是x的函数的个数是
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 从函数图象中获取信息
【典例2】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆
柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h(单位∶cm)与注
水时间t(单位∶min)的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1，点G为 边的中点，点H在 上，动点P以每秒 的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的 的面积 关于运动时间
的函数图象如图2所示，若 ，则下列结论正确为（ ）
①图1中 长 ；
②图1中 的长是 ；
③图2中点M表示4时y值为 ；
④图2中点N表示 时y值为 ．
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
【变式2】（24-25八年级下·天津·期末）小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园．爸爸先出发，一段时间
后小明再出发，设爸爸骑行的时间为x（h），两人离家的距离y（ ）与x的关系如图①所示，两人之间
的距离s与x的关系如图②所示．结合图象信息下列结论正确的有（ ）个
①爸爸的速度为
②公园与家的距离为
③小明到公园时，爸爸走了
④爸爸出发 或 后两人相距
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（24-25八年级下·山西临汾·期中）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的
机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧
出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为 ，聪聪和慧慧行走的路程分别为
， ， ， 关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）．A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发
C．客人距离厨房门口 D．从慧慧出发直至送餐结束，共需
题型03 一次函数的识别
【典例3】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）下列四个函数中属于一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·广西百色·期末）下列函数为一次函数的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
A．①②④ B．①③⑤ C．①②⑤ D．①②
【变式3】（24-25八年级上·安徽池州·期末）在下列函数解析式中，① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ，y一定是x的一次函数的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
题型04 利用一次函数的定义求参数
【典例4】（24-25七年级下·山东东营·期末）若函数 是一次函数，则 的值为 ．
【变式1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）当 时，函数 是一次函数．
【变式2】（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知 是一次函数，则 的值是
【变式3】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若 是关于 的一次函数，则 的值为
．
题型05 一次函数的图象和性质
【典例5】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）关于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象经过点B． 随 增大而增大
C．图象不经过第二象限
D．将 的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为
【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）关于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过
B．图象可由直线 向上平移 个单位长度得到
C．图象经过第一、二、四象限
D． 随自变量 的增大而减小
【变式2】（24-25八年级下·天津·期末）下列关于一次函数 的说法，错误的是( )
A．图象经过第一、二、四象限
B． 随 的增大而减小
C．图象与 轴交于点
D．当 时，
【变式3】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）关于 的一次函数 ，下列说法：
①若 ，则函数图象经过第一、二、三象限；
②若函数图象经过原点，则 ；
③无论 为何实数，函数的图象总经过点 ．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型06 利用一次函数的性质求解
【典例6】（24-25八年级下·重庆·期末）若点 和 在一次函数 的图象上，
则 （用“ ”、“ ”或“ ”连接）．
【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线 可以看作由直线 向下平移2个单
位长度而得到，那么直线 与x轴交点坐标为 ．
【变式2】（24-25八年级下·广东汕头·期末）一次函数 的图象过点 ，且y随x的增大
而增大，则 ．
【变式3】（24-25八年级下·四川资阳·期末）若点 是某函数图象上的一点，则把 称为该点的
“纵横差”，该函数图象上的所有点的“纵横差”的最小值称为该函数的“娇小值”，那么一次函数的“娇小值”是 ．
题型07 求一次函数的表达式
【典例7】（24-25八年级下·吉林·期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油 ，每小时耗油 ．
(1)写出油箱中的剩余油量 （ ）与工作时间 （ ）之间的函数表达式，并求出自变量 的取值范围；
(2)当拖拉机工作 时，油箱内还剩余油多少升？
【变式1】（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知 与 成正比，且 时， ．
(1)求 关于 的函数表达式；
(2)当 时，求 的值；
(3)将所得函数的图象平移，使它过点 ，求平移后图象的表达式．
【变式2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）周末，张华和李明相约去北坡公园锻炼，张华家、李明家及
北坡公园大门顺次在一条直线上，张华家和李明家之间的距离为 ，两人分别同时从家出发，均保持
匀速行走．如图， 分别表示李明、张华两人到张华家的距离 与两人的行走时间 之间的关系．
(1)求 对应的函数表达式；
(2)出发几分钟后，张华追上李明？
【变式3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某校计划开展运动会预购进甲、乙两种跳绳，甲种跳绳的单
价为每条15元，如果一次性购买甲种跳绳超过20条，超过部分的打八折；乙种跳绳的单价为每条18元，
没有优惠．
(1)若购进甲种跳绳 条，付款 元，求 关于 的函数表达式；
(2)某校计划购买这两种跳绳共60条，且甲种跳绳不少于10条，且不超过40条，问如何分配甲、乙两种跳
绳的购进量，才能使付款总金额 （元）最少．
题型08 画一次函数的图象
【典例8】（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数 ，完成下列
问题：(1)画出一次函数 的图象；
(2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______；
(3)将直线 沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标．
【变式1】（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知一次函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)写出A点坐标：__________，B点坐标：________；
(2)在平面直角坐标系 中画出该函数的图象（不要求写步骤）；
(3)求出 的面积．
【变式2】（24-25八年级上·广东河源·期末）已知函数 ．
x 0
0(1)填表，并画出这个函数的图象；
(2)若将函数 的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求
的面积．
x 0
0
【变式3】（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？
请结合一次函数的学习经验探究函数 的图象．
(1)列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中 ________， ________；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1：________；
结论2：________
题型09 一次函数的实际应用
【典例9】（24-25九年级上·吉林长春·期末）某学校每个月都有一些复印任务，学校附近有甲、乙两家复
印社可供选择，其中甲复印社按每复印100页材料收费40元计费；乙复印社则需先按月支付200元的承包费，再按每复印100页材料收费 元计费．已知甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同，甲、
乙两复印社（针对该校）每月收费 （元）与复印材料页数 （页）之间的函数图象如图所示，
据此回答以下问题：
(1)乙复印社复印800页材料时收费 元；
(2)求乙复印社每月收费 （元）与复印材料页数 （页）之间的函数关系式；
(3)当甲复印社比乙复印社每月收费多50元时，该学校复印材料的页数是 页．
【变式1】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10
元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线 表示日销量y（件）
与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．
(1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？
【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1
是机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，
安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知
安安警官、麦克警官行走的路程 （米）， （米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象
如图2所示．
(1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）；(2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值；
(3)求折线①中线段 所在直线的函数解析式；
(4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长．
【变式3】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面
长为 ，小球 与木块 （大小、厚度忽略不计）同时从 出发向 沿直线路径做匀速运动，速
度较快的小球 到达 处的挡板 后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块 后又被
反弹向挡板 ，如此反复，直到木块 到达 ，同时停止．设小球的运动时间为 ，木块 与小球之间的
距离为 ，图②是 与 的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题．
(1)小球 第一次到达挡板 的时间是______s，小球 的速度为______ ，木块 的速度为______ ；
(2)小球 第一次返回时，求 与 的函数关系式；
(3)当小球 从出发至第一次 、 相遇时，小球 与木块 距离为 时，直接写出 的值为______ ．
题型10 一次函数与几何图形的综合
【典例10】（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知点 、点 ．
(1)求直线 所对应的函数表达式；
(2)在 轴上找一点P，使其满足 ，求P点的坐标．
(3)在（2）的条件下，求 的面积
【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交y
轴于点B，交x轴于点 ．(1)求直线 的表达式．
(2)如图，已知 ．
①D为直线 上一点，若 ，求点D的坐标；
②点P为直线 上一动点，连接 、 ， ，请直接写出点P的坐标．
【变式2】（24-25八年级上·山西晋中·期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点．
(1)点A的坐标是______，点B的坐标是______．
(2)在直线 上是否存在一点D（不与点B重合），使 的面积等于 的面积？若存在，求出点
D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点E是y轴上一动点，把线段 沿着直线 翻折，使点B恰好落在x轴上，请直接写出满足条件的E
点坐标．
【变式3】（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数 （ 且 ）和一次函数
为“逆反函数”，如 和 为“逆反函数”．如图1，一次函数 ： 的
图象分别交 轴、 轴于点 、 ．
(1)请写出一次函数 的“逆反函数” 的解析式______；点 在 的函数图象上，则 的值是______．(2)一次函数 图象上一点 又是它的“逆反函数” 图象上的点，
①求出 点坐标；
②求出 的面积．
(3)如图2，过点 作 轴的垂线段 ，垂足为 ， 为 轴上的一点，且 ，请直接写出
直线 的解析式．
一、单选题
1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）关于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数值y随自变量x的增大而减小 B．图象与x轴交于点
C．图象经过第一、二、三象限 D．当 时，
3．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，O为坐
标原点，则 的周长为（ ）
A．12 B． C． D．6
4．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）一次函数 与正比例函数 （其中 为常数，且
）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
5．（24-25七年级上·山东烟台·期末）今年“十一”假期，小凡一家驾车前往黄果树景区旅游，在行驶过
程中，汽车离黄果树景区的路程 与所用时间 之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的
是（ ）
A．出发第1小时y与x之间的函数表达式是
B．出发第 的平均速度为
C．出发 后y与x之间的函数图象所在的直线是直线 向上平移1个单位
D．小凡从家到黄果树景区的时间共用了
二、填空题
6．（24-25八年级下·河北唐山·期末）当 时，一次函数 的图象不经过第 象限．
7．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）在同一平面直角坐标系中，直线 与直线 的交点
位置不可能在第 象限．
8．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）一次函数 的图像经过点 ， ，则
（填“ ， 或 ”）
9．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）将一次函数 的图象沿y轴向下平移3个单位长度，则平移
后的图象所对应的函数表达式为 ．
10．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的
正半轴上，D在直线AB上，且 ， ．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P
关于x轴的对称点Q总在 内（不包括边界）．（1）点C的坐标为 ．
（2）点P的横坐标m的取值范围为 ．
三、解答题
11．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
求 的面积．
12．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与两坐标轴分别
相交于A、B两点，直线 与 相交于点 ．
(1)直接写出A、B两点的坐标；
(2)若直线 将 的面积分成 的两部分，求直线 的函数关系式．
13．（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定
了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3
元收费，该市某户居民5月份用水 吨，应交水费 元．
(1)请写出 与 的函数关系式．
(2)如果该户居民这个月交水费30元，那么这个月该户用了多少吨水？
14．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）已知A，B两地公路长 ，甲、乙两车同时从A地出发沿同一
公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上的C处取回货物，于是甲车立即原路返回C地，
取了货物又立即赶往B地（取货物的时间忽略不计），结果两车同时到达B地．两车的速度始终保持不变，设两车出发 后，甲、乙距离A地的距离分别为 和 ，它们的函数图象分别是折线 和
线段 ．
(1)求A、C两地之间的距离；
(2)甲、乙两车在途中相遇时，距离A地多少千米？
15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点 ， ．
(1)点B在直线 上，连接 ， 将 的面积分成相等的两部分，求点B的坐标；
(2)点P从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点
P，Q运动的时间为t秒．如图，直线 ， 交于第四象限的点D，已知点D的坐标是 ，求点
P，Q运动的时间以及点P的速度．
16．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，直线 分别交 轴、 轴于 、 两点．
(1) 点坐标为__________， 点坐标为__________；
(2)如图1，若点 的坐标为 ，且 于点 ， 交 于点 ，求点 的坐标；
(3)如图2，若点 为 的中点，点 为 轴正半轴上一动点，连接 ，过点 作 交 轴于点
，当点 在 轴正半轴上运动的过程中，式子 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式
子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．
