文档内容
专题 44 反比例函数的应用(基础题型)
1．点（－2，5）在反比例函数 （k≠0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是
（ ）
A．（5，－2） B．（ ，2） C．（－5，－2） D．（ ，2）
【答案】A
【分析】
由反比例函数的表达式和图像上点的坐标特点即可求得．
【详解】
解：∵点（－2，5）在反比例函数 （k≠0）的图象上，
∴将点（－2，5）代入 得： ，
∴ ．
A、将（5，－2）代入 ，等式成立，点在该函数图象上，符合题意；
B、将（ ，2）代入 ，等式不成立，点不在该函数图象上，不符合题意；
C、将（－5，－2）代入 ，等式不成立，点不在该函数图象上，不符合题意；
D、将（ ，2）代入 ，等式不成立，点不在该函数图象上，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了反比例函数图像上点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点
的坐标特点．
2．反比例函数 的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．【详解】
解：∵反比例函数y＝ （x＜0）中，k＝2＞0，
∴该函数图象在第三象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象，关键在于熟记反比例函数图象的性质.
3．点（6，﹣3）是反比例函数y＝ 的图象上的一点，则k＝（ ）
A． B． C．﹣18 D．18
【答案】C
【分析】
根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．
【详解】
解：∵点（6，﹣3）是反比例函数y＝ 的图象上的一点，
∴k＝6×（﹣3）＝﹣18．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐
标特征求出k值是解题的关键．
4．下列点不在反比例函数 图象上的是（ ）
A．（1，-12） B．（-2，6） C．（3，4） D．（-4，3）
【答案】C
【分析】
利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】
解：∵1×（-12）=-12，-2×6=-12，3×4=12，-4×3=-12，
∴点（3，4）不在反比例函数 y= 图象上．
故选：C．【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y=− （k为常数，k≠0）的图象
是双曲线；图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
5．小明乘车从县城到怀化，行车的速度 和行车时间 之间函数图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据路程s、速度v、时间t之间的公式可知，当路程一定时，速度与时间成反比例关系，
并且结合实际意义可知，时间t＞0，由此分析即可．
【详解】
∵小明乘车从县城到怀化的路程固定，设为s，且 ，
∴ ， ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的实际引用，理解路程固定时，速度与时间成反比，并且结合实
际意义分析是解题关键．
6．下列各点在反比例函数y= 的图象上的是（ ）
A．（1，0.5） B．（2，－1） C．（－1，－2） D．（－2，1）
【答案】C
【分析】
分别将选项中所给点的横纵坐标相乘，结果是2的，就在此函数图像上．
【详解】
∵反比例函数 中， ，
∴只需要把各点横纵坐标相乘，结果为2的点即在该函数图像上，A选项， ，故不符合题意；
B选项， ，故不符合题意；
C选项， ，故符合题意；
D选项， ，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数上的点的横
纵坐标的积应等于比例系数．
7．已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将（2，3）代入解析式中即可.
【详解】
解：将点（2，3）代入解析式得，
，k＝6．
故选:D
【点睛】
此题考查的是求反比例系数解析式,掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解决此题的关
键.
8．如果反比例函数 的图象经过点 ，则 的值是（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】C
【分析】
直接把点（3，-2）代入反比例函数 ，求出k的值即可.
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴k=3×（-2）=-6．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适
合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．已知点 ， ， 在反比例函数 的图象上，若 ，则 ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D． ， 的大小不确
定
【答案】B
【分析】
由C点的坐标判断反比例函数的图像在哪两个象限，然后根据增减性即可求解
【详解】
在反比例函数 的图象上
的图像在二四象限，函数值随自变量的增大而增大
故选B
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像和性质，理解反比例函数
图像和性质是解题的关键．
10．如图，点 是正比例函数 （k为常数，且 ）和反比例函数 （m为
常数，且 ）图象的交点，则关于x的方程 的解是（ ）A．1 B．2 C．1或2 D．1或
【答案】D
【分析】
根据正比例函数和反比例函数图象的特征求出另一个交点的坐标即可得．
【详解】
解： 正比例函数 与反比例函数 图象的一个交点为点 ，
它们的另一个交点为 ，
又 正比例函数 与反比例函数 图象的交点的横坐标即为关于 的方程 的
解，
所求方程的解为 或 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正比例函数和反比例函数的图象，熟练掌握正比例函数和反比例函数的图象特
点是解题关键．
11．已知反比例函数的图象经过点 ，则它的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式 （k≠0），即可求得k的值．
【详解】
解：设反比例函数的解析式为 （k≠0）．∵函数经过点（2，−1），
∴k＝2×（−1）＝−2，
∴反比例函数解析式为 ．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式，
是中学阶段的重点．
12．关于函数 ，下列判断正确的是（ ）
A．点 该函数的图像上
B．该函数的图像在第二、四象限
C．若点 和 在该函数图像上，则
D．若点 在该函数的图像上，则点 也在该函数的图像上
【答案】D
【分析】
根据k=1>0，则双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k可得答案.
【详解】
点(1，-1)代入y= 并不成立，因此不在图象上，故A选项错误；
∵k=1>0
∴图象过一、三象限，故B选项错误；
当x=-2时，y = ，当x=1时，y =1，则y 3时， 在 的上方，即 ，所以D错误．
故选：A
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的图象、函数值的大小比较等知识点，熟知函数值的大
小比较的方法是解题的关键．
26．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 （kPa）是气体
体积 （ ）的反比例函数，其图象如图所示，当气体体积为 时，气压为（ ）
kPa．
A．150 B．120 C．96 D．84
【答案】C
【分析】
设反比例函数的解析式为： ，先由点 代入求出 ，当气体体
积为 ，代入求得 ，即可得出答案．
【详解】
设反比例函数的解析式为：
把点 代入得：当 时，则
故选：C
【点睛】
本题主要考查反比例函数的实际应用，要求学生熟练掌握反比例函数的表达式的求法，从
图中找出相应的已知量并求解出反比例函数的解析式是解题的关键．
27．已知反比例函数y＝ （k为常数）与正比例函数 的图象有交点，k的取值范
围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
【答案】C
【分析】
先根据正比例函数 的解析式判断出函数图象所经过的象限，再根据反比例函数的性质
判断出 的取值范围．
【详解】
解：由正比例函数 可知直线过一、三象限，
反比例函数 为常数）与正比例函数 的图象有交点，
反比例函数 为常数）位于一、三象限，
，
，
故选： ．
【点睛】
本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质
是解题的关键．
28．已知正比例函数y＝k x（k ≠0）的图象与反比例函数y＝ （k ≠0）的图象交于A，B
1 1 2
两点，其中点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B的纵坐标为﹣1，则k 与k 的关系
1 2
正确的是（ ）
A．k ＝k B．2k ＝k C．4k ＝k D．k k ＝4
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【分析】根据正比例函数y=k x（k ≠0）的图象与反比例函数y＝ （k ≠0）的图象交于A，B两点，
1 1 2
其中点A在第二象限，横坐标为-2，另一交点B的纵坐标为-1，可以得到关于k 和k 的方
1 2
程组，然后化简，即可判断哪个选项是正确的．
【详解】
解： 正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，
其中点 在第二象限，横坐标为 ，另一交点 的纵坐标为 ，
，
化简，得 ，
故选项C正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，得出k 和k 的
1 2
关系．
29．若反比例函数 与一次函数 的图象只有一个交点，则 =____．
【答案】－1
【分析】
联立两个函数解析式，消去y后，整理得关于x的一元二次方程，根据题意，判别式为0
即可求得k的值．
【详解】
联立 ，消去y，整理得：
由于两个函数图象只有一个公共点，故
解得：k=−1
故答案为： 1．
【点睛】 −本题是求两个函数图象交点的问题，考查了一元二次方程根的判别式，要从数与形两个方
面理解两个函数图象的交点与函数解析式之间的关系．
30．如图，一次函数 的图像与反比例函数 （ 为常数且 ）的图像交
于 ， 两点．则在第一象限内，当 时 的取值范围是_____．
【答案】
【分析】
把 ， 两点分别代入 即可求得 、 的值，然后根据反比例函数系
数 即可求得 的值，根据图像即可求得．
【详解】
解： 一次函数 的图象与反比例函数 为常数且 的图象交于 ，
两点，
， ， ，
， ，
；
， ，
在第一象限内，当 时 的取值范围是 ，
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是
解题的关键．
31．如图，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，与双曲线 在第一象限的
分支交于点A，且AB=BC，则k 等于__．【答案】4
【分析】
点B、C分别与x轴和y轴相交，属于一次函数坐标，求出点B、C，用中点坐标求出A，最
后可求k.
【详解】
∵点B、C分别与x轴和y轴相交
∴设点B（x，0）、C（0，y）
代入直线 中
∴
∴x=2，y=-1
∴点B（2，0）、C（0，-1）
∵AB=BC，
∴B是AC的中点
设A（a，b）
∴
解得
∴A（4，1）
∵A（4，1）在 上
∴把A（4，1）代入 得
∴∴k=4
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，运用中
点坐标是解题的关键．
32．如图，点 分别在函数 的图像上，点 在 轴上．若四边形
为正方形，点 在第一象限，则 的坐标是_____________．
【答案】（2，3）
【分析】
根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D点坐标为（m， ），则A点坐标为
（ ， ），进而列出方程求解．
【详解】
解：∵四边形 为正方形，
∴设D点坐标为（m， ），则A点坐标为（ ， ），
∴m-（ ）= ，解得：m=±2（负值舍去），
经检验，m=2是方程的解，
∴D点坐标为（2，3），
故答案是：（2，3）．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解
题的关键．
33．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴相交于点 ，与反比例函数 在第一象限内的图象相交于点 ，过点 作 轴于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求 的面积．
【答案】（1） ；（2）6
【分析】
（1）因为一次函数与反比例函数交于 点，将 代入到一次函数解析式中，可以求得 点
坐标，从而求得 ，得到反比例函数解析式；
（2）因为 轴，所以 ，利用一次函数解析式可以求得它与 轴交点 的坐标
，由 ， ， 三点坐标，可以求得 和 的长度，并且 轴，所以
，即可求解．
【详解】
解：（1）∵ 点是直线与反比例函数交点，
∴ 点坐标满足一次函数解析式，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴反比例函数的解析式为 ；
（2）∵ 轴，
∴ ， 轴，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为6
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标
系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．
34．已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在反比例函数y＝ （k≠0）的图象
上．
（1）若b＝a+1，求c的值．
（2）若a＞b，试比较b，c的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）c＝﹣ ；（2）b＜c．理由见解析．
【分析】
（1）把A、B坐标代入y＝ ，根据b＝a+1，可得关于k的一元一次方程，解方程可求出k
值，可得反比例函数解析式，把C点坐标代入即可得答案；
（2）根据a＞b可得关于k的不等式，解不等式可得k的取值范围，根据B、C坐标分别用
k表示出b、c，比较即可得答案．
【详解】
（1）点A（﹣2，a），B（﹣1，b），都在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上．∴a＝﹣ k，b＝﹣k，
∵b＝a+1，
∴﹣k＝﹣ k+1，
解得：k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ，
∵C（3，c）在反比例函数y＝﹣ 图象上，
∴c＝﹣ ．
（2）b＜c，理由如下：
∵a＞b，a＝﹣ k，b＝﹣k，
∴﹣ k＞﹣k，
解得：k＞0，
∴b＝﹣k＜0，c＝ ＞0，
∴b＜c．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象上的点满足反比例函数
关系式．
35．如图，已知反比例函数 与正比例函数 的图象交于 ， 两点．
（1）求该反比例函数的表达式；（2）若点 在 轴上，且 的面积为3，求点 的坐标．
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】
（1）直接利用待定系数法将A点坐标代入正比例函数解析式中可以求出m，再将A点坐标
代入反比例函数解析式中即可求出k；
（2）先确定B点坐标，再通过面积确定OC的长，最后即可确定C点坐标．
【详解】
解：（1）将 点坐标代入 中可得： ，
∴ ；
将 代入 可得： ，
∴该反比例函数的表达式为 ；
（2）因为该反比例函数的图像和一次函数的图像交于 ， 两点，
∴ ， 两点关于原点对称，
∴ ,
∴B点到OC的距离为2，
∵ 的面积为3，
∴ ,
∴ ，
当C点在O点左侧时， ；
当C点在O点右侧时， ；
∴点 的坐标为 或 ．
【点睛】
本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了用待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中点的坐标、三角形的面积公式等内容，解决本题的关键是理解点的坐标与函数解
析式之间的关系以及利用三角形的面积建立相等关系求对应线段的长，本题涉及到的方法
为分类讨论的思想方法．
36．某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70 km/h的平均速度用3h到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度 与时间 有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过2.5h，那么返程的平均速度不能小于多少？
【答案】（1） ；（2）返程时的平均速度不能低于84 km/h．
【分析】
（1）直接求出总路程，再利用路程÷时间=速度，进而得出关系式；
（2）由题意可得v= 210 t ≤2.5，进而得出答案．
【详解】
(1)由题意得，两地路程为 ，
∴汽车的速度 与时间 的函数关系为 ．
(2)由 ，得 ．
∴ ．
∵v＞0
∴210≤2.5v．
∴v≥84．
答：返程时的平均速度不能低于 ．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
37．如图，直线 ， 都与双曲线 交于点 ，这两条直线分别
与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点P在x轴上，连接 把 的面积分成1：4两部分，求点P的坐标．
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】
（1）首先将点A坐标代入直线 ，求出m的值，再将A的坐标代入反比例函数解
析式中，即可求出k的值；
（2）分两种情况讨论， 把 的面积分成1：4两部分，则 或 ,
根据BC的长度即可得出P的坐标．
【详解】
解：（1）把 代入 ，
可得 ， ；
代入反比例函数 ，可得 ，y与x之间的函数关系式为： ．
（2） ，令 ，则 ，
则点B的坐标为 ，
把 ．代入 ，
可得 ，
则
令 ，则 ，即 ，
∴ ，
∵ 把 的面积分成1：4部分，
，或 ，
① ，
，
点P的坐标为
② ，
，
点P的坐标为 ，
综上所述， 或 ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，确
定点的位置，分割三角形面积问题，解题关键是根据两函数交点确定函数的解析式．
38．如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ，与反比例函数
（ ）的图象交于点 ， ．
（1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接 ，求 的面积．
【答案】（1） ， ；（2）3
【分析】
（1）将点C、D的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，从而点D纵坐
标已知，将点C、D的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k、b的值，从而两个函数
解析式可求；
（2）求出点B的坐标，可知OB的长，利用三角形的面积公式可求三角形BOD的面积．
【详解】
解：（1）∵双曲线 （m>0）过点C（1，2）和D（2，n），
∴ ，解得， ．
∴反比例函数的解析式为 ．
∵直线 过点C（1，2）和D（2，1），
∴ ，解得， ．
∴一次函数的解析式为 ．
（2）当x=0时，y =3，即B（0，3）．
1
∴ ．
如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E．
∵D（2，1），
∴DE=2．∴
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式、二元一次方程组、三角形的面积等知识点，熟知解
析式、点坐标、线段长三者的相互转化是解题的关键．
39．如图所示，直线 与双曲线 交于 两点．
（1）求t的值；
（2）若点 和 是双曲线上任意两点，且满足 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）将 代入双曲线 ，得m．将A代入双曲线 得t的值．
（2）将点 代入双曲线 ，得p的表达式，将点 代入双曲线 ，得q的
表达式．把 的表达式代入中，即可求值．
【详解】
（1）将 代入双曲线 得 ，
∴双曲线 ，
将 代入双曲线 得 ，
；（2） ，
∴点 为点 ，
将点 代入双曲线 ，
得： ，
，
将点 代入双曲线 ，
得： ，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式,解题的关键是求出点A的坐标．第二问考
查了求反比例函数图像上的点的特点，分式的计算；本题属于基础题，难度不大，解决该
题型题目时，求出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．
