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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题5.11 第5章分式与分式方程单元测试（能力过关卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•万山区期中）下列式子属于分式的是（ ）
2 1 x
A． B． C．x+y D．
x 2 3
A
【分析】根据形如 （B≠0）的式子，其中A、B是整式，B中含有字母进行判断即可．
B
2
【解析】A. 是分式，符合题意；
x
1
B. 是分数，不符合题意；
2
C．x+y是代数式，不符合题意；
x
D. 是整式，不符合题意；
3
故选：A．
x2−4
2．（2020秋•淮南期末）若分式 的值为0，则（ ）
x+2
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝2或x＝﹣2 D．x≠2或x≠﹣2
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【解析】由题意可知：{x2−4=0，
x+2≠0
∴x＝2，
故选：A．
3．（2021春•建平县期末）下列化简正确的是（ ）
A． m−n n−m B．a2+b2 a
= =
−m−n m+n b2+ab bC．−14mn2k 7k D． 1−x2 x+1
=− =
4m2n 2 x2−2x+1 x−1
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
m−n m−n n−m
【解析】A. = = ，故本选项符合题意；
−m−n −(m+n) m+n
B.a2+b2 a，故本选项不符合题意；
≠
b2+ab b
C.−14mn2k 7nk，故本选项不符合题意；
=−
4m2n 2m
D. 1−x2 −(x+1)(x−1) x+1，故本选项不符合题意；
= =−
x2−2x+1 (x−1) 2 x−1
故选：A．
2 1
4．（2021春•永嘉县校级期末）分式方程 = 的解是（ ）
x+5 x−2
A．x＝9 B．x＝7 C．x＝5 D．x＝﹣1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【解析】去分母得：2（x﹣2）＝x+5，
去括号得：2x﹣4＝x+5，
解得：x＝9，
经检验x＝9是分式方程的解．
故选：A．
1 1
5．当x＝﹣2时，分式(1− )⋅ 的值为（ ）
x+1 x2+x
1 1
A．1 B．﹣1 C． D．−
2 2
【分析】先计算括号内分式的减法，再计算乘法，最后将x的值代入计算即可．
x+1 1 1
【解析】原式＝（ − ）•
x+1 x+1 x(x+1)
x 1
= •
x+1 x(x+1)1
=
，
(x+1) 2
1
当x＝﹣2时，原式= = 1，
(−2+1) 2
故选：A．
m−2
6．（2021秋•前进区期末）已知关于x的分式方程 =1的解是非正数，则m的取值范围是（ ）
x+1
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为非正数确定出m的
范围即可．
【解析】分式方程去分母得：m﹣2＝x+1，
解得：x＝m﹣3，
由分式方程的解为非正数，得到m﹣3≤0，且m﹣3≠﹣1，
解得：m≤3且m≠2，
故选：B．
x−1 2x x−1
7．（2021春•徐汇区校级月考）用换元法解分式方程时 − +1=0，如果设 =y，将原方程
x x−1 x
化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
A．y2+y﹣2＝0 B．y2﹣2y+1＝0 C．2y2﹣y+1＝0 D．2y2﹣y﹣1＝0
【分析】先换元，再化成整式方程．
x−1
【解析】设 =y，则：
x
2
y− +1＝0．
y
∴y2+y﹣2＝0．
故选：A．
1
8．（2020秋•鼓楼区校级期末）已知x2﹣3x﹣1＝0，x≠0，那么x2+ =（ ）
x2
A．9 B．10 C．11 D．12
1
【分析】由x≠0，可将方程两边都除以x得出x− =3，再两边平方，继而得出答案．
x
【解析】∵x2﹣3x﹣1＝0，且x≠0，
1 1
∴x﹣3− =0，即x− =3，
x x1 1
∴（x− ）2＝9，即x2﹣2+ =9，
x x2
1
∴x2+ =11，
x2
故选：C．
m+3
9．（2021•黑龙江）已知关于x的分式方程 =1的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
2x−1
A．m≥﹣4 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4 D．m＞﹣4且m≠﹣3
【分析】先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于 0，综合得出m的取值
范围．
m+3 m+4
【解析】根据题意解分式方程 =1，得x= ，
2x−1 2
∵2x﹣1≠0，
1 m+4 1
∴x≠ ，即 ≠ ，解得m≠﹣3，
2 2 2
∵x≥0，
m+4
∴ ≥0，解得m≥﹣4，
2
综上，m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3，
故选：B．
10．（2021秋•任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（ ）
① 5a3b2 10c5 25c4； ② b2c3 a2 bc3； ③ 1 1 1 ； ④
⋅ = ⋅ = ÷(x−3)⋅ =
2c a3b4 b2 a3 b a x2+1 x−3 x2+1
x−1 x+1
xy⋅ ÷ =1．
x2−1 xy
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【分析】利用分式的乘法与除法的法则对各式进行运算，即可得出结果．
【解析】①5a3b2 10c5 25c4，故①正确；
⋅ =
2c a3b4 b2
②b2c3 a2 bc3，故②正确；
⋅ =
a3 b a1 1 1 1 1 1
③ ÷(x−3)⋅ = ⋅ ⋅ = ，故③错误；
x2+1 x−3 x2+1 x−3 x−3 x4−6x3+10x2−6x+9
④ x−1 x+1 x−1 xy x2y2 ，故④错误，
xy⋅ ÷ =xy⋅ ⋅ =
x2−1 xy (x−1)(x+1) x+1 x2+2x+1
故选：C．
二．填空题（共8小题）
1 x2−2x+1 1
11．（2021秋•任丘市期末）计算：(1− )÷ = ．
x x x−1
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法．
x 1 x
【解析】原式＝（ − ）•
x x (x−1) 2
x−1 x
= •
x (x−1) 2
1
= ，
x−1
1
故答案为： ．
x−1
x−1
12．（2021秋•威县期末）已知分式 ．
2−x
（1）x＝ 2 ，分式无意义；
（2）x＝ 1 ，分式值是零．
【分析】（1）分式无意义的条件是分母为0；
（2）当分子为0时，分式的值为0．
【解析】（1）令2﹣x＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2；
（2）令x﹣1＝0且2﹣≠0，
解得：x＝1，
故答案为：1．
1 1
13．（2021秋•丰润区期末）分式 ， 的最简公分母是 （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
x2−4 x+2
【分析】根据最简公分母的定义解决此题．
【解析】∵x2﹣42＝（x+2）（x﹣2），∴根据最简公分母的定义，
这几个分式的最简公分母是（x+2）（x﹣2），
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
a−2b
14．（2021春•嵊州市期末）已知a﹣5b＝0，则分式 的值为 3 ．
b
【分析】根据a﹣5b＝0求得a＝5b，然后代入求值．
【解析】∵a﹣5b＝0，
∴a＝5b，
5b−2b
∴原式= =3，
b
故答案为：3．
x 3 5
15．（2021•东莞市模拟）方程 −1= 的解是 x= ．
x−1 x+2 2
【分析】去分母，化分式方程为一元一次方程，求解方程并验根即可
【解析】x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3（x﹣1）
整理，得2x＝5
5
所以x= ．
2
5
当x= 时，（x﹣1）（x+2）≠0，
2
5
所以x= 是原方程的解．
2
5
故答案为：x= ．
2
x m
16．（2021秋•老河口市期末）若关于x的方程 − =−1的解是正数，则m的取值范围是 m ＜
x−2 2−x
2 且 m ≠﹣ 2 ．
【分析】先解分式方程，再根据该方程解为整数及有意义的条件即可得 m的不等式，进一步即可得m
的取值范围．
x m
【解析】 − =−1，
x−2 2−x
x m
+ =−1，
x−2 x−2
x+m＝2﹣x，2x＝2﹣m，
2−m
x= ，
2
∵该方程的解是正数，且x﹣2≠0，
2−m
{ ＞0
∴ 2 ，
2−m
≠2
2
∴m＜2且m≠﹣2．
故答案为：m＜2且m≠﹣2．
17．（2021秋•孟村县期末）现有6000米的钢轨需要铺设，为确保通车时间，实际施工时每天铺设的长度
是原计划的2倍，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米．
6000 6000
（1）根据题意，可列分式方程为 − = 15 ；
x 2x
（2）实际施工时每天铺设钢轨的长度为 40 0 米．
【分析】（1）由实际施工时每天铺设的长度是原计划的 2倍，可得出实际施工时每天铺设钢轨2x米，
利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前15天完成任务，即可得出关于x的分式方
程，此题得解；
（2）解（1）中的分式方程并检验后，可得出原计划每天铺设钢轨的长度，再将其代入 2x中即可求出
实际施工时每天铺设钢轨的长度．
【解析】（1）∵实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，且原计划每天铺设钢轨x米，
∴实际施工时每天铺设钢轨2x米．
6000 6000
依题意得： − =15．
x 2x
6000 6000
故答案为： − =15．
x 2x
（2）解（1）中的分式方程得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×200＝400．
∴实际施工时每天铺设钢轨的长度为400米．
故答案为：400．
1 m
18．（2021秋•新田县期末）解关于x的分式方程 +1= 时不会产生增根，则m的取值范围是
x−1 1−xm ≠﹣ 1 ．
【分析】先解分式方程，然后根据分式方程不会产生增根，可得x≠1，从而可得m≠﹣1，即可解答．
1 m
【解析】 +1= ，
x−1 1−x
1+x﹣1＝﹣m，
解得：x＝﹣m，
∵分式方程不会产生增根，
∴x≠1，
∴﹣m≠1，
∴m≠﹣1，
∴m的取值范围是m≠﹣1，
故答案为：m≠﹣1．
三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•昌吉市校级期末）解方程：
6 5
（1） = ；
x 2x−1
x+1 14
（2） − =1．
x−1 x2−1
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式
方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】（1）去分母得：6（2x﹣1）＝5x，
去括号得：12x﹣6＝5x，
移项合并得：7x＝6
6
解得：x= ，
7
6
经检验x= 是分式方程的解；
7
（2）去分母得：（x+1）2﹣14＝（x+1）（x﹣1），
去括号得：x2+2x+1﹣14＝x2﹣1，
移项合并得：2x＝12，
系数化1得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解．20．（2021秋•化德县校级期末）计算：
2x 4x
（1）（ ）2÷（ ）3；
3 y 3 y
2a 1
（2） − ；
a2−4 a−2
（3） a−1 a2−1．
÷
a2−4a+4 a2−4
【分析】（1）先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法进行计算；
（2）先通分再计算；
（3）将除法转化为乘法进行计算．
【解析】（1）原式 4x2 64x3
= ÷
9 y2 27 y3
4x2 27 y3
= ⋅
9 y2 64x3
3 y
= ；
16x
2a a+2
（2）原式= −
(a−2)(a+2) (a−2)(a+2)
2a−a+2
=
(a−2)(a+2)
a+2
=
(a−2)(a+2)
1
= ；
a−2
（3）原式 a−1 (a−2)(a+2)
= ⋅
(a−2) 2 (a−1)(a+1)
a+2
=
(a−2)(a+1)
a+2
= ．
a2−a−2
21．（2021秋•张店区期末）先化简再求值 x2 x2−1 ，选择一个你喜欢的x的值代入其
( −x+1)÷
x+1 x2+2x+1中并求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解析】原式＝[ x2 (x+1)(x−1)] x2−1
− ÷
x+1 x+1 x2+2x+1
＝（x2−x2+1）• (x+1) 2
x+1 (x+1)(x−1)
1 x+1
= •
x+1 x−1
1
= ，
x−1
由题意得：x≠±1，
1
当x＝2时，原式= =1．
2−1
22．（2021秋•广丰区期末）（1）已知b 1，求a2−2ab+b2的值；
=
a a2+ab+b2
1 1 a−2ab+b
（2）已知 + =2，求 的值．
a b 2a+ab+2b
【分析】（1）用a代替b代入原式化简即可；
（2）把2ab＝a+b 代入原式化简即可．
【解析】（1）由 b 得 b＝a，代入式子 a2−2ab+b2得，
=1
a a2+ab+b2
a2−2ab+b2 a2−2aa+a2 ；
= =0
a2+ab+b2 a2+aa+a2
1 1
（2）由 + =2
a b
a−2ab+b
得 2ab＝a+b 代入式子 得，
2a+ab+2b
a−2ab+b a−(a+b)+b
= =0
2a+ab+2b a+b ．
2a+ +2b
2
mx 2 3
23．（2021春•东阳市期末）关于x的分式方程： − = ．
x2−4 2−x x+2（1）当m＝3时，求此时方程的根；
（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
【分析】（1）把m＝3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验
即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m
的值．
3x 2 3
【解析】（1）把m＝3代入方程得： + = ，
x2−4 x−2 x+2
去分母得：3x+2x+4＝3x﹣6，
解得：x＝﹣5，
检验：当x＝﹣5时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣5；
（2）去分母得：mx+2x+4＝3x﹣6，
∵这个关于x的分式方程会产生增根，
∴x＝2或x＝﹣2，
把x＝2代入整式方程得：2m+4+4＝0，
解得：m＝﹣4；
把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，
解得：m＝6．
24．（2021•黑龙江）某中学初三学生在开学前去商场购进A，B两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买
A款书包共花费6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A款书包数量是购买B款书包数量的3
倍，已知购买一个B款书包比购买一个A款书包多花30元．
（1）求购买一个A款书包、一个B款书包各需多少元？
（2）为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了 A，B两款书包，每款书包不少于14个，总花
费恰好为2268元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，A款书包销售单价比第一次购
买时提高了8%，B款书包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次A款书包有几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少 72元，直接写出两款
书包的购买方案．
【分析】（1）设购买一个A款书包需要x元，则购买一个B款书包需要（x+30）元，利用数量＝总价÷
单价，结合用6000元购买A款书包的数量是用3200元购买B款书包数量的3倍，即可得出关于x的分
式方程，解之经检验后即可得出结论；4
（2）设购买m个B款书包，则购买（42− m）个A款书包，根据购买的每款书包不少于14个，即可
3
4
得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合（42− m）为整数，即可得出
3
m的值，进而可得出此次A款书包购买方案的个数；
（3）利用减少的利润＝销售每个B款书包减少的利润×销售数量﹣销售每个A款书包增加的利润×销售
数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）设购买一个A款书包需要x元，则购买一个B款书包需要（x+30）元，
6000 3200
依题意得： =3× ，
x x+30
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝50+30＝80（元）．
答：购买一个A款书包需要50元，购买一个B款书包需要80元．
2268−80×0.9m 4
（2）设购买m个B款书包，则购买 =（42− m）个A款书包，
50×(1+8%) 3
{ m≥14
依题意得： 4 ，
42− m≥14
3
解得：14≤m≤21．
4
又∵（42− m）为整数，
3
∴m为3的倍数，
∴m可以取15，18，21，
∴此次A款书包有3种购买方案．
4
（3）依题意得：80×（1﹣0.9）m﹣50×8%（42− m）＝72，
3
解得：m＝18，
4 4
∴42− m＝42− ×18＝18（个）．
3 3
答：购买18个A款书包，18个B款书包．
