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专题5.12 分式的加减（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、最简公分母
1．式子： 的最简公分母是（ ）
A．24x2y2xy B．24 x2y2 C．12 x2y2 D．6 x2y2
2．分式 的最简公分母是（ ）
A．5abx B．15ab C．15abx D．15ab
知识点二、通分
3．化简分式 过程中开始出现错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．把分式 ， ， 的分母化为x2-y2后，各分式的分子之和是( )
A．x2＋y2＋2 B．x2＋y2-x＋y＋2
C．x2＋2xy-y2＋2 D．x2-2xy＋y2＋2
知识点三、同分母分式相加减
5．计算 的结果是（ ）
A．2 B． C． D．3
6． 等于（ ）
A． B． C． D．
知识点四、异分母分式相加减7．要比较 与 中的大小（x是正数），知道 的正负就可以判断，则下
列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．计算 + + 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
知识点五、整式与分式相加减
9．已知 ，用a表示c的代数式为（ ）
A． B． C． D．
10．若a+b＝1，则代数式（ ﹣1）• 的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
知识点六、已知分式的恒等式，确定分子或分母
11．已知 ，则A的取值是
A．-3 B．3 C．-6 D．6
12．如果分式 ，那么A，B的值是( )
A．A＝－2，B＝5 B．A＝2，B＝－3
C．A＝5，B＝－2 D．A＝－3，B＝2
知识点七、分式加减混合运算
13．对于正数x，规定 ，例如 ，
的值是（ ）
A．9 B．9.5 C．10 D．10.514．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点八、分式加减实际应用
15．对于正数x，规定f（x）＝ ，例如f（4）＝ ， ，则f
（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（ ）+… 的结果是（ ）
A． B．4039 C． D．4041
16．小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为 千米/时，下山的速度为 千米/时，
则小强上山和下山的平均速度为（ ）．
A． 千米/时 B． 千米/时 C． 千米/时 D． 千米/时
知识点九、分式加减乘除混合运算
17．已知实数a、b、满足α²+b2=4ab=2c，则下列结论不正确的是（ ）
A．当c≠0时， B．当c=3时，a+b=±3
C．当a，b，c中有两个相等时，c=0 D．当c≠0时，
18．根据 ， ， ， ，…所蕴含的规律可得 等于
（ ）
A． B． C． D．
知识点十、分式的化简求值19．已知m2+3m-4=0，则代数式 值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．设 ， 都是不为0的实数，且 ， ，定义一种新运算： ，则
下面四个结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
知识点一、最简公分母
21．写出下列各组分式的最简公分母： _________．
22．分式 与 的最简公分母是__________
知识点二、通分
23．已知实数 ， 满足 ，则 __________．
24．如果 ，那么 的值是______．
知识点三、同分母分式相加减
25．计算： ÷ — =___________．
26．若记y=f（x）= ，其中f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）= ；f（
）表示当x= 时y的值，即 …；则f（1）+f（2）+f（ ）+f
（3）+f（ ）+…+f（2011）+f（ ）=________．知识点四、异分母分式相加减
27．计算： _________．
28．化简 _____．
知识点五、整式与分式相加减
29．计算 的结果是___________．
30．计算： 的结果是________．
知识点六、已知分式的恒等式，确定分子或分母
31．已知 ＝ ，且A、B为常数，则A+3B＝_____．
32．已知 ，则 ____， ____．
知识点七、分式加减混合运算
33．计算： __________．
34．观察下列各式： ，…．请利用你观察所得的结论，
化简代数式 （ 且n为整数），其结果是____．
知识点八、分式加减实际应用
35．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方
形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 米的正方形，两块试
验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的
这个值是______．36．若 ＝ ，则a的值是_____．
知识点九、分式加减乘除混合运算
37．化简 的结果是______．
38．化简： ＝________
知识点十、分式的化简求值
39．若a2 3，则 的值为__．
40．已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于___．
三、解答题
41．已知 ，求3A－B．
42．计算：
（1） ； （2） ；
（3） ．43．先化简： ，再从 ，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．
44．先化简再求值， ，其中 ．
45．阅读材料：
对于两个实数a，b大小的比较，有如下规律：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若
a-b＜0，则a＜b. 反过来也成立．
解决问题：
(1)已知实数x,则 （填“＜”，“=”或“＞”）；
(2)甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲用一半时间以每小时xkm的速度行走，另一半时
间以每小时y km的速度行走；乙以每小时x km的速度行走一半路程，另一半路程以每小
时y km的速度行走. 若x≠y，判断谁先到达B地，并说明理由．
下面是小明参考上面的规律解决问题的过程，请补充完整：
（1） （填“＜”，“=”或“＞”）；
（2）先到达B地的是 ．
说明：设甲从A地到B地用2th，则A，B两地的路程为（x+y）t km，乙从A地到B地用
h参考答案
1．C
【解析】
【分析】
分母都是单项式，根据最简公分母的求法：系数取最大系数，不同字母取最高次幂，将它
们相乘即可求得．
【详解】
式子： 的最简公分母是：12 x2y2．
故选：C．
【点拨】本题考查最简公分母的定义与求法．
2．D
【解析】
【分析】
要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．
【详解】
由题意知各分母系数的最小公倍数为15，字母因式的最高次幂为ab ，所求分式的最简公
分母为15ab ,所以D选项是正确的．
【点拨】如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的
最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式
分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的
因式都要取最高次幂．
3．B
【解析】
【分析】
根据异分母分式的加法法则可以检查出出错的步骤．
【详解】解：∵ =
经过仔细比对，发现出错的步骤是题中所示②，分子相减时没有把第二个分子当作整体用
括号括起来，
故选B．
【点拨】本题考查异分母分式的加减，先对异分母分式通分并在加减过程中把每个分子当
作一个整体是解题关键 ．
4．C
【解析】
【分析】
结合通分的知识将分式 ， 的分母化为x2−y2，进而得到各分式的分子.
【详解】
解:由平方差公式将x2−y2可化简为(x+y)(x-y)
故将 的分母化为x2−y2后可得
将 的分母化为x2−y2后可得
所以分式的 , , 的分母化为x2−y2后,各分式的分子之和
x(x+y)+y(x-y)+2展开,得x2+xy+xy−y2+2合并同类项,得x2+2xy−y2+2
故选C
【点拨】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是将分式的分母都化为(x+y)(x-y)再对分
子进行加减运算.
5．D
【解析】【分析】
根据同分母分式的加减法运算法则即可求出答案．
【详解】
=
=
=
故选：D
【点拨】本题考查分式的运算，熟练运用分式的减法运算法则是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
按同分母分式相减的法则计算即可.
【详解】
故选：A
【点拨】本题考查同分母分式相加减法则：分母不变，分子相加减.
7．C
【解析】
【分析】
将 进行化简得到 ，利用x是正数，可得出 ，即可判断A和
B的大小，进而可得答案．
【详解】
解：由题意可知：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
故选：C．
【点拨】本题考查比较分式大小，完全平方公式，解题的关键在于正确的通分化简．
8．C
【解析】
【分析】
先后两项通分相加结果再与第一项通分相加即可求解．
【详解】
解： + + ，
= + - ，
= + ，
= + ，
= + ，
= ，
= ，
= ．
故选C．
【点拨】本题主要考查分式的加法法则，掌握逐步通分和约分方法是解题的关键．
9．D
【解析】【分析】
将 代入 消去b，进行化简即可得到结果．
【详解】
解：把 代入 ，得
，
，
，
，
，
．
故选D．
【点拨】本题考查了分式的混合运算，列代数式．熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式
代入计算即可求出值．
【详解】
原式
当 时，原式故选：D．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题关键．
11．C
【解析】
【分析】
已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则变形，利用多项式相等的条件即可求
出a的值.
【详解】
，
，
得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11，
∴A+11=5，-2A-11=1，
∴A=-6.
故选C.
【点拨】此题考查了分式的加减法,分式加减法的关键是通分,通分的关键是找最简公分母
12．A
【解析】
【详解】
因为 = ，所以 ，解得 ，故选A.
13．B
【解析】
【分析】
根据 ， ，进而进行求解即可．
【详解】
解：∵ ，，
，
，
且 ，
∴ ，
= ，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了运算的规律，分式的混合运算，函数值的计算，正确读懂运算的规律
是解题的关键．
14．B
【解析】
【分析】
利用约分对A进行判断；根据负整数指数幂的意义对B进行判断；根据同分母的减法运算
和约分对C进行判断；利用通分对D进行判断．
【详解】
解：A、原式 ，所以A选项的计算错误；
B、原式 ，所以B项的计算正确；
C、原式 ，所以C选项的计算错误；D、原式 ，所以D项的计算错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同
的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、
分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
15．C
【解析】
【分析】
根据已知规定，可得 ，进而可以解决问题．
【详解】
解：∵f（x）＝ ， ，
∴ ，
∴f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（ ）+…
=
=
= ，
故选：C．
【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类，分式的加法．解决本题的关键是根据数字的
变化寻找规律．
16．D
【解析】
【分析】
根据平均速度等于总路程除以总时间求解即可．
【详解】解：∵上山的速度为 千米/时，下山的速度为 千米/时，
∴上山的时间为 ，下山的时间为 ，
∵小强上山和下山的路程都是s千米，
∴上山和下山的平均速度为： ，
故选：D．
【点拨】总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下山时间，解决问题的关键是读懂
题意，找到所求的量的等量关系．
17．C
【解析】
【分析】
根据分式的混合运算法则、完全平方公式进行计算，判断即可．
【详解】
A项：当c≠0时，ab≠0，a2+b2=4ab，两边除以ab得， ，故A选项正常，不符题
意；
B项：当c=3时，（a+b）2=a2+b2+2ab=2c+c=3c=9，∴a+b=±3，故B选项正确，不符题意；
C项：当a=c时，c2+b2=4cb=2c，则c=0或b= ，当b= 时，（c-1）2= ，解得c=1+
，故C选项错误，符合题意；
D项：当c≠0时，ab≠0，a2+b2=4ab=2c，∴ ，故D选项正确，
不符题意．
【点拨】本题考查的是分式的混合运算、完全平方公式，掌握分式的混合运算法则是解题
的关键．
18．C
【解析】
【分析】根据分式的运算，求得 ， ， 的值，找到规律，利用规律求解即可．
【详解】
解： ， ，
，
∴
可知此组数三个一循环，
∴
故选：C
【点拨】此题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关计算，解题的关键是根据已知计
算公式找到这组数据的规律．
19．D
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得
到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵
∴
∴原式
故选：D
【点拨】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．C
【解析】
【分析】
各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可．
【详解】
A. 根据题中的新定义化简得： ，
，不符合题意；
B. ，
，不符合题意；
C. ，
，符合题意；
D. ，
，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，弄清题中的新定义是解题的关键．21．2x（x+3）（x-3）
【解析】
【分析】
根据最简公分母的确定方法解答．
【详解】
解： 的最简公分母是2x（x+3）（x-3），
故答案为：2x（x+3）（x-3）．
【点拨】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高
次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
22．
【解析】
【分析】
确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连
同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就
是最简公分母．
【详解】
解：分式 与 的分母分别是(x+1)(x-1)，(x-1)
故最简公分母是（x+1）（x-1），
故答案为（x+1）（x-1）．
【点拨】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因
式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都
是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字
母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系
数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
23．0或
【解析】
【分析】
将已知等式变形可得 ，然后根据“两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0”即可得出a=-b或a=b，最后代入即可．
【详解】
解：∵
∴
∴
整理，得
∴a=-b或a=b
当a=-b时， ；
当a=b时，
综上：原式=0或
故答案为：0或 ．
【点拨】此题考查的是分式的基本性质和因式分解，掌握分式的基本性质、利用平方差公
式因式分解和两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0是解决此题的关键．
24．0
【解析】
【分析】
先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，使方程两边的分子部分
相同即可解决.
【详解】
解：
所以 ，
故答案是：0
【点拨】本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键.
25．
【解析】
【分析】
先计算分式中的除法运算，然后再来计算减法运算．
【详解】
解：
=
=
= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是把除法转化为乘法计算．
26．2010
【解析】
【分析】
根据y=f（x）= ，可得相应的值，根据有理数的加法结合律，可得答案．
【详解】
∵y=f（x）= ，
∴ ，∴f（x）+f（ ）=1，
∴f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（2011）+f（ ）
=f（1）+[f（2）+f（ ）]+[f（3）+f（ ）]+…+[f（2011）+f（ ）]
= +1+1+…+1
= +2010
=2010 ．
故答案为：2010 ．
【点拨】本题考查了求值，涉及同分母分式加法，熟练掌握和灵活运用利用加法结合律是
解题关键．
27．
【解析】
【分析】
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【详解】
解：
故答案为：
【点拨】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属
于基础题型．
28．
【解析】
【分析】
根据平方差公式和分式运算的性质，先通分，再合并同类项并化简，通过计算即可得到答
案．
【详解】．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式运算和平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的运算性
质，从而完成求解．
29．
【解析】
【分析】
先通分再化简即可．
【详解】
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母
的分式，再相减，最后结果能约分的要约分．
30． ．
【解析】
【分析】先把分式化成同分母，再根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案．
【详解】
解：
=
=
=
故答案为 ．
【点拨】本题考查了分式的加减．熟练掌握运算法则是解题的关键．
31．0
【解析】
【分析】
先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，
再代入求值即可．
【详解】
解：
＝
＝
＝ ，
∵ ＝ ，且A、B为常数，
∴ ，∴ ，
解得： ，
∴A+3B＝3+3×(-1)=0，
故答案为：0．
【点拨】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此
题的关键．
32．
【解析】
【分析】
先把等式的右边通分，再与左边相比较即可得出结论．
【详解】
解：∵右边
∵
∴
∴
∴
故答案是： ；【点拨】本题考查的是分式的通分，熟练掌握分式混合运算法则是解答此题的关键．
33．
【解析】
【分析】
先分子分母因式分解约分后，再通分并利用同分母分式的加法法则计算，即可得到结果．
【详解】
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
34．
【解析】
【分析】
根据所列的等式找到规律 ，由此计算
的值．
【详解】
∵ ， ， ，∴
∴
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了数字变化类以及分式的加减，此题在解答时，看出的是左右数据
的特点是解题关键．
35．
【解析】
【分析】
先用含a的式子表示出两块试验田的面积，再由高产量的减去低产量，从而可求解．
【详解】
解：由题意得：
“丰收1号”的单位面积产量为： ，
“丰收2号”的单位面积产量为： ，
∴，
即高的单位面积产量比低的单位面积产量多 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意列出正确的式子求解．
36．8
【解析】
【分析】
将等式的右边进行分式的加法运算，其结果与等式的左边比较即可求得 的值
【详解】
．
解得 ．
故答案为：8．
【点拨】本题考查了分式的加法运算，掌握分式的加法运算是解题的关键．
37． ##
【解析】
【分析】
根据分式的混合运算进行计算即可．
【详解】解：原式=
=
=b－2a
故答案为：b－2a．
【点拨】本题考查分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
38．
【解析】
【分析】
先将括号内的进行通分，再把除法转化为乘法后，进行约分化简即可得到答案．
【详解】
解：
=
=
=
故答案为
【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序和正确因式分解是解答本题
的关键．
39．1
【解析】
【分析】
先求 的倒数的值，然后代入已知进行计算即可解答．
【详解】解∶∵a2 3
∴
＝a2﹣2
＝a2 2
＝3﹣2
＝1，
∴ 1．
【点拨】本题考查了分式的值，先 的倒数的值是解题的关键．
40．4
【解析】
【分析】
由y 得：x﹣y＝xy，整体代入到代数式中求值即可．
【详解】
由y 得：xy+y＝x，
∴x﹣y＝xy，
∴原式 ＝4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了求分式的值，对条件进行化简，得到x﹣y＝xy，把x﹣y看作整体，代
入到代数式求值是解题的关键．
41．3
【解析】
【分析】
把已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件列方程组
即可得答案．【详解】
∵ ＝ ，
∴ ，
解得： ，
∴3A－B＝3×2－3＝3．
【点拨】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则，并根据题
意得出关于A、B的方程组．
42．（1）2；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）同分母分式的加减，分母不变，分子相加即可；
（2）先通分，然后再相加减；
（3）将原式转换为分母一样的分式，相加减即可．
【详解】
解：（1）原式 ；
（2）原式
；
（3）原式 ．
【点拨】本题考查了分式加减运算，熟知其运算法则是解题的关键．
43．2x+2；6
【解析】【分析】
利用分式混合运算的法则化简，然后取适当的x的值代入即可求解．
【详解】
∵ 或1时， ，
∴x只能取2
当x=2时，原式 =2×2+2=6
【点拨】本题考查了分式的化简求值，能正确地把代数式化简并选择合适的 的值代入求
值是解题的关键．
44．化简为： ，当 时，原式=
【解析】
【分析】
根据分式的通分、约分以及分式乘除运算对代数式进行化简，然后把 代入即可求
得代数式的值．
【详解】
解：原式
将 代入得：
原式 ．【点拨】本题考查了分式的通分、约分以及分式的乘除运算，准确掌握相关法则是解题关
键，化简求值类题目需要注意化简一定要化到最简后再代入求值．
45．(1)＜
(2)甲
【解析】
【分析】
（1）通过阅读材料，可以通过做差法进行大小比较，对两边的式子进行做差比较；
（2）根据题意，可以用甲所用的时间与乙所用的时间做差，进行比较．
(1)
故应填“＜”
(2)
∵x≠y，
∴
∵x＞0，y＞0，t＞0，
∴
∴
所以甲先到达B地．
【点拨】本题考查的是通过阅读材料，总结出可以通过做差的方法进行比较大小，理解并熟练掌握做差法比较大小是解本题的关键．
