文档内容
专题5.12 求解二元一次方程组题型分类专题（专项练习）
（巩固篇）
一、单选题
知识点一、已知二元一次方程组的解求参数
1．已知方程组 中， ， 互为相反数，则 的值是（ ）
A．4 B． C．0 D．8
2．已知 是二元一次方程组 的解，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于 ， 的方程组 给出下列结论：① 是方程组的解；②无
论 取何值， ， 的值都不可能互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程
的解；④ ， 的都为自然数的解有 对．其中正确的是（ ）
A．②③ B．③④ C．①② D．①②③④
4．已知关于x、y的方程组 得出下列结论，正确的是（ ）
①当 时，方程组的解也是方程 的解；②当 时， ；③不论a取什么
实数， 的值始终不变：④不存在a使得 成立；
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
知识点二、二元一次方程组的特殊解法
5．已知方程组 的解是 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，则代数式 的值为（ ）A．4 B． C． D．10
7．已知关于 ， 的方程组 ，给出下列结论：① 是方程组的一个解；
②当 时， ， 的值相等；③当 时， ；④当 时，方程组的解，
也是方程 的解．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．方程组 的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点三、二元一次方程组的错题复原问题
9．在解方程组 时，小明由于粗心把系数 抄错了，得到的解是 ．
小亮把常数 抄错了，得到的解是 ，则原方程组的正确解是（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两人在解方程组 时，甲看错了方程①中的 ，解得 ，乙看
错了方程②中的 ，解得 ，则 的值为（ ）
A．2 B．－2 C．0 D．－3
11．解方程组 时，某同学把c看错后得到 ，而正确的解是 ，那
么 ， ， 的值分别是（ ）
A． ， ， B． ， 不能确定，
C． ， ， D． ， ， 的值不能确定12．甲、乙两人同求方程ax－by=7的整数解，甲正确地求出一个解为 ，乙把ax－
by=7看成ax－by=1，求得一个解为 ，则a,b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
知识点四、构造二元一次方程组求解
13．如果 ，那么x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知实数a，b满足：（a﹣b+3）2 + ＝0，则 等于（ ）
A．65 B．64 C．63 D．62
15．关于x，y的，二元一次方程 ，当a取一个确定的值时就
得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
16．已知关于 ， 的二元一次方程 ，其取值如下表，则 的值为（ ）
5
A．16 B．17 C．18 D．19
知识点五、已知二元一次方程组解的情况求参数17．已知x，y互为相反数且满足二元一次方程组 ，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
18．两位同学在解方程组时，甲同学由 正确地解出 ，乙同学因把 写错
了解得 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
19．若关于 ， 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，
则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
20．若 是关于x、y的方程组 的解，则 的值是（ ）
A．－18 B．－6 C．3 D．18
知识点六、同解原理
21．已知方程组 和 有相同的解，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
22．若关于x、y的方程组 和 有相同的解，则 的值为（
）
A． B．0 C．1 D．2021
23．若关于x、y的二元一次方程组 的解与方程 的解相同，则k的值
是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．824．已知关于 的方程组 和 有公共解，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
知识点一、已知二元一次方程组的解求参数
25．若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则方程组
的解是____
26．已知 是关于x、y的二元一次方程，则 __________．
27．已知方程组 与 有相同的解，则 ___________．
28．已知方程组 的解为 ，则 的值为__________．
知识点二、二元一次方程组的特殊解法
29．若关于 ， 的方程组 （其中 ， 是常数）的解为 ，则方程组
的解为______．
30．若关于 的方程组满足 ，则 的值为________．
31．若关于x，y的方程组 的解是 ，则关于x，y的方程组
的解是 ___．（用含m，n的代数式表示）．32．已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，若 ， 满足二元一次
方程组 ，则 ______．
知识点三、二元一次方程组的错题复原问题
33．王老师让全班同学们解关于x、y的方程组 ，（其中a和b代表确定的
数），甲、乙两人解错了，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错了②中的b，解
得 ，这个方程组的正确解为_____．
34．解方程组 时，一学生把c看错解为 ，而正确的解是 ，那么
a+b+c＝__．
35．已知方程组 ，甲解对了，得 ．乙看错了c，得 ．则 的值
为_______．
36．甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的 ，解得 ，乙
看错了②中的 ，解得 ，则 的值为_________．
知识点四、构造二元一次方程组求解
37．已知 ，那么 ______．38．已知关于 的二元一次方程组 的解也是方程 的解，则m值
为____．
39．定义一种新运算“※”，规定x※y＝ax+by2，其中a、b为常数，且﹣1※1＝0，2※1
＝3，则2※5＝_____．
40．对 ， 定义一种新运算 ，规定： （其中 ， 均为非
零常数）．例如： ， ．当 ， ，则
__________；当 时， 对任意有理数 ， 都成立，则 ，
满足的关系式是__________．
知识点五、已知二元一次方程组解的情况求参数
41．若关于x，y的方程组 中x的值比y的相反数大2，则k＝_____．
42．已知 是二元一次方程组 的解，则 的值为________．
43．小刚解出了方程组 的解为 ．因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了
方程组和解中的两个数，则 、 分别为___________．
44．已知关于x，y的二元一次方程组 ，
①当方程组的解是 时，m，n的值满足 ；
②当 时，无论n取何值， 的值始终不变；
③当方程组的解是 时，方程组 解为 ；
④当 时，满足x，y都是非负整数的解最多有2组．以上说法：正确的是_____________（填写序号）．
知识点六、同解原理
45．若关于 ， 的二元一次方程组 与 有相同的解，
则这个解是_________．
46．若方程组 的解为 ，则方程组 的解为
___________ ．
47．如果方程组 与方程y＝kx－1有公共解，则k＝______．
48．已知方程组 的解能使等式 成立，那么代数式
_______．
三、解答题
49．方程组 的解满足2x－ky＝10（k是常数）．
（1）求k的值；
（2）求出关于x，y的方程（k－1）x＋2y＝13的正整数解．
50．（阅读感悟）
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式
的值．如已知实数 、 满足 ，求 和 的值．
方法一：解方程组，分别求出 、 的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．
解法如下：①－②，得： ；①＋②×2，得： ．
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所
说的“整体思想”．
（问题解决）
（1）已知二元一次方程组 ，则 __________； __________．
（2）某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25
支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需
__________元．
（3）对于实数 、 ，定义新运算： ，其中 、 、 是常数，等式右边
是通常的加减法和乘法运算．已知 ， ，那么 的值是__________．
51．已知方程组 甲由于看错了方程（1）中的 ，得到方程组的解为
是方程（2）的解；乙由于看错了方程（2）中的 ，得到方程组的解为 是方程（1）
的解．若按正确的计算，求 的值．
52．在等式y＝ax2＋bx＋1中，当x＝－1时，y＝6；当x＝2时，y＝11．
（1）求a，b的值；
（2）当x＝－3时，求y的值．52．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)．甲由于把第一个多项式中的
“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，
得到的结果为2x2＋7x＋6．求正确的a，b的值．
53．已知关于x，y的方程组 和 的解相同，求（2a+b）2021的值．
55．阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足2m＝8＋n，就称点P（m﹣1，
）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组 解为坐标的点B（x，y）
是“爱心点”，求p，q的值．
56．阅读理解：
三个同学对问题“若方程组 的解是 ，求方程组 的
解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系
数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答下列问题：
（1）若方程组 的解是 ，求方程组 的解．
（2）若方程组 的解是 ，求方程组 的解．
57．已知关于x、y的方程组 与方程组 的解相同，求（2a＋b）
2021的值．
参考答案
1．D
【分析】
根据 与 互为相反数得到 ，即 ，代入方程组即可求出 的值．
【详解】解：因为 ， 互为相反数，
所以 ，
即 ，
代入方程组得： ，
解得： ，
故选： ．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未
知数的值，也考查了代入消元法解二元一次方程组以及相反数的意义．
2．D
【分析】
把x与y的值代入方程组求出m与n的值再进行计算即可．
【详解】
解：把 代入方程组得：
，
解得： ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中的方程都成立的
未知数的值．
3．D
【分析】
①将x=4，y= 1代入检验即可做出判断；
②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y=3来判断；
③将a=1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④有x+y=3得到x、y都为自然数的解有4对．
【详解】
解：①将 代入 ，解得 ；且满足题意，故①正确；
②解方程
②得：8y=4 4a
解得： ，
将y的值代入①得： ，
所以x+y=3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确．
③将a=1代入方程组得：
，
解此方程得： ，
将x=3，y=0代入方程x+y=3，方程左边=3=右边，是方程的解，故③正确．
④因为x+y=3，所以x、y都为自然数的解有
， ， ， ．故④正确．
则正确的选项有①②③④．
故选：D．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未
知数的值．
4．A
【分析】
①把a看做已知数表示出方程组的解，把a=0代入求出x与y的值，代入方程检验即可；②令x=y求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入3x-y中计算得到结果，判断即可；④
令2x=3y求出a的值，判断即可．
【详解】
解： ，
①+②得：3x=3a-6，
解得：x=a-2，
把x=a-2代入①得：y=3a+3，
当a=0时，x=-2，y=3，
把x=-2，y=3代入x+y=1得：左边=-2+3=1，右边=1，是方程的解；
当x=y时，a-2=3a+3，即a= ；
3x-y=3a-6-3a-3=-9，无论a为什么实数，3x-y的值始终不变，为-9；
令2x=3y，即2a-4=9a+9，即a= ，存在，
则正确的结论是①②③，
故选A．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，
熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．C
【分析】
利用换元的思想把 变成 ，然后根据 的解
释 ，即可得到 求解即可.
【详解】解：∵
∴变形得：
∵方程组 的解为
∴利用整体思想可知
解得：
故选C.
【点拨】本题主要考查了整体代入的思想解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据题
目所给的方程进行变形，然后整体代入求解.
6．D
【分析】
方程组两方程相减即可求出 的值．
【详解】
解： ，
② ①得： ．
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
7．D
【分析】
把a看做已知数，解方程组后用含a的代数式表示出方程组的解，利用二元一次方程解的
定义，对四个结论分别进行判断，即可得出结论．【详解】
解： ，
①−②得：4y＝4−4a，
y＝1−a，
把y＝1−a代入②得：x－(1−a)＝3a，
x＝2a＋1，
∴方程组的解为
当x＝5时，即2a＋1＝5，a＝2，
此时y＝1−a＝−1，故结论①正确；
当 时，
x＝2a＋1＝1，y＝1−a＝1，
∴ ， 的值相等，故结论②正确；
当 时，则 ，
即2（2a＋1）＋1−a＝6，
解得a＝1，故结论③正确；
当 时，
x＝2a＋1＝−1，y＝1−a＝2，
∴2x＋y＝0，1＋a＝0，
∴当 时，方程组的解，也是方程 的解，故结论④正确．
故选：D．
【点拨】本题以多种方式考查了二元一次方程组的解，牢固掌握方程组的解法及明确方程
组的解的含义是解题的关键．
8．A
【分析】
分类讨论x与y的正负，利用绝对值的代数意义化简，求出方程组的解，即可做出判断．
【详解】
解：根据x、y的正负分4种情况讨论：①当x＞0，y＞0时，方程组变形得： ，无解；
②当x＞0，y＜0时，方程组变形得： ，
解得x＝3，y＝2＞0，
则方程组无解；
③当x＜0，y＞0时，方程组变形得： ，
此时方程组的解为 ；
④当x＜0，y＜0时，方程组变形得： ，无解，
综上所述，方程组的解个数是1．
故选：A．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解
本题的关键．
9．C
【分析】
通过小明由于粗心把系数 抄错了，得到 ，通过小亮把常数 抄
错了，得到 ，便可将原方程组复原，再求解即可．
【详解】
对于方程组 ，
小明由于粗心把系数 抄错了，得到的解是∴
解得
小亮把常数 抄错了，得到的解是
∴
解得
∴原方程组为 ，解得
故答案选：C．
【点拨】本题是二元一次方程组错解复原问题．通过错解复原原方程组是本题的关键．
10．B
【分析】
根据题意，方程②的一个解为 ，代入方程②，求得 ；方程①的一个解为 ，
代入求得 ，再代入代数式即可求解．
【详解】
解：根据题意，方程②的一个解为 ，代入方程②，求得
方程①的一个解为 ，代入方程①，求得
将 ， 代入代数式得
故答案为B．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的有关知识，解题的关键是通过已知条件列出式
子求得 ， ．
11．A
【分析】将 代入 得 ①，再将 代入 得 由
①②③组成方程组，解之即可求出a、b、c的值．
【详解】
将 代入 得：
即 ①
再将再将 代入
得：
解③得： ，
由①②组成方程组 ，
解得： ，
∴ ， ， ,
故选：A．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解的
定义，掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
12．B
【详解】
试题分析：把甲的解代入ax-by=7可得a+b=7，把乙的解代入可得a-2y=1，由它们构成方程
组可得 ，解方程组得 .
故选B
考点：二元一次方程组的解
13．B【分析】
先根据非负数的性质列出方程组，即可求出x、y的值．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
14．C
【分析】
根据平方和算术平方根的非负性得出方程组，求出方程组的解，再代入求出即可．
【详解】
解：∵实数a，b满足：（a﹣b+3）2+ ＝0，
∴a﹣b+3＝0且a+b﹣1＝0，
即 ，
解方程组得： ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，平方和算术平方根的非负性和求代数式的值等知
识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
15．D
【分析】
根据题意可得关于x、y的方程组，根据解方程组，可得答案．
【详解】解：原方程整理为：（x+y-2）a+（-x+2y+5）=0，
由方程的解与a无关，得：
，
解得 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解题意、得出方程组是解题关键．
16．C
【分析】
根据题意及表格中的数据列出关系式，计算即可求出p的值．
【详解】
解：根据题意得： ，
整理②得： ③
将①代入③，得：
故选：C．
【点拨】此题考查了代入法解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组准确代入计算是
解题关键．
17．A
【分析】
根据 ， 互为相反数得到 ，然后与原方程组中的方程联立新方程组，解二元一次
方程组，求得 和 的值，最后代入求值．
【详解】
解：由题意可得 ，
②﹣①，得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①，得：x﹣1＝0，
解得：x＝1，
把x＝1，y＝﹣1代入2x+3y＝k中，
k＝2×1+3×（﹣1）＝2﹣3＝﹣1，故选：A．
【点拨】本题考查解二元一次方程组，掌握消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一
次方程组的步骤是解题关键．
18．D
【分析】
把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，
即可求出所求．
【详解】
解：把 代入方程组 得： ，
把 代入ax+by=2得：-2a+2b=2，即-a+b=1，
联立得： ，
解得： ，
由3c+2=-4，得到c=-2，
则a+b+c=4+5-2=7．
故选：D．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
19．D
【分析】
根据方程组将x、y分别用k表示，然后代入2x+3y＝12求出k即可．
【详解】
解： ，
①+②，得2x＝14k,即x＝7k．
①﹣②，得2y＝﹣4k，即y＝﹣2k．将x=7k，y=-2k代入2x+3y＝12得：
2×7k+3×（﹣2k）＝12，解得k＝ ．
故选D．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的含参问题，将方程组的解用参数表示出来，然
后代入等式求解成为解答本题的关键．
20．A
【分析】
把 代入 得到关于a，b的二元一次方程组，解之求出a，b，再代入代数
式进行计算即可．
【详解】
解：∵ 是方程组 的解，
∴
①+②×2得
∴
把 代入①得，
解得，
把 ， 代入 得，
故选：A
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握代入法和解二元一次方程组的方法是
解题的关键．
21．A
【分析】
根据两个方程组解相同，解方程组 ，把求得的x、y的值分别两个方程组中的
另一个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求得a、b的值，从而可求得结果的值．
【详解】
∵方程组 和 有相同的解
∴方程组 与 有相同的解
由①×3+②得：7x=42
解得：x=6
把x=6代入①得：12+y=10
解得：y=－2
∴ 是方程组 与 的解
把 代入 中，得：
化简得：
③+④×3得：4b=8
解得：b=2
把b=2代入④得：－a+6=3
解得：a=3
故方程组解为
∴a－b=3－2=1
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解，理解二元一次方
程组的解是本题的关键．
22．A
【分析】
将方程组中不含 的两个方程联立，求得 的值，代入，含有 的两个方程中联立求得 的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】
根据题意
① 2+② 3得：
将 代入①得：
将 代入 得：
③-④ 3得：
将 代入④得：
当 时，
故选A．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，理解题意中方程组有相同解的意义是
解题的关键．
23．C
【分析】
把 看做已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出 的值．
【详解】
解：
① ②得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
解得： ，代入 得： ，
去分母得： ，
解得： ，
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是
解本题的关键．
24．A
【分析】
联立不含m与n的两个方程组成方程组，求出x与y的值，进而求出m与n的值，代入m-
n，计算即可．
【详解】
解：联立得： ，
①×3+②得：7x=42，
解得：x=6，
把x=6代入②得：y=-2，
把 代入得： ，
解得：m=3，n=2，
则m-n=3-2=1．
故选A．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，
叫做二元一次方程组的解．利用两个方程组有公共解得出x，y的值是解题关键．
25．
【分析】根据题意可得 ，再将所求方程组变形为： ，可得到关于 、
的方程组，解出即可．
【详解】
解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
∴ ，
将方程组 变形为：
，
∴ ，
解得： ，
∴方程组 的解是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解即为是方程组中两个
方程都成立的未知数的值是解题的关键．
26．−2
【分析】
根据二元一次方程的定义可得：|m|−1＝1，n＝1且m−2≠0，n-3≠0，求出m、n的值，进而
得到mn的值．【详解】
解：由题意得：|m|−1＝1，n＝1，
解得：m＝±2，n＝1，
∵m−2≠0，n-3≠0，
解得：m≠2，n≠3，
∴m＝−2，n＝1，
则mn＝−2，
答案为：−2．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程必须符合以下三
个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方
程．
27．144
【分析】
根据题意，两个方程组有相同的解集得到方程组 ，解方程组得 ，将
代入方程组 中，解出即可．
【详解】
解：∵方程组 与 有相同的解，
∴ ，
解得： ，
将 代入方程组 中，得到： ，解得：
∴ ，故答案为：144．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，关键在于读懂题意联立出可以求
解的二元一次方程组．
28．6
【分析】
把方程组的解回代转化为关于a，b的新方程组，求得a，b的值后计算即可
【详解】
∵方程组 的解为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ = =6，
故答案为：6
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，熟练运用方程解的定
义化已知方程组为被求字母为未知数的新方程组是解题的关键．
29．
【分析】
由题意可得方程组 的解满足 ，再解后一个方程组即得答
案．
【详解】
解：∵关于 ， 的方程组 的解为 ，∴方程组 的解满足 ，
解得： ．
故填： ．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，解题关键是得出两方程组的特点，并
据此得出关于x,y的方程组．
30．3
【分析】
两式相加可得3（x-y）=9，然后将x-y整体求解即可．
【详解】
解：
①+②得：3x-3y=9，即3（x-y）=9，解得x-y=3．
故填3．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，灵活运用特殊方法解二元一次方程组和整体思想
是解答本题的关键．
31．
【分析】
将待求方程组整理为 ，由原方程组的解将 看作整体可得
关于x、y的方程组，解之可得．
【详解】解：将方程组 整理，得：
，
根据题意，得：
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是由原方程组的解将将
看作整体可得关于x、y的新方程组．
32．35
【分析】
将 理解为 ， 理解为 ，整体代入得到 ， ，由此即可解出 和
的值．
【详解】
解：由题意，将 和 理解为一个整体，代入即可得到：
，解得 ，
∴ ，
故答案为：35．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，注意将 和 理解为一个整体是解决本
题的关键．
33．【分析】
把甲的解代入方程②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，确定出方程组，求出正确
的解即可；
【详解】
由题意可知， 不是方程①的解，
不是方程②的解，
把 代入方程②中，
得b+4=7，解得：b=3，
把 代入方程①中，得-2+a=1，解得：a=3；
把 代入方程组 -
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的
未知数的值；
34．7
【分析】
首先根据题意，可得：3c﹣7×（﹣2）＝8，据此求出c的值是多少；然后根据：
，应用加减消元法，求出a、b的值各是多少，进而求出a+b+c的值是多
少即可．
【详解】
解：根据题意，可得：3c﹣7×（﹣2）＝8，
解得c＝﹣2，根据题意，可得： ，
①+②，可得a＝4，
把a＝4代入①，解得b＝5，
∴a＝4，b＝5，c＝﹣2，
∴a+b+c
＝4+5+（﹣2）
＝7．
故答案为：7．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，要熟练掌
握，注意代入消元法和加减消元法的应用；
35．-40
【分析】
把甲的结果代入方程组求出c的值，得到关于a与b的方程，将乙结果代入第一个方程得
到a与b的方程，联立求出a与b的值,在计算abc的值即可．
【详解】
解：由甲运算结果得 ， ，
解得 ，
由乙运算结果得 ，
得 ，
解得 ．
=
故答案为：-40
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
36．0
【分析】根据甲看错了方程①中的 ，将 代入②中可求得 的值，根据乙看错了②中的 ，
将 代入①中可求得 的值，由此可求得 的值．
【详解】
解：把 代入方程②，得4×（-3）=b•（-1）-2，解得b=10；
把 代入方程①，得5a+5×4=15，解得a=-1．
所以 ．
故答案为：0．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，乘方的符号规律．理解方程组的解是同时满足方
程组中两个方程的未知数的值是解决此题的关键．
37．
【分析】
根据平方和绝对值的非负性得到二元一次方程组求解即可；
【详解】
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案是25．
【点拨】本题主要考查了绝对值的非负性和二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．
38．5
【分析】
根据题意将2x+y=7和x-2y=6联立组成方程组，解方程组可求解x，y值，再将x，y值代入
代入方程x+2y=m-3可得关于m的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】
解：∵x，y的二元一次方程组 的解也是方程x-2y=6的解，
∴ ，
①×2+②，得
5x=20，
∴x=4，
把x=4代入①，得
8+y=7，
∴y=-1，
把x=4，y=-1代入x+2y=m-3，得
4+2×(-1)=m-3，
解得m=5．
故答案为5．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及了二元一次方程（组）的解，通过解
方程组求解x，y是解题的关键．
39．27
【分析】
根据已知条件得出 ，求出方程组的解，再求出答案即可．
【详解】
解：∵x※y＝ax+by2，且-1※1=0，2※1=3，
∴ ，②-①，得3a=3，
解得：a=1，
把a=1代入①，得-1+b=0，
解得：b=1，
∴2※5=2×1+1×52=27，
故答案为：27．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出关于a、b的方程组是
解此题的关键．
40．
【分析】
根据定义的新运算F，将 ， 代入 ，得到
关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，代回原式即可求得 ；由
列出关系式，整理后即可确定出m、n的关系式．
【详解】
解：①根据题意得， ，
，
整理得： ，解得： ，
则
，
②由 得
，
整理得： ，当 时， 对任意有理数 ， 都成立，
即 ；
故答案为： ； ．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，二元一次方程组的应用等知识点，弄清题中的新
定义是解本题的关键．
41．-3
【分析】
由题意得：x＝﹣y+2，代入方程组中的第一个方程可求得y的值，再求出x的值，最后代
入到方程组中的第二个方程可求出k的值．
【详解】
解：∵方程组 中x的值比y的相反数大2，
∴x＝﹣y+2，
∴4（﹣y+2）+5y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入4x+5y＝10中，得：4x+10＝10，
解得：x＝0，
则方程组的解是 ，
∴﹣（k﹣1）×2＝8，
解得：k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解，解答的关键是理解题意，求出方程组的解．
42．2
【分析】
根据题意，将 代入二元一次方程组 ，得到关于m、n的二元一次方程组，
求出后代入即可．
【详解】将 代入二元一次方程组 ，
得 ，
解得 ，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，算术平方根，解题关键是熟练掌握二元一次
方程组的解法．
43．17，9
【分析】
把 代入 中求出y，再把x，y代入另外一个不等式计算即可；
【详解】
将 代入 ，
∴ ，
∴ ，
将 ， 代入 中，
∴ ；
故答案是：17，9．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．
44．①②
【分析】将 代入原方程组，求出m和n的值，可判断①；将 代入原方程组，可判断②；
根据原方程组的解为 ，可得新方程组满足 ，求出x和y的值，可判断③；
将 代入原方程组，求出x和y的值，再找到当方程组的解为非负整数时n的部分值，
可判断④．
【详解】
解：①将 代入 中，
得： ，
解得： ，
则 ，故①正确；
②当 时，有 ，
则 ，故②正确；
③当方程组 的解是 时，
则 ，
∵新方程组为 ，
整理，得 ，∴ ，
解得： ，故③错误；
④当 时，方程组为 ，
（1）×3－（2），得： ，
解得： ，
将 代入（1）得： ，
∴原方程组的解为 ，
∵x，y都是非负整数，
∴当n＝2时， ；
当n＝ 时， ；
当n＝ 时， ；
故④错误，
故答案为：①②．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，
掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
45．
【分析】把方程组 变形为 ，进一步可得
，求出方程组的解即可．
【详解】
解：∵
∴
又元一次方程组 与 有相同的解
∴
解得，
故答案为：
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程
组中两个方程都成立的未知数的值．
46． ．
【分析】
先把x+2与y－1看作一个整体，则x+2与y－1是已知方程组 的解，于是可得 ，进一步即可求出答案．
【详解】
解：由方程组 的解为 ，
由题意得：方程组 的解为 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组同解方程组的解法，正确理解题意、得出
是解此题的关键．
47．
【分析】
先解方程组 ，得 ，再将 代入y＝kx－1，得3k-1=0，解方程即可．
【详解】
解方程组 ，得 ，
将 代入y＝kx－1，得3k-1=0，解得k= ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查同解方程问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解方程
的方法是解题的关键．48．49
【分析】
根据题意，先列出方程组 ，解出方程组的解，再代入 求出m的
值，最后求代数式的值．
【详解】
解：解方程组 ，解得 ．将 代入 ，得
，得 ．则 ．
故答案是：49．
【点拨】本题考查方程组的解，解题的关键是根据方程组解的定义求出未知参数的值．
49．（1） ；（2） ，
【分析】
（1）先求出方程组的解，再代入方程，即可求出k值；
（2）把k的值代入方程 再求出正整数解即可．
【详解】
解：（1）方程组 的解为： ，
将 代入 得： ，
解得： ；
（2）把 代入方程 得： ，
即 ，时， ； 时， ；
所以关于x，y的方程 的正整数解为 ， ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程和解二元一次方程，能求出k的
值是解此题的关键．
50．（1）2， ；（2）60；（3）-11
【分析】
（1）直接把两式相加和相减，即可求出答案；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，由题意：买13支铅
笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．列
出方程组，求出a+b+c=12，即可求解；
（3）由题意得：1※1=a+b c，3※5=3a+5b c=15①，4※7=4a+7b c=28②，求出a+b c=
11即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
由① ②，得 ；
由①+②，得 ，
∴ ；
故答案为：2； ；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，
由题意得：
，
①×2 ②得：a+b+c=12，
∴5a+5b+5c=60，
故答案为：60；（3） ，
由 得： ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想的应用以及实数的运算等知识；熟
练掌握整体思想的应用，找准等量关系，列出方程组是解题的关键．
51．16
【分析】
根据题意，将 ， 代入（2），通过求解一元一次方程，得 ；同理，计算得 ；
再求解二元一次方程组，结合代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
将 ， 代入（2）得： ，
∴ ；
将 ， 代入（1）得： ，
∴ ，
∴原方程组为
①×10+②得： ，
∴
把 代入①得：
∴ ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练
掌握二元一次方程组、一元一次方程的性质，从而完成求解．
52．（1）a= ，b=- ；（2）36
【分析】
（1）把x、y的值分别代入y=ax2+bx+1，得出关于a、b的方程组，再求出方程组的解即可；（2）把x=-3代入（1）中所求的结果，即可求出y．
【详解】
解：（1）根据题意，得 ，
①×2+②，得6a+3=23，
解得：a= ，
把a= 代入①，得 -b+1=6，
解得：b=- ；
（2） ，
当x=-3时， =36．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
53． ，
【分析】
先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出
方程组的解即可；
【详解】
解：因为(2x－a)(3x＋b)，
＝6x2＋2bx－3ax－ab，
＝6x2＋(2b－3a)x－ab，
所以2b－3a＝－5，①
因为(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋2bx＋ax＋ab＝2x2＋(2b＋a)x＋ab，
所以2b＋a＝7，②
由①和②组成方程组：
,解得 .
故答案为： ， .
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解二元一次方程组等知识点，能得
出关于a、b的方程组是解此题的关键．
54．-1
【分析】
根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值
代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组求出a、b的值，代入所求代
数式进行计算即可．
【详解】
解：∵关于x，y的方程组 和 的解相同，
∴这两个方程组的解也是方程组 的解，
解方程组 得，
，
把x＝3，y＝1别代入ax﹣by＝6和2ax+by＝3，
得方程组 ，
解这个方程组得，
，
∴（2a+b）2021＝[2×1+（﹣3）]2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得
到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值．
55．（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，见解析；（2） ；（3）p＝0，q＝
【分析】
（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解；
（2）根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得n，再求得m，进一步得到a的值；
（3）解方程组用q和p表示x和y，代入2m＝8＋n，得到关于p和q的等式，再根据p，q
为有理数，求出p，q的值．
【详解】
解：（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵2×6＝8＋4，
∴点A是爱心点；
∵ ，
∴ ，
∵2×5≠8＋10，
∴点B不是爱心点；
（2）∵点C为爱心点，
∴ ，
∴n＝﹣18，
又∵2m＝8＋n，
∴2m＝8＋（﹣18），
解得m＝﹣5，∴﹣5﹣1＝a，即a＝﹣6；
（3）解方程组得 ，
又∵点B是爱心点满足： ，
∴ ，
∵2m＝8＋n，
∴2 p−2q＋2＝8＋4q−2，
整理得：2 p−6q＝4，
∵p，q是有理数，
∴p＝0，-6q＝4，
∴p＝0，q＝ ．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，考查了阅读理解能力及迁移运用能力，根据
爱心点的定义列出方程组是解题关键．
56．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据等式的性质可把第二个方程组化成第一个方程组的形式，根据相同的方程组的解
也相同，可得关于x、y的二元一次方程组，进而求解即可；
（2）把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法即可得到一个关于
x、y的方程组，即可求解．
【详解】
解：（1）将 中每一个方程的左右两边都除以4，得：，
∵方程组 的解是 ，
∴ ，解得： ；
（2）将 中的每一个方程的左右两边都除以5，得：
，
∵原方程组的解为 ，
∴ ，
将两个方程相加可得： ，①
将 中的两个方程相加，可得： ②，
由①②得： ．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的特殊解，熟练掌握二元一次方程组的相同解是解
题的关键．
57．1
【分析】
由解相同，可得一个含未知数x、y的，一个含a、b与x、y的两个新方程组，求解只含未知数x、y的方程组，把解代入含a、b与x、y的方程组，求出a、b的值，计算出结果即可．
【详解】
解：∵关于x，y的方程组 与 的解相同，
∴方程组 与 的解相同．
解方程组 得
把 代入 得
①×3+②，得b＝﹣1，
①﹣②×3，得a＝1．
∴（2a+b）2021
＝（2×1﹣1）2021
＝1．
【点拨】本题考查了方程组解的意义、方程组的解法和有理数的乘方运算，解决本题的关
键是理解两个方程组解相同的意义，求出a、b的值．
