文档内容
专题 43 反比例函数的图象(重难题型)
1．已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，且 ，则 ，
的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先判断两个点是否在同一象限内，然后根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】
∵点 ， 都在反比例函数 的图象上，∴ ，图象位于第二、
四象限内，且 随 增大而增大，
∵ ，
∴点 在第四象限，点 在第二象限，
∴ ，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性
质，并会用数形结合的思想解决问题．
2．双曲线 有三个点 ， ， ，若 ，则 ， ， 的
大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据反比例的图象与性质即可得．
【详解】解： 点 ， ， 是双曲线 上的三个点，且 ，
，
又 当 时， 随 的增大而减小，
，
则 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例的图象与性质，熟练掌握反比例的图象与性质是解题关键．
3．下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象是过原点的射线 B．直线 经过第一､二､三象限
C．函数 ，y随x增大而增大 D．函数 ，y随x增大而减小
【答案】C
【分析】
根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】
A、函数 的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；
B、直线 经过第一､二､四象限，则此项说法错误，不符题意；
C、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法正确，符合题意；
D、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法错误，不符题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象
与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键．
4．若反比例函数 的图象经过点 ，则该函数图象位于（ ）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限
【答案】D
【分析】
先求出k，然后根据反比例函数的图象特征即可解答．
【详解】
解：∵反比例函数 的图象经过点
∴k=（-2）×（-3）=6＞0
∴该函数图像位于第一、三象限．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象，对于反比例函数 ，当k＞0，函数图象在一、三象
限；当k＜0，函数图象在二、四象限．
5．若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关
系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出 的值，即可比较得出答案．
【详解】
分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：
、 、 ．
则 ．
故选B．
【点睛】
本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题
的关键．6．若点 ， ， 在反比例函数 的图象上，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别把 ， ， 代入反比例函数 求解 ，再比较大小
即可得到答案．
【详解】
解： 点 ， ， 在反比例函数 的图象上，
＞ ＞
，
故选：
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，求解反比例函数值以及函数值的大小比较，掌握以上知
识是解题的关键．
7．若点 ， ， 都在反比例函数 的图像上，则 ， ， 的
大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
将点的坐标代入解析式分别求的 ， ， ，从而比较大小．
【详解】解：将 ， ， 分别代入
得： ， ，
解得： ， ，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将y的值求出进行比较，本题属
于基础题型．
8．已知反比例函数的解析式为y＝ ，且图象位于第一、三象限，则a的取值范围是
（ ）
A．a＝1 B．a≠1 C．a＞1 D．a＜1
【答案】C
【分析】
根据反比例函数的图象特点即可得答案．
【详解】
∵反比例函数的解析式为 ，且图象位于第一、三象限，
∴ ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键．
9．当 时，反比例函数 的图象在（ ）
A．第三象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
根据反比例函数的性质：k＞0，反比例函数图象在第一、三象限内进行分析．【详解】
解：函数 的图象在第一、三象限，当x＜0时，图象在第三象限，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数 的图象是双曲线；当k＞0时，
双曲线的两支分别位于第一、三象限．
10．若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小
关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别求出y 、y 与y 的值，然后进行比较即可．
1 2 3
【详解】
解：分别把x=-2、1、4代入 得 、 、 ；
∴y ＞y ＞y
1 3 2
故选：D.
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将y的值求出进行比较，本题属
于基础题型．
11．反比例函数y （x＞0）的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】
利用反比例函数的性质，k=-5＜0，x＞0，图象位于第四象限．
【详解】解：∵反比例函数y= （x＞0）中，k=-5＜0，
根据反比例函数的性质反比例函数y= （x＞0）的图象在第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，注意y= 中k的取值．
12．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y （x＞0）及y （x＞0）的图象分
1 2
别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k ﹣k 的值等于（ ）
1 2
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【分析】
先根据反比例函数k的几何意义可得△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ，由题意可知
△AOB的面积为 3，最后求出k ﹣k 的值即可．
1 2
【详解】
解：由反比例函数k的几何意义可得：△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ，
∴△AOB的面积为 ，
∴ 3，
∴k ﹣k ＝6.
1 2
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，掌握反比例函数中k表示相关三角形的面积
成为解答本题的关键．
13．如图，两个反比例函数y 和y 在第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P在C
1 2 1
上，PA⊥x轴于点A，交C 于点B，则△POB的面积为（ ）
2
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【答案】A
【分析】
根据反比例函数y （k≠0）系数k的几何意义得到S 4＝2，S 2＝1，然
△POA △BOA
后利用S ＝S ﹣S 进行计算即可．
△POB △POA △BOA
【详解】
∵PA⊥ x轴于点A，交C 于点B，
2
∴S 4＝2，S 2＝1，
△POA △BOA
∴S ＝2﹣1＝1.
△POB
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数y （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y （k≠0）图象
上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
14．已知反比例函数y （k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过（
）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】C
【分析】
由反比例函数的图象的分别确定 ＜ 再确定一次函数y＝kx+2的图象经过的象限即可得
到答案.
【详解】
解： 反比例函数y （k≠0）的图象分布在二，四象限，
＜
一次函数y＝kx+2的图象经过一，二，四象限，
故选：
【点睛】
本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与性质，掌握一次函数与反比例函数的图象与
的关系是解题的关键.
15．下列反比例函数图象的一个分支在第三象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数的图象和性质可知 ，从中找到 的选项即可．
【详解】
∵反比例函数图象的一个分支在第三象限，
．A中 ，故错误；
B中 ，故正确；
C中k不一定大于0，故错误；
D中 ，故错误，
∴反比例函数图象的一个分支在第三象限的是 ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是关键．
16．已知反比例函数y＝ （k为常数）的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是（
）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1
【答案】C
【分析】
根据反比例函数过一、三象限可知：k+1＞0即可．
【详解】
∵反比例函数y＝ （k为常数）的图象经过第一、三象限，
∴k+1＞0，
∴k＞﹣1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟记性质是解决问题的关键．
17．如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个
解析式为 的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）A．图象与 轴没有交点
B．当 时
C．图象与 轴的交点是
D． 随 的增大而减小
【答案】A
【分析】
根据函数图象可直接进行排除选项．
【详解】
解：由图象可得： ，即 ，
A、图象与x轴没有交点，正确，故符合题意；
B、当 时， ，错误，故不符合题意；
C、图象与y轴的交点是 ，错误，故不符合题意；
D、当 时，y随x的增大而减小，且y的值永远小于0，当 时，y随x的增大而减小，
且y的值永远大于0，错误，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
18．函数 的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数图象的特点，以原点为对称中心的中心对称的两条曲线，因为 ，
即可得出结论．
【详解】
∵ 是反比例函数，其中 ，
∴函数图象是双曲线，位于第一、第三象限，
只有B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象特点，正确掌握图象的特点是解题的关键．
19．下列说法正确的是（ ）
①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ；
②点 在反比例函数 的图象上；
③反比例函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】
根据反比例函数的图象与性质可直接进行判断求解．
【详解】
解：①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ，正确；
②把 代入反比例函数 得： ，∴点 在反比例函数 的图象上，正确；
③由反比例函数 可得 ，则有在每一个象限内，y随x的增大而减小，错误；
∴说法正确的有①②；
故选A．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
20．若双曲线y＝ 的图象在第一、三象限，则k的取值范围为（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞1 D．k＜1
【答案】D
【分析】
若反比例函数 y＝ 的图象经过第一、三象限，即反比例系数1﹣k＞0，从而求得k的
范围．
【详解】
解：∵函数y＝ 的图象在第一、三象限，
∴1﹣k＞0，
解得：k＜1，
故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质、解一元一次不等式，解答的关键是熟练掌握反比例函数的性
质，对于反比例函数 ，当k＞0时，函数图象位于第一、三象限，当k＜0时，函数图
象位于第二、四象限．
21．已知A（m+1，y ），B（3﹣m，y ）两点在图象y＝ +2上，且y ＞y ，则m的取
1 2 1 2
值范围是（ ）
A．m＜1 B．m＞3
C．1＜m＜3 D．﹣1＜m＜1或m＞3【答案】D
【分析】
由y＝ +2可知图象的每一个分支y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质得出不
等式，解不等式即可求解．
【详解】
解：由y＝ +8可知图象的每一个分支y随x的增大而减小
∵y ＞y
1 2
∴0＜m+1＜3﹣m或3﹣m＜0＜m+1
解得：﹣1＜m＜1或m＞3．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练地掌握反比例函数的图象和性质是解题
的关键．
22．下列说法中，真命题有（ ）
①若式子 有意义，则 ；
②已知 ，则 的补角是 ；
③已知 是方程 的一个实数根，则 的值为8；
④在反比例函数 中，若 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
分别根据二次根式有意义的条件、补角的定义、一元二次方程的解及反比例函数的性质对
各小题进行逐一解答即可
【详解】
解：①若式子 有意义，则 ，故错误；
②已知 ，则 的补角是 ，故正确；③已知 是方程 的一个实数根，则22-12+c=0，解得c=8，故正确；
④在反比例函数 中，若 时， 随 的增大而增大，则k-2＜0，则 的取值范
围是 ，故错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件、补角的定义、一元二次方程的解及反比例函数的性
质，熟知以上知识是解答此题的关键．
23．如图， 是反比例函数 图象上一点，过点 作 轴的平行线交反比例函数
的图象于点 ，点 在 轴上，且 ，则 的值为（ ）．
A．6 B． C． D．9
【答案】C
【分析】
延长AB，与y轴交于点D，由AB与x轴平行，得到AD垂直于y轴，利用反比例函数k的
几何意义表示出三角形AOD与三角形BOD面积，由三角形AOD面积减去三角形BOD面积
表示出三角形AOB面积，由于S ＝S ，将已知三角形ABC面积代入求出k的值即可．
△AOB △ABC
【详解】
解：延长AB，与y轴交于点D，∵AB∥x轴，
∴AD⊥y轴，
∵点A是反比例函数y＝ 图象上一点，B反比例函数y＝﹣ 的图象上的点，
∴S ＝﹣ k，S ＝ ，
△AOD △BOD
∵S ＝S ＝ ，即﹣ k﹣ ＝ ，
△AOB △ABC
解得：k＝﹣9
故选C．
【点睛】
此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
24．若点 ， ， 在反比例函数 的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求得k＝3＞0，根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各
点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数y （k≠0）的图象经过点 ，
∴k＝3＞0，∴函数图象位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵0＜1＜3，
∴点 ， 位于第一象限，
∴y ＞1＞0．
2
∵-3＜0，
∴点 位于第三象限，
∴y ＜0．
1
∴y ＞1＞y ．
2 1
故选：A．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适
合此函数的解析式是解答此题的关键．
25．点（x ，y ）、（x ，y ）、（x ，y ）在反比例函数 的图象上，且x ＜0＜x ＜
1 1 2 2 3 3 1 2
x ，则有（ ）
3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 1 3 2 3 2 1
【答案】B
【分析】
先判断出函数的增减性，再判断出各点所在的象限，根据每个象限内点的坐标特点解答即
可．
【详解】
解：∵k＜0，
∴函数图象在二，四象限，由x ＜0＜x ＜x 可知，横坐标为 的点在第二象限，横坐标为
1 2 3
， 的点在第四象限．
∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，
∴ 最大，在第二象限内，y随x的增大而增大，
∴ ．故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
26．如果点 都在反比例函数 的图象上，那么 ，
， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别把 ， ， 代入解析式得： ， ， ，然后根据
对函数值进行判断
【详解】
解：分别把 ， ， 代入解析式得： ， ，
∵
∴ ．
故选：C
【点睛】
本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一
定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
27．如图， 是反比例函数 的图象第二象限上的一点，若矩形 的面积为 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据反比例函数比例系数k的几何意义，结合函数图象即可选择．
【详解】
由题意可知 ，即 ．
∵该反比例函数图象在第二、四象限，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，掌握反比例函数上任意一点向坐标轴所作的
垂线与坐标轴围成的图形的面积等于 是解答本题的关键．
28．若点 ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， 的大小关系是（
）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】
利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出 ， 的值，比较后即可得出结论．
【详解】
解：当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ．
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出， 的值是解题的关键．
29．如图，函数 的图象上有一点 ，过 点做 垂直 轴， 为垂足，连接
，过 边的三等分点 、 分别作 轴的平行线交 于点 、 ．若四边形
的面积为1，则 的值为______．
【答案】6
【分析】
由题意可知 ， 并且 ， ；设 ，根
据相似比和图形面积关系，得到 从而求得 ， ，根据反比例函
数的几何意义即可求得．
【详解】
解：∵ 、 是边 的三等分点和 平行 轴，
∴ ， ， ， ；
设 ，根据相似比可以得到 、 ，
又∵
∴
∴根据反比例反比例函数的几何意义得到
故答案为：6．
【点睛】
此题考查了相似三角形面积比与相似比的关系以及反比例函数k的几何意义，掌握相似三
角形面积比和反比例函数k的几何意义是解决本题的关键．
30．如图，过 轴正半轴上的任意一点 ，作 轴的平行线，分别与反比例函数 和
的图象交于点 和点 ，若点 是 轴上任意一点，连接 ， ，则 的面积
为________．
【答案】7
【分析】
连接OA，OB，利用同底等高的两三角形面积相等得到三角形AOB面积等于三角形ACB面
积，再利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOP面积与三角形BOP面积，即可得到结
果．
【详解】
解：如图，连接OA，OB，
∵△AOB与 ACB同底等高，
△∴
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∵A、B分别在反比例函数 （x＜0）和 （x＞0）的图象上，
∴
∴ ．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数 的图象上任意一点向坐
标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变，也
考查了三角形的面积．
31．如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点 作 轴于点 ，
交反比例函数 的图象于点 ，点 是 轴正半轴上一点．若 的面积为
2，则 的值为_____________．
【答案】8
【分析】根据反比例函数系数k与几何面积的关系，列方程可以直接求出k 的值．
【详解】
解：过点A、B分别作y轴垂线，垂足为D、E，
则三角形APB的面积等于四边形ABED面积的一半，
根据反比例函数系数k与几何面积的关系可列方程：
，
解得： ，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查反比例函数系数k与几何面积的关系，熟悉反比例函数系数k代表的几何意
义是解题关键．
32．如图，点 在双曲线 的第一象限的分支上， 垂直 轴于点 ，点 在
轴正半轴上， ，点 是线段 的中点，点 为 上一点， ，连
结 ．若 的面积为2，则 的值为______．【答案】
【分析】
设 再分别表示 再求解
再利用 ，列方程，解方程可得答案．
【详解】
解：设
是 的中点，
故答案为：
【点睛】
本题考查的三角形的中线的含义，坐标与图形，反比例函数的图像与性质，掌握利用图形
面积与待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键．
33．已知点 在双曲线 上，点 在直线 上，则 的值为
______．【答案】-3
【分析】
将点 代入反比例函数 中得到 ，将点 代入 中得到
，最后对 通分再整体代入求值即可．
【详解】
解：∵点 在双曲线 上，
∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ ，即
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了反比例函数及一次函数上点的坐标特点，点在函数上，将点的坐标代入解析式
即可得到等式，然后再代入求值．
34．先化简再求值： ，其中 使反比例函数 的图象分别位于第二、
四象限．
【答案】
【分析】
由题意易得 ，然后对分式进化简，然后再求解即可．
【详解】
解：∵ 使反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，
∴ ，
∴=
= ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象与性质及分式的化简求值，熟练掌握反比例函数的图象与
性质及分式的运算是解题的关键．
35．已知在函数 中， 随 的增大而增大， ，
（1）化简 ；
（2）点 在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为 ，求 的值．
【答案】（1）3- k2；（2）-1
【分析】
（1）根据反比例函数的性质，得k＜0，进而即可化简A；
（2）先求出k的值，再代入求值，即可．
【详解】
解：∵函数 中， 随 的增大而增大，
∴k＜0，
∴ =3- k2；
（2）∵点 在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为 ，
∴k=-2，
∴A=3- k2=3- (-2)2=-1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，代数式的化简求值，熟练掌握反比例函数的性质以及函
数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
36．函数 （ 为常数， ， ）的自变量 与函数 的部分对应值如下表：
1 2 3 4 5 6
1 1.2 1.5 2 3 6 6 3 2 1.5 1.2 1
（1）求 的值，并用描点法画出函数的图象；（2）函数 的图象在第______象限：当 ______时， 随 的增大而增大；
（3）请你再写出一条该函数的性质特征．
【答案】（1） ，见解析；（2）一、二； ；（3）关于 轴对称
【分析】
（1）把 ， 代入函数中即可求得k值，函数图像见解析．
（2）观察图像可得，函数图像在直角坐标系中的位置，以及每个分支的单调性．
（3）函数性质，可以从函数的单调性，对称性等角度回答，合理即可．
【详解】
（1）把 ， 代入函数 中，解得：k=6，
函数图象如图所示:（2）一、二； ；
（3）该函数的性质特征：函数图象关于 轴对称（合理即可）．
【点睛】
本题考查描点法画函数，通过图像观察函数的性质，培养观察能力是解题关键．
37．在平面直角坐标系 中，点 为双曲线 上一点．
（1）求k的值；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于 的值，直接写
出m的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
(1)将 代入 即可求解；
(2) 在第一、三象限内均是y随着x的增大而减小，故只要 在 处时函数
值大于反比例函数的y值即可，由此建立m的不等式组求出m的取值范围．
【详解】解：(1)由题意可知，将点 代入 ，
解得： ；
(2)当 时， 的函数值随着x的增大而减小，
∵对于x的每一个值，函数 的值大于 的值
∴当 ，函数 的y值为 ；反比例 的y值为2，
∴ ，
解得： ，
故m的取值范围为： ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的增减性等，属于基础题，计
算过程中细心即可．
38．如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若
△OAB的面积为2，求该反比例函数的解析式．
【答案】
【分析】
根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角
形面积S是个定值，即S＝ |k|及反比例函数图象位置求出k值，即可得出结论．
【详解】
解：∵△OAB的面积为2，∴ OB·AB＝2，
即OB·AB＝4．
∴｜k︱＝4．
∴k＝±4．
∵y＝ 过一、三象限，
∴k＞0，
∴k＝4．
∴反比例函数解析式为 ．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
39．如图所示，平行于 轴的直尺（一部分）与双曲线 交于点 和 ，与 轴
交于点 和 ，点 和 的刻度分别为 和 ，直尺的宽度为 ， ．（注：
平面直角坐标系内一个单位长度为 ）
（1）点 的坐标为______；
（2）求双曲线 的解析式；
（3）若经过 ， 两点的直线解析式为 ，请直接写出关于 的不等式
的解集．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【分析】
（1）由OB与AB的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标；（2）将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值；
（3）先确定 两点的横坐标，再根据图像理解 的含义即可得到答案．
【详解】
解：（1）由题意可知：
A（2，3），
故答案为（2，3）；
（2）将A点坐标代入 中，
得：
∴k=6，
∴双曲线的解析式为 ；
（3）由题意可知，
由图像可得：关于x的不等式 ＜0的解集是0＜x＜2或x＞4．
【点睛】
此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法确定反比
例函数解析式，函数与不等式的关系，掌握以上知识是解题的关键．
40．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点．（1）求这两个函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ＜ ＜ 或 ＞
【分析】
（1）由 过 利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求 的坐标，再利用
的坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式即可得到答案；
（2）连接 利用一次函数的解析式求解 的坐标，再利用 即
可得到答案；
（3）由反比例函数的值大于一次函数的值，则反比例函数图像在 的相同的取值范围内，
其图像在一次函数的图像上方，结合图像可得答案．
【详解】
解：（1） 过
反比例函数为：
把 代入把 代入 得：
所以一次函数为： ．
（2）如图，连接 记 与 轴交于 ，
令 则
（3）由反比例函数值大于一次函数值可得，
反比例函数图像在 的相同的取值范围内，其图像在一次函数的图像上方，
所以此时： ＜ ＜ 或 ＞
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，坐标系内图形的面积的计算，利用函数图像解不等式，掌握以上知识是解题的关键．
41．如图，平面直角坐标系中矩形 的一边 在x轴上，B点的坐标为 ．双曲线
交 于点P，交 于点Q．
（1）若P为边 的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标；
（2）若双曲线 和线段 有公共点，求k的取值范围；
（3）连接 ，当 存在时， 是否总成立?若成立请证明，若不成立，请说
明理由．
【答案】（1） ， ；（2） ＜ ；（3） 成立，证明见解析．
【分析】
（1）由中点坐标公式先求解 的坐标，可得反比例函数解析式，再求解 的纵坐标即可；
（2）反比例函数的k=xy，由线段BC上的点的纵坐标为3，可得： 再根据 的范围
求解 的范围即可得；
（3）分别先表示 的坐标，再求解 再证明： 再证明：
利用相似三角形的性质，可得结论．
【详解】
解：（1） P为边BC的中点， ，
P（2，3）， ，
函数表达式为 ．由图可知点Q的横坐标为4， 把x=4代入 ，
解得： ， 则 ；
（2） 线段BC上的点的纵坐标为3，
由双曲线 (x＞0)和线段BC有公共点，即y的值恒为3，
当x值取最大值为4时，可得k最大值为12，
又反比例函数的图像在第一象限，
＞
则k取值范围为0＜k≤12；
（3）成立；理由如下：
点P、Q都是在反比例函数上，
由 ，可得： ；
．
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，反比例函数的图像与性质，三角形
相似的判定与性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
42．如图，已知直线 与双曲线y＝ （k<0）交于A，B两点，且点A的横坐标为－
6．（1）求k的值及点B的坐标；
（2）利用图像直接写出不等式 的解集；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y＝ （k<0）于M、N两点（M在第二象限），若
由点A、B、M、N为顶点的四边形面积为96，求点M的坐标．
【答案】（1）18，B（6．-3）；（2） 或 ；（3） 或 ；
【分析】
（1）把 的横坐标代入 ，求解 的坐标，再把 的坐标代入 ，求解反比例
函数解析式，联立两个函数解析式，解方程组可得答案；
（2）由 ，即一次函数值大于反比例函数值，得到一次函数的图像在反比例函数的
图像的上方，从而可以得到不等式的解集；
（3）如图，作过原点的直线 证明以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
从而可得 过A作AP⊥x轴于P，过M作MQ⊥x轴于Q，利用面积公式列方程求解
即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵直线 经过点A，且点A的横坐标为－6，
把 代入 得：
∴A（-6,3）∵双曲线 （k<0）过点A（-6,3）
∴ ，
双曲线为：
解得： 或
∴ ，
所以：
（2）如图，由 ，即一次函数值大于反比例函数值，
得到一次函数的图像在反比例函数的图像的上方，
所以不等式 的解集是 或 ．
（3）如图，作过原点的直线
∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴由点A、B、M、N为顶点组成的四边形是平行四边形，过A作AP⊥x轴于P，过M作MQ⊥x轴于Q，
∵四边形AMBN 的面积为96，
∴S ＝ S ＝24，
△AOM 四边形AMBN
∵M 在双曲线上，设 ，
∴
整理得 ①和 ②，
由①得：
或
经检验： 或 都是原方程的根，
由②得：
或
经检验： 或 都是原方程的根，
∵P在第二象限，
所以： 或 ．∴ 或 ；
【点评】
本题考查了利用待定系数法求解反比例函数的解析式，以及反比例函数与一次函数的交点
问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的判定与性质，同时考查了分式方
程，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
43．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线 （x＞0）交于点A、C，与x轴交于
点B、D．点A、B的刻度分别为5、2（cm），直尺的宽度为2cm，OB＝2cm．（注：平面
直角坐标系内一个单位长度为1厘米）
（1）A点坐标为 ；
（2）求 的值；
（3）若经过A、C两点的直线关系式为 ，当x＞0时，请直接写出不等式
的解集．
【答案】（1） ；（2）6；（3） 或
【分析】
（1）由OB与AB的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标，
（2）将A坐标代入反比例解析式中求出k的值；
（3）由OB+BD求出OD的长，即为C的横坐标，代入反比例解析式中求出C的纵坐标，把
的坐标代入直线AC解析式 ，即可确定出直线AC的解析式．利用图像写出不等式 的解集．
【详解】
解：（1）由图像可得：
A（2，3）．
故答案为：
（2）将A点坐标代入反比例函数解析式 中，
得：
k＝2×3＝6；
（3）由OB+BD=4cm，得到C横坐标为4，
将x=4代入反比例解析式 得：
即C点坐标为 ．
设经过A、C两点的直线解析式 ，
将A（2，3）、C 代入， 得：
，
解得：
∴经过A、C两点的直线解析式
根据图像得： 的解集是： 或【点睛】
此题考查了反比例函数的应用，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解
析式，利用图像解不等式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
