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专题 4.8 动点问题
一．解答题（共15小题）
1．如图，长方形 中， ， ，现有一动点 从 出发以 秒的
速度，沿矩形的边 返回到点 停止，设点 运动的时间为 秒．
（1）当 时， 2 ；
（2）当 为何值时，连接 ， ， 是等腰三角形；
（3） 为 边上的点，且 ，当 为何值时，以长方形的两个顶点及点 为顶点的
三角形与 全等．
【解答】解：（1）当 时，点 走过的路程为： ，
，
点 运动到线段 上，
，
故答案为：2；
（2） 矩形 的面积 ，
三角形 的面积 ，
，
的高为： ，
如图，当点 在 上时， ，
，
当点 在 上时， ，
，
当 或8 时， 的面积为长方形面积的三分之一；
（3）根据题意，如图，连接 ，则 ， ， ，
要使一个三角形与 全等，则另一条直角边必须等于 ，
①当点 运动到 时， ，此时 ，
点 的路程为： ，
，
②当点 运动到 时， ，此时 ，
点 的路程为： ，
，③当点 运动到 时， ，此时 △ ，
点 的路程为： ，
，
④当点 运动到 时，即 与 重合时， ，此时 ，
点 的路程为： ，
，
综上所述，时间的值可以是： ，4.5，7.5或9.5，
故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5．
2．如图，在长方形 中， ， ，点 从点 出发，以
秒的速度沿 向点 运动，设点 的运动时间为 秒：
（1） ．（用 的代数式表示）
（2）当 为何值时， ？
（3）当点 从点 开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点
运动，是否存在这样 的值，使得 与 全等？若存在，请求出 的值；若不存
在，请说明理由．
【解答】解：（1）点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，点 的运动时
间为 秒时， ，
则 ；
故答案为： ；（2）当 时，
则 ，
故 ，
解得： ；
（3）①如图1，当 ，则 ， ，
，
，
，
解得： ，
，
，
解得： 秒）．
②如图2，当 ，则 ， ．
，
，
，
，
解得： ，
，
，
解得： ；
综上所述：当 秒或 秒时 与 全等．3．如图，在等边三角形 中，点 是边 上一定点，点 是直线 上一动点，以
为一边作等边三角形 ，连接 ．
【问题解决】
如图1，若点 在边 上，求证： ；
【类比探究】
如图2，若点 在边 的延长线上，请探究线段 ， 与 之间存在怎样的数量关
系？并说明理由．
【解答】【问题解决】证明：在 上截取 ，如图1所示：
是等边三角形，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，，
，
，
；
【类比探究】解：线段 ， 与 之间的等量关系是 ；理由如下：
是等边三角形，
，
过 作 ，交 的延长线于点 ，如图2所示：
，
， ，
，
为等边三角形，
， ，
为等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．4．如图，在 中， ， ，点 从 出发以每秒2个单位的速度在
线段 上从点 向点 运动，点 同时从 出发以每秒2个单位的速度在线段 上向点
运动，连接 、 ，设 、 两点运动时间为 秒
（1）运动 3 秒时， ；
（2）运动多少秒时， 能成立，并说明理由；
（3）若 ， ，则 （用含 的式子表示）．
【解答】解：（1）由题可得， ，
， ，
当 ，时， ，
解得 ，
故答案为：3；
（2）当 成立时， ，
，
解得 ，
运动2秒时， 能成立；
（3）当 时， ，
又 ， ，
，又 ， ，
．
故答案为： ．
5．如图，已知 中， 厘米， 厘米，点 为 的中点．
（1）如果点 在线段 上以3厘米 秒的速度由 向 点运动，同时点 在线段 上
由 点向 点运动．
①若点 的运动速度与点 的运动速度相等，1秒钟时， 与 是否全等，请说
明；
②点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为多少时，能够使
？
（2）若点 以②的运动速度从点 出发点， 以原来运动速度从点 同时出发，都逆时
针沿 的三边运动，求多长时间点 与点 第一次在 的哪条边上相遇？
【解答】解：（1）① （秒 ，
（厘米）
， 为 中点，（厘米）
又 （厘米）
，
，
在 与 中，
，
，
② ，
，
又 ，
要使 ，只能 ，
，
．
点 的运动时间 （秒 ，
此时 （厘米 秒）．
（2）因为 ，只能是点 追上点 ，即点 比点 多走 的路程
设经过 秒后 与 第一次相遇，依题意得 ，
解得 （秒
此时 运动了 （厘米）
又 的周长为33厘米， ，点 、 在 边上相遇，即经过了24秒，点 与点 第一次在 边上相遇．
6．在 中， ，点 是射线 上的一动点（不与点 、 重合），以 为
一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
（1）如图1，当点 在线段 上，且 时，那么 9 0 度；
（2）设 ， ．
①如图2，当点 在线段 上， 时，请你探究 与 之间的数量关系，并证
明你的结论；
②如图3，当点 在线段 的延长线上， 时，请将图3补充完整，并直接写
出此时 与 之间的数量关系（不需证明）．
【解答】解：（1） ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
故答案为 90．
（2） ， ，
，在 和 中，
，
，
，
，
，
；
（3）作出图形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
．7．如图（1）， ， ， ， ．点 在线段 上以
的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动．它们运动
的时间为 ．
（1）若点 的运动速度与点 的运动速度相等，当 时， 与 是否全等，请
说明理由，并判断此时线段 和线段 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“ ， ”为改“ ”，
其他条件不变．设点 的运动速度为 ，是否存在实数 ，使得 与 全等？
若存在，求出相应的 、 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当 时， ， ，
又 ，
在 和 中，
．
，
．，
即线段 与线段 垂直．
（2）①若 ，
则 ， ， ，
解得 ；
②若 ，
则 ， ，
，
解得 ；
综上所述，存在 或 使得 与 全等．
8．如图（1）， ， ， 垂足分别为 、 ， ．点 在
线段 上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在射线 上运动．它们运动
的时间为 （当点 运动结束时，点 运动随之结束）．
（1）若点 的运动速度与点 的运动速度相等，当 时， 与 是否全等，并
判断此时线段 和线段 的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“ ， ”改为“ ”，点 的运动速度为 ，其他条件不变，当点 、 运动到某处时，有 与 全等，求
出相应的 、 的值．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
；
，
，
，
，
；
（2）存在 的值，使得 与 全等，
①若 ，则 ， ，可得： ，
解得： ， ；
②若 ，
则 ， ，可得： ，
解得： ， ．
9．如图，在 中， ， ，点 在边 上运动（点 不与点
， 重合），连接 ，作 ， 交边 于点 ．
（1）当 时， 3 0 ， ．
（2）当 等于多少时， ，请说明理由；
（3）在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出
的度数；若不可以，请说明理由．
【解答】解：（1） ， ，
，
，
，
故答案为：30，100；
（2）当 时， ，理由如下：
， ，，
， ，
，
，
，
在 和 中 ，
；
（3）可以，理由如下：
， ，
，
分三种情况讨论：
①当 时， ，
， ，
，
，
，
②当 时，
，
又 ，
，
点 与点 重合，不合题意．
③当 时， ，
，
，
，
综上所述，当 的度数为 或 时， 是等腰三角形．
10．如图1，点 、 分别在射线 、 上运动（不与点 重合）， 、 分别是和 的角平分线， 延长线交 于点 ．
（1）若 ，则 6 0 ；若 ，则 ；
（2）若 ．请求出 的度数；（用含 的代数式表示）
（3）如图2，若 ，过 作直线与 交 ．若 时，求
的度数．（用含 的代数式表示）
【解答】解：（1） ，
，
、 的平分线交于点 ，
，
，
；
，
，
、 的平分线交于点 ，
，
；
；
故答案为：60，45；
（2）在 中， ，
、 的平分线交于点 ，
，
即 ，，
；
（3） 、 分别是 和 的角平分线，
， ，
，
，
，
11．如图， 与 相交于点 ， ， ， ，点 从点 出发，
沿 方向以 的速度运动，点 从点 出发，沿 方向以 的速
度运动， 、 两点同时出发．当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动．设点 的
运动时间为 ．
（1）求证： ．
（2）写出线段 的长（用含 的式子表示）．
（3）连接 ，当线段 经过点 时，求 的值．
【解答】（1）证明：在 和 中，
，，
，
．
（2）当 时， ；
当 时， ，
则 ；
综上所述，线段 的长为 或 ；
（3）由（1）得： ， ，
在 和 中，
，
，
，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： ；
综上所述，当线段 经过点 时， 的值为 或 ．12．如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动（点 不与点
、 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ．
（1）当 时， ， ；
（2）线段 的长度为何值时， ？请说明理由；
（3）在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出
的度数；若不可以，请说明理由．
【解答】解：（1） ，
，
， ，
，
，
故答案为： ； ；
（2）当 时， ，
理由： ， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（3）当 的度数为 或 时， 的形状是等腰三角形，
①当 时， ，
；②当 时， ，
，
此时，点 与点 重合，不合题意；
③当 时， ，
；
综上所述，当 的度数为 或 时， 的形状是等腰三角形．
13．如图，已知 中， 厘米， ， 厘米，点 为
的中点．如果点 在线段 上以4厘米 秒的速度由 点向 点运动．同时，点
在线段 上由 点以 厘米 秒的速度向 点运动．设运动的时间为 秒．
（1）直接写出：
① 1 2 厘米；② 厘米；
③ 厘米；④ 厘米；
（可用含 、 的代数式表示）
（2）若以 ， ， 为顶点的三角形和以 ， ， 为顶点的三角形全等，试求 、 的
值；
（3）若点 以（2）中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发，
都逆时针沿 三边运动．设运动的时间为 秒；直接写出 秒时点 与点 第
一次相遇．
【解答】解（1）由题意得：① ，② ；③ ，④ ，
故答案为：①12，② ，③ ，④ ；（2） ， ， ， ，
，
分两种情况：
①若 ，
则 ，
，
，
②若 ，
则 ，
，
；
（3）①若 时， ， 不能相遇，
②若 时，由题意得： ， ，
答： 秒时点 与点 第一次相遇．
故答案为：24．
14．综合与探究
如图（1）， ， ， 垂足分别为 、 ， ．点 在线
段 上以 的速度由点 向点 运动，同时点 在射线 上运动．它们运动的时间为 （当点 运动结束时，点 运动随之结束）．
（1）若点 的运动速度与点 的运动速度相等，当 时， 与 是否全等，并
判断此时线段 和线段 的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“ ， ”改为“ ”，点 的运动速度
为 ，其它条件不变，当点 、 运动到何处时有 与 全等，求出相应的
的值．
【解答】解：（1） ， ．
理由： ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
，
，
；
（2）①若 ，
则 ， ，
可得： ， ，
解得： ， ；
②若 ，
则 ， ，可得： ，
解得： ，．
综上所述，当 与 全等时 的值为2或 ．
15．如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动（点 不与点
、 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ．
（1）当 时， ， ．
（2）线段 的长度为何值时， ，请说明理由；
（3）在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求 的度
数；若不可以，请说明理由．
【解答】解：（1） ，且 ， ，
，
，，
，
故答案为： ， ；
（2）当 时， ，
理由如下：
， ， ，
，且 ， ，
；
（3）若 时，
， ，
，
，
，
，
若 时，
， ，
，
，
，
，
，
若 时， ，
，
此时 与 重合，不合题意，舍去．
综上所述：当 或 时， 的形状可以是等腰三角形．
