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专题4.8 因式分解-十字相乘法（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．把二次三项式x2﹣5x﹣14分解因式，下列结果正确的是（ ）
A． ） B． C． D．
3．下列各式因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．计算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．把多项式 分解因式，下列结果正确的是( )
A． B． C． D．
7．多项式x2+x﹣2与x2+3x+2的公因式是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x+2 D．x﹣2
8．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（ ）
A．0 B．2 C．4 D．69．下列多项式中有因式x-1的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
10．下面的多项式中，能因式分解 的是（ ）
A．a2﹣6a+8 B．a2﹣2a+4 C．4a2+b2 D．﹣a2﹣16b2
二、填空题
11．分解因式： __．
12．已知多项式 可以分解成两个一次多项式，则整数m的值是_____________
13．分解因式： ____．
14．已知a＝ ，则a2﹣2a﹣3的值为_______．
15．把多项式 分解因式的结果是_________．
16．把多项式 分解因式_________．
17．因式分解 ________．
18．在实数范围内分解因式： ________．
19．若二次三项式x2 +ax- 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积， 则符合条件的整数
a的个数是________________．
20．分解因式 ______________
三、解答题
21．把下列多项式分解因式
(1)2x（a-2）-y（2-a） (2)4a2-12ab+9b2
(3) x2-2x-15 (4)-3x3+12x
22．分解因式．（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
23．分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
24．下面是小明同学对多项式 进行因式分解的过程：
解：设 ，则（第一步）
原式 （第二步）
（第三步）
把 代入上式，得原式 （第四步）
我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：
（1）该同学因式分解的结果 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你
直接写出因式分解的最后结果： ；
（2）请你仿照上面的方法，对多项式 进行因式分解．参考答案
1．C
【解析】
【分析】根据十字相乘法可直接进行求解a、b的值，然后问题可求解．
【详解】
解： ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．D
【解析】
【分析】直接用十字相乘法分解因式即可；
【详解】
解：x2﹣5x﹣14= ，
故选：D．
【点拨】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握分解因式的方法．
3．A
【解析】
【分析】根据十字相乘法进行分解，即可作出判断．
【详解】
解：A、 ，故此选项正确；B、 ，故此选项错误；
C、 ，故此选项错误；
D、 ，故此选项错误．
故选：A．
【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘的结构特征是解题的关键．
4．D
【解析】
【分析】运用十字相乘的方法来分解即可．
【详解】
解： =（x-6）（x+1）．
故选D．
【点拨】本题考查了运用十字相乘的方法来分解因式，熟练掌握该方法是解决本题的关键．
5．A
【解析】
【分析】根据提公因式法、完全平方公式、平方差公式和十字相乘法因式分解，逐一判断
即可．
【详解】
A． ，故本选项错误，符合题意；
B． ，故本选项正确，不符合题意；
C． ，故本选项正确，不符合题意；
D． ，故本选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点拨】此题考查的是因式分解，掌握提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．
6．A
【解析】
【分析】利用因式分解即可解答本题．（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq【详解】
解：x2＋x−2＝（x−1）（x＋2）
故选：A．
【点拨】本题主要靠着因式分解的相关知识，要熟练应用十字相乘法．
7．C
【解析】
【分析】首先把两个多项式分解因式，然后再确定公因式．
【详解】
解：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），
x2+3x+2＝（x+1）（x+2），
公因式是x+2，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了公因式，解题的关键是利用十字相乘法分解两个因式．
8．D
【解析】
【分析】根据十字相乘分解因式计算即可得出答案.
【详解】
∵-1×12，1×(-12)，-2×6，2×(-6)，-3×4，3×(-4)
∴a=-1+12=11或a=1+(-12)=-11或a=-2+6=4或a=2+(-6)=-4或a=-3+4=1或a=3+(-4)=-1
故答案选择D.
【点拨】本题考查的是因式分解——十字相乘，比较简单，需要熟练掌握十字相乘的步骤.
9．A
【解析】
【分析】根据十字相乘法分解因式后判断即可.
【详解】
① ，
② ，
③ ，
④ ，含有因式x-1的是①②，
故选A.
【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝
试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.
10．A
【解析】
【分析】根据因式分解的几种方法逐项分析即可.
【详解】
A. =(a-2)(a-4)，故符合题意；
B. 不能因式分解，故不符合题意；
C. 不能因式分解，故不符合题意；
D. 不能因式分解，故不符合题意；
故选A.
【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.
因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式
分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
11．
【解析】
【分析】根据-9=-9×1，-8=-9+1，进行分解即可．
【详解】
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．
12． 或
【解析】
【分析】分别把2和3分解成2个因数的积的形式，共有4种情况，所以对应的 也有4
种情况．
【详解】解： ， 或 ，
① 或 ，即 ，
② 或 ，即 ，
故答案为： 或 ．
【安静】
此题主要考查了分解因式 十字相乘法，解题的关键是要熟知二次三项式的一般形式与分
解因式之间的关系： ，即常数项与一次项系数之间的等量
关系．
13．
【解析】
【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法因式分解，即可求解．
【详解】
解： ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并根据多
项式的特征灵活选合适方法解答是解题的关键．
14．-2
【解析】
【分析】将所求算式因式分解，再将 代入，整理，最后利用平方差公式计算即可．
【详解】
解： ，
将 代入得：
．
故答案为：-2．
【点拨】本题考查因式分解，代数式求值以及平方差公式．利用整体代入的思想是解答本
题的关键．15．
【解析】
【分析】先提公因式，再根据十字相乘法因式分解即可．
【详解】
故答案为：
【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
16． ##
【解析】
【分析】先提取公因式 ，然后利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】
解： ＝ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握提公因式法和十字相乘
法．
17．
【解析】
【分析】先计算单项式乘以多项式可得： ，再把 分解为 写成
交叉画好十字，从而可得答案.
【详解】
解：
故答案为：【点拨】本题考查的是利用十字乘法分解因式，熟练掌握十字乘法分解因式是解题的关键.
18．
【解析】
【分析】利用十字相乘法求解即可．
【详解】
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，实数范围内的因
式分解技巧：若 ，则 ．
19．6．
【解析】
【分析】利用常数项分解为异号两数相乘的积，这两数的和就是a，求a出的不同的值，
查出a个数即可
【详解】
解：∵-12=-1×12=1×（-12）=-2×6=6×（-2）=-3×4=3×（-4），
显然a即为分解的两个数的和，即a的值为±11，±4，±1共6个．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式，把常数项分解成两个因数的积，且这两个因数
的和等于一次项系数是解题关键．
20．
【解析】
【分析】利用十字相乘法分解即可得．
【详解】
5x2﹣28x+36=(5x﹣18)(x﹣2)．
故答案为：(5x﹣18)(x﹣2)．
【点拨】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，解答本题的关键是掌握十字相乘法．
21．(1)（a-2）（2x+y）；
(2)（2a-3b）2；(3)（x-5）（x+3）；
(4)-3x（x+2）（x-2）．
【解析】
【分析】（1）利用提公因式法分解即可；
（2）利用完全平方公式分解即可；
（3）利用十字相乘法分解即可；
（4）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
(1)
解：2x（a-2）-y（2-a）=（a-2）（2x+y）；
(2)
解：4a2-12ab+9b2=（2a-3b）2；
(3)
解：x2-2x-15=（x-5）（x+3）；
(4)
解：-3x3+12x
=-3x（x2-4）
=-3x（x+2）（x-2）．
【点拨】本题考查了因式分解-十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意
如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
22．（1）（x-y）（x+y）；（2）3（x-y）2；（3）（a-6）（a+2）；（4）a（a-2）2
【解析】
【分析】（1）用提公因式法分解因式；
（2）先提3，然后利用公式法分解因式；
（3）利用十字相乘法因式分解；
（4）先提a，然后利用公式法分解．
【详解】
解：（1）原式=x（x-y）+y（x-y）=（x-y）（x+y）；
（2）原式=3（x2-2xy+y2）=3（x-y）2；
（3）原式=（a-6）（a+2）；
（4）原式=a（a2-4a+4）=a（a-2）2．
【点拨】本题考查了因式分解-十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把
二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．23．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
；（5） ；（6）
【解析】
【分析】利用十字相乘法分解即可．
【详解】
解：（1）
= ；
（2）
= ；
（3）
= ；
（4）
= ；
（5）
= ；
（6）
=
=
【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．
24．（1）不彻底， ；（2）【解析】
【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；
（2）设 ，再根据不同的方法把原式进行分解即可．
【详解】
解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，
原式
= ；
（2）设 ，
则
=
=
=
=
=
【点拨】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式和十字相乘法的
应用．
