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专题4.8 图形的位似
【学习目标】
1、了解位似多边形的有关概念及位似与相似的联系与区别；
2、掌握位似图形的性质，会画位似图形；
3、会利用位似将一个图形放大或缩小；
4、理解位似图形的坐标变换规律；
5、熟练在坐标系中根据坐标的变换规律作出位似图形。
【知识梳理】
1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每
组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这
样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
注意：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成
位似图形.
2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两
个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不
同的画法.5.坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应
的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
注意：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形
对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.
【高频考点精讲】
【高频考点1】位似图形的识别
例1.（2022·湖南宁乡·九年级期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图
中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
变式1．（2022·江苏苏州·九年级月考）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．变式2．（2022·福建三明·九年级期中）下列各组图形中的两个三角形均满足 ，
这两个三角形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【高频考点2】图形的位似变换（求位似中心问题）
例2．（2022·河北保定·三模）如图，正方形 和正方形 是位似图形，且点D与点G
是一对对应点，点 ，点 ，则它们位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2021·浙江温州·二模）如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD
是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
变式2．（2022·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、
（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）
【高频考点3】图形的位似变换（求点的坐标问题）
例3.变式1．（2022·四川德阳·二模）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△ABC （顶点
1 1 1
均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____．
变式1.（2022•阳东区模拟）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，
在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，
﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
变式2.（2022•滦州市期末）如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、
B'，点A、B、A'、B'均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的
坐标为（ ）m n m n
A．（ ，n） B．（m，n） C．（m， ） D．（ ， ）
2 2 2 2
【高频考点4】图形的位似变换（长度问题）
例4．（2022·重庆市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中， ABC与 DEF是以坐标原点O
为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且BC＝4，则线段EF的长度为
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
变式1．（2022·重庆·中考三模）如图，正五边形ABCDE与 是位似图形，O是位似中
心，若正五边形 与正五边形ABCDE的面积之比为4：1，且正五边形ABCDE的周长
为9，则正五边形 的周长是为（ ）
A．18 B．27 C．36 D．9
变式2．（2022·重庆一中九年级月考）如图， 与 位似，点 是它们的位似中心，
其中 ，若点 的坐标为 ，则 的长度为（ ）A． B． C． D．
【高频考点5】图形的位似变换（求面积问题）
例5．（2022·重庆市九年级月考）如图，四边形ABCD和 是以点O为位似中心的位似
图形，若 ：OA＝3：5，四边形 的面积为9cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15cm2 B．25cm2 C．18cm2 D．27cm2
变式1．（2022·重庆·一模）如图， 与 位似，点O为位似中心，已知
的面积为2，则 的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
变式2．（2022·河北海港·九年级期中）如图， 与 是位似图形，点 是它们的位似
中心，已知 ， 的面积为3，那么 的面积是______．【高频考点6】位似变换作图
例6．（2022·江苏常熟·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，
3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：
1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条
件下，M的对应点M′的坐标为 ．
变式1．（2022·江苏·苏州八年级期末）如图，四边形 的四个顶点的坐标分别是 、
、 ， ．
（1）以原点O为位似中心，相似比为2，将图形反向放大，画出符合要求的位似四边形；
（2）在（1）的前提下，写出点A的对应点 的坐标（______，______）；（3）在（1）的前
提下，如果四边形 内部一点M的坐标为 ，写出M的对应点 的坐标（_____，
______）．变式2．（2022·河南·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是A(﹣
1，1)，B(﹣2，0)，C(0，﹣2)．（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画 ，使它与
位似，且相似比为2：1，并写出点 的坐标；（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直
接写出点P的坐标．【能力提升】
一．选择题
1．（2022·成都市·九年级课时练习）下列语句中，不正确的是（ ）
A．位似的图形都是相似的图形 B．相似的图形都是位似的图形
C．位似图形的位似比等于相似比 D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部
2．（2022·山东莱州·八年级期末）在下列四个三角形中，以 为位似中心且与 位似的图
形番号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2022·河北·九年级专题练习）如图，两个三角形是以点P为位似中心的为似图形，则点P
的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2021·河北路南·一模）如图，已知 ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，
E，F，使OD＝ AO，OE＝ BO，OF＝ CO，得 DEF．下列说法中，错误的是（ ）A． DEF与 ABC是位似三角形 B． OAC与 ODF是位似三角形
C． DEF与 ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
5．（2022·天津南开·初三期末）如图，以点 为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到
，下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广西平桂·期末）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到
的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
7．（2022·全国初三课时练习）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ，
， ，以原点为位似中心，在原点的同侧画 ，使 与 成位似图
形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
8．（2022·重庆南开中学初三开学考试）如图， 与 是位似图形，点 是位似中心，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·安徽蜀山·合肥市五十中学西校月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶
点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位
似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B′的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（-1，-2） C．（2，1）或（-2，-1） D．（1，2）或（-1，-
2）
10．（2022·重庆永川·初三三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
以原点 为位似中心，相似比为 ，把 缩小，则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． 或 B． C． D． 或
11．（2022·浙江·温州市九年级月考）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴
正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD．若点
C的坐标为（－1，－ ），则点A的坐标为（ ）A．（ ，2） B．（2，3） C．（3， ） D．（3，2）
12．（2022·成都市九年级月考）如图，在 网格图中，每个小正方形边长均为1，点 和
的顶点均为小正方形的顶点，以O为位似中心，在网络图中作 ，使 和
位似，且位似比为1∶2；连接（1）中的 ，则四边形 的周长为（ ）．
A． B． C． D．
二．填空题
13．（2022·安徽定远·九年级月考）在如图所示的网格中，以点 为位似中心，作四边形
的位似图形，小明认为四边形 的位似图形是四边形 ；小亮认为四边形 的位
似图形是四边形 ，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）．
14．（2021·山东牡丹·三模）如图，以点 为位似中心，把 放大2倍得到 '，①
；② ；③ ；④点 、 、 三点在同一直线上.则以上
四种说法正确的是______．
15．（2022·云南广南·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△ABC 是以坐标原
1 1 1点O为位似中心的位似图形，且点B（5，1），B（10，2），若△ABC的面积为m，则
1
△ABC 的面积为_____．
1 1 1
16．（2022·全国·九年级单元测试）图，
ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标
是
1,0
．以点C为位似中心，在x轴的下方作
ABC的位似图形
A'B'C，并把
ABC的边长
放大到原来的2倍．设点B的横坐标是a，则点B的对应点B'的横坐标是________．
三．解答题
17．（2022·江苏·南闸实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长
为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），
B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是
；
（3）请在网格图中的空白处画一个格点△ABC ，使△ABC ∽△ABC，且相似比为 ：1．
1 1 1 1 1 118．（2022·山东芝罘·八年级期末）如图，平面直角坐标系中， 的顶点分别为 ，
和 ， 与 是以点 为位似中心的位似图形，点 ， ， 都在
格点上．（1）在图中确定出位似中心 的位置，并写出点 及点 的对应点 的坐标；（2）以
原点 为位似中心，在位似中心的同侧画出与 位似的 ，使它与 的相似比为
，并写出点 的对应点 的坐标；（3） 内部一点 的坐标为 ，写出 在
中的对应点 的坐标．
19．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别
为 ， ， ．（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出 放大后的图形 ，点
A，B，C的对应点分别为点 ， ， ，并直接写出点 的坐标．
（2）点 是线段BC上的格点，请直接写出点D经过（1）的变化后对应点 的坐标．
20．（2022·广西·南宁三模）如图， 的三个顶点都在平面直角坐标系的格点上， ，
请按要求在方格纸内作图．
（1）在图1中以 为位似中心，作 的位似图形 ，使 与 的位似比为
；
（2）在图2的格点中标出点 ，使得 与 的面积相等，并直接写出点 的坐标．
21．（2022·酒泉市第二中学初三期中）如图，以O为位似中心，在网格内作出四边形ABCD的
位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O为原点，写出新图形各点的坐标．22.（2022·海南·海口市九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为
A(2，1)、O(0，0)、B(1，－2)．（1）画出△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的
△AOB ，并写出点A 的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位
1 1 1 1
似△AOB ，使它与△AOB的相似比为2∶1，并写出点A的对应点A 的坐标；（3）判断
2 2 2
△AOB 与△AOB 能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心
2 2 1 1 1
Q，并写出点Q的坐标．
