文档内容
专题4.8 图形的位似
【学习目标】
1、了解位似多边形的有关概念及位似与相似的联系与区别；
2、掌握位似图形的性质，会画位似图形；
3、会利用位似将一个图形放大或缩小；
4、理解位似图形的坐标变换规律；
5、熟练在坐标系中根据坐标的变换规律作出位似图形。
【知识梳理】
1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每
组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这
样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
注意：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成
位似图形.
2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两
个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不
同的画法.5.坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应
的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
注意：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形
对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.
【高频考点精讲】
【高频考点1】位似图形的识别
例1.（2022·湖南宁乡·九年级期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图
中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
【答案】B
【分析】两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行
（或共线），那么这样的两个图形就是位似图形，根据定义即可解答.
【详解】A.两个图形相似，且对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行，故是位似图形，
B.两个图形相似，但是对应点的连线不在同一个点，故不是位似图形，
C.两个图形相似，且对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行，故是位似图形，D.两个图形相似，且对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行，故是位似图形，故选：
B．
【点睛】此题考查位似图形，确定位似图形时确定对应点和对应边是解题的关键，由对应点连线
交于一点，对应边互相平行即可判定图形是位似图形.
变式1．（2022·江苏苏州·九年级月考）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据位似图形的定义解答即可．
【详解】解：A、B和C中的两个图形都是位似图形，A中的位似中心是点C，
B中的位似中心是点O，C中的位似中心是点O.
只有选项D的对应顶点的连线相不交于一点，对应边不互相平行，故D不是位似图像.故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一
点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．
变式2．（2022·福建三明·九年级期中）下列各组图形中的两个三角形均满足 ，
这两个三角形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一
分析，即可得出答案．【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形
状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
【高频考点2】图形的位似变换（求位似中心问题）
例2．（2022·河北保定·三模）如图，正方形 和正方形 是位似图形，且点D与点G
是一对对应点，点 ，点 ，则它们位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接DG
并延长，其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线DG解析式，即可求解．
【详解】解；连接DG并延长交x轴于M，
∵点D与点G是一对对应点，
则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M，
设直线DG解析式为； ，将 ， 代入得：
，解得： ，∴直线DG解析式为 ，
令y=0，可得： ， ，即位似中心的坐标是 ．故选A．【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位似中心
的定义是解题的关键．
变式1．（2021·浙江温州·二模）如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD
是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．
【详解】∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．
∴它们的位似中心是 ．故选：A．
【点睛】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键．
变式2．（2022·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形
ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、
（2，1），则位似中心的坐标为（ ）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）
【答案】B
【分析】如图，连接BF交y轴于P，根据位似图形的定义可得点P为位似中心，根据点B、F坐
标可得点C、G坐标，可得CG的长，根据相似三角形的性质可求出GP的长，即可求出点P的
坐标．
【详解】如图，连接BF交y轴于P，
∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点，∴点P为位似
中心，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），
∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1，∴CG＝3，
∵BC∥GF，∴△BCP∽△FGP，∴ ＝ ＝ ，PC=CG-PG，解得：GP＝1，
∴OP=OG+GP=2，∴点P的坐标为（0，2），故选：B．
【点睛】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟练掌握
相似三角形的判定定理是解题关键．
【高频考点3】图形的位似变换（求点的坐标问题）
例3.变式1．（2022·四川德阳·二模）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△ABC （顶点
1 1 1
均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____．
【答案】（﹣4，﹣3）
【分析】根据位似图形的性质，对应点的连线交于一点则可得出答案．【详解】解： △ABC的三边分别扩大一倍得到△ABC （顶点均在格点上），它们是以P点为
1 1 1
位似中心的位似图形，则连接 和 并延长相交，交点即为P点，
如图所示，P点的坐标为： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，得出位似图形对应点的连线交于一点是解题的关键．
变式1.（2022•阳东区模拟）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，
在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，
﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【解题思路】设点B的坐标为（x，y），根据根据位似变换的坐标特点得﹣2•x＝4，﹣2•y＝﹣
2，由此求得点B的坐标．
【解答过程】解：设点B的坐标为（x，y），因为点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），
所以根据位似变换的坐标特点得﹣2•x＝4，﹣2•y＝﹣2，
即x＝﹣2，y＝1，故点B的坐标为（﹣2，1）．故选：C．
变式2.（2022•滦州市期末）如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、
B'，点A、B、A'、B'均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的
坐标为（ ）m n m n
A．（ ，n） B．（m，n） C．（m， ） D．（ ， ）
2 2 2 2
【解题思路】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出
P′的坐标．
【解答过程】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、
B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：
（3，1），
m n
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（ ， ）．故
2 2
选：D．
【高频考点4】图形的位似变换（长度问题）
例4．（2022·重庆市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中， ABC与 DEF是以坐标原点O
为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且BC＝4，则线段EF的长度为
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念得到 ，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解： 与 是以坐标原点 为位似中心的位似图形， ，
， ， ， ， 与 的相似比为 ，∴BC∶EF＝
2∶3，
， ，故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似三角形的性质
是解题的关键．
变式1．（2022·重庆·中考三模）如图，正五边形ABCDE与 是位似图形，O是位似中
心，若正五边形 与正五边形ABCDE的面积之比为4：1，且正五边形ABCDE的周长
为9，则正五边形 的周长是为（ ）
A．18 B．27 C．36 D．9
【答案】A
【分析】根据面积之比得到两个图形的相似比，再根据正五边形ABCDE的周长即可求解．
【详解】解：正五边形ABCDE与 是位似图形，正五边形ABCDE与 相似，
正五边形 与正五边形ABCDE的面积之比为4：1，
可得，正五边形ABCDE与 的相似比为
正五边形 与正五边形ABCDE的周长之比为2：1，
正五边形ABCDE的周长为9∴正五边形 的周长是为18故选：A
【点睛】此题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的有关性质是解题的关键．
变式2．（2022·重庆一中九年级月考）如图， 与 位似，点 是它们的位似中心，
其中 ，若点 的坐标为 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由点 的坐标为 ，利用勾股定理可求OA的长度，再根据 ，利用位似图形的性质即可求解．
【详解】解：∵ 的坐标为 ，∴ ，
∵ 与 位似， ，∴ ，∴ ．故选：
B．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟记位似图形的性质是解题的关键．
【高频考点5】图形的位似变换（求面积问题）
例5．（2022·重庆市九年级月考）如图，四边形ABCD和 是以点O为位似中心的位似
图形，若 ：OA＝3：5，四边形 的面积为9cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15cm2 B．25cm2 C．18cm2 D．27cm2
【答案】B
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形ABCD的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA′：OA＝3：5，
∴S ：S ＝9：25，
四边形A′B′C′D′ 四边形ABCD
∵四边形A′B′C′D′的面积为9cm2，∴四边形ABCD的面积＝25cm2，故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的
连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位
似图形的面积比等于位似比的平方．
变式1．（2022·重庆·一模）如图， 与 位似，点O为位似中心，已知
的面积为2，则 的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】D
【分析】用位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，所以 ，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴ ，
∵△ABC∽△DEF，∴ ，∴S =9S =9×2=18．故选：D．
DEF ABC
△ △
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一
点；对应边平行（或共线）．
变式2．（2022·河北海港·九年级期中）如图， 与 是位似图形，点 是它们的位似
中心，已知 ， 的面积为3，那么 的面积是______．
【答案】12
【分析】由△ABC与△ABC 为位似图形， ，即可得△ABC与△ABC 为相似三角形，
1 1 1 1 1 1
且相似比为1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：∵△ABC与△ABC 为位似图形，∴△ABC∽△ABC ，
1 1 1 1 1 1
∵ ，∴相似比是1：2，∴△ABC与△ABC 的面积比为：1：4，
1 1 1
∵△ABC的面积为3，∴△ABC 的面积是：3×4=12．故答案为：12．
1 1 1
【点睛】此题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面
积的比等于相似比的平方定理的应用．
【高频考点6】位似变换作图
例6．（2022·江苏常熟·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，
3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：
1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（2，7）
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）根据位似变换即可以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后
的△O′A′B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，即可得M的对应点M′的坐标．
【解析】（1）如图，△O′A′B即为所求；
（2）如图，△O″A″B即为所求；
（3）如图，∵点M是OA的中点，∴经过（1）旋转后坐标变为（ ， ）
∴经过（1）位似变换后，M的对应点M′的坐标为（2，7）．故答案为：（2，7）．
【点睛】本题考察了画旋转图形和位似图形，中点坐标公示，严格按照旋转和位似图形的性质，
做出正确的图形，是解决本题的关键．
变式1．（2022·江苏·苏州八年级期末）如图，四边形 的四个顶点的坐标分别是 、
、 ， ．
（1）以原点O为位似中心，相似比为2，将图形反向放大，画出符合要求的位似四边形；
（2）在（1）的前提下，写出点A的对应点 的坐标（______，______）；（3）在（1）的前
提下，如果四边形 内部一点M的坐标为 ，写出M的对应点 的坐标（_____，
______）．
【答案】（1）答案见详解；（2）A′（﹣2，﹣6）；（3）M′（﹣2x，﹣2y）．【分析】（1）连接AO并延长，使OA'＝2OA，延长OB并延长，使OB'＝2OB，延长OC并延长，
使OC'＝2OC，连接可得出所求的四边形；（2）根据图形，以及平面直角坐标系找出A'坐标即
可；
（3）分别找出B'，C'，D'坐标，分别与B，C，D坐标对比归纳总结得到M'坐标即可．
【详解】解：（1）做出相应的图形，如图所示；
（2）根据题意得：A'（﹣2，﹣6）；
（3）根据图形得：B'（﹣4，﹣4），C'（﹣4，﹣2），D'（﹣6，﹣6），归纳总结得到M'（﹣
2x，﹣2y）．
【点睛】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接
并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
变式2．（2022·河南·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是A(﹣
1，1)，B(﹣2，0)，C(0，﹣2)．（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画 ，使它与
位似，且相似比为2：1，并写出点 的坐标；（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直
接写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析，A'(2，﹣2)，B'(4，0)，C'(0，4)；（2）(1，3)
【分析】（1）画出一个以点O为位似中心的△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC的相似比为2：1即
可．
（2）根据矩形的性质，即可直接写出．【详解】解：（1）如图所示：点A'（2，﹣2），B'（4，0），C'（0，4）；
（2）四边形AA'B'P是矩形，点P的坐标（1，3）．
【点睛】本题考查作图－位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键．【能力提升】
一．选择题
1．（2022·成都市·九年级课时练习）下列语句中，不正确的是（ ）
A．位似的图形都是相似的图形 B．相似的图形都是位似的图形
C．位似图形的位似比等于相似比 D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部
【答案】B
【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．
【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；
B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；
C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；
D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．故选：B．
【点睛】题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．
2．（2022·山东莱州·八年级期末）在下列四个三角形中，以 为位似中心且与 位似的图
形番号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行，
∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心，故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的
连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
3．（2022·河北·九年级专题练习）如图，两个三角形是以点P为位似中心的为似图形，则点P
的坐标是（ ）．A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过图中三角形的两对对应点作直线，两条直线的交点即为位似中心．
【详解】如图，过图中三角形的两对对应点作直线，从图中看出，两条直线的交点为(-3,2)．选
A．
【点睛】本题主要考查了位似变换，准确找到位似中心是解题的关键．
4．（2021·河北路南·一模）如图，已知 ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，
E，F，使OD＝ AO，OE＝ BO，OF＝ CO，得 DEF．下列说法中，错误的是（ ）
A． DEF与 ABC是位似三角形 B． OAC与 ODF是位似三角形C． DEF与 ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
【答案】D
【分析】根据位似三角形的定义及性质即可判断．
【详解】A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确；
B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确；
C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比
也为1:3，故正确；D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误．故选：D．
【点睛】本题考查了位似三角形的定义及性质．熟练运用定义及性质是解题的关键．
5．（2022·天津南开·初三期末）如图，以点 为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到
，下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，AO：OA′=1：2，
∴ 故选C．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
6．（2022·广西平桂·期末）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到
的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
【答案】A
【分析】根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得.
【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC，
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴ ，故选A．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
7．（2022·全国初三课时练习）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ，
， ，以原点为位似中心，在原点的同侧画 ，使 与 成位似图
形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段
DF的长．
【解析】∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相
似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF＝ = ，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
8．（2022·重庆南开中学初三开学考试）如图， 与 是位似图形，点 是位似中
心，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 ABC与 A′B′C′是位似图形，由OA=2AA′可得两个图形的位似比，利用面积的比等于
位似比的平方即可求解．
△ △【解析】解：△ABC与 A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′可得 ，
△
∴两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，
又S =4，∴S = ．故选：C
ABC A'B'C'
△ △
【点睛】本题考查位似图形，理解位似图形的面积比即是对应线段比的平方是解题关键．
9．（2022·安徽蜀山·合肥市五十中学西校月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶
点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位
似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B′的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（-1，-2） C．（2，1）或（-2，-1） D．（1，2）或（-1，-
2）
【答案】C
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
【解析】∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，∴两矩形面积的相似比为：1：2，
∵B的坐标是（4，2），∴点B′的坐标是：（2，1）或（-2，-1）．故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积的比确定其
位似比，注意有两种情况．
10．（2022·重庆永川·初三三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
以原点 为位似中心，相似比为 ，把 缩小，则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】D
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点
的横纵坐标分别乘以 或- 即可得到点B′的坐标．【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为 ，把 ABO缩小，
△
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
11．（2022·浙江·温州市九年级月考）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴
正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD．若点
C的坐标为（－1，－ ），则点A的坐标为（ ）
A．（ ，2） B．（2，3） C．（3， ） D．（3，2）
【答案】D
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把C点的横纵坐标都乘以-3即可．
【详解】解：在第三象限内与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，相当于在第一象限内与
△OCD的位似比为 的位似图形△OAB．则以点O为位似中心，位似比为 ，
而点C的坐标为（-1，- ），∴C点的对应点A的坐标为（3，2）．故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
12．（2022·成都市九年级月考）如图，在 网格图中，每个小正方形边长均为1，点 和
的顶点均为小正方形的顶点，以O为位似中心，在网络图中作 ，使 和
位似，且位似比为1∶2；连接（1）中的 ，则四边形 的周长为（ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【分析】据位似的性质，可得O ：OA=O ：OB=O ：OC=1：2,后利用勾股定理计算即可
【详解】如图，∵OA=4，OB=2，OC=4， 和 位似，且位似比为1∶2；
∴O =2，O =1，O =2，AC ，
∴ =C =2， ，
∴四边形 的周长为 = ，故选D
【点睛】本题考查了网格中的位似计算，勾股定理，准确理解位似性质，正确作出位似图形是解
题的关键．
二．填空题
13．（2022·安徽定远·九年级月考）在如图所示的网格中，以点 为位似中心，作四边形
的位似图形，小明认为四边形 的位似图形是四边形 ；小亮认为四边形 的位
似图形是四边形 ，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）．
【答案】小亮
【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案．
【详解】解：延长 、 、 、 分别到 、 、 、 ，
则四边形 是四边形 的位似图形，所以小亮正确．故答案为：小亮．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题
的关键．
14．（2021·山东牡丹·三模）如图，以点 为位似中心，把 放大2倍得到 '，①
；② ；③ ；④点 、 、 三点在同一直线上.则以上
四种说法正确的是______．
【答案】①②④
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到 ，
∴ ，故②正确；由位似图形中，对应边平行可知： ，故①正确；
∵ 放大2倍得到 ，∴ ，∴ ，故③错误；
由位似图形中对应点的连线都经过同一点，∴点C、点O、点C’三点在同一直线上，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，掌握两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一
点、对应边平行是解题的关键．
15．（2022·云南广南·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△ABC 是以坐标原
1 1 1
点O为位似中心的位似图形，且点B（5，1），B（10，2），若△ABC的面积为m，则
1
△ABC 的面积为_____．
1 1 1【答案】
【分析】根据面积比等于位似比的平方即可求得．
【详解】 B（5，1），B（10，2）则 ，
1
， ，
ABC的面积为m，则△ABC 的面积为 ．故答案为 ．
1 1 1
【点睛】本题考查了位似图形的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相
△
似比，位似图形面积的比等于相似比的平方，掌握位似图形的性质是解题的关键．
16．（2022·全国·九年级单元测试）图，
ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标
是
1,0
．以点C为位似中心，在x轴的下方作 ABC的位似图形 A'B'C，并把 ABC的边长
放大到原来的2倍．设点B的横坐标是a，则点B的对应点B'的横坐标是________．
【答案】2a3
【分析】设点B'的横坐标为x，然后表示出C,B、B',C的横坐标的差，再根据位似的性质列出
比例式计算即可得解．
【详解】解：设点B'的横坐标为x，则C,B间的横坐标的差为1a，B',C间的横坐标的差为
x1．
∵ ABC放大到原来的2倍得到VABC，∴
21a
＝x1，解得：x2a3．故答案为：
2a3
【点睛】本题考查的是位似图形的含义与位似图形的性质，掌握位似图形是特殊的相似图形是解
题的关键.
三．解答题17．（2022·江苏·南闸实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长
为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），
B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是
；
（3）请在网格图中的空白处画一个格点△ABC ，使△ABC ∽△ABC，且相似比为 ：1．
1 1 1 1 1 1
【答案】（1） ；（2） ，（3）见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念解答；
（2）根据位似变换和位似中心的概念解答；
（3）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答
【详解】（1）如图，根据网格的特点分别作 的垂直平分线，交于点 ，连接 ，根据
网格的特点可知 则 △ABC外接圆的半径是 ，
故答案为： ；
（2）如图，连接 ,交于点 ,，即位似中心，根据网格的特点可知故答案为： ；
（3） △ABC ∽△ABC，且相似比为 ：1．
1 1 1
根据网格的特点作出 ，如图，
即为所求作的三角形．
【点睛】本题考查的是格点正方形、锐角三角函数的定义、位似变换与位似中心与相似三角形的
性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两
个图形是位似图形是解题的关键．
18．（2022·山东芝罘·八年级期末）如图，平面直角坐标系中， 的顶点分别为 ，
和 ， 与 是以点 为位似中心的位似图形，点 ， ， 都在
格点上．（1）在图中确定出位似中心 的位置，并写出点 及点 的对应点 的坐标；（2）以
原点 为位似中心，在位似中心的同侧画出与 位似的 ，使它与 的相似比为
，并写出点 的对应点 的坐标；（3） 内部一点 的坐标为 ，写出 在中的对应点 的坐标．
【答案】（1）见解析，P（-5,-1） ；（2）见解析， ；（3）
【分析】(1)连接OO并延长与AA的延长线相交，交点即为位似中心P，再根据平面直角坐标系
1 1
写出点P和B 的坐标；(2)延长OA到A，使AA=OA，延长OB到B，使BB OB，连接AB，再
1 2 2 2 2= 2 2
根据平面直角坐标系写出点B 的坐标； (3)根据位似比是2写出即可．
2
【详解】（1）点 的位置如图所示，点 的坐标为 ，点 的坐标为
（2）如图所示， 的坐标为 ．
（3） 的坐标为
【点睛】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题
的关键．
19．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别
为 ， ， ．（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出 放大后的图形 ，点
A，B，C的对应点分别为点 ， ， ，并直接写出点 的坐标．
（2）点 是线段BC上的格点，请直接写出点D经过（1）的变化后对应点 的坐标．
【答案】（１）点C 的坐标为（−6，4）；（2）变化后D的对应点D 的坐标为：（2a，2b）．
1 1
【分析】（1）连接OB并延长，截取BB＝OB，连接OA并延长，截取AA＝ＯA，连接OC并
1 1
延长，截取CC ＝OC，确定出△ABC ，并求出C 点坐标即可；
1 1 1 1 1
（2）根据A与A 坐标，B与B 坐标，以及C与C 坐标的关系，确定出变化后点D的对应点D
1 1 1 1
坐标即可．
【详解】解：（1）根据题意画出图形，如图所示：
则点C 的坐标为（−6，4）；
1
（2）变化后D的对应点D 的坐标为：（2a，2b）．
1
【点睛】此题考查了作图−位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接
并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20．（2022·广西·南宁三模）如图， 的三个顶点都在平面直角坐标系的格点上， ，
请按要求在方格纸内作图．（1）在图1中以 为位似中心，作 的位似图形 ，使 与 的位似比为
；
（2）在图2的格点中标出点 ，使得 与 的面积相等，并直接写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，E(－1，7)，E(5，5)．
1 2
【分析】（1）根据位似图形的性质得出对应点坐标进而画出图形即可；
（2）根据面积相等得到高相等，过点A作BC的平行线找格点写出坐标即可．
【详解】解：（1）∵A(2，6)，B(0，2)，C(6，0)，且 与 的位似比为1：2，
∴ ， ， ，如图所示， 即为所求；
（2）如图，过点A作BC的平行线，∵ 与 的面积相等，∴ 的高等于 的高，即等于点A到BC的距离，
由平行线之间距离处处相等可知，点E、点E 即为所求，由图可知：E(－1，7)，E(5，5)．
1 2 1 2
【点睛】本题考查了作图-位似变换，平行线的性质，熟练掌握位似图形的作法及平行线间距离
处处相等是解题的关键．
21．（2022·酒泉市第二中学初三期中）如图，以O为位似中心，在网格内作出四边形ABCD的
位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O为原点，写出新图形各点的坐标．
【答案】作图详见解析；A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，使各边都扩大2倍，再根据O为原点，
写出新图形各点的坐标即可．
【解析】解：如图所示，新图形为四边形A′B′C′D′，
新图形各点坐标分别为A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．
【点睛】本题考查作图——位似变换．22.（2022·海南·海口市九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为
A(2，1)、O(0，0)、B(1，－2)．（1）画出△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的
△AOB ，并写出点A 的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位
1 1 1 1
似△AOB ，使它与△AOB的相似比为2∶1，并写出点A的对应点A 的坐标；（3）判断
2 2 2
△AOB 与△AOB 能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心
2 2 1 1 1
Q，并写出点Q的坐标．
【答案】（1）画图见解析，A(－1，2)；（2）画图见解析，A(4，2)；（3）是，Q(－6，2)
1 2
【分析】(1)如图所示，画出平移后的 ,找出 点的坐标即可，
(2)如图所示，画出位似图形的性质，找出△AOB ，求出A 的坐标即可，
2 2 2
(3)根据题意得到△AOB 与△AOB 是关于点Q为位似中心的位似图形，找出Q坐标即可，
2 2 1 1 1
【详解】（1）如图，A(－1，2) （2）如图，A(4，2)
1 2
（3）如图，△AOB 与△AOB 是关于点Q为位似中心的位似图形，Q(－6，2)
2 2 1 1 1
【点睛】此题考查了作图-位似变换，平移变换,画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②
分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点，③根据相似比,确定能代表所作的位似图形的
关键点；顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形．
