专题4.9相似三角形的六大基本模型（原卷版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练_高频考点2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题4.9 相似三角形的六大基本模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化 很多，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角 形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型． 【模型精讲】 【模型1】相似三角形基本模型（A字型） 【解题技巧】基本模型： A字型（平行） 反A字型（不平行） 例1．（2022·江苏·苏州市八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 0,6 、 8,0 ，连接AB．动点P从点A开始在折线段AOB上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同 时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间 为t秒，当 APQ与  AOB相似时，点P的坐标是___． 变式1.（2022·江苏·靖江市靖城中学九年级月考）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到 △A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若中线AD=3，则A′A的值 为___． 变式2．（2022·湖南新化·九年级期末）如图， 为锐角三角形， 是边 上的高，正方形 的一边在 上，顶点G，H分别在 ， 上，已知 ， ． （1）求证： ；（2）求正方形 的面积【模型2】相似三角形基本模型（X字型） 【解题技巧】基本模型： X字型（平行） 反X字型（不平行） 例2．（2022·辽宁·大连市九年级月考）如图，在平行四边形 中，点 在边 上， ， 交于点 ，若 ，则 （ ）． A． B． C． D． 变式1．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边 AB、CD上的点，且AE＝BE，DF＝3CF，连接EF、BD交于点O，则△BEO与△ODF的面积比为 ____． 变式2．（2022广东·九年级专题练习）如图， ABC中，AB AC，在AB、AC上分别截取  BDCE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：ABDF  ACEF．【模型3】相似三角形基本模型（AX型） 【解题技巧】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 例3．（2021·辽宁·九年级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若 S ：S ＝1：4，则S ：S 的值为（ ） BDE CDE BDE ADC △ △ △ △ A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24 变式1．（2022·乡宁县初三期中）如图，在ABC中BC 6，E、F 分别是AB、AC 的中点， 1 动点 在射线 上， 交 于点 ， 的平分线交 于点 ，当CQ CE 时， P EF BP CE D CBP CE Q 3 EPBP_____． 变式2．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图， 为平行四边形 的边 延长线上的一点， 连接 ．交 于 ，交 于 ．求证： ．【模型4】相似三角形基本模型（母子型） 【解题技巧】 图1垂直母子型条件： ，图1结论： ； 图2斜交母子字型条件： ，图2结论： ； 例4．（2022·成都市·九年级课时练习）如图，在 中，D为 边上一点， ， ， ，则 的长为______． 变式1．（2022·浙江·九年级课时练习）如图，P是 的边 上的一点． （1）如果 ， 与 是否相似？为什么？ （2）如果 ， 与 是否相似？为什么？如果 呢？ 变式2．（2022·山东济南九年级月考）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A ＝∠BPD，求证：△APC∽△BPD．【模型5】相似三角形基本模型（旋转型（手拉手）） 【解题技巧】基本模型： 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形. 例5.（2022•福田区校级期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝ ∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ） A．5：3 B．4：3 C．√5：2 D．2：√3 变式1．（2022·广东初三专题练习）在Rt  ABC和Rt△DEF 中，ABC EDF 30， BAC DEC 90，BC与DF在同一条直线上，点C与点F 重合，AC 2，如图为将 1 绕点 顺时针旋转 后的图形，连接 ， ，若EF  AC ，求 和  CED C 30� BD AE 2  BDC  AEC 的面积． 变式2.（2022•亳州模拟）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的 延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果 AE•BD＝ EF•AF，求证：AB＝AC．【模型6】相似基本模型（K字型（一线三等角）） 【解题技巧】基本模型： 如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角） 如图3，特别地，当 D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分 ∠EFC. 例6．（20221·内蒙古九年级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、 DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）证明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在 BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长． 变式1．（2022·山东九年级期末）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB ＝3，AD＝2，CE＝1，求DF的长度． 5 变式2．（2022·河北·邢台市二模）如图1，在 中， ， ，tanC ，点  ABC AB AC BC 24 12 P 为BC边上一点，则点P与点A的最短距离为______．如图2，连接AP，作APQ，使得 APQB，PQ交AC于Q，则当BP11时，AQ的长为______．【能力提升】 一．选择题 1. （2022·河北·九年级期中）如图， 经过 的重心，点 是 的中点，过点 作 交 于点 ，若 ，则线段 的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 3 2. （2022·广东·九年级期中）如图，在 中， ， ， 为 边上的一点，且 ．若 的面积为 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 3. （2022·成都市·九年级期中）如图，点D是 ABC的边BC的中点，且∠CAD＝∠B，若 ABC 的周长为10，则 ACD的周长是（ ） △ △ △ A. 5 B. 5 C. D. 3．（2022·江苏滨湖·九年级期中）如图，边长为10的等边 中，点D在边 上，且 ， 将含 角的直角三角板（ ）绕直角顶点D旋转， 分别交边 于P、Q，连接 ，当 时， 的长为（ ）A．6 B． C． D． 二．填空题 5．（2022·黑龙江九年级开学考试）如图，在正方形 中，点 为 边上一点，且 ， 点 为对角线 上一点，且 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，若 ，则正方形 的边长为_______cm． 6．（2022·湖南汉寿·八年级期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点， CF交BE于点G，若 ，则 ___． 7．（2022·浙江·金华市九年级月考）如图所示，在平面直角坐标系中有一个矩形OABC，OA＝3， OC＝4，P为线段AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q，则线段 CQ的长度的最小值是____． 8．（2022山东·九年级课时练习）如图，在 中， ， ，点 是 的中 点，连结 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ，与过点 且垂直于 的直线相交于点 ，连结 ．给出以下五个结论：① ；② ；③点 是 的中点； ④ ；⑤ ．其中正确结论的序号是________． 三．解答题 9.（2022•东莞市一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG AD DF AD 3 分别交线段DE，BC于点F，G，且 = ．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若 = ， AC CG AC 7 AF 求 的值． FG 10．（2022·四川·成都嘉祥外国语学校九年级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高， BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝ 5， ，BD＝6．求AD的长． 11.（2022•丛台区三模）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝ 2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．12.（2022·广西·初三期末）如图1，在矩形 中， 分别是 上一 点， 与 相交于点F． （1）求证： ；（2）如图2，点G是 的中点，延长 交 于H，求 的长． 13. （2022·绵阳市·初三期末）在 ABC中， ，BE是AC边上的中线，点D在射线 BC上．（1）如图1，点D在BC△边上， ，AD与BE相交于点P，过点A作 ，交BE的延长线于点F，易得 的值为 ； （2）如图2，在 ABC中， ，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的 △ 延长线交于点P， ，求 的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．14.（2022·重庆·初三期中）如图，点P是线段 上一个动点， ．（1）当 时，求 的长度； （2）若 时，点P有两个符合要求即 ，且 ，求a的值； （3）若 时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值． 15. （2022·广东·初三期中）如图，在 中，点 分别在边 上，连接 ， 且 ．（1）证明： ； （2）若 ，当点D在 上运动时（点D不与 重合），且 是等腰 三角形，求此时 的长．16. （2022·天津·初三期中）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在 BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明） 探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证： △ABP∽△PCD． 拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C ＝∠DPE＝45°，BC＝6 ，BD＝4，则DE的长为 ． 17、（2022·湖北·初三期中）如图，在 中， ，点P、D分别是 边上的 点，且 ．（1）求证： ； （2）若 ，当 时，求 的长． 18．（2022·山东·初三期中）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目：如图1，在 中，点 在线段 上， ， ， ， ，求 的长．经过数学小组成员讨论发现，过点 作 ，交 的延长线于点 ，通过构造 就可以解决问题（如图2）请回答： ， ． （2）请参考以上解决思路，解决问题：如图 在四边形 中对角线 与 相交于点 ， ， ， ， ．求 的长．