专题4.9相似三角形的六大基本模型（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练_高频考点2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题4.9 相似三角形的六大基本模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化 很多，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角 形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型． 【模型精讲】 【模型1】相似三角形基本模型（A字型） 【解题技巧】基本模型： A字型（平行） 反A字型（不平行） 例1．（2022·江苏·苏州市八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 0,6 、 8,0 ，连接AB．动点P从点A开始在折线段AOB上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同 时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间 为t秒，当 APQ与  AOB相似时，点P的坐标是___．  36  28 【答案】P0, 或P0,   11  13 【分析】由题意易得APt,AQ102t，然后可分情况进行讨论：①当APQAOB时，有  APQ∽  AOB；②当AQPAOB时，有 APQ∽  ABO；进而根据相似三角形的性质可进行求 解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为 0,6 、 8,0 ， ∴ OA6,OB8 ，AB 082602 10，∴APt,AQ102t， 当 APQ与  AOB相似时，则可分：①当APQAOB时，有 APQ∽  AOB，如图所示：AP AQ t 102t 30 30 ∴  ，即  ，解得：t  ，∴AP ， AO AB 6 10 11 11 36  36 ∴OP AOAP ，∴P0, ； 11  11 ②当AQPAOB时，有 APQ∽  ABO，如图所示： AP AQ t 102t 50 50 28  28 ∴  ，即  ，解得：t  ，∴AP ，∴OP AOAP ，∴P0, ； AB AO 10 6 13 13 13  13  36  28  36  28 综上所述：当 与 相似时，P0, 或P0, ；故答案为P0, 或P0, ．  APQ  AOB  11  13  11  13 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 变式1.（2022·江苏·靖江市靖城中学九年级月考）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到 △A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若中线AD=3，则A′A的值 为___． 【答案】1 【分析】由S =9、S =4且AD为BC边的中线知S = S =2，S = S = ，根据 ABC A′EF A′DE A′EF ABD ABC △ △ △ △ △ △ △DA′E∽△DAB知( )2= ，据此求解可得． 【详解】解：∵S =9、S =4，且AD为BC边的中线，∴S = S =2，S = S = ， ABC A′EF A′DE A′EF ABD ABC △ △ △ △ △ △ ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB，则( )2= ，即( )2= ，解得A′D=2（负值舍去）， 故答案为：1．【点睛】本题主要平移的性质，三角形中线的性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是 熟练掌握三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 变式2．（2022·湖南新化·九年级期末）如图， 为锐角三角形， 是边 上的高，正方形 的一边在 上，顶点G，H分别在 ， 上，已知 ， ． （1）求证： ；（2）求正方形 的面积 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）应用定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似可得 结论；（2）利用相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例式求出正方形 的边长，结论可求． 【详解】解：（1）∵四边形 是正方形，∴HG∥EF，∴HG∥BC，∴ ； （2）如图：记 与 的交点为M，则 为三角形 的高， ∵ ，∴ ， ∵ ， ， ， ， ∴ ，解得 ，∴ 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，一元一次方程 的解法．利用相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例式是解题的关键． 【模型2】相似三角形基本模型（X字型） 【解题技巧】基本模型： X字型（平行） 反X字型（不平行）例2．（2022·辽宁·大连市九年级月考）如图，在平行四边形 中，点 在边 上， ， 交于点 ，若 ，则 （ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过平行四边形的性质可以得到 且 ，进而得到 ，再通过 ，得到 ，最后由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴ 且 ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面 积比等于相似比的平方． 变式1．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边 AB、CD上的点，且AE＝BE，DF＝3CF，连接EF、BD交于点O，则△BEO与△ODF的面积比为 ____． 【答案】4:9 S△BEO  BE  2 【分析】由条件证明 ，得到   ，再由AE＝BE，DF＝3CF， △EOB △FOD S△DFO DF   BE 2 AB=DC得到  ，从而得到答案． DF 3 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AB=DC∴∠EBO=∠FDO S△BEO  BE  2 又∵∠EOB=∠FOD∴ ∴   △EOB △FOD S△DFO DF   1 3 又∵AE＝BE，DF＝3CF∴BE AB,DF  DC 2 41 BE 2 1 4 2 又∵AB=DC∴ DF  3  2  3  3 ∴ S△BEO  BE  2 2 2 4答案为：   =  = 4 S△DFO DF  3 9 4:9 【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，平行四边形的性质，根据定理内容解题是关键． 变式2．（2022广东·九年级专题练习）如图， ABC中，AB AC，在AB、AC上分别截取  BDCE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：ABDF  ACEF． 【答案】见解析 【分析】过点E作EM //AB 交BC于点M，可得到△CEM  △CAB ，  FEM  FDB，进而有 EM CE EM EF AB EF  ，  ，根据 ，可得到  ，即证． AB AC DB DF BDCE AC DF 【详解】如图，过点E作EM //AB 交BC于点M， ∵EM //AB，∴△CEM  △CAB ，  FEM  FDB， EM CE EM EF AB EM ∴  ，  ∴ ,即  ， AB AC DB DF ABCE  EMAC AC CE EM EM AB EF ∵ ∴  ，∴  ，∴ BDCE CE DB AC DF ABDF  ACEF 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法 和性质． 【模型3】相似三角形基本模型（AX型） 【解题技巧】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 例3．（2021·辽宁·九年级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若 S ：S ＝1：4，则S ：S 的值为（ ） BDE CDE BDE ADC △ △ △ △A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24 【答案】C 【分析】由S ：S ＝1：4，得到BE：CE＝1：4，于是得到BE：BC＝1：5，根据DE∥AC， BDE CDE 推出△BDE∽△△BAC△，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵S ：S ＝1：4，∴BE：CE＝1：4，∴BE：BC＝1：5， BDE CDE △ △ 1 1 ∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC， ∴S ：S ＝（ ）2＝ ． BDE BAC 5 25 △ △ ∴S ：S =1：（25-1-4）=1：20．故选：C． BDE ADC 【点△睛】本△题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握等高不同底的三角形的面积的比等于底的 比与三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键． 变式1．（2022·乡宁县初三期中）如图，在ABC中BC 6，E、F 分别是AB、AC 的中点， 1 动点 在射线 上， 交 于点 ， 的平分线交 于点 ，当CQ CE 时， P EF BP CE D CBP CE Q 3 EPBP_____． 【答案】12 【分析】如图（见解析），延长BQ交射线EF于点M，先根据中位线定理得出EF//BC，再根据 角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的定义得出BPMP，从而可得EPBPEM ， EM EQ  然后根据相似三角形的判定与性质得出 ，从而可求出EM的长． BC CQ 【解析】如图，延长BQ交射线EF于点M E、F 分别是AB、AC 的中点EF//BC  M CBM  BQ平分CBPCBM PBM PBM BBP MPEPBPEPMPEM 1 EM EQ CQ CE 由 得   2  3 EQ2CQ EF//BC EMQCBQ BC CQEM 2BC 2612 即EPBP12故答案为：12． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，通 过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 变式2．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图， 为平行四边形 的边 延长线上的一点， 连接 ．交 于 ，交 于 ．求证： ． 【答案】见解析． 【分析】根据AD∥BC，得△AOF∽△COB，由AB∥DC，得△AOB∽△COE，再根据相似三角形 对应变成比例即可． 【详解】证明：∵AB∥DC，∴△AOB∽△COE∴ ∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB∴ ∴ ，即 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练应用相似三角形的性质与判定，找到两组对应 边的比例相等是解决本题的关键． 【模型4】相似三角形基本模型（母子型） 【解题技巧】图1垂直母子型条件： ，图1结论： ； 图2斜交母子字型条件： ，图2结论： ； 例4．（2022·成都市·九年级课时练习）如图，在 中，D为 边上一点， ， ， ，则 的长为______． 【答案】2 【分析】利用已知条件证明 ，得到 ，代入数值计算即可． 【详解】在 和 中，∵ （公共角）， （已知）， ∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ∴ ．故答案为：2． 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，正确理解题意，掌握相似的判定及性质定理是解题的 关键． 变式1．（2022·浙江·九年级课时练习）如图，P是 的边 上的一点． （1）如果 ， 与 是否相似？为什么？ （2）如果 ， 与 是否相似？为什么？如果 呢？ 【答案】（1）相似．因为 ， ；（2）相似，因为 ， ；不相似．因为虽然两边成比例，但它们的夹角不相等． 【分析】（1）直接根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证； （2）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：（1）相似，理由如下：∵ ， ，∴ ； （2）相似，理由如下：∵ ， ，∴ ； 不相似，理由如下：因为虽然 ，但它们的夹角 与 不相等， 所以 与 不相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 变式2．（2022·山东济南九年级月考）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A ＝∠BPD，求证：△APC∽△BPD． 【答案】见解析 【分析】根据PC＝PD＝CD，可得出 为等边三角形，即可得出 ,进而得出 ,再根据相似三角形的判定推出即可． 【详解】证明：∵PC＝PD＝CD，∴ 为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC ，∴ , ∵∠A＝∠BPD，∴△APC∽△PBD． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角 形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似． 【模型5】相似三角形基本模型（旋转型（手拉手）） 【解题技巧】基本模型： 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形. 例5.（2022•福田区校级期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝ ∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ） A．5：3 B．4：3 C．√5：2 D．2：√3 【分析】根据相似三角形的判定得出△ABC与△ADE相似，利用相似三角形的性质得出∠BAC＝ ∠DAE，进而证明△AEC与△ABD相似，利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE， AC AE ∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE， = ， AB AD∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD， AC AE BD AB ∵ = ，∴△ACE∽△ABD，∴ = ， AB AD CE AC ∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5， ∴BD：CE＝5：3，故选：A． 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是据相似三角形的判定得出△ABC与△ADE相 似． 变式1．（2022·广东初三专题练习）在Rt  ABC和Rt△DEF 中，ABC EDF 30， BAC DEC 90，BC与DF在同一条直线上，点C与点F 重合，AC 2，如图为将 1 绕点 顺时针旋转 后的图形，连接 ， ，若EF  AC ，求 和  CED C 30� BD AE 2  BDC  AEC 的面积． 1 【答案】 和 的面积分别为2和 ．  BDC  AEC 2 【分析】过点D作DMBC于点M，根据30°所对直角边为斜边一半，分别求出BC、DC的长度， 且证BDC∽AEC，在Rt△DMC中，可得DM=1，即BDC的面积可求，且 2 S 1 1 △AEC     ，即 AEC的面积可求． S 2 4 △BDC  【解析】解：如图所示，过点D作DMBC于点M， 1 ∵AC=2，EF= AC，∴ ，又∵ ， ， 2 EC=1 ABC=30 EDC=30 ∴在Rt△BAC和Rt△DEC中，BC=2AC=4，DC=2EC=2， BC CD BD BC 由旋转性质知， ， = =2，∴ BDC∽ AEC，故 = =2， BCDACE 30 AC EF AE AC   BCDM 41 在 DMC中， ， ，∴ ，∴S   2， Rt△ BCD=30 DC=2 DM=1 △BDC 2 22 S 1 1 1 1 ∵ BDC∽ AEC，∴ AEC     ，∴S  2 ，∴ BDC和 AEC的面积分别 S 2 4 △AEC 4 2   BDC   1 为2和 ． 2 【点睛】本题主要考察了含30°角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的 关键在于证明BDC∽AEC，且相似三角形的面积之比为边长之比的平方． 变式2.（2022•亳州模拟）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的 延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果 AE•BD＝ EF•AF，求证：AB＝AC． 【分析】（1）由AE•CE＝DE•EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再证明∠ADF＝∠C， 即可解决问题；（2）欲证明AB＝AC，利用相似三角形的性质证明∠B＝∠C即可； AE EF 【解答】证明：（1）∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠F，∵AE•CE＝DE•EF，∴ = ， DE CE 又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F＝∠C，∴∠ADF＝∠C， 又∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD． AE EF AE EF （2）∵AE•BD＝EF•AF，∴ = ，∵AD＝AF，∴ = ， AF BD AD BD ∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C，∴∠AEF＝∠ADB， ∴△AEF∽△ADB，∴∠F＝∠B，∴∠C＝∠B，∴AB＝AC． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活 运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【模型6】相似基本模型（K字型（一线三等角）） 【解题技巧】基本模型： 如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角） 如图3，特别地，当 D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分 ∠EFC.例6．（20221·内蒙古九年级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、 DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）证明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在 BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长． 【答案】（）见解析；（2） 或 ． 【分析】（1）根据题目已知条件可知 ， ， 所以得到 ，即可得证．（2）由题意易得 是等腰直角三角形，所以 ，当 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE， ③AE=DE；因为点D不与 重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性 质“等边对等角”及 ，求出问题即可． 【详解】（1） 在 中， 又 ； （2） ， 是等腰直角三角形 BC=6， AB=AC= BC=3 ①当AD=AE时，则 ， 点D在 上运动时（点D不与 重合）,点E在AC上 此情况不符合题意． ②当AD=DE时，如图， 由（1）可知 又 ： AB=DC= ． ③当AE=DE时，如图 ，平分 , ．综上所述： 或 ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K”型 相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题． 变式1．（2022·山东九年级期末）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB ＝3，AD＝2，CE＝1，求DF的长度． 10 【答案】 5 【分析】根据题意得ADC C90，即得到ADFCDE90；结合AF⊥DE，得 DF AD ，从而得到 ，通过证明 ，推导出  ； FADADF 90 CDEFAD △AFD∽△DCE CE DE 再通过勾股定理计算得DE，即可完成求解． 【详解】∵E是矩形ABCD的边CB上的一点 ∴ADC C90∴ADFCDE90 ∵AF⊥DE∴AFD90 ∴FADADF 90，AFDC 90 DF AD ∴ ∴ ∴  CDEFAD △AFD∽△DCE CE DE ∵AB＝3∴CD AB3 ∵∠C 90，CE＝1∴DE CD2CE2  10 DF 2 10 ∵AD＝2∴  ∴DF  ． 1 10 5 【点睛】本题考查了相似三角形、矩形、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握相似 三角形、矩形、购过定理的性质，从而完成求解． 5 变式2．（2022·河北·邢台市二模）如图1，在 中， ， ，tanC ，点  ABC AB AC BC 24 12 P 为BC边上一点，则点P与点A的最短距离为______．如图2，连接AP，作APQ，使得 APQB，PQ交AC于Q，则当BP11时，AQ的长为______． 【答案】5 2【分析】根据等腰三角形的三线合一性作BC边上的高AM，再根据三角函数值求出AM的长，根 据垂线段最短即可得到点P到A的最短距离即为AM长； ，根据等腰三角形的三线合一性即可得到BN的长，利用线段的和差求出PN的长，再根据三角函 数值求出AN的长，利于勾股定理即可得到AP长和AC长，再证△APQ相似于△ACP，即可得到 AQ长； 【详解】 1 解如图1，过点A作AM⊥BC，垂足为M，∵AB=AC，AM⊥BC，∴BM=MC= BC=12， 2 5 5 5 又∵tanC= ∴tanB= ∴AM=BM tanB=12× =5， 12 12 12  根据点到直线的距离垂线段最短，可得点P与点A的最短距离为5；∴AB=AC= AM2BM2 =13， 如图2，过点A作AN⊥BC，在Rt APN中，PN=PC-CN=1，又AN=5，∴AP2=PN2+AN2=26， 在△APQ与△ACP中，∵∠APQ=∠C，∠PAQ=∠CAP，∴△APQ∽△ACP， △ AP AC ∴  ∴AP2=AQ×AC，∴AQ=2故答案为：5；2． AQ AP 【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，综合性较 强，熟练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义及直角三角形的边角关系是解题的关键． 【能力提升】一．选择题 1. （2022·河北·九年级期中）如图， 经过 的重心，点 是 的中点，过点 作 交 于点 ，若 ，则线段 的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 3 【答案】D 【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结 合点E是AC中点，得到 ，从而求出GE. 【详解】解：∵ 经过 的重心，∴点D是BC中点， ∵BC=12，∴CD=BD=6，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC， ∵点E是AC中点，∴ ，即 ， 解得：GE=3，故选D. 【点睛】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形 三条中线的交点是解题的关键. 2. （2022·广东·九年级期中）如图，在 中， ， ， 为 边上的一点，且 ．若 的面积为 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理得到 ，再由相似三角形的性质得到答案. 【详解】∵ ， ， ∴ ，∴ ，即 ， 解得， 的面积为 ，∴ 的面积为： ，故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和 性质. 3. （2022·成都市·九年级期中）如图，点D是 ABC的边BC的中点，且∠CAD＝∠B，若 ABC 的周长为10，则 ACD的周长是（ ） △ △ △ A. 5 B. 5 C. D. 【答案】B 【分析】先根据已知证明 ACD∽△BCA，再根据相似三角形的性质得到 AC2=CD•CB，设 BD=CD=x，得到AC= x，△根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA， ∴ ，即AC2=CD•CB， 设BD=CD=x，∵点D是 ABC的边BC的中点， ∴BC=2x∴AC= x， △ ∴ ，即 ; ∴ ACD的周长=5 ，故选B． 【△点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键． 3．（2022·江苏滨湖·九年级期中）如图，边长为10的等边 中，点D在边 上，且 ， 将含 角的直角三角板（ ）绕直角顶点D旋转， 分别交边 于P、Q，连接 ，当 时， 的长为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点 作 于 ，根据等边三角形，和含 角的直角三角形，易证得，从而求得线段 ， ， ， ， ， ， 的长度，最后在 中利用勾股定理可以求得 的长度． 【详解】 如图，过点 作 于 ，在等边 中， ， ， 在 中， ， ，∵ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ， 又∵∠A=∠B=60°，∴ ， ∴ ， ∴在 中， ，∴ ，即 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，已知 ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， 在 中， ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，而 , ∴ ，∴ ，在 中， ， ∴ ，即 ．故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似 三角形是解题的关键． 二．填空题 5．（2022·黑龙江九年级开学考试）如图，在正方形 中，点 为 边上一点，且 ， 点 为对角线 上一点，且 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，若，则正方形 的边长为_______cm． 【答案】 【分析】如图，过F作 于I点，连接FE和FA，得到 设 求出FE，AH，AG，证明 得到 最后求值即可． 【详解】如图，过F作 于I点，连接FE和FA， ，四边形 为正方形， 为BC的三等分点， 为 BC的三等分点， 设 为等腰直角三角形， 为AE的中点， 四边形ABCD为正方形，故答案为： ． 【点睛】本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性 质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE= 2BE，BF=2DF的利用以及这些性质的 熟记． 6．（2022·湖南汉寿·八年级期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点， CF交BE于点G，若 ，则 ___． 【答案】2 【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝ DC，根据平行四边形的性质 得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得 出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性 质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：延长CF、BA交于M， ∵E是CD的中点，F是AE的中点，∴EF＝AF，CE＝ DC， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝ AB，∠ECF＝∠M， 在△CEF和△MAF中 ，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝ AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴ ， ∵BE＝8，∴ ，解得：GE＝2，故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的 性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 7．（2022·浙江·金华市九年级月考）如图所示，在平面直角坐标系中有一个矩形OABC，OA＝3， OC＝4，P为线段AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q，则线段 CQ的长度的最小值是____． 5 【答案】 3 【分析】根据矩形的性质直接根据OA＝3，OC＝4，得出B点坐标即可；根据已知利用相似三角形 的判定得到△AOP∽△BPQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OA•BQ＝AP•BP， 可求得BQ的值，从而求得CQ关于m的表达式， 进而即可求解． 【详解】解：∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝4，∴点B的坐标为：（4，3）； ∵PO⊥PQ，∴∠APO＋∠BPQ＝90°，在Rt AOP中，∠APO＋∠AOP＝90°，∴∠BPQ＝ ∠AOP， △ AP BQ 又∵∠OAB＝∠PBQ＝90°，∴△OAP∽△PBQ，∴  ，即OA•BQ＝AP•BP． OA BP APBP m4m 设P的横坐标为m，∵OA＝BC＝3，OC＝4，∴BQ＝ ＝ ， OA 3 m4m 1 5 5 ∴CQ＝3- ，＝ （m−2）2＋ ，∴当m＝2时，BQ有最小值 ． 3 3 3 3 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定、矩形的性质及二次函数等知识点的综 合运用，根据已知得出△OAP∽△PBQ是解题关键． 8．（2022山东·九年级课时练习）如图，在 中， ， ，点 是 的中 点，连结 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ，与过点 且垂直于 的直线相 交于点 ，连结 ．给出以下五个结论：① ；② ；③点 是 的中点； ④ ；⑤ ．其中正确结论的序号是________．【答案】①②④ 【分析】根据题意证明 ，进而可确定①；由 ，可得 由 ，进而判断结论② ， 可得 ，进而由 可得 ，即可判断③，根据 ，以及 是 的中点即可判断⑤． 【详解】依题意得， ， ， ， ， ， 又 ， ，故①正确；如图，标记如下角， ， ， ， ， 在 与 中， （ASA）， ， 又 点 是 的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在 与 中， （SAS）， ， ， ， ，即 ，故②正确； ， ， 是直角三角形， ， ， 即点 不是线段 的中点，故③不正确； 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，故④正确； ， ， 点 是 的中点， ， ，即 ，故⑤错误．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾 股定理，三角形中线的性质，证明 和 是解题的关键． 三．解答题 9.（2022•东莞市一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG AD DF AD 3 分别交线段DE，BC于点F，G，且 = ．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若 = ， AC CG AC 7 AF 求 的值． FG 【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB利用相似三角形的判定即可证出△ADE∽△ACB； 根据相似三角形的性质再得出∠ADF＝∠C，即可证出△ADF∽△ACG；（2）由（1）的结论以及 相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C， AD DF 又∵ = ，∴△ADF∽△ACG； AC CG AD AF AD 3 AF 3 AF 3 （2）解：∵△ADF∽△ACG，∴ = ，∵ = ，∴ = ，∴ = ． AC AG AC 7 AG 7 FG 4 【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于 基础题． 10．（2022·四川·成都嘉祥外国语学校九年级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高， BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝ 5， ，BD＝6．求AD的长．【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断； （2）解直角三角形求出 ， ，利用相似三角形的性质求出 ， 即可． 【详解】（1）证明： ， ， 为 边上的高， ， ， ， 是 的平分线， ， ． （2）解：如图，作 于 ． ∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，∴∠BFD=∠CEB， ∵∠BFD=∠CFE， ， 为等腰三角形， ， ，∴点 为 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 根据 ，即 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解 决问题． 11.（2022•丛台区三模）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝ 2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度． AD AE 【分析】（1）由 BD＝2AD，CE＝2AE 可得出 = ，结合∠DAE＝∠BAC 可证出 AB AC △ADE∽△ABC；DE 1 （2）由△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出 = 及∠ADE＝∠ABC，利用“同位角 BC 3 相等，两直线平行”可得出DE∥BC，进而可得出△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性质可求 出FC的长． AD AE 1 【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ = = ， AB AC 3 又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC； DE AD 1 （2）解：∵△ADE∽△ABC，∴ = = ，∠ADE＝∠ABC， BC AB 3 DF DE 2 1 ∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴ = ，即 = ，∴FC＝6． CF CB CF 3 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是：（1）利用“两 边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证出△ADE∽△ABC；（2）利用相似三角形的性质及平 行线的判定定理，找出DE∥BC． 12.（2022·广西·初三期末）如图1，在矩形 中， 分别是 上一 点， 与 相交于点F． （1）求证： ；（2）如图2，点G是 的中点，延长 交 于H，求 的长． 【思路点拨】（1）根据四边形 是矩形，可得 ，根据模型1中 的图1结论得出 ，从而求出 和 ，再根据模型2中的图1结论得出 ，求出 和 的长，再根据勾股定理的逆定理即可得 ； （2）在 中， ，根据勾股定理可得 ，根 据点G是 的中点，可得 ，所以得点G是 的三等分点，根据模型2中的 图1结论得出 即可求出 的长． 【详解】（1）∵四边形 是矩形， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ，即 ，且 ，∴ ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴在 中， ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ∴ ， ∴ ； （2）在 中， ， 根据勾股定理，得 ， ∵点G是 的中点， ∴ ， 由（1）知： ， ∴ ， ∴点G是 的三等分点， ∵ ，即 ，∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ． 答： 的长为6． 【解题技法】利用A字型和8字型混合模型得出三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例得 出线段的长或比值，解决本题的关键 13. （2022·绵阳市·初三期末）在 ABC中， ，BE是AC边上的中线，点D在射线 BC上．（1）如图1，点D在BC△边上， ，AD与BE相交于点P，过点A作 ，交BE的延长线于点F，易得 的值为 ； （2）如图2，在 ABC中， ，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的 △ 延长线交于点P， ，求 的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ． 【答案】（1） ；（2） ；（3）6 【解析】 【分析】（1）易证△AEF≌△CEB，则有 AF=BC．设 CD=k，则 DB=2k，AF=BC=3k，由 AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出 的值；（2）过点A作 AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证 △AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就 可求出 的值；（3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据 的值求出 的 值，就可求出BP的值． 【详解】解：（1）如图1中， ∵AF∥BC， ∴∠F=∠EBC， ∵∠AEF=∠BEC，AE=EC， ∴△AEF≌△CEB（AAS）， ∴AF=BC． 设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k， ∵AF∥BC， ∴△APF∽△DPB， ∴ ， 故答案是： ； （2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F， 设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k． ∵E是AC中点， ∴AE=CE． ∵AF∥DB， ∴∠F=∠1． 在△AEF和△CEB中，， ∴△AEF≌△CEB， ∴EF=BE，AF=BC=2k． ∵AF∥DB， ∴△AFP∽△DBP， ∴ ； （3）当CD=2时，BC=4， ∵AC=6， ∴EC=AE=3， ∴EB= ∴EF=BE=5，BF=10． ∵ ， ， ∴BP= BF= ×10=6． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识， 结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键． 14.（2022·重庆·初三期中）如图，点P是线段 上一个动点， ．（1）当 时，求 的长度； （2）若 时，点P有两个符合要求即 ，且 ，求a的值； （3）若 时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值． 【思路点拨】 （1）根据模型3：k字型 的一线三垂直，证得 ，根据相似三角形的性质即可求得； （2）设 ，则 ，根据模型3：k字型的一线三垂直证得 ，由相似三角形的性质得到 ，设方程的两个根为 ，根据根与系数的关系可知 ，根据题意即可得到 ，即可得到 ， 解得即可； （3）作 ，解直角三角形求得 ，根据模型3：k字型的一线三等角证得 ，由相似三角形的性质得到 ，根据题意 ，即可即可． 【详解】 解：（1）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 或12； （2）设 ，则 ， 由（1）可知 ， ∴ ，即 ， ∴ ， 设方程的两个根为 ，根据根与系数的关系可知 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 （负数舍去）， ∴ ；（3）作 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【解题技法】通过运用模型3：k字型中从特殊到一般的方法，证明出两组对应角相等，从而得出 相似三角形，利用对应边成比例是解题的关键． 15. （2022·广东·初三期中）如图，在 中，点 分别在边 上，连接 ，且 ．（1）证明： ； （2）若 ，当点D在 上运动时（点D不与 重合），且 是等腰 三角形，求此时 的长． 【答案】(1)理由见详解；（2） 或 ，理由见详解． 【解析】 【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 题 目 已 知 条 件 易 得 ： ， ，所以得到 ，问题得证． （2）由题意易得 是等腰直角三角形，所以 ，当 是等腰三角形时，根 据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与 重合，所以第 一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及 ，求 出问题即可． 【详解】（1） 如图可知： 在 中， 又 ． （2） ， 是等腰直角三角形 BC=2， AB=AC= BC= ①当AD=AE时， ，点D在 上运动时（点D不与 重合）,点E在AC上 此情况不符合题意． ② 当AD=DE时， 由（1）结论可知： AB=DC= ． ③ 当AE=DE时， 是等腰直角三角形 ， ，即 ． 综上所诉： 或 ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模 型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题． 16. （2022·天津·初三期中）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在 BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证： △ABP∽△PCD． 拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C ＝∠DPE＝45°，BC＝6 ，BD＝4，则DE的长为 ． 【答案】探究：见解析；拓展： . 【解析】 【分析】感知：先判断出∠BAP＝∠DPC，进而得出结论； 探究：根据两角相等，两三角形相似，进而得出结论； 拓展：利用 BDP∽△CPE得出比例式求出CE，结合三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC＝ AB；最后在直角 ADE中利用勾股定理来求DE的长度． △ 【详解】解：感知：∵∠APD＝90°， △ ∴∠APB+∠DPC＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠APB+∠BAP＝90°， ∴∠BAP＝∠DPC， ∵AB∥CD，∠B＝90°， ∴∠C＝∠B＝90°， ∴△ABP∽△PCD； 探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD， ∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD． ∵∠B＝∠APD， ∴∠BAP＝∠CPD． ∵∠B＝∠C， ∴△ABP∽△PCD； 拓展：同探究的方法得出， BDP∽△CPE， △ ∴ ， ∵点P是边BC的中点， ∴BP＝CP＝3 ， ∵BD＝4，∴ ， ∴CE＝ ， ∵∠B＝∠C＝45°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， 即AC⊥AB且AC＝AB＝6， ∴AE＝AC﹣CE＝6﹣ ＝ ，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2， 在Rt ADE中，DE＝ ＝ ＝ ． △ 故答案是： ． 【点睛】此题是相似综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理 以及三角形外角的性质．解本题的关键是判断出 ABP∽△PCD． 17、（2022·湖北·初三期中）如图，在 中△， ，点P、D分别是 边上的 点，且 ． （1）求证： ； （2）若 ，当 时，求 的长． 【思路点拨】 （1）根据已知得出 ，再根据斜交母子型模型4得出 ，根据相 似三角形的性质得到 ，由 即可得到 ； （2）由 根据斜交母子型模型4得出 ，然后运用相似三角形的性质即可求 出 的长． 【详解】 （1）∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ． ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ； （2）如图，∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【解题技法】利用母子型模型4中有一组隐含的等角，此时需要通过已知得出判定三角形相似的条 件，把证明 转化为证明 是解题的关键． 18．（2022·山东·初三期中）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目：如图1，在 中，点 在线段 上， ， ， ， ，求 的长．经过数学小组成员讨论发现，过点 作 ，交 的延长线于点 ，通过构造 就可以解决问题（如图2）请回答： ， ． （2）请参考以上解决思路，解决问题：如图 在四边形 中对角线 与 相交于点 ， ， ， ， ．求 的长．【答案】（1） ， ；（2） 【分析】(1) 根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°,结合∠BOD=∠COA可得出 △BOD∽△COA,利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和 定理可得出∠ABD=75°=∠ ADB,由等角对等边可得出;(2) 过点B作BE∥ AD交AC于点E，同(1) 可得出AE，在Rt AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt CAD中，利用勾股定理可 求出DC的长，此题得解． △ △ 【解析】解: (1) ， . 又 ， . ，故答案为： ； . (2)过点 作 交 于点 ，如图所示. ， . , 在 中， ，即 ，解得：在 中， . 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形性质及勾股定理，构造相似三角形是解题的关键， 利用勾股定理进行计算是解决本题的难点．