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专题 45 反比例函数的应用(重难题型)
1．如图所示，直线y＝－ x与双曲线y＝ 交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，
BC．当AC⊥BC，S ＝15时，k的值为（ ）
△ABC
A．－10 B．－9 C．－6 D．－4
【答案】B
【分析】
先利用自正比例函数和反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，OA＝OB，再根据
斜边上的中线性质得到OA＝OB＝OC，设设B（t，− t），则 A（−t， t），利用勾股定
理表示出OA＝ ，OC＝ ，接着利用三角形面积公式得到 × ×（ t+ t）＝15，解
出t得到A（− ，2 ），进而可求出k的值．
【详解】
解：∵直线y＝－ x与双曲线y＝ 交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，OA＝OB，
∵AC⊥ BC，
∴∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC，
设B（t，− t），则 A（−t， t），∴OA＝ ，
∴OC＝ ，
∵S ＝15，
△ABC
∴ × ×（ t+ t）＝15，解得t＝ ，
∴A（− ，2 ），
把A（− ，2 ）代入y＝ ，得k＝− ×2 ＝−9．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数图像和反比例函数图像的
中心对称性，是解题的关键，也考查了待定系数法求函数解析式和直角三角形的性质．
2．如图， 的顶点 在 轴上，横坐标相等的顶点 、 分别在 与 图
象上，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，连接AN，根据题意得出AC∥y轴，可知S =S ，即可
△AOC △ABC
得出S
矩形AMNC
=S
平行四边形ABCD
，根据反比例函数系数k的几何意义即可得出▱ABCD的面积为
k k ．
1 2【详解】
解：作 轴于 ， 轴于 ，连接 ，
则四边形AMNC是矩形，
∵ 的顶点 在 轴上，横坐标相等的顶点 、 分别在 与 图象上，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，
由反比例函数系数 的几何意义可知，矩形 的面积为 ，
∵ ， ，
∴ 的面积为 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查了解析式的性质，平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握平行
四边形的性质、反比例函数系数k=xy是解题的关键．
3．如图，反比例函数 交边长为10的等边 OAB的两边于C、D两点，OC＝
3BD，则k的值（ ）A． B． C．－ D．
【答案】A
【分析】
过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=a，则OC=3a，根据等边三角形
的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C、D的坐标，再利用反比例函数图象上
点的坐标特征即可求出a、k的值，此题得解．
【详解】
解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
设BD=a，则OC=3a．
∵△AOB为边长为10的等边三角形，
∴∠COE=∠DBF=60°，OB=10．
在Rt△COE中，∠COE=60°，∠CEO=90°，OC=3a，
∴∠OCE=30°，
∴OE= a，CE= a，
∴点C（- a， a）．同理，可求出点D的坐标为 ．
∵反比例函数 的图象恰好经过点C和点D，
∴ ．
∴a=2或a=0（舍去），
∴点C（-3，3 ）．
∴k=-3×3 =-9 ，
故选：A．
【点睛】
h本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解含30度角的直角
三角形，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，找出点C、D的坐标是解
题的关键．
4．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过点 ，过点A的直线y
＝kx+b与x轴、y轴分别交于B、C两点若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，则 的
值为（ ）
A． B． C． 或0 D． 或4
【答案】C
【分析】
求出点A坐标，然后分两种情况，分别画出相应的图形，根据三角形的面积比和相似三角
形进行解答即可．【详解】
解：∵点A（3，m）在反比例函数y （x＞0）的图象上，
∴m 4，
∴A（3，4），
分两种情况进行解答，
（1）如图1，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，
∵S ＝2S△ ，
△AOB BOC
∴S ＝S△ ，
△AOC BOC
∴BC＝AC，
又∵∠ACM＝∠BCO，∠BOC＝∠AMC＝90°
∴△ACM≌△BCO （AAS），
∴OB＝AM＝3，
∴B（﹣3，0），
把A（3，4），B（﹣3，0）代入y＝kx+b得，
，
解得k ，b＝2，
∴k+b 2 ；
（2）如图2，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵S ＝2S△ ，
△AOB BOC
∴ ，
∵∠BOC＝∠ANB＝90°，∠OBC＝∠NBA，
∴△BOC∽△BNA，
∴ ，
即 ，
∴OC＝2，∴C（0，﹣2），
把A（3，4），C（0，﹣2）代入y＝kx+b得，
，
解得，k＝2，b＝﹣2，
∴k+b＝2﹣2＝0，
因此k+b的值为 或0，
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用
的方法，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
5．在平面直角坐标系中，函数y=kx-1与 的图象相交，其中有一个交点为P（2，
m），点A（x ，y ）在y=kx-1图象上．点B（x ，y ）在 图象上，下列说法正确的是
1 1 2 2
（ ）
A．当x =x < 2时，y < y B．当x =x > 2时，y < y C．当y =y < 1时，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x > x D．当y =y > 1时，x > x
1 2 1 2 1 2
【答案】D
【分析】
求出点P的坐标为（2，1），在图象上作出直线x=2和y=1，利用数形结合的方法，逐次求
解即可．
【详解】解：将点P的坐标代入反比例函数表达式得：m= =1，
故点P的坐标为（2，1），如图：在图象上作出直线x=2和y=1，
当x =x ＜2时，A、B在平行线y轴的直线上，且直线直线x=2的左侧，
1 2
当x＜2时，此时y 、y 的大小，不确定，故A错误；
1 2
当x =x ＜2时，A、B在平行线y轴的直线上，且在x=2的右侧，
1 2
从图象看，在x＞2时，y ＞y ，故B错误，不符合题意；
1 2
当y =y ＜1时，即点A、B在平行线x轴的直线上，且在直线y=1的下方，
1 2
此时x 、x 的大小，不确定，故C错误；
1 2
当y =y ＞1时，即点A、B在平行线x轴的直线上，且在直线y=1的上方，
1 2
此时x ＞x ，故D正确，符合题意；
1 2
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，数形结合和确定直线x=2、y=1是本题解题的关
键．
6．如图，一次函数y＝mx＋n（m≠0）的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两
点，延长BO交反比例函数图象的另一支于点C，连接AC交x轴于点D，若 ，则
△ABC面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据B、C的对称性，只要求得△AOB的面积，即可求得△ABC的面积．
【详解】
解：如图：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，BG⊥x轴于G，
∴AE∥CF，
∴△AED∽△CFD，
∴ ＝ ，
∵ ，
∴ ＝ ＝ ，
设AE＝a，则CF＝3a，∴A（﹣ ，a），C（ ，﹣3a），
根据对称性可得点B（﹣ ，3a）．
∵S△AOB＝S△BOG＋S梯形ABGE﹣S△AOE＝S梯形ABGE，
∴S△AOB＝ （a＋3a）（﹣ ＋ ）＝ ，
∴S△ABC＝2S△AOB＝ ，
故选：D．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比
例函数的性质，三角形相似的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．
7．已知双曲线 与直线 交于 ， ，若 ，
，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】
根据交点坐标的意义，把问题转化方程，不等式问题判定即可．
【详解】
由题意得方程 的两根分别为 ， ，
∴ + = ， = ，
∵
∴ ，∴ ，
∴k、 异号，
∵ ，
∴ = ，
∵ ，
∴ ＞0，
∵ ，
∴ ＞0，
∴ ，
∴ ， ．
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数关系定理，不等式
思想，熟练运用交点坐标的意义，把问题转化为方程问题，不等式问题求解是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝ 上，顶点
B在反比例函数y＝ 上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）A． B．4 C．6 D．
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【详解】
解：如图作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，
∵ 四边形OABC是平行四边形，
∴ AB∥OC，OA＝BC，
∴ BE⊥y轴，
∴ OE＝BD，
∴ Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），
根据系数k的几何意义， ＝5， ，
∴ 四边形OABC的面积＝5﹣ ﹣ ＝4，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、平行四边形的性质，正确作图，求
出矩形BDOE和三角形AOE的面积是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 与函数 的图象交于点 ，直线
与函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．若点 的横坐标是点 的横
坐标的2倍，则 的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】
根据直线 与函数 有交点，解方程组求解交点坐标，再使用待定系数法求
出k．
【详解】
解： 与 相交，
∴k＞0，设A坐标为 ，B坐标为 ，
代入 得∴
∴ （舍去）或 ，
故答案选：D
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法是解题关键．
10．如图， 的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为 ．将 沿x轴向
右平移得到 ，使点 落在函数 的图象上．若线段 扫过的面积为9，
则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据平移的性质、反比例函数的解析式可得点 的坐标，从而可得平移的长度，再根据
“线段 扫过的面积为9”可求出点 的坐标，由此即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：点 的纵坐标与点 的纵坐标相等，即为 ，将 代入函数 得： ，即 ，
将 沿 轴向右平移 个单位长度得到 ，
，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， ，
线段 扫过的图形为平行四边形 ，且它的面积为9，
，即 ，
解得 ，
则点 的坐标为 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何综合、平移的性质、平行四边形的面积公式等知识点，熟练
掌握平移的性质是解题关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 与x轴平行，A，B两点纵坐标分别
为4，2，反比例函数 经过A，B两点，若菱形 面积为8，则k值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点A作 ，设 ， ，根据菱形的面积得到AB的长度，在
中应用勾股定理即可求解．【详解】
解：过点A作 ，
∵A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数 经过A，B两点，
∴设 ， ，
∴ ， ，
∵菱形 面积为8，
∴ ，解得 ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，解得 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解
题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在双曲线 上，点C，
D在y轴的正半轴上，点E在BC上，CE＝2BE，连接DE并延长，交x轴于点F，连接CF，
则△FCD的面积为（ ）A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
根据题意设出A点和D点的坐标，设OC长度为m，根据CE＝2BE，得出E点的坐标，再通
过证△DEC∽△DFO，得出比例关系，进而求出FO的长度，利用面积公式求面积刚好能消掉
未知数得出面积的具体数值．
【详解】
解：根据题意，设 ， ，
设OC＝m，则 ， ，
∴ ， ，
∵CE＝2BE，
∴ ，
∴ ，
由题知BC∥FO，
∴∠DEC＝∠DFO，∠DCE＝∠DOF，
∴ ，
∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查反比例函数和矩形的知识，利用点的坐标表示出所求三角形面积是解题的关
键．
13．在同一直角坐标系中，函数 与 的大致图象是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】
根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图
象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：当k＞0时，
一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，
函数的 （k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0时，
一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，
函数的 （k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．
【点睛】
此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，
则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
14．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数 的图象上，点C在函
数 的图象上，若点B的横坐标为 ，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩
形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解．
【详解】
解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，∵点A在函数 的图象上，点C在函数 的图象上，
∴ ， ，
∵CE⊥x轴，
∴ ， ，
∵在矩形OABC中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设点A坐标为 ，则点B坐标为 ，
连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴点A坐标为 ，
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系．
15．如图，直线 与双曲线 交于点A．将直线 向右平移 个单位后，
与双曲线 交于点B，与x轴交于点C，若 ，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先证明△AOD∽△BCE，得到AD=3BE，根据直线OA的解析式点A的坐标为（a， a），求
得点B的坐标为为（3a， a），代入平移后的解析式即可求得a的值，进一步即可求得k
的值．
【详解】
解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则∠ADO=∠BEC=90°，
∵OA∥BC，
∴∠AOD=∠BCE，
∴△AOD∽△BCE，
∴AD：BE=OA：CB，
∵OA=3BC，
∴AD=3BE，设点A的坐标为（a， a），
∵直线y= x与双曲线 交于点A．
∴k=a× a= a2，
∴ ，
∵AD=3BE，
∴B的纵坐标为 a，
∴点B为（3a， a），
直线y= x向右平移 个单位后，得到y= （x- ），
把B的坐标代入得， a= （3a- ），
∴a= ，
∴A（ ， ），
∴k= × = ，
故选：D．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函
数图象与几何变换，三角形相似的判定和性质，表示出A、B两点的坐标是解题的关键．
16．若正比例函数 与反比例函数 图象的一个交点的横坐标为 ，则 的值为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据交点坐标的横坐标，可得正比例函数的函数值，可得交点的坐标，根据交点的坐标，
运用待定系数法可得反比例函数的k值．【详解】
解：∵正比例函数y=-2x与反比例函数 图象的一个交点的横坐标为-1，
∴当x=-1时，y=-2x=-2×（-1）=2，
∴交点坐标是（-1，2），
∵反比例函数 图象过交点，
∴k=-1×2=-2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，先由交点的横坐标求出交点的纵坐标，再由待
定系数法，求出答案．
17．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 的图象经过（a，m+2 ），（b，m），则
代数式 的值是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣3
【答案】A
【分析】
根据题意得到 ，从而得到 ，进一步得到a﹣b＝﹣2ab，代入
变形后的代数式即可求得．
【详解】
解：∵反比例函数y＝ 的图象经过 两点
∴
∴ ，
∴ ＝2，∴a﹣b＝﹣2ab，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是
解题的关键．
18．如图，平面直角坐标系中，△ABC的边AC=BC= ，AB=4 ，且AB⊥x轴于点A，反比例
函数 的图像经过点C，交AB于点D，当BD=BC时，则k的值等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】
过C作CE⊥AB于E，由AC=BC，可得BE=AE= ，在Rt△CEA中，由勾股定理 ,
设C点横坐标为x，点C（x，2），由BC=BD=2.5，可得AD=4-BD=1.5,可求点D（x+1.5，
1.5）,由点C、D在反比例函数图像上可得 ,解得 即可．
【详解】
解:过C作CE⊥AB于E，
∵AC=BC，
∴BE=AE= ，
在Rt△CEA中，由勾股定理 ，
设C点横坐标为x，则点C（x，2），∵BC=BD=2.5，
∴AD=4-BD=1.5，
∴点D（x+1.5，1.5），
∵点C、D在反比例函数图像上，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数解析式，等腰三角形的性质，一元一次方程，掌握反比例函数解析式，
等腰三角形的性质，一元一次方程解法是解题关键．
19．一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，点
．当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【分析】
先确定一次函数和反比例函数解析式，然后画出图象，再根据图象确定x的取值范围即可．
【详解】
解：∵两函数图象交于点 ，点
∴ ， ，解得： ，k =2
2∴ ，
画出函数图象如下图：
由函数图象可得 的解集为：0＜x＜2或x＜-1．
故填D．
【点睛】
本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及根据函数图象确定不等式的解集，根据
题意确定函数解析式成为解答本题的关键．
20．在平面直角坐标系 中，直线 垂直于 轴于点 （点 在原点的右侧），并分别
与直线 和双曲线 相交于点 ， ，且 ，则 的面积为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】B
【分析】设点 的坐标为 ，从而可得 ， ，再根据
可得一个关于 的方程，解方程求出 的值，从而可得 的长，然后利
用三角形的面积公式即可得．
【详解】
解：设点 的坐标为 ，则 ，
，
，
，
解得 或 ，
经检验， 或 均为所列方程的根，
（1）当 时， ，
则 的面积为 ；
（2）当 时， ，
则 的面积为 ；
综上， 的面积为 或 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数与正比例函数的综合、解一元二次方程，正确求出点 的坐标是解题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 轴，垂足为 ，顶点 在第二象
限，顶点 在 轴正半轴上，反比例函数 的图象同时经过顶点 ．
若点 的横坐标为5， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意易得 ，则设DE=x，BE=2x，然后可由勾股定理得
，求解x，进而可得点 ，则 ，最后根据反比例函数的
性质可求解．
【详解】
解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵点 的横坐标为5，
∴点 ， ，
∵ ，∴设DE=x，BE=2x，则 ，
∴在Rt△AEB中，由勾股定理得： ，
解得： （舍去），
∴ ，
∴点 ，
∴ ，
解得： ；
故选A．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反比例函数
与几何的综合是解题的关键．
22．如图，直线y＝mx与双曲线y＝ 交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，
垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S ＝1，则k的值是_______．
四边形AMBN
【答案】
【分析】
先证明四边形AMBN是平行四边形， 的面积实际上就是 面积的2倍，则
S ＝ ，结合图象可知 ．
△ABM
【详解】解：∵OA=OB，ON=OM，
∴四边形AMBN是平行四边形，
∵S ＝1，
四边形AMBN
∴S ＝ ，
△ABM
设点A的坐标为（x，y），
∴B的坐标为（−x，−y），
∴ ×2x×y＝ ，
∴xy＝ ，
∴k＝xy＝ ．
故答案是： ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例
函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键．
23．如图，已知双曲线y＝ （x＜0）和y＝ （x＞0）， 与直线交于点A，将直线
OA向下平移与双曲线y＝ ，与y轴分别交于点 ，与双曲线y＝ 交于点 ，S ＝
△ABC
6，BP：CP＝2：1，则k的值为____．
【答案】﹣3．
【分析】
如图连接OB、OC，作 于点E， 于点F．根据OA//BC，得到
，根据已知条件得到 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：如图连接OB，OC，CF⊥y轴于F，过 作 轴于
∵OA∥BC，
∴S ＝S ＝6，
△OBC △ABC
∵ ，
∴S ＝4，S ＝2，
△OPB △OPC
∵S ＝
△OBE
∴
轴， 轴，
∵△BEP∽△CFP，
∴
∴S ＝ ，
△OCF
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次图数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定
和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
24．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点A（1，0），点C（0，5），反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ___．
【答案】9．
【分析】
过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，则∠EBF＝90°，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC
＝90°，根据全等三角形的性质得到 BE＝BF，AE＝CF，从而证得四边形OEBF是正方形，设
正方形OEBF的边长为m，则AE＝m﹣1，CF＝5﹣m，由 m﹣1＝5﹣m，求得m的值，求
得B的坐标，即可得出结论．
【详解】
过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，则∠EBF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴BE＝BF，AE＝CF，
∴四边形OEBF是正方形，
设正方形OEBF的边长为m，
∵点A(1，0)，点C(0，5)，
∴OA＝1，OC＝5，
∴AE＝m﹣1，CF＝5﹣m，∴m﹣1＝5﹣m，
∴m＝3，
∴B(3，3)，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k＝3×3＝9，
故答案为9．
【点睛】
本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正
确的作出辅助线．
25．如图，反比例函数 的图象经过正方形 的顶点A和中心E，若点D的坐标为
，则k的值为________．
【答案】
【分析】
根据题意可以设出点A的坐标，从而可以得到点E的坐标，进而求得k的值，从而可以解
答本题．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为y
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，点D的坐标为 ，
∴点E的坐标为 ，
∴点E的坐标为
∵A、E在反比例函数 的图象上
∴
∴
∴ （舍去）
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确反比例
函数的性质，利用反比例函数的知识解答．
26．如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数 的图象于
点A，交函数 的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交 于点C，连接AC．
（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积；
（2）若AB＝BC，求点A的坐标；（3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变
化？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）点A（−2， ）；（3）△OAC的面积不随t的值的变化而变化，
理由见详解
【分析】
（1）点P（−1，0）则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（− ，4），S ＝
△ABC
BC×AB，即可求解；
（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t， ）、（ ，
），AB＝BC，即： -( )＝ −t，即可求解；
（3）由S ＝S ＝ （ −t）（ ＋ ）＝ ，即可得到结论．
△OAC 梯形AMNC
【详解】
解：（1）点P（−1，0），则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（− ，4），
∴S ＝ BC×AB＝ ×（− ＋1）×（4−1）＝ ；
△ABC
（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t， ）、（ ，
），
∵AB＝BC，∴ -( )＝ −t，解得：t＝±2（舍去2），
∴点A（−2， ）；
（3）过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，
则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t， ）、（ ， ），
∴S ＝S ＝ （ −t）（ ＋ ）＝ ，
△OAC 梯形AMNC
∴△OAC的面积不随t的值的变化而变化．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是通过函数关系，确定相应坐标，进而求
解．
27．如图，正比例函数y＝kx的图像与反比例函数y＝ （x＞0）的图像交于点A（a，
4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例
函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式．
（2）若CD＝6，求△ACD的面积．【答案】（1）a=2，y=2x；（2）6
【分析】
（1）把点 坐标代入反比例函数 中即可得 ，再用待定系数法可求正比例函数的
表达式；
（2）设点 横坐标为 ，则点 坐标为 ，点 坐标为 ，则
，可解得 ，故可得 的高为2，最后利用 求面积．
【详解】
解：（1）把点 坐标代入反比例函数 中，得 ，
．
点 坐标为 ，
再把 代入正比例函数 的表达式中，得 ，
，
则正比例函数表达式为 ．
（2）设点 横坐标为 ，则点 坐标为 ，点 坐标为 ．
，
即 ，解得： ， （不合题意，舍去）．
即 ，
则点 到 的距离为 ，
故 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及函数图象上点的坐标特征，待定系数法求
解析式，三角形面积计算，利用CD=6建立等量关系是解题关键．
28．如图，矩形 的两边 的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是 的中点，
反比例函数 的图象经过点E，与 交于点F，且 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得 ，求此时点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）（0，14）或（0，-2）
【分析】
（1）根据矩形的性质和勾股定理得出 ，再结合 得出CF的
长，设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），再根据E，F两点在反比例函数
的图象上列出方程，解出a的值即可得出反比例函数的解析式；
（2）设P点坐标为（0，y），根据 得出 ，从而确定点
P的坐标；
【详解】
解：（1）矩形ABCD中，AB=3，BC=8，E为AD的中点，
∴AD=BC=8，CD=AB=3，
∵E为AD的中点，
∴DE=AE=4，∴
∵ ，
∴CF=6，
设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），
∵E，F两点在反比例函数 的图象上；
∴-4a=-6（a-3），解得a=9，
∴E（-4，9），
∴k=-4×9=-36，．
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）∵a=9，∴C（0，6），
∵ ，
∴ ，
∵点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），
∴PC=|6-y|
∴
∴y=14或-2；
∴点P的坐标为（0，14）或（0，-2）
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：反比例函数图
象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象
交于A、B两点，与坐标轴分别交于C、 两点，且满足 ．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式：
（2）设M是x轴上一点，当 时，则点M的横坐标为 ．【答案】（1） ， ；（2） 或
【分析】
（1）将点 代入 求出一次函数解析式，过点A作 轴，则 ，
利用三角形中位线的判定与性质求出A的坐标，即可求解；
（2）分情况讨论：①当M在x轴负半轴时，②当M在x轴正半轴时，利用等腰三角形的
性质和勾股定理即可求解．
【详解】
解：将点 代入 ，解得 ，
∴一次函数解析式为 ，
∴ ，
过点A作 轴，则 ，∵ ，
∴CO为△ADE的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即反比例函数解析式为 ；
（2）由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
①当M在x轴负半轴时，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴点 ；
②当M在x轴正半轴时， 与 关于原点对称，
∴ ，
综上所述，M的横坐标为 或 ．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数综合，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的
关键．
30．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 ，加热到
停止加热，水温开始下降，此时水温 （ ）与开机后用时 （ ）成反比例关系，直
至水温降至 ，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水
温为 时接通电源，水温 （ ）与时间 （ ）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段 与 （ ）之间的函数表达式；
（2）嘉淇同学想喝高于 的水，请问她最多需要等待多长时间？
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；（1）根据（2）中的函数解析式，当 时分别求出x的值，相减即可；
【详解】
解：（1）观察图象，可知：当 时，水温 ，
当 时，设 关于 的函数关系式为： ，
，得
即当 时， 关于 的函数关系式为 ；
当 时，设 ， ，得 ，
即当 时， 关于 的函数关系式为 ，
当 时， ，
与 的函数关系式为：
关于 的函数关系式每 分钟重复出现一次；
（2）将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
， ，
嘉淇同学想喝高于 的水，她最多需要等待 ；
【点睛】
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
31．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量 （毫
克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求一般成人喝半斤低度白酒后，y与 之间的两个函数关系式及相应的自变量 取值
范围；
（2）依据人的生理数据显示，当 时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后，
肝部被严重损伤持续多少小时？
【答案】（1） （2）2.0125小时
【分析】
1）直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案；
（2）根据题意得出y=80时x的值进而得出答案．
【详解】
解：（1）由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y=kx，
则150=1.5k，
解得：k=100，
故y=100x，
当1.5≤x时，设函数关系式为：
则a=150×1.5=225，
解得：a=225，
故综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：
（2）当y=80时，80=100x，解得x=0.8，
当y=80时， ，解得x=2.8125，
由图象可知，肝部被严重损伤持续时间=2.8125-0.8=2.0125（小时）
【点睛】
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法
确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题．
