文档内容
专题4.9 因式分解-十字相乘法（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．把多项式 分解因式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 中， ，若 ， ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．下列四个多项式，可能是x2＋mx－3 （m是整数）的因式的是（ ）
A．x－2 B．x＋3 C．x＋4 D．x2－1
4．因式分解 ，甲看错了a的值，分解的结果是 ，乙看错了b的值，
分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为（ ）．
A． B．
C． D．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知等腰梯形的大底等于对角线的长，小底等于高，则该梯形的小底与大底的长度之比
是（ ）
A． B． C． D．
7．现有纸片：4张边长为 的正方形，3张边长为 的正方形（ ），8张宽为 ，长为
的长方形，用这15张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的边长为（ ）
A． B． C． D．8．下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列多项式不能用十字相乘法分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
10．分解结果等于 的多项式是（ ）.
A． B．
C． D．
11．已知x2−5xy+6y2=0，则 等于（ ）
A． 或 B．2或3 C．1或 D．6或1
12．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（ ）
A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）
B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）
C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）
D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）
二、填空题
13．因式分解：2a2-4a-6=________．
14．如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出个多项式的因式分解：___．
15．在实数范围内分解因式： ___________．16．因式分解： __________．
17．把多项式 进行分解因式，结果为________________．
18．因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____．
19．因式分解： ______.
20．若当 时，代数式 的结果为 ，那么将 分解因式的
结果为______
21．因式分解：(a+3)(a-3)-5(a+1)= _______________.
22．分解因式： =____________．
23．因式分解： ____________．
三、解答题
24．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式 可用十字相乘法方法得出
，用上述方法将下列各式因式分解：
(1) __________．
(2) __________．
(3) __________．
(4) __________．25．我们知道部分二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，如：
∴原式
部分二次四项式也可以用十字相乘法进行因式分解，如：
∴原式
用十字相乘法分解下列各式：
（1）
（2）
（3）
26．数学教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方
式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一一个适当的项，使
式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配
方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，
还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式 ；例如求代数式 的最小值 ．可知当
时， 有最小值，最小值是 ，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： _________．
（2）当a，b为何值时，多项式 有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式 有最小值，并求出这个最小值．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】因为−6×9＝−54，−6＋9＝3，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】
解：x2+3x−54＝（x−6）（x＋9）；
故选：B．
【点拨】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，
并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
2．B
【解析】
【分析】根据a2﹣ab﹣2b2＝0，即可判断出a和b的关系，然后再根据勾股定理判断出c和
b的关系，求出a：b：c化简即可．
【详解】
∵a2﹣ab﹣2b2＝0，
∴（a﹣2b）（a+b）＝0，
∴a＝2b，或a＝﹣b（不符合题意），
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2＝4b2+b2＝5b2，
∴c＝ b，∴a：b：c＝2b：b： b＝2：1： ．
故选：B．
【点拨】本题考查的是因式分解“十字相乘”以及勾股定理的应用，掌握因式分解的方法
和勾股定理是解此题的关键．
3．B
【解析】
【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案．
【详解】
∵k为整数，且常数项﹣3=（﹣1）×3=（﹣3）×1，
∴ 或 ，
故选B．
【点拨】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的
值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案．
【详解】
解：∵甲看错了a的值
∴b是正确的
∵ =
∴b=-6
∵乙看错了b的值
∴a是正确的
∵ =
∴a=-1
∴ =
故选：B．
【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键．5．D
【解析】
【分析】根据因式分解的方法，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、 ，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，故D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和步骤进行判断．
6．A
【解析】
【分析】先画出图形，设该梯形的小底与大底的长度分别为 ， ，利用勾股定理求得 与
之间的关系，从而求出梯形的小底与大底的长度比．
【详解】
解：设该梯形的小底与大底的长度分别为 ， ，过点 作 ，交 的延长线于
点 ，
四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
由勾股定理得 ，即 ，
整理得 ，利用十字相乘法分解因式得
或
即 或为线段的长，
，
即 ，
故选： ．
【点拨】本题考查了等腰梯形、勾股定理及十字相乘法的应用，熟练运用等腰梯形辅助线
的作法作出正确的辅助线是解决本题的关键．
7．A
【解析】
【分析】先计算所拼成的长方形的面积（是一个多项式），再对面积进行因式分解，即可
得出长方形的长和宽．
【详解】
解：根据题意可得：
拼成的长方形的面积=4a2+3b2+8ab，
又∵4a2+3b2+8ab=（2a+b）（2a+3b），且b＜3b，
∴那么该长方形较长的边长为2a+3b．
故选：A．
【点拨】本题考查因式分解的应用．能将所表示的长方形的面积进行因式分解是解决此题
的关键．
8．D
【解析】
【分析】根据因式分解的方法逐个判断即可．
【详解】
解：A、利用提公因式法进行因式分解正确，故本选项不符合题意；
B、利用公式法进行因式分解正确正确，故本选项不符合题意；
C、利用十字相乘法进行因式分解正确，故本选项不符合题意；
D、 因式分解不正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注
意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
9．A
【解析】【分析】根据“十字相乘法”分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A. ，不能利用十字相乘法分解，本选项符合题意；
B. =( )( ，本选项不合题意；
C. ，本选项不合题意；
D.
，本选项不合题意．
故选：A
【点拨】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
10．A
【解析】
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算即可．
【详解】
分解因式的结果为（x+y-4）（x+y-5）的多项式是（x+y）2-9（x+y）+20，
故选A．
【点拨】此题考查因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．
11．A
【解析】
【分析】方程两边除以x2，求出解即可．
【详解】
∵x2−5xy＋6y2＝0，
∴1−5• ＋6•（ ）2＝0，即（ − ）（ − ）＝0，
解得： ＝ 或 ，
故选A．
【点拨】此题考查了因式分解−十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键.12．C
【解析】
【详解】
根据十字相乘法的分解方法，要把x﹣y看做是个整体．
解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8=（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．
故选C．
13．2(a-3)(a+1)## 2(a+1)(a-3)
【解析】
【分析】提取公因式2，再用十字相乘法分解因式即可．
【详解】
解：2a2－4a－6＝2（a2－2a－3）＝2(a-3)(a+1)
故答案为：2(a-3)(a+1)
【点拨】本题考查了本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方
法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运
用公式法或十字相乘法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
14．
【解析】
【分析】首先用四个图形拼成一个大长方形，根据长方形的面积公式分别求出四个图形的
面积与拼出的大长方形的面积，则四个图形面积之和等于大长方形的面积，即可得出答案．
【详解】
将四个图形平成一个大长方形，如图所示，
则大长方形的长为 ，宽为 ，
图形①的面积为： ，
图形②的面积为： ，
图形③的面积为： ，
图形④的面积为： ，
大长方形的面积为： ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是数形结合思想的应用，解题的关键是根据四个图形的面积和等于大
图形的面积，利用几何的方法得到多项式的因式分解的形式．
15．
【解析】
【分析】先把 当成一个整体分解一次，再利用平方差公式继续分解因式.
【详解】
故答案为
【点拨】本题考查实数范围内分解因式，实数范围内分解因式主要利用 把
一个整数写成平方形式再进行分解因式.16．
【解析】
【分析】把 和 看成整体，利用十字相乘分解因式，再进行合并同类项即可求出
答案．
【详解】
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了多项式的因式分解中的十字相乘法，把 和 看成整体，利用
十字相乘分解因式是解决本题的关键．
17．2（2x+1）(3x-7)
【解析】
【分析】先提取公因式2，再利用十字相乘法进行因式分解．
【详解】
12x2-22x-14＝2（6x2-11x-7）＝2（2x+1）（3x-7）．
故答案为：2（2x+1）（3x-7）．
【点拨】考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，
并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行两次因式分解，分解因式一定要彻底．
18．（3x﹣4y）（5x+11y）．
【解析】
【分析】利用十字相乘法，分别对二次项系数，常数项进行因数分解，交叉乘加，检验是
否得中项的系数，从而确定适当的“十字”进行因式分解．
【详解】
利用十字相乘法，如图，将二次项系数、常数项分别分解，交叉乘加验中项，得出答案，
15x2+13xy﹣44y2＝（3x﹣4y）（5x+11y）．
故答案为：（3x﹣4y）（5x+11y）．
【点拨】此题考查十字相乘法的应用，多项式乘法的计算方法是十字相乘法的理论依据．
19．
【解析】
【分析】把 看作一个整体，再用 分解即可.
【详解】
【点拨】本题考查了因式分解－十字相乘法，正确分解常数项是解题的关键，注意整体思
想的应用.
20．
【解析】
【分析】先根据因式分解的意义和已知设 ＝x(x-17)(3x+a)，利用多项式乘以
多项式的法则进行计算，列方程组可得结论.
【详解】
当x＝17时，代数式3x3-56x2+85x的结果为0
设 ＝x(x-17)(3x+a)
=x(3x2-51x+ax-17a)
∴x(3x2-56x+85)＝x(3x2-51x+ax-17a)，解得：a=-5，
=x(x-17)(3x-5)，
∴
故答案为: .
【点拨】本题主要考查了十字相乘法分解因式和提公因式，关键是理解和掌握分解因式和
整式的乘法是互逆运算.
21．(a-7)(a+2)
【解析】
【详解】
分析：先把多项式展开合并，化为关于a的二次三项式，再用十字相乘法分解因式即可.
详解：(a+3)(a-3)-5(a+1)=a2-9-5a-5= a2-5a-14=(a-7)(a+2)
点睛：此题考查了因式分解，因式分解的方法有提公因式法、公式法（平方差和完全平方
公式）和十字相乘法，当需要因式分解的式子没有公因式，平方差或完全平方不明显时，
就可以考虑十字相乘法.
22． .
【解析】
【详解】
试题解析： .
故答案为 .
23．
【解析】
【详解】24．(1)(x-y)(x+6y)
(2)(x-3a)(x-a-2)
(3)(x+a-3b)(x-a-2b)
(4)(20182x2+1)(x-1)
【解析】
【分析】（1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可；
（2）将3a2+6a改写成 ，然后根据例题分解即可；
（3）先化简，将 改写 ，然后根据例题分解即可；
（4）将 改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；
(1)
解：原式=
=(x-y)(x+6y)；
(2)
解：原式=
=(x-3a)(x-a-2)；
(3)
解：原式=
=
=
=(x+a-3b)(x-a-2b)；
(4)
解：原式=
=
=
=(20182x+1)(x-1) ．【点拨】本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式 可用十字
相乘法方法得出 是解答本题的关键．
25．（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用题目提供的方法进行因式分解即可；
（2）直接利用题目提供的方法进行因式分解即可；
（3）将原式变形为 ，再利用十字相乘法分解．
【详解】
解：（1）
∴
= ；
（2）
∴
= ；
（3）
=
=
=
【点拨】本题考查十字相乘法分解因式，理解和掌握十字相乘法是正确进行因式分解的关
键．
26．（1）（m+1）（m-5）；（2）a=2，b=-3，最小值为5；（3）a=4，b=3，最小值为20
【解析】【分析】（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，再运用平方差公式进行分解
因式；
（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28转化为（a-b-1）2+（b-3）2+18，然后利用
非负数的性质进一步得最小值．
【详解】
解：（1）m2-4m-5
=（m2-4m+4）-9
=（m-2）2-32
=（m-2+3）（m-2-3）
=（m+1）（m-5），
故答案为：（m+1）（m-5）；
（2）a2+b2-4a+6b+18
=（a2-4a+4）+（b2+6b+9）+5
=（a-2）2+（b+3）2+5，
∴当a=2，b=-3时，a2+b2-4a+6b+28有最小值为5；
（3）a2-2ab+2b2-2a-4b+30
=a2+（-2ab-2a）+（b2+2b+1）+（b2-6b+9）+20
=a2-2a（b+1）+（b+1）2+（b-3）2+20
=（a-b-1）2+（b-3）2+20，
当a=4，b=3时，原式取最小值20．
∴当a=4，b=3时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28有最小值20．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意
在变形的过程中不要改变式子的值．
