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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.8三角形有关角的计算与证明问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共24小题）
1．（2021秋•安庆期末）∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点
E．
（1）若∠A＝58°，求：∠E的度数．
（2）猜想∠A与∠E的关系，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠ACD＝∠A+∠ABC，根据角平分线的定义、三角形的外角
性质计算，得到答案；
（2）仿照（1）的解法解答．
【解答】解：（1）∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠2＝ ∠ABC，∠4＝ ∠ACD，
∴∠E＝∠4﹣∠2＝ （∠ACD﹣∠ABC）＝ ∠A＝ ×58°＝29°；
（2）∠A与∠E的关系是：∠E＝ ∠A，
理由如下：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠2＝ ∠ABC，∠4＝ ∠ACD，∴∠E＝∠4﹣∠2＝ （∠ACD﹣∠ABC）＝ ∠A．
2．（2021秋•西乡县期末）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝65°，∠BCD＝30°，求∠B，∠ADC
的度数．
【分析】根据角平分线的定义求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠B，再根据三角形的外角性质
求出∠ADC．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，∠BCD＝30°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝2×30°＝60°，
∵∠A＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣60°＝55°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝55°+30°＝85°．
∴∠B，∠ADC的度数分别是55°，85°．
3．（2021春•西山区期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝
63°，求∠DAC的度数．
【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3＝2∠2，因此∠4＝2∠2，从而可在△BAC中，根据三
角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
【解答】解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x．
因为∠BAC＝63°，
所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，
所以x＝39°；
所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．
4．（2021春•沙坪坝区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的
外角性质计算，得到答案；
（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．
【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°；
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠E+∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠ECD，
∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC＝2∠E+∠B．
5．（2020秋•巩义市期末）一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B和∠C应分别是32°和21°，检验
工人量得∠BDC＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说出零件不合格的理由．【分析】延长CD交AB于点E，先根据三角形的外角性质求出∠BEC，再求出∠BDC，通过比较，说明
理由．
【解答】解：延长CD交AB于点E，
∵∠BEC是△ACE的一个外角，
∴∠BEC＝∠A+∠C＝90°+21°＝111°，
同理，∠BDC＝∠BEC+∠B＝111°+32°＝143°，
而检验工人量得∠BDC＝149°，
所以零件不合格．
6．（2021春•镇平县期末）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O．
（1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝30°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性．
【分析】（1）先利用三角形的外角的性质求出∠BDO＝80°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；
（2）利用三角形的外角的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠C＝30°，
∴∠BDO＝∠A+∠C＝80°；
∵∠BOD＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠BDO﹣∠BOD＝30°；
（2）∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
理由：∵∠BEC＝∠A+∠B，
∴∠BOC＝∠BEC+∠C＝∠A+∠B+∠C．
7．（2021秋•息县期中）如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BE是△ABC的角平分线，BD是边AC上的高．
（1）求∠CBE的度数；
（2）求∠DBE的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线的定义求出∠CBE；
（2）根据直角三角形的性质求出∠DBC，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵∠A＝75°，∠C＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠CBE＝ ∠ABC＝30°；
（2）在Rt△BDC中，∠C＝45°，
∴∠DBC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBE＝∠DBC﹣∠CBE＝45°﹣30°＝15°．
8．（2020春•江夏区校级月考）如图，AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，∠B＝∠BDC＝45°，∠C＝
51°，求∠E的度数．
【分析】根据平行线的判定和性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠B＝∠BDC＝45°，
∴AB∥CD，
∵∠C＝51°，
∴∠BAC＝∠C＝51°，
∵AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，∴∠BAE＝ BAC＝ ，∠EDB＝ BDC＝ ，
∵∠AFB＝∠DFE，
∴∠E＝∠B+∠BAE﹣∠BDE＝45°+ ﹣ ＝48°．
9．（2020秋•香河县校级期中）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠B＜∠C，
（1）如图1，AE是△ABC边BC上的高，∠B＝36°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，点E在AD上，EF⊥BC于F，猜想∠DEF与∠B、∠C的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD＝ ∠BAC，∠CAE＝90°−∠C，
进而得出∠DAE＝ （∠C−∠B），由此即可解决问题．
（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF
＝ （∠C−∠B）．
【解答】解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝ ∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝90°−∠C，
∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE
＝ ∠BAC−（90°−∠C）
＝ （180°−∠B−∠C）−（90°−∠C）
＝ ∠C− ∠B＝ （∠C−∠B），
∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠DAE＝ （70°−50°）＝10°．
（2）结论：∠DEF＝ （∠C−∠B）．
理由：如图2，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG＝ （∠C−∠B），
∴∠DEF＝ （∠C−∠B）．
10．（1）如图（1）所示，在三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC
的度数；
（2）如图（2）所示，∠A′B′C′和∠A′C′B′的邻补角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求
∠B′O′C′的度数；
（3）由（1）（2）两题可知∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与
∠B′O′C′是否还具有这样的关系？请说明理由．【分析】（1）先由∠A求出∠ABC+∠ACB，再由角平分线求∠1+∠2，最后求∠BOC；
（2）先由∠A'求出∠D'B'C'+∠E'C'B'，再由角平分线求∠1+∠2，最后求∠B'O'C'；
（3）先利用（1）（2）的解题过程先得出∠BOC和∠A的关系、∠B'O'C'和∠A'的关系，然后判断
∠BOC与∠B'O'C'的关系；
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°；
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠1+∠2＝ （∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．
（2）∵∠A'＝40°，∠D'B'C'＝∠A'+∠A'C'B'，∠E'C'B'＝∠A'+∠A'B'C'，
∴∠D'B'C'+∠E'C'B'＝∠A'+∠A'C'B'+∠A'+∠A'B'C'＝180°+40°＝220°；
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠1+∠2＝ （∠D'B'C'+∠E'C'B'）＝110°，
∴∠B'O'C'＝180°﹣110°＝70°．
（3）由（1）（2）两题可知∠BOC与∠B′O′C′的数量关系为，∠BOC+∠B'O'C'＝180°，
当∠A＝∠A′＝n°时，∠BOC+∠B'O'C'＝180°，理由如下：
由（1）知，∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2），∠1+∠2＝ （∠ABC+∠ACB），
∴∠BOC＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝90°+ ∠A＝90°+ n°，
由（1）知，∠B'O'C'＝180°﹣（∠1+∠2），∠1+∠2＝ （∠D'B'C'+∠E'C'B'），∴∠B'O'C'＝180°﹣ （∠D'B'C'+∠E'C'B'），
又∵∠D'B'C'+∠E'C'B'＝∠A'+∠A'C'B'+∠A'+∠A'B'C'＝180°+∠A'，
∴∠B'O'C'＝180°﹣ （180°+∠A'）＝90°﹣ ∠A'＝90°﹣ n°，
∴∠BOC+∠B'O'C'＝90°+ n°+90°﹣ n°＝180°，
∴当∠A＝∠A′＝n°时，∠BOC+∠B′O′C′＝180°．
11．（2021春•东昌府区期末）在△ABC中，∠ABC＝2∠A，∠ACB﹣∠ABC＝ ∠A，CE⊥AB，垂足为
E，BD是∠ABC的平分线，且交CE于点F．
（1）求∠A，∠ABC，∠ACB；
（2）求∠BFC．
【分析】（1）由已知条件易求∠ACB＝ ，再利用三角形的内角和定理可求解∠A的度数，进而
可求解∠ABC，∠ACB的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠EBF的度数，根据直角三角形的性质可得∠BFE的度数，利用平角的定
义可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝2∠A，∠ACB﹣∠ABC＝ ∠A，
∴∠ACB＝ ，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+2∠A+ ＝180°，
解得∠A＝35°，
∴∠ABC＝2∠A＝70°，∠ACB＝ ＝75°；
（2）∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBF＝35°，
∵∠CEB＝90°，
∴∠BFE＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BFE＝125°．
12．（2021春•龙口市月考）在△ABC中，∠B＞∠C，AD平分∠BAC，交BC于点D，P是AD上的一点
（不与点D重合），PE⊥BC于点E．
（1）若∠B＝2∠C＝60°，如图1，当点P与点A重合时，求∠EPD的度数．
（2）当△ABC是锐角三角形时，如图2，若∠EPD＝20°，求∠B﹣∠C的值．
【分析】（1）由三角形内角和定理可求解∠BAC的度数，结合角平分线的定义及三角形外角的性质可
求得∠ADE的度数，进而可求解∠EPD的度数；
（2）过A作AF⊥BC于F，由平行线的性质可得∠DAC＝70°﹣∠C，由垂线的定义可得∠FAB＝90°﹣
∠B，进而可得∠BAD＝∠DAC，即可得90°﹣∠B+20°＝70°﹣∠C，进而可求解∠B﹣∠C的度数．
【解答】解：（1）∵∠B＝2∠C＝60°，
∴∠C＝30°，∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝ ∠BAC＝45°．
∴∠ADE＝∠C+∠DAC＝30°+45°＝75°．
∵PE⊥BC，
∴∠PED＝90°．
∴∠EPD＝90°﹣75°＝15°；
（2）如图，过A作AF⊥BC于F，∴∠PED＝∠AFD＝90°．
∴PE∥AF．
∴∠DAF＝∠DPE＝20°，
∵∠ADE＝90°﹣20°＝70°，
∴∠DAC＝70°﹣∠C，
∵AF⊥BC，
∴∠FAB＝90°﹣∠B．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC．
∴90°﹣∠B+20°＝70°﹣∠C，
∴∠B﹣∠C＝40°．
13．（2019秋•常熟市期末）如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，点E在AC上，点
F在CD上，连接DE，EF．
（1）若∠ACB＝70°，∠CDE＝35°，求∠AED的度数；
（2）在（1）的条件下，若∠BDC+∠EFC＝180°，试说明：∠B＝∠DEF．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BCD＝35°，再由平行线的判定和性质可得结论；
（2）根据同角的补角相等可得∠EFD＝∠BDC，则AB∥EF，由平行线的性质和等理代换可得结论．
【解答】（1）解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝70°，
∴∠BCD＝35°，∵∠CDE＝35°，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝70°；
（2）证明：∵∠EFC+∠EFD＝180°，∠BDC+∠EFC＝180°，
∴∠EFD＝∠BDC，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠DEF＝∠B．
14．（2020秋•盐田区期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根据三角形内角和求
出∠E即可；
（2）利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
15．（2020秋•前郭县期末）如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别
平分∠ABC和∠ACB的外角．
（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；
（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）
【分析】（1）根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据
三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数；
（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD＝ （∠A+∠ABC）、∠DBC＝ （∠A+∠ACB）；根
据三角形内角和定理可得∠BDC＝90°﹣ ∠A．
【解答】解：（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝ ∠ABC+ ∠ACB＝ （∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝70°，
∴∠OBC+∠OCB＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣55°
＝125°；
（2）∠BDC＝90°﹣ ∠A．
理由如下：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝ （∠A+∠ABC）、∠DBC＝ （∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC，
＝180°﹣ [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
＝180°﹣ （∠A+180°），
＝90°﹣ ∠A；
16．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：
（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；
（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与
∠CFD有怎样的数量关系？为什么？
（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作
CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．
【分析】（1）如图1中，根据三角形的外角的性质即可证明．
（2）如图2中，首先证明∠PCE＝90°，再根据直角三角形两锐角互余即可解决问题．
（3）如图3中，延长PE交BC于H，设PA交AC于K．只要证明∠EKC＝∠EHC，即可解决问题．
【解答】解：（1）证明：
如图1中，∵∠AEF＝∠B+∠ECB，∠AFE＝∠FAC+∠ACE，
又∵∠B＝∠FAC，∠ECB＝∠ACE，
∴∠AEF＝∠AFE．
（2）∠P+∠CFD＝90°，理由如下：
如图2中，∵∠ACE＝ ∠ACB，∠ACP＝ ∠ACQ，
∴∠ECP＝∠ACE+∠ACP＝ （∠ACB+∠ACQ）＝90°，
∴∠P+∠AEC＝90°，
∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFD，
∴∠P+∠CFD＝90°．
（3）证明：
如图3中，延长PE交BC于H，设PA交AC于K．
∵∠EKC＝∠KPF+∠PFA，∠EHC＝∠B+∠BPK，
又∵∠B＝∠CFD＝∠PFA，∠KPF＝∠BPH，
∴∠EKC＝∠EHC，
∵CE⊥KH，
∴∠CEK＝∠CEH＝90°，
∴∠EKC+∠ECK＝90°，∠EHC+∠ECH＝90°，
∴∠ECK＝∠ECH，
∴CE平分∠ACB．
17．（2021•商河县校级模拟）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．
（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；
（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究
（1）中结论是否仍成立？为什么？【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝
∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD＝∠ADC；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAG，再根据等量代换可得∠FAE＝∠BAD，然后再根据
内角与外角的性质可得∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD＝∠ADC．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC；
（2）探究（1）中结论仍成立；
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD＝∠GAD，
∵∠FAE＝∠GAD，
∴∠FAE＝∠BAD，
∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC．
18．（2021秋•南充期末）如图，在△ABC中，CD为△ABC的高，AE为△ABC的角平分线，CD交AE于
点G，∠BCD＝50°，∠BEA＝110°，求∠ACD的大小．【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAE，再根据角平分线的定义求出∠DAC，可得结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠B＝40°，
∵∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣40°﹣110°＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAC＝2∠BAE＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°．
19．（2021春•射洪市期末）如图 1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形
ABCD．
（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与
∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．
【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可．
（2）利用（1）中结论，设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，可得∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝
∠E+x，两式相加可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）解：结论：2∠E＝∠A+∠C．
理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，
∴可以假设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，
∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，
∴∠A+∠C＝∠E+∠E，
∴2∠E＝∠A+∠C，20．（2021春•邗江区期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为
“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为
80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点
A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为 3 0 °，△AOB 是 ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC 是 （填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）求出∠OAC即可解决问题．
（3）分三种情形分别求出即可．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3）①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
21．（2020春•宝应县期末）（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．
①∠BAC＝ 8 0 °，∠DAE＝ 2 0 °；
②如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度
数；
（2）如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）①利用三角形内角和定理求出∠BAC，再求出∠CAD，∠CAE即可解决问题．
②想办法求出∠ADC即可解决问题．
（2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义构建关系式解决问题即可．
【解答】解：（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣（30°+70°）＝80°，
∵AD平分∠ABC，
∴∠CAD＝ ∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAD＝20°．
故答案为80，20．
②∵∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠FDE＝∠ADC＝70°，
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠FDE＝20°．
（3）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AE平分∠BEC，
∴∠AEB＝∠AEC，
∵∠C+∠CAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，
∴∠C+∠CAE＝∠B+∠BAE，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE，
∴∠C+∠CAD﹣∠DAE＝∠B+∠BAD+∠DAE，
∴2∠DAE＝∠C﹣∠B＝40°，
∴∠DAE＝20°．
22．（2020春•江都区月考）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间
的数量关系为 ∠ A + ∠ B ＝∠ C + ∠ D ；
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．
①图中有 6 个“8字形”；
②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，求∠P、∠B、∠D之间
的数量关系．【分析】（1）利用三角形内角和定理可得结论．
（2）①根据“8字形”的定义判断即可．
②根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可．
（3）根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可．
【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）①图中，有6个“8字形”．
故答案为6．
②∵AP平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵PC平分∠BCD，
∴∠3＝∠4，
∵∠1+∠B＝∠3+∠P①，∠2+∠P＝∠4+∠D②，
①﹣②得，2∠P＝∠B+∠D＝50°，
∴∠P＝25°．
（3）结论：2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP平分∠BCE，
∴∠3＝∠4，
∵AG平分∠DAF，
∴∠1＝∠2，
∵∠PAB＝∠1，
∴∠2＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠4，
∴∠P+∠2＝∠B+∠4 ③，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠2）＝∠D+（180°﹣∠3）④，③+④得，2∠P＝∠B+∠D．
23．（2020春•高新区期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是
一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠ ．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠ ＝α30°，则∠1+∠2＝ 12 0 °；
（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）α所示，则∠ 、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明
理由． α
（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示，则∠ 、∠1、∠2的关系为： ∠ 2 ﹣∠ 1+ ∠ ＝ 90 °
． α α
【分析】（1）先用平角的得出，∠CDP＝180°﹣∠1，∠CEP＝180°﹣∠2，最后用四边形的内角和即
可．
（2）同（1）方法即可．
（3）利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论．
（4）利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠1，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，
∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+ +180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝9α0°+ ＝90°+30°＝120°，
故答案为：120．α
（2）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠1，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+ +180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝9α0°+ ．
α
（3）如图3，∵∠1+∠CDF＝180°，
∴∠CDF＝180°﹣∠1，
∵∠CFD＝∠2+ ，
根据三角形的内角α 和得，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴90°+180°﹣∠1+∠2+ ＝180°，
∴∠1﹣∠2﹣∠ ＝90°．α
α
（4）如图4，∵∠PGD＝∠EGC，
∴∠2＝∠C+∠EGC＝90°+∠PGD，
∴∠PGD＝∠2﹣90°，
∵∠PDG＝180°﹣∠1，
根据三角形的内角和得，∠DPG+∠PDG+∠PDG＝180°，
∴ +180°﹣∠1+∠2﹣90°＝180°，
∴α∠2﹣∠1+∠ ＝90°．
故答案为：∠2﹣α ∠1+∠ ＝90°．
α24．（2020秋•南海区期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，
∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、
N，∠CDE＝ ∠ADC，∠CBE＝ ∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明
理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C＝2∠E，再代
入计算即可求解；
（3）由∠CDE＝ ∠ADC，∠CBE＝ ∠ABC可得∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，结合（1）可
得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，
∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴∠A+∠C＝2∠E，
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°；
（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．
理由：∵∠CDE＝ ∠ADC，∠CBE＝ ∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，
即∠A+2∠C＝3∠E．
