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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题5.10分式方程的应用大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共24小题）
1．（2020•黄石模拟）今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村的公路，现有甲、乙两个
工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40
天才能完成，这样所需550万元．
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？
【分析】（1）设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成此项工程需要y天，根据“若甲、乙
合作，36天可以完成，若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成”，即可得出关于x，y
的分式方程组，解之经检验后即可得出结论；
（2）设甲队单独完成此项工程需要m万元，乙队单独完成此项工程需要n万元，根据“若甲、乙合作，
36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需
550万元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】（1）设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成此项工程需要y天，
36 36
{ + =1
x y
依题意得： ，
20 40
+ =1
x y
{x=180
解得： ，
y=45
经检验，所得的解就是原分式方程组的解，且符合题意．
答：甲队单独完成此项工程需要180天，乙队单独完成此项工程需要45天．
（2）设甲队单独完成此项工程需要m万元，乙队单独完成此项工程需要n万元，
m n
{ ×36+ ×36=600
180 45
依题意得： ，
m n
×20+ ×40=550
180 45
{m=1050
解得： ．
n=487.5答：甲队单独完成此项工程需要1050万元，乙队单独完成此项工程需要487.5万元．
2．（2021•秦淮区二模）已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等．若乙比甲每小
时多做9个零件，则甲、乙两人每小时各做多少个零件？
【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x+9）个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，
结合甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经
检验后即可得出结论．
【解析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x+9）个零件，
60 90
依题意得： = ，
x x+9
解得：x＝18，
经检验，x＝18是原方程的解，且符合题意，
∴x+9＝27．
答：甲每小时做18个零件，乙每小时做27个零件．
3．（2021•南岗区校级二模）中秋节前夕，某商家预测某种水果能够畅销，就用6000元购进了一批这种水
果，上市后销售非常好，商家又用14000元购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的 2倍，
但每千克进价多了5元．
（1）该商家两批共购进这种水果多少千克？
（2）由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖．该商家将两批水果按同一价格全部
销售完毕后获利不低于8000元，求每千克这种水果的售价至少是多少元？
【分析】（1）设该商家第一批购进这种水果x千克，则第二批购进这种水果2x千克，根据单价＝总价
÷数量，结合第二批每千克的进价比第一批多了5元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可
得出结论；
（2）设每千克这种水果的售价是m元，根据利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，结合全部销售完
毕后获利不低于8000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解析】（1）设该商家第一批购进这种水果x千克，则第二批购进这种水果2x千克，
14000 6000
依题意得： − = 5，
2x x
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴x+2x＝600．
答：该商家两批共购进这种水果600千克．（2）设每千克这种水果的售价是m元，
依题意得：（600﹣2×200×10%）m﹣6000﹣14000≥8000，
解得：m≥50．
答：每千克这种水果的售价至少是50元．
4．（2021春•桐城市期末）某社区准备建造A，B两类摊位共80个，每个A类摊位的占地面积比每个B类
摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
3
用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 ．
4
（1）求每个B类摊位占地面积．
（2）要求建A类摊位的数量不少于26个，且建造两类摊位的总费用不超过18320元．
①共有哪几种建造方案？
②最少费用是 1804 0 元．
【分析】（1）设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据
3
用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建 B类摊位个数的 ，即可得出关于x的分式方程，
4
解之经检验后即可得出结论；
（2）①设建造m个A类摊位，则建造（80﹣m）个B类摊位，根据“建A类摊位的数量不少于26个，
且建造两类摊位的总费用不超过18320元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的
取值范围，再结合m为整数即可得出各建造方案；
②利用总价＝单价×数量，可求出各建造方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解析】（1）设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
60 3 60
依题意得： = × ，
x+2 4 x
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：每个B类摊位占地面积为6平方米．
（2）每个A类摊位的建造费用为40×（6+2）＝320（元），
每个B类摊位的建造费用为30×6＝180（元）．
①设建造m个A类摊位，则建造（80﹣m）个B类摊位，
{ m≥26
依题意得： ，
320m+180(80−m)≤18320解得：26≤m≤28．
又∵m为整数，
∴m可以为26，27，28，
∴共有3种建造方案，
方案1：建造26个A类摊位，54个B类摊位；
方案2：建造27个A类摊位，53个B类摊位；
方案3：建造28个A类摊位，52个B类摊位．
②建造方案1所需费用为320×26+180×54＝8320+9720＝18040（元）；
建造方案2所需费用为320×27+180×53＝8640+9540＝18180（元）；
建造方案3所需费用为320×28+180×52＝8960+9360＝18320（元）．
∵18040＜18180＜18320，
∴最少费用是18040元．
故答案为：18040．
5．（2021秋•临邑县期末）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价
多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价
定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商
品数量的一半，该商店有几种进货方案？
【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品
的数量相同，列分式方程，解出可得结论；
（2）设购买A种商品a件，根据用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，A种商品的数量
不低于B种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论．
【解析】（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元，
2000 1200
由题意得： = ，
x x−20
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
50﹣20＝30，
答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元；（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（40﹣a）件，
{50a+30(40−a)≤1560
由题意，得 ，
1
a≥ (40−a)
2
40
解得 ≤a≤18．
3
∵a为正整数，
∴a＝14、15、16、17、18，
∴商店共有5种进货方案．
6．（2021秋•恩施市期末）甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．
（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座1800米高的山，甲比乙早30分钟到达顶峰．已知甲的平均攀登
速度是乙的1.2倍，求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？
（2）1月5日甲与丙去攀登另一座a米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发1小时，
结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含a的代数式表示）
【分析】（1）设乙的平均攀登速度是每分钟x米，则甲的平均攀登速度是每分钟1.2x米，利用时间＝
路程÷速度，结合甲比乙早30分钟到达顶峰，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出乙的
平均攀登速度，再将其代入1.2x中即可求出甲的平均攀登速度；
（2）设丙的平均攀登速度为每分钟y米，利用时间＝路程÷速度，结合甲比丙少用1小时（60分钟），
12
即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出丙的平均攀登速度，再将其代入 中即可求出结
y
论．
【解析】（1）设乙的平均攀登速度是每分钟x米，则甲的平均攀登速度是每分钟1.2x米，
1800 1800
依题意得： − =30，
x 1.2x
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×10＝12．
答：甲的平均攀登速度是每分钟12米．
（2）设丙的平均攀登速度为每分钟y米，
a a
依题意得： − =60，
y 1212a
解得：y= ，
720+a
12a
经检验，y= 是原分式方程的解，且符合题意，
720+a
12 12 720+a
= =
∴ y 12a a ．
720+a
720+a
答：甲的平均攀登速度是丙的 倍．
a
7．（2021春•南山区期末）五月的第二个星期日是母亲节，母亲们在这一天通常会收到礼物，康乃馨被视
为献给母亲的花，某花店在母亲节前夕用3000元购进一批康乃馨，在母亲节当天供不应求，又马上用
6000元加急购进一批康乃馨，第二批康乃馨数量是第一批的1.2倍，单价比第一批贵2元．
（1）第一批康乃馨进货单价多少元？
（2）若两次购进康乃馨按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为
多少元？
【分析】（1）设第一批康乃馨进货单价为x元，则第二批康乃馨进货单价为（x+2）元，根据数量＝总
价÷单价，结合第二批购进的数量是第一批的1.2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得
出结论；
（2）设销售单价为y元，利用销售利润＝销售总价﹣进货总价，结合获利不少于 4200元，即可得出关
于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解析】（1）设第一批康乃馨进货单价为x元，则第二批康乃馨进货单价为（x+2）元，
6000 3000
依题意得： = ×1.2，
x+2 x
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意．
答：第一批康乃馨进货单价为3元．
（2）设销售单价为y元，
3000 6000
依题意得：（ + ）y﹣3000﹣6000≥4200，
3 3+2
解得：y≥6．
答：销售单价至少为6元．
8．（2021秋•娄底期中）“六一”儿童节前夕，某文具店用4000元购进A种滑板车若干台，用8400元购
进B种滑板车若干台，所购B种滑板车比A种滑板车多10台，且B种滑板车每台进价是A种滑板车每台进价的1.4倍．
（1）A、B两种滑板车每台进价分别为多少元？
（2）第一次所购滑板车全部售完后，第二次购进A、B两种滑板车共100台（进价不变），A种滑板车
的售价是每台300元，B种滑板车的售价是每台400元．两种滑板车各售出一半后，六一假期已过，两
种滑板车均打七折销售，全部售出后，第二次所购滑板车的利润为 5800元（不考虑其他因素），求第
二次购进A、B两种滑板车各多少台？
【分析】（1）设A种滑板车每台进价为x元，则B种滑板车每台进价为1.4x元，根据“所购B种滑板
车比A种滑板车多10台”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设设第二次购进A种滑板车y台，B种滑板车（100﹣y）台，根据销售利润＝每盒的利润×销售数
量，即可得出关于y的一元一次方程，解方程即可．
【解答】（1）解：设A种滑板车每台进价为x元，则B种滑板车每台进价为1.4x元，
8400 4000
根据题意得： − =10，
1.4x x
解得：x＝200，
经检验x＝200是原方程的根，且符合题意，
此时1.4x＝1.4×200＝280（元），
答：A种滑板车每台进价为200元，B种滑板车每台进价为280元；
（2）解：设第二次购进A种滑板车y台，B种滑板车（100﹣y）台，
由 题 意 得 ：
y y 100−y 100−y
×(300−200)+ ×(300×70%−200)+ ×(400−280)+ ×(400×70%−280)=5800
2 2 2 2
解得：y＝40，
此时100﹣y＝100﹣40＝60（台），
答：第二次购进A种滑板车40台，B种滑板车60台．
9．（2019秋•南岗区校级月考）冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本
与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共
100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
【分析】（1）设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为（x+10）元，根据数量＝
总价÷单价结合用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本（100﹣m）本，根据总利润＝每本的利润×销售数量
（购进数量）结合总获利不小于468元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可
得出结论．
【解析】（1）设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为（x+10）元，
160 240
依题意，得： = ，
x x+10
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝30．
答：A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元．
（2）设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本（100﹣m）本，
依题意，得：（24﹣20）m+（35﹣30）（100﹣m）≥468，
解得：m≤32．
答：最多购进A种笔记本32本．
10．（2019秋•渝北区期末）为了“迎国庆，向祖国母亲献礼”，某建筑公司承建了修筑一段公路的任务，
指派甲、乙两队合作，18天可以完成，共需施工费126000元；如果甲、乙两队单独完成此项工程，乙
队所用时间是甲队的1.5倍，乙队每天的施工费比甲队每天的施工费少1000元．
（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？
（2）为了尽快完成这项工程任务，甲、乙两队通过技术革新提高了速度，同时，甲队每天的施工费提
高了a%，乙队每天的施工费提高了2a%，已知两队合作12天后，由甲队再单独做2天就完成了这项工
程任务，且所需施工费比计划少了21200元．
①分别求出甲、乙两队每天的施工费用；
②求a的值．
【分析】（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，直接利用甲、乙两公司合做，18天可以完成，利用
1
两公司合作每天完成总量的 ，进而列出方程求出答案；
18
（2）①设甲公司技术革新前每天的施工费用是y元，那么乙公司技术革新前每天的施工费用是（y﹣
1000）元，可列出方程，解方程即可；
②根据①可分别表示甲、乙公司技术革后每天的施工费用，于是可列出方程，解方程即可．
【解析】（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，1 1 1
根据题意可得： + = ，
x 1.5x 18
解得：x＝30，
检验，知x＝30符合题意，
∴1.5x＝45，
答：甲公司单独完成此项工程需30天，乙公司单独完成此项工程需45天；
（2）①设甲公司技术革新前每天的施工费用是y元，那么乙公司技术革新前每天的施工费用是（y﹣
1000）元，
则由题意可得：（y+y﹣1000）×18＝126000，
解得：y＝4000，
∴y﹣1000＝3000，
答：技术革新前，甲公司每天的施工费用是4000元，乙公司每天的施工费用是3000元；
②4000×14×（1+a%）+3000×12×（1+2a%）＝126000﹣21200，
解得：a＝10．
答：a的值是10．
11．（2021秋•岳阳期末）今年4月23日是第26个世界读书日．八（1）班举办了“让读书成为习惯，让
书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集（套）和四大名著（套）．
（1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元．花费1000元
购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大
名著（套）的单价各是多少元？
（2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种
购买方案？
【分析】（1）设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是（x+25）元，由题意：花
费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买四大名著（套）的数量相同．列出分式方程，
解方程即可；
（2）设购买鲁迅文集a套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不
超过570元，列出一元一次不等式，求出正整数解，即可得出答案．
【解析】（1）设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是（x+25）元，
1000 1500
由题意得： = ，
x x+25
解得：x＝50，经检验，x＝50是方程的解，且符合题意，
∴x+25＝50+25＝75，
答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元；
（2）设购买鲁迅文集a套，
由题意得：50a+75（10﹣a）≤570，
解得：a≥7.2，
∵a＜10且a为正整数，
∴a＝8或9，
则该班有两种购买方案，①鲁迅文集8套，四大名著2套；②鲁迅文集9套，四大名著1套．
12．（2021•商河县校级模拟）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改
造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天
数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则
甲乙两队合作完成该工程需要多少天？
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x
天完工，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的分式方程，
解之经检验后即可得出结论；
（2）由（1）可求出甲、乙单独施工所需天数，再利用两队合作完工所需时间＝总工作量÷（甲队一天
完成的工作量+乙队一天完成的工作量），即可求出结论．
【解析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x
天完工，
15+5 15
依题意，得： + =1，
x 1.5x
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，
1 1
1÷（ + ）＝18（天）．
30 45
答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．13．（2021秋•龙港区期末）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人每小时搬运的化工原料
是B型机器人每小时搬运的化工原料的1.5倍，A型机器人搬运900kg所用时间比B型机器人搬运800kg
所用时间少1小时．
（1）求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）某化工厂有8000kg化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时．现计划先由
6个B型机器人搬运3小时，再增加若干个A型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个A型机器人？
【分析】（1）设B型机器人每小时搬运xkg化工原料，则A型机器人每小时搬运1.5xkg化工原料，根
据工作时间＝工作总量÷工作效率结合A型机器人搬运900kg所用时间比B型机器人搬运800kg所用时
间少1小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设增加y个A型机器人，根据工作总量＝工作效率×工作时间结合5个小时搬运的化工原料不少于
8000kg，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论．
【解析】（1）设B型机器人每小时搬运xkg化工原料，则A型机器人每小时搬运1.5xkg化工原料，
800 900
依题意，得： − =1，
x 1.5x
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝300．
答：A型机器人每小时搬运300kg化工原料，B型机器人每小时搬运200kg化工原料．
（2）设增加y个A型机器人，
依题意，得：200×5×6+（5﹣3）×300y≥8000，
10
解得：y≥ ，
3
∵y为正整数，
∴y的最小值为4．
答：至少要增加4个A型机器人．
14．（2021春•慈溪市期末）端午节前夕，肉粽的单价比蜜枣粽的单价多4元，用200元购买肉粽与用100
元购买蜜枣粽的只数相同．
（1）肉粽和蜜枣粽的单价分别是多少元？
（2）某商铺端午节前夕用800元购买了肉粽和蜜枣粽；端午节后由于肉粽单价打了6折，蜜枣粽的单
价打了5折，该商铺又买了与节前同样数量的肉粽和蜜枣粽，只花了420元．求该商铺每次购买肉粽和
蜜枣粽的只数．【分析】（1）设蜜枣粽的单价是x元，则肉粽的单价是（x+4）元，根据“用200元购买肉粽与用100
元购买蜜枣粽的只数相同”列出方程并解答．
（2）设每次购买肉粽a只，购买蜜枣粽b只，根据“用800元购买了肉粽和蜜枣粽”、“端午节后由
于肉粽单价打了6折，蜜枣粽的单价打了5折，该商铺又买了与节前同样数量的肉粽和蜜枣粽，只花了
420元”列出方程组并解答．
【解析】（1）设蜜枣粽的单价是x元，则肉粽的单价是（x+4）元，
200 100
根据题意得： = ．
x+4 x
解得：x＝4，
经检验x＝4是原方程的根．
所以x+4＝8．
答：蜜枣粽的单价是4元，肉粽的单价是8元；
（2）设每次购买肉粽a只，购买蜜枣粽b只，
{ 8a+4b=800
由题意得： ．
8a⋅60%+4b⋅50%=420
{a=25
解得： ．
b=150
答：每次购买肉粽25只，购买蜜枣粽150只．
15．（2021春•汉台区期末）新型冠状病毒疫情发生后，全社会积极参入疫情防控工作，某市为了尽快完
成100万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每
天能生产口罩数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．
（1）求甲、乙两个工厂每天各生产多少万只口罩？
（2）在生产过程中甲、乙合作生产5天后，甲厂因设备故障暂停生产，问乙厂至少还需要工作多少天
才能完成任务？
【分析】（1）设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，根据工作时间＝工作
总量÷工作效率结合在独立完成60万只口罩的生产任务时甲厂比乙厂少用5天，列出分式方程，解方程
即可；
（2）设乙厂还需要工作y天才能完成任务，由题意列出不等式，解不等式即可．
【解析】（1）设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，
60 60
依题意，得： − =5，
x 1.5x
解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
所以1.5x＝6，
答：甲厂每天能生产口罩6万只，乙厂每天能生产口罩4万只；
（2）设乙厂还需要工作y天才能完成任务，
由题意得：（6+4）×5+4y≥100，
解得：y≥12.5，
答：乙厂至少还需要工作12.5天才能完成任务．
16．（2021•兴宁区校级开学）某公司计划购买A、B两种信号的机器人搬运材料．已知A型机器人每小时
比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运
800kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，已知A型机器人进价为1万元/台，B型机器人
进价为0.8万元/台．要求每小时搬运材料不得少于2800kg，采购经费不超过19.4万元，则该公司有多
少种采购方案？
【分析】（1）设B型机器人每小时搬运xkg材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg材料，利用工
作时间＝工作总量÷工作效率，结合A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材
料所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该公司购进m台A型机器人，则购进（20﹣m）台B型机器人，根据“每小时搬运材料不得少
于2800kg，采购经费不超过19.4万元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取
值范围，再结合m为整数即可得出结论．
【解析】（1）设B型机器人每小时搬运xkg材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg材料，
1000 800
依题意得： = ，
x+30 x
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝150．
答：A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料．
（2）设该公司购进m台A型机器人，则购进（20﹣m）台B型机器人，
依题意得：{150m+120(20−m)≥2800，
m+0.8(20−m)≤19.440
解得： ≤m≤17，
3
又∵m为整数，
∴m可以取14，15，16，17，
∴该公司有4种采购方案．
17．（2020秋•仓山区校级期末）某段铁路全长2400千米，经过铁路技术改造，列车实现第一次提速，已
知提速后比提速前速度增加了20%，行驶全程所需时间减少了4小时．
（1）求列车提速前的速度；
（2）现将铁路全长延伸至3000千米，且要继续缩短行驶全程所需的时间，则列车需再次提速，设提速
百分比为m，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不应超过180千米/每小时，求m的取值范围．
【分析】（1）设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为（1+20%）x千米/小时，利用时
间＝路程÷速度，结合提速后行驶全程所需时间减少了4小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检
验后即可得出结论；
（2）根据第一次提速后的速度与提速前速度之间的关系，可求出提速后的速度，利用时间＝路程÷速度，
可求出第一次提速后行驶全程所需时间，再根据“再次提速后要继续缩短行驶全程所需的时间，且速度
不应超过180千米/每小时”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解析】（1）设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为（1+20%）x千米/小时，
2400 2400
依题意得： − =4，
x (1+20%)x
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．
答：列车提速前的速度为100千米/小时．
（2）第一次提速后的速度为100×（1+20%）＝120（千米/小时），
第一次提速后行驶全程所需时间为2400÷120＝20（小时）．
依题意得：{ 120(1+m)≤180 ，
120(1+m)×20＞3000
解得：0.25＜m≤0.5，
∴25%＜m≤50%．
答：m的取值范围为25%＜m≤50%．
18．（2021•吉林模拟）我市计划对城区居民供暖管道进行改造，该工程若由甲队单独施工，则恰好在规
定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍，如果由甲乙两队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需要5天．
（1）这项工程的规定天数是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用是6500元，乙队每天的施工费用是3500元．为了缩短工期，工程指挥
部最终决定该工程由甲、乙两队合作，则该工程的施工费用是多少？
【分析】（1）设这项工程规定x天完成，由题意“如果由甲乙两队先合作15天，那么余下的工程由甲
队单独完成还需要5天”列出方程，解方程即可；
（2）由甲、乙两队合作完成的天数乘以甲、乙两队每天的施工费用即可．
【解析】（1）设这项工程规定x天完成，15+5＝20（天），
20 15
根据题意得： + =1，
x 1.5x
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原方程的解，且符合题意，
答：这项工程规定30天完成．
（2）总施工费用：¿（元），
¿
答：该工程的施工费用是180000元．
19．（2021秋•双峰县期末）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百
货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃
圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种
品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高
了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
【分析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，根据数量＝
总价÷单价结合购买A品牌垃圾桶数量是购买B品牌垃圾桶数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，
解之经检验后即可得出结论；
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，根据总价＝单价×数量
结合总费用不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，
4000 3000
依题意，得： =2× ，
x x+50解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x+50＝150．
答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元．
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，
依题意，得：100×0.9（50﹣m）+150×（1+20%）m≤6000，
2
解得：m≤16 ．
3
因为m是正整数，所以m最大值是16．
答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶．
20．（2021•南海区模拟）为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购 A、B两种医疗器械，购买1台A
机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相
等．
（1）求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元；
（2）医院准备购买购A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多
购买A器材多少台？
【分析】（1）设购买一台B器材需要x元，则购买一台A器材需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价
结合300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经
检验后即可得出结论；
（2）设购买A器材y台，则购买B器材（80﹣y）台，根据题意列出不等式并解答．
【解析】（1）设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要（x+10）万元，
300 100
依题意，得： = ，
x+10 x
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一台A器材需要15万元，则购买一台B器材需要5万元．
（2）设购买A器材y台，则购买B器材（80﹣y）台，
依题意，得：15y+5（80﹣y）≤1050．
解得y≤65．
所以y的最大值为65．答：最多购买A器材65台．
21．（2020春•拱墅区期末）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价
8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元．
（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月
份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是
4月份的1.2倍．这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打
八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【分析】（1）根据购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元，
可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得A款T恤衫的单价和B款T恤衫的单价，然后即可计算
出同时购进A数和B款T恤衫各60件的总价钱，然后和10000比较大小，即可解答本题；
（2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到a的值，然后即可计算出商店销售这两批A
款T恤衫共获毛利润．
【解析】（1）设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，
{40a+60b=8400
，
45a+50b=8050
{a=90
解得， ，
b=80
∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，
∴商店3月份的进货金额只有10000元，不能同时购进A款和B款T恤衫各60件；
（2）由题意可得，
9800 12240
×1.2= ，
90+a 90+a+0.5a
解得，a＝8，
经检验，a＝8是原分式方程的解，
9800
则4月份购进的T恤衫的数量为 =100（件），5月份购进的T恤衫的数量为100×1.2＝120（件），
90+8
（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），
答：商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润10060元．
22．（2021春•天桥区期末）新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防消毒工作，开学初购进 A，B两种消
毒液，购买A种消毒液花费了2500元，购买B种消毒液花费了2000元，且购买A种消毒液数量是购买
B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元．（1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？
（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生
健康安全，学校准备再次购买一批防控物资．其中A，B两种消毒液准备购买共50桶．如果学校此次购
买A、B两种消毒液的总费用不超过3250元，那么学校此次最多可购买多少桶B种消毒液？
【分析】（1）设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元，根据数量＝总价÷
单价结合用2500元购买A种消毒液的数量是用2000元购买B种消毒液数量的2倍，即可得出关于x的
分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设学校此次购买了m桶B种消毒液，则购买了（50﹣m）桶A种消毒液，根据总价＝单价×数量结
合学校此次购买A、B两种消毒液的总费用不超过3250元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取
其中的最大值即可得出结论．
【解析】（1）设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元，
2500 2000
依题意，得： =2× ，
x x+30
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一桶A种消毒液需50元，购买一桶B种消毒液需80元．
（2）设学校此次购买了m桶B种消毒液，则购买了（50﹣m）桶A种消毒液，
依题意，得：50（50﹣m）+80m≤3250，
解得：m≤25．
答：学校此次最多可购买25桶B种消毒液．
23．（2020春•安吉县期末）老百姓大药房准备购进KN95和一次性医用两种口罩．两种口罩的进价和售价
如下表．如果用1800元购进一次性医用口罩的数量是用2000元购进KN95口罩的数量的4倍．
KN95口罩 一次性医用口罩
进价（元/个） m+1 0.3m
售价（元/个） 5 1.2
（1）求m的值；
（2）某企业为复工复产做准备，药店为该企业购进KN95和一次性医用两种口罩共花7700元，若药店
销售这批口罩获得2450元的利润，则购进KN95和一次性医用两种口罩各多少个？
【分析】（1）由用1800元购进一次性医用口罩的数量是用2000元购进KN95口罩的数量的4倍，列出
方程，可求解；（2）设购进KN95口罩x个，一次性医用口罩y个，由“购进KN95和一次性医用两种口罩共花7700元，
若药店销售这批口罩获得2450元的利润”列出方程组可求解．
1800 2000
【解析】（1）由题意可得： = ×4，
0.3m m+1
解得m＝3，
经检验，m＝3是原方程的解且符合题意，
（2）由（1）可得m+1＝4，0.3m＝0.9，
设购进KN95口罩x个，一次性医用口罩y个，
{4x+0.9 y=7700
由题意可得 ，
x+0.3 y=2450
{ x=350
解得： ，
y=7000
答：设购进KN95口罩350个，一次性医用口罩7000个．
24．（2020•湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合
作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产 25件，
乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付
临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理
由．
【分析】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意得关于x和y的方程
组，求解即可．
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意，以企业完成生产任务的时间为等量关系，列
出关于m的分式方程，求解并检验即可；②用生产任务数量27000除以方案一中甲和乙完成的生产任
务之和可得企业完成生产任务的时间，然后分别按方案一和方案二计算费用并比较大小即可．
【解析】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意得：{ x+ y=50
，
20(25x+30 y)=27000
{x=30
解得 ．
y=20
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产．
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
27000 27000
= ，
30×25×(1+20%)+20×30 30×25+(20+m)×30
解得m＝5．
经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．
∴乙车间需临时招聘5名工人．
②企业完成生产任务所需的时间为：
27000
=18（天）．
30×25×(1+20%)+20×30
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500＝17700（元）．
选择方案二需增加的费用为5×18×200＝18000（元）．
∵17700＜18000，
∴选择方案一能更节省开支．
