文档内容
第48讲 直线、平面平行的判定与性质
知识梳理
知识点一：直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面α平行，记作l∥α
2、判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这 l∥l
1
线 ∥ 线 ⇒ 个平面内的一条直线平行，那么这 l 1 ⊂α
l⊄α
线∥面 条直线和这个平面平行(简记为
“线线平行⇒线面平行
⇒l∥α
如果两个平面平行，那么在一 α∥β
面 ∥ 面 ⇒ 个平面内的所有直线都平行于另 a⊂α
线∥面 一个平面
⇒a∥β
3、性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和 l∥α
l⊂β
一个平面平行，经过
α∩β=l
线∥面⇒线∥线 这条直线的平面和这
个平面相交，那么这
条直线就和交线平行
⇒ l
∥l
知识点二：两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面α和β，若α∩β=ϕ，则
α∥β
2、判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内有两 a⊂α,b⊂α,a∩b=P
线 ∥ 面 ⇒ 条相交的直线都平行于另 a∥β，b∥β⇒α∥β
面∥面 一个平面，那么这两个平面
平行(简记为“线面平行⇒
面面平行
线 ⊥ 面 如果两个平面同垂直 l⊥α
l⊥β
⇒面∥面 于一条直线，那么这两个平
⇒α∥β
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412 1043面平行
3、性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平面平行，那么
面⎳面⇒
在一个平面中的所有直 α⎳β
线⎳面
线都平行于另外一个平 a⊂α
面
⇒a⎳β
如果两个平行平面同时
和第三个平面相交，那么 α⎳β
性质定理 他们的交线平行(简记为 α∩γ=a
“面面平行⇒线面平 β∩γ=b
行”)
⇒a⎳b.
如果两个平面中有一个
面⎳面⇒ 垂直于一条直线，那么另 α⎳β
线⊥面 一个平面也垂直于这条 l⊥α
直线
⇒l⊥β
【解题方法总结】
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
(1)证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线a与平面α没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的
端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的
线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
(2)证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
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413 1043(3)证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
必考题型全归纳
1 题型一：平行的判定
2316 (2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试)若α、β是两个不重合的平
面，
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α⎳β；
②设α、β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；
③若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l⎳α；
以上说法中成立的有( )个．
A.0 B.1 C.2 D.3
2317 (2024·全国·高三对口高考)过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面 ( )
A.不存在 B.只有一个 C.有无数个 D.不能确定
2318 (2024·福建泉州·校联考模拟预测)如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的
中点，则下列各图中，不满足直线MN⎳平面ABC的是 ( )
A. B.
C. D.
2319 (2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试)a，b，c为三条不重合的直
线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：
①a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
③α∥c，β∥c，则α∥β；④若α∥γ，β∥γ，则α∥β；
⑤若α∥c，a∥c，则a∥α；⑥若a∥γ，α∥γ，则a∥α．
其中真命题的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2320 (2024·全国·高三专题练习)设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是
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414 1043( )
A.α内有无数条直线与β平行 B.α，β垂直于同一个平面
C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一条直线
2 题型二：线面平行构造之三角形中位线法
2321 (2024·广东河源·高三校联考开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F分别为PD,
PB的中点，连接EF．
(1)当G为PC上不与点P,C重合的一点时，证明：EF⎳平面BDG；
2322 (2024·贵州毕节·校考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，侧面ACCA 是矩
1 1 1 1 1
形，AC⊥AB，AB=AA =2,AC=t(t>2)，∠AAB=120°E,F分别为棱AB,BC的
1 1 1 1
中点，G为线段CF的中点．
(1)证明：AG⎳平面AEF．
1
(2)若三棱锥A-GEF的体积为1，求t．
2323 (2024·黑龙江大庆·统考二模)如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD的中心
为O，PD边上的垂线BE交线段PO于点F，PF=2FO．
(1)证明：EO⎳平面PBC；
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415 10432324 (2024·全国·高三专题练习)如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，
AB⎳CD，AD⊥AB，AB=AP=2DC=4，PB=2AD=4 2，PD=2 6，M，N分别
是PD，PB的中点．
(1)求证：直线MN⎳平面ABCD；
2325 (2024·陕西汉中·高三统考期末)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，AA ⊥平面ABC，
1 1 1 1
且AA =AB=BC=AC=2，点E是棱AB的中点．
1
(1)求证：BC ⎳平面ACE；
1 1
(2)求三棱锥E-ACC 的体积．
1 1
2326 (2024·全国·高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，
PD=AD=1，PD⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且EF
⊥PB．
(1)求证：PA⎳平面EDB；
(2)求点F到平面EDB的距离．
2327 (2024·新疆昌吉·高三校考学业考试)如图，在正方体ABCD-ABCD 中，E是棱
1 1 1 1
DD 的中点．
1
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416 1043(1)证明：BD ⎳平面AEC；
1
(2)若正方体棱长为2，求三棱锥D-AEC的体积．
3 题型三：线面平行构造之平行四边形法
2328 (2024·天津滨海新·高三校考期中)如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，平面PAD
⊥底面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，AB=6，DP=AP=5，∠BAD=60°．
(1)求证：EF⎳平面PAD；
2329 (2024·全国·高三专题练习)如图，四棱台ABCD-EFGH的底面是菱形，且∠BAD=
π
，DH⊥平面ABCD，EH=2，DH=3，AD=4．
3
(1)求证：AE⎳平面BDG；
(2)求三棱锥F-BDG的体积．
2330 (2024·全国·高三专题练习)如图，在正三棱柱ABC-ABC 中，D,D,F分别是BC，
1 1 1 1
BC ，AB 的中点，BC=4BE，△ABC的边长为2．
1 1 1 1
(1)求证：：EF⎳平面ADDA ；
1 1
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417 10432331 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)如图，在三棱柱ABC-ABC
1 1 1
中，AA ⊥底面ABC，AB=AC= 5，BC=2，AA = 2，D、E分别为棱BC、AB 的
1 1 1 1
中点，AP=2PB，CQ=2QE．
1 1
(1)求证：PQ⎳平面CAD；
1
2332 (2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习)如图所示，在四棱锥P-ABCD
1
中，BC∥平面PAD，BC= AD，E是PD的中点．
2
(1)求证：BC∥AD；
(2)求证：CE∥平面PAB；
(3)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理
由．
4 题型四：线面平行转化为面面平行
2333 (2024·全国·高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，且四边
形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．
(1)求证：PE⎳平面BFG；
(2)若AB=2，求点C到平面BFG的距离．
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418 10432334 (2024·全国·模拟预测)如图，在多面体ABCDMP中，四边形ABCD是菱形，且有
∠DAB=60°，AB=DM=1，PB=2，PB⊥平面ABCD，PB∥DM．
(1)求证：AM⎳平面PBC；
2335 (2024·江西赣州·统考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，侧面AACC是矩
1 1 1 1 1
形，侧面BBCC是菱形，∠BBC=60°，D、E分别为棱AB、BC 的中点，F为线段CE
1 1 1 1 1 1
的中点．
(1)证明：AF⎳平面ADE；
1
2336 (2024·上海·模拟预测)直四棱柱ABCD-ABCD ，AB∥DC，AB⊥AD，AB=2，
1 1 1 1
AD=3，DC=4
(1)求证：AB⎳面DCCD；
1 1
2337 (2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试)如图，多面体ABCDEF中，四边
形ABCD为矩形，二面角A-CD-F的大小为45°，DE⎳CF，CD⊥DE，AD=2，DC
=3．
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419 1043(1)求证：BF⎳平面ADE；
2338 (2024·全国·高三对口高考)已知正方形ABCD和正方形ABEF，如图所示，N、M分别
EN BM
是对角线AE、BD上的点，且 = ．求证：MN⎳平面EBC．
AN MD
5 题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
2339 (2024·河南·高三校联考阶段练习)已知四棱锥P-ABCD，底面为菱形ABCD,PD⊥
π
平面ABCD，PD=AD=CD=2,∠BAD= ,E为PC上一点．
3
(1)平面PAD∩平面PBC=l，证明：BC∥l；
2340 (2024·河南·高三校联考阶段练习)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PD⊥
π
平面ABCD，PD=AD=CD=2，∠BAD= ，E为PC上一点．
3
(1)平面PAD∩平面PBC=l，证明：BC⎳l．
π
(2)当直线BE与平面BCD的夹角为 时，求三棱锥P-BDE的体积．
6
2341 (2024·重庆万州·统考模拟预测)如图1所示，在四边形ABCD中，BC⊥CD，E为BC
上一点，AE=BE=AD=2CD=2，CE= 3，将四边形AECD沿AE折起，使得BC=
3，得到如图2所示的四棱锥．
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420 1043(1)若平面BCD∩平面ABE=l，证明：CD⎳l；
2342 (2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习)如图所示，在直三棱柱ABC-
ABC 中，AC⊥BC，AC=BC=CC =2，点D、E分别为棱AC 、BC 的中点，点F
1 1 1 1 1 1 1 1
是线段BB 上的点(不包括两个端点)．
1
(1)设平面DEF与平面ABC相交于直线m，求证：AB ⎳m；
1 1
2343 (2024·全国·高三专题练习)如图，四棱锥P-ABCD的底面边长为8的正方形，四条侧
棱长均为2 17．点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点，平面GEFH⊥
平面ABCD，BC⎳平面GEFH．证明：GH⎳EF．
2344 (2024·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测)如图，三棱台ABC-DEF中，AB=
2DE，M是EF的中点，点N在线段AB上，AB=4AN，平面DMN∩平面ADFC=l．
(1)证明：MN∥l；
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421 10436 题型六：面面平行的证明
2345 (2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，平
面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD=60°，M，
N分别为AD，PA的中点．
(1)证明：平面BMN∥平面PCD；
2346 (2024·山东临沂·高三校考阶段练习)如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，
AB=2，DE=BF，BF⎳DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BMD⎳平面EFC；
2347 (2024·甘肃定西·统考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2
的菱形，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，OP= 3，点E，F分别
是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面OEF⎳平面PCD；
(2)求三棱锥O-PEF的体积．
2348 (2024·四川南充·统考三模)如图所示，已知AC,BD是圆锥SO底面的两条直径，M为
劣弧BC的中点．
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422 1043(1)证明：SM⊥AD；
2π
(2)若∠BOC= ，E为线段SM上的一点，且SE=2EM，求证：平面BCE∥平面
3
SAD．
7 题型七：面面平行的性质
2349 (2024·全国·高三专题练习)如图，在四棱柱ABCD-ABCD 中，底面ABCD为梯形，
1 1 1 1
AD⎳BC，平面ADCE与BB 交于点E．求证：EC⎳AD．
1 1 1
2350 (2024·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模)如图，直四棱柱ABCD-ABCD 被平
1 1 1 1
π
面α所截，截面为CDEF，且EF=DC，DC=2AD=4AE=2，∠ADC= ，平面
1 3
4
EFCD与平面ABCD所成角的正切值为 3．
3
(1)证明：AD⎳BC；
2351 (2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，四边形
1 1 1
AACC是边长为4的菱形．AB=BC= 13，点D为棱AC上动点(不与A，C重合)，
1 1
平面BBD与棱AC 交于点E．
1 1 1
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423 1043(1)求证：BB ⎳DE；
1
2352 (2024·北京·高三专题练习)如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，DE⊥平
面ABCD，平面ABF⎳平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1．
(1)求证：AF⎳DE；
2353 (2024·全国·高三专题练习)在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面
圆O 的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且OP∥平面
1
BCE．
(1)求证：DP=PE；
8 题型八：平行关系的综合应用
2354 (2024·全国·高三专题练习)已知正方体ABCD-ABCD 中，P、Q分别为对角线
1 1 1 1
CQ BP 2
BD、CD 上的点，且 = = ．
1 QD PD 3
1
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424 1043(1)求证：PQ⎳平面ADDA；
1 1
AR
(2)若R是AB上的点， 的值为多少时，能使平面PQR⎳平面ADDA？请给出证
AB 1 1
明．
2355 (2024·全国·高三专题练习)如图、三棱柱ABC-ABC 的侧棱AA 垂直于底面ABC，
1 1 1 1
△ABC是边长为2的正三角形，AA =3，点D在线段AB上且AD=2DB，点E是线段
1 1 1
BE
BC 上的动点．当 1 为多少时，直线DE⎳平面ACCA？
1 1 EC 1 1
1
2356 (2024·福建福州·福州四中校考模拟预测)如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，AC⊥
1 1 1
BD
BC,AC=2，且BC=CC =1，点D在线段BC(含端点)上运动，设λ= ．
1 1 BC
1
(1)当AB⎳平面ACD时，求实数λ的值；
1
2357 (2024·湖南长沙·高一长沙市实验中学校考期中)如图所示，四边形EFGH为空间四边
形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围．
2358 (2024·全国·高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,∠ADC=∠PAB
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425 10431
=90°,BC=CD= AD=1,E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
2
AM
(1)在直线PA上找一点M，使得直线MC⎳平面PBE，并求 的值；
AP
2359 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图所求，四棱锥P-ABCD，底面
ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB中点．
(1)求证：PC⎳平面BFD；
PM
(2)已知M点在PD上满足EC⎳平面BFM，求 的值．
MD
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426 1043
