文档内容
第47讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识梳理
知识点一．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：(1)此公理是判定直线在平面内的依据；(2)此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：(1)此公理是确定一个平面的依据；(2)此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：(1)此推论是判定若干条直线共面的依据
(2)此推论是判定若干平面重合的依据
(3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直
线．
注意：(1)此公理是判定两个平面相交的依据
(2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据(比如证明三点共线、三线共
点)
(3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
知识点二．直线与直线的位置关系
位置关系 相交(共面) 平行(共面) 异面
图形
符号 a∩b=P a∥b a∩α=A,b⊂α,A∉b
公共点个 1 0 0
数
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平 两条异面直线不同在
面 如何一个平面内
知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行
三种情况．
位置关系 包含(面内线) 相交(面外线) 平行(面外线)
图形
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402 1043符号 l⊂α l∩α=P l∥α
公共点个数 无数个 1 0
知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．
位置关系 平行 相交(但不垂直) 垂直
图形
符号 α∥β α∩β=l α⊥β，α∩β=l
公共点个数 0 无数个公共点且都 无数个公共点且都在
在唯一的一条直线上 唯一的一条直线上
知识点五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互
补．
必考题型全归纳
1 题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
2276 (2024·山西大同·高一校考期中)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，
AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上．
2277 (2024·陕西西安·高一校考期中)(1)已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，
l有且只有一个平面；
(2)如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，
CF AE 1
BC上的点，且 = = .求证：直线EH，BD，FG相交于一点.
FB EB 3
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403 10432278 (2024·河南信阳·高一校联考期中)如图，在正方体ABCD-ABCD 中，E，F分别是
1 1 1 1
AB,AA 上的点，且AF=2FA,BE=2AE.
1 1
(1)证明：E,C,D,F四点共面；
1
(2)设DF∩CE=O，证明：A，O，D三点共线.
1
2279 (2024·全国·高一专题练习)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD
的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.求证：
(1)E、F、G、H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
2280 (2024·云南楚雄·高一统考期中)如图，在正四棱台ABCD-ABCD 中，E，F，G，H
1 1 1 1
分别为棱AB ，BC ，AB，BC的中点．
1 1 1 1
(1)证明E，F，G，H四点共面；
(2)证明GE，FH，BB 相交于一点．
1
2281 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，在正方体ABCD-ABCD 中，E，F分别是
1 1 1 1
AB，AA 的中点．
1
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404 1043(1)求证：CE，DF，DA三线交于点P；
1
(2)在(1)的结论中，G是DE上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点
1
共线．
2 题型二：截面问题
2282 (2024·全国·高三对口高考)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为2 3，动点P在对
1 1 1 1
角线BD 上，过点P作垂直于BD 的平面α，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周
1 1
长为y，设BP=x，则当x∈1,5 时，函数y=fx 的值域为 ( )
A. 3 6,6 6 B. 6,2 6 C. 0, 6 D. 0,3 6
2283 (2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习)如图，正方体ABCD-
ABCD 的棱长为1，E，F，G分别为线段BC,CC,BB 上的动点(不含端点)，
1 1 1 1 1 1
π
①异面直线DD与AF所成角可以为
1 4
②当G为中点时，存在点E，F使直线AG与平面AEF平行
1
9
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为
8
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是 ( )
A.①③ B.②④ C.②③ D.①④
2284 (2024·河南·模拟预测)在正方体ABCD-ABCD 中，M，N分别为AD，CD 的中
1 1 1 1 1 1
点，过M，N，B 三点的平面截正方体ABCD-ABCD 所得的截面形状为 ( )
1 1 1 1 1
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405 1043A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形
2285 (2024·河南·模拟预测)在正方体ABCD-ABCD 中，M,N分别为AD，CD 的中点，
1 1 1 1 1 1
则下列结论正确的个数为 ( )
2 2
①MN⎳平面AACC ；②MN⊥BC；③直线MN与AC 所成角的余弦值为
1 1 1 1 3
④过M,N,B 三点的平面截正方体ABCD-ABCD 所得的截面为梯形
1 1 1 1 1
A.1 B.2 C.3 D.4
2286 (2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD-
ABCD 中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线DD 与BF所成
1 1 1 1 1 1
5
角的余弦值为 ；②点P为正方形ABCD 内一点，当DP⎳平面BEF时，DP的最
5 1 1 1 1 1
3 2
小值为 ；③过点D ，E，F的平面截正方体ABCD-ABCD 所得的截面周长为
2 1 1 1 1 1
2 13+ 2；④当三棱锥B -BEF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为
1
6π．则正确的命题个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2287 (2024·河南新乡·统考三模)如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中，E是棱
1 1 1 1
CC 的中点，过A,D,E三点的截面把正方体ABCD-ABCD 分成两部分，则这两部
1 1 1 1 1 1
分中大的体积与小的体积的比值为 ( )
17 13 7 7
A. B. C. D.
7 7 3 4
2288 (2024·新疆·校联考二模)已知在直三棱柱ABC-ABC 中，E，F分别为BB ，AC 的
1 1 1 1 1 1
中点，AA =2，AB=2，BC=3 2，AC=4，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直
1
三棱柱ABC-ABC 的截面，则所得截面的面积为 ( )
1 1 1
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406 1043A. 10 B. 15 C.2 5 D. 30
2289 (2024·新疆阿克苏·校考一模)已知M，N，P是正方体ABCD-ABCD 的棱AB，
1 1 1 1
AA ，CC 的中点，则平面MNP截正方体ABCD-ABCD 所得的截面是 ( )
1 1 1 1 1 1
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
2290 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中)在棱长为3的正方体ABCD-ABCD
1 1 1 1
中，点Р是侧面ADDA 上的点，且点Р到棱AA 与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与
1 1 1
BD 垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是
1
( )
9 13
A. B.5 C. D.8
2 2
3 题型三：异面直线的判定
2291 (2024·全国·高三对口高考)两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a,b的位置
关系是 ( )
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.可能是平行直线 D.可能是异面直线，也可能是相交直线
2292 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知正方体ABCD-ABCD ，点P在直线AD 上，
1 1 1 1 1
Q为线段BD的中点，则下列命题中假命题为 ( )
A.存在点P，使得PQ⊥AC B.存在点P，使得PQ⎳AB
1 1 1
C.直线PQ始终与直线CC 异面 D.直线PQ始终与直线BC 异面
1 1
2293 (2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)在底面半径为1的圆柱
OO 中，过旋转轴OO 作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F
1 1
是AB的中点，则 ( )
A.AE=CF，AC与EF是共面直线 B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE=CF，AC与EF是异面直线 D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
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407 10432294 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)已知正方体ABCD-ABCD
1 1 1 1
中，M，N，P分别是棱AD ，DC ，AB的中点，Q是线段MN上的动点，则下列直线中，
1 1 1 1
始终与直线PQ异面的是 ( )
A.AB B.BC C.CA D.DD
1 1 1 1
2295 (2024·上海·高三校联考阶段练习)如图所示，正三棱柱ABC-ABC 的所有棱长均为
1 1 1
1，点P、M、N分别为棱AA 、AB、AB 的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由
1 1 1
点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是 ( )
A.直线CQ与直线CP可能相交 B.直线CQ与直线CP始终异面
1 1
C.直线CQ与直线CP可能垂直 D.直线CQ与直线BP不可能垂直
1 1
2296 (2024·吉林长春·高三长春市第六中学校考期末)如图，在底面为正方形的棱台ABCD
-ABCD 中，E、F、G、H分别为棱CC ，BB ，CF，AF的中点，对空间任意两点M、
1 1 1 1 1 1
N，若线段MN与线段AE、BD 都不相交，则称点M与点N可视，下列选项中与点D可
1
视的为 ( )
A.B B.F C.H D.G
1
4 题型四：异面直线所成的角
2297 (2024·全国·高三专题练习)如图,在正方体ABCD-ABCD 中,点E,F分别是棱
1 1 1 1
AD,CC 的中点,则异面直线AE与BF所成角的大小为 ．
1 1
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408 10432298 (2024·高三课时练习)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD
所成角的大小为 ．
2299 (2024·新疆喀什·高三统考期中)如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下
列说法中，正确的序号是 .
(1)直线AF与直线DE相交；
(2)直线CH与直线DE平行；
(3)直线BG与直线DE是异面直线；
(4)直线CH与直线BG成60°角.
2300 (2024·全国·高三专题练习)如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，
八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，
则异面直线AB与CD所成角的大小是
2301 (2024·全国·高三对口高考)线段AB的两端分别在直二面角α-CD-β的两个面α、β
内，且与这两个面都成30°角，则直线AB与CD所成的角等于 ．
2302 (2024·全国·高三专题练习)如图，等腰梯形ABCD沿对角线AC翻折，得到空间四边形
1
DABC，若BC=CD=DA= AB=1，则直线AD 与BC所成角的大小可能为
1 2 1
.(写出一个值即可)
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409 10435 题型五：平面的基本性质
2303 (多选题)(2024·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测)已知α，β是两个不同的平
面，则下列命题正确的是 ( )
A.若α∩β=l，A∈α且A∈β，则A∈l
B.若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C∉β
C.若A∈α且B∈α，则直线AB⊂α
D.若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线
2304 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
2305 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中
不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有 ( )
A.平行于同一条直线的两条直线必平行
B.垂直于同一条直线的两条直线必平行
C.一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D.一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
2306 (多选题)(2024·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考阶段练习)下列命题中错误的
是 ( )
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
2307 (多选题)(2024·全国·模拟预测)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-
ABCD 中棱AA ，AB，BC，CD 的中点，则 ( )
1 1 1 1 1 1 1
A.GH=2EF B.GH≠2EF
C.直线EF，GH是异面直线 D.直线EF，GH是相交直线
2308 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为1，线
1 1 1 1
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410 10431
段BD 上有两个动点E、F，且EF= ，则下列结论中正确的是 ( )
1 1 2
A.线段BD 上存在点E、F使得AE⎳BF
1 1
B.EF⎳平面ABCD
C.△AEF的面积与△BEF的面积相等
D.三棱锥A-BEF的体积为定值
6 题型六：等角定理
2309 (2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测)在棱长均相等的四面体ABCD中，P
为棱AD(不含端点)上的动点，过点A的平面α与平面PBC平行.若平面α与平面
ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角的正弦值的最大值为 ．
2310 (2024·全国·高三专题练习)过正方体ABCD-ABCD 的顶点A 在空间作直线l，使l
1 1 1 1 1
与平面BBDD和直线BC 所成的角都等于45°，则这样的直线l共有 条．
1 1 1
2311 (2024·高三课时练习)若空间两个角α与β的两边对应平行，当α=60°时，则β=
．
2312 (2024·全国·高三专题练习)设∠A和∠B的两边分别平行，若∠A=45°，则∠B的大小
为 .
2313 (2024·全国·高三专题练习)空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形
各边中点，所组成的四边形是 .
2314 (2024·江西吉安·高一校联考期末)已知空间中两个角∠AOB，∠AOB ，且
1 1 1
OA⎳OA ，OB⎳OB ，若∠AOB=60°，则∠AOB = .
1 1 1 1 1 1 1
2315 (2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末)已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边
分别平行，若α=70°，则β= ．
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411 1043
