第46讲空间几何体的结构特征、表面积与体积_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第46讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积 知识梳理 知识点一：构成空间几何体的基本元素-点、线、面 (1)空间中，点动成线，线动成面，面动成体． (2)空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确 定一个空间图形或几何体(空间四边形、四面体或三棱锥)． 知识点二：简单凸多面体-棱柱、棱锥、棱台 1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． (1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； (2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； (4)平行六面体：底面是平行四边形的棱柱； (5)直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体； (6)长方体：底面是矩形的直平行六面体； (7)正方体：棱长都相等的长方体． 2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多 面体叫做棱锥． (1)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心； (2)正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正 棱锥截得的棱台叫做正棱台． 简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示． 知识点三：简单旋转体-圆柱、圆锥、圆台、球 1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫 做圆柱． 第 页 共 页 389 10432、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围 成的几何体叫做圆锥． 3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称 为球(球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度)． 知识点四：组合体 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体． 知识点五：表面积与体积计算公式 表面积公式 S =ch+2S 直棱柱 底 S =cl+2S (c为直截面周 柱体 斜棱柱 底 长) S =2πr2+2πrl=2πr(r+l) 圆锥 1 S = nah+S 锥体 正棱锥 2 底 S =πr2+πrl=πr(r+l) 圆锥 表 面 积 1 S = n(a+a)h+S +S 台体 正棱台 2 上 下 S =π(r2+r2+rl+rl) 圆台 球 S=4πR2 体积公式 柱体 V =Sh 体 柱 积 1 锥体 V = Sh 锥 3 第 页 共 页 390 10431 台体 V = (S+ SS+S)h 台 3 4 球 V= πR3 3 知识点六：空间几何体的直观图 1、斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下： (1)建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐 标系． (2)画出斜坐标系．在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形．在已知图形平行于x轴 的线段，在直观图中画成平行于Ox，Oy，使∠xOy=45°(或135°)，它们确定的平面表示 水平平面． (3)画出对应图形．在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴的线段， 且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度变为原 来的一般．可简化为“横不变，纵减半”． (4)擦去辅助线．图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)．被挡住 的棱画虚线． 注：直观图和平面图形的面积比为 2:4． 2、平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 必考题型全归纳 1 题型一：空间几何体的结构特征 2232 (2024·安徽·高三校联考阶段练习)已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边 形”是“几何体为棱柱”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2233 (2024·全国·高三对口高考)设有三个命题；甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面 第 页 共 页 391 1043体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体．以上命题中真命 题的个数为 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2234 (2024·全国·高三专题练习)下列命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； ③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱． 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2235 (2024·新疆·统考模拟预测)下列命题中正确的是 ( ) A.有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. B.各个面都是三角形的几何体是三棱锥. C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体. D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线. 2236 (2024·全国·高三专题练习)下列说法正确的是 ( ) A.三角形的直观图是三角形 B.直四棱柱是长方体 C.平行六面体不是棱柱 D.两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台 2237 (2024·全国·高三专题练习)给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2238 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是 ( ) A. 是棱台 B. 是圆台 C. 不是棱柱 D. 是棱锥 2 题型二：空间几何体的表面积 2239 (2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径， 第 页 共 页 392 1043则球与圆锥的表面积之比为 ( ) 16 3 1 A.8 B. C. D. 3 16 8 2240 (2024·河南郑州·统考模拟预测)在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如 图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几 何体的表面积是( )cm2． 27 A.72+ 3+6π B.72+27 3+8π 2 C.72+27 3+6π D.60+27 3+6π 2241 (2024·安徽安庆·安庆一中校考三模)陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏 县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径AB =12cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=4cm，则这个陀螺的表面积 (单位：cm2)是 ( ) A. 144+12 13  π B. 144+24 13  π C. 108+12 13  π D. 108+24 13  π 2242 (2024·西藏拉萨·统考一模)位于徐州园博园中心位置的国际馆(一云落雨)，使用现代科 技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种 经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶 部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m，高为9m，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积 之比约为( )(参考数据： 173.16≈13.16) A.2 B.1.71 C.1.37 D.1 2243 (2024·湖南长沙·高三校联考阶段练习)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环 境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥 的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的 比为2:3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为 ( ) 第 页 共 页 393 10437 43 1 1 A. B. C. D. 8 24 9 27 2244 (2024·河北·统考模拟预测《) 九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四 面形棱台(即正四棱台)建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将 它的主体部分抽象成ABCD-ABCD 的正四棱台(如图所示)，其中上底面与下底面的 1 1 1 1 面积之比为1:16，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为567m3，则该方 亭的表面积约为( )( 5≈2.2， 3≈1.7， 2≈1.4) A.380m2 B.400m2 C.450m2 D.480m2 2245 (2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博 物院的一件明代宣德年间产的瓷器．该盘盘口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齐．通体施 玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不胜收．仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的 组合体，其口径为15.5cm，足径为9.2cm，顶部到底部的高为4.1cm，底部圆柱高为 0.7cm，则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为( )(参考数据：π的值取3， 21.4825≈4.6) A.143.1cm2 B.151.53cm2 C.155.42cm2 D.170.43cm2 3 题型三：空间几何体的体积 2246 (2024·广东梅州·统考三模)在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜 月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个 圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为15π，圆柱的侧面积为18π，则该毡帐的体积 为 ( ) 第 页 共 页 394 1043A.39π B.18π C.38π D.45π 2247 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)若某圆锥的侧面展开图是一个半径为 3 2的半圆面，其内接正四棱柱的高为 ，则此正四棱柱的体积是 ( ) 3 9 6 9 3 8 3 8 6 A. B. C. D. 8 8 27 27 2248 (2024·山东青岛·高三统考期中)已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为 36π，则该正四棱锥的体积最大值为 ( ) 64 81 A.18 B. C. D.27 3 4 2249 (2024·湖北武汉·高三统考开学考试)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代 称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐 之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可 近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为3 2米，侧棱长为5米，则其体积为 ( )立方米. A.24 2 B.24 C.72 2 D.72 2250 (2024·广东河源·高三校联考开学考试)最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著 的《数书九章》(1247年).该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分 别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一 个圆台形的器皿收集雪量(平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积)，已知数据 如图(注意：单位cm)，则平地降雪厚度的近似值为 ( ) 第 页 共 页 395 104391 31 95 97 A. cm B. cm C. cm D. cm 12 4 12 12 2251 (2024·浙江·校联考模拟预测)如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台， 上、下底面边长分别为20cm和10cm，侧棱长为5 6cm．“升”装满后用手指或筷子沿升 口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装1000cm3=1L  ( ) A.1.5L B.1.7L C.2.3L D.2.7L 4 题型四：直观图 2252 (2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测)已知用斜二测画法画梯形 OABC的直观图OABC如图所示，OA=3CB，CE⊥OA，S =8，CD⎳y OABC 2 轴，CE= ，D为OA的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几 2 何体的体积为 ． 2253 (2024·全国·高三对口高考)若正△ABC用斜二测画法画出的水平放置图形的直观图为 △ABC，当△ABC的面积为 3时，△ABC的面积为 ． 2254 (2024·四川成都·高三统考阶段练习)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所 示，边AB与CD平行于x轴.已知四边形ABCD的面积为1cm2，则原平面图形的面 积为 cm2. 2255 (2024·全国·高三专题练习)如图，△AOB是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其 中OA=2，OB=3，则AB的长度为 ． 2256 (2024·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末)有一块多边形的菜地，它的水平放置 第 页 共 页 396 1043的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示).∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥ BC，则这块菜地的面积为 2257 (2024·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试)我们知道一条线段在“斜二测”画法 中它的长度可能会发生变化的，现直角坐标系平面上一条长为4cm线段AB按“斜二测” 画法在水平放置的平面上画出为AB，则AB最短长度为 cm(结果用精确值表 示) 2258 (2024·陕西延安·校考一模)如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其 中∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则原图形的面积为 ． 2259 (2024·全国·高三专题练习)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为 一个正方形，则原来图形的面积是 ． 5 题型五：展开图 2260 (2024·山东青岛·统考三模)已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半 径最大的球的表面积为 ． 2261 (2024·全国·高三专题练习)如图，在直三棱柱ABC-ABC 的侧面展开图中，B，C是 1 1 1 线段AD的三等分点，且AD=3 3．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则AA = 1 ． 第 页 共 页 397 10432262 (2024·上海普陀·高三统考期中)2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风 着陆场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方 米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为 米(精确到整数) 2263 (2024·山东淄博·统考一模)已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆 锥的体积为 ． 2264 (2024·安徽·蚌埠二中校联考模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，CD 4 65 ∥AB，AB⊥AC，AB=2AC=2，CD= 13，cos∠BCF= ，则三棱锥P-ABC 65 外接球表面积为 ． 2265 (2024·全国·高三专题练习)已知三棱锥P-ABC的底面ABC为等边三角形．如图，在 三棱锥P-ABC的平面展开图中，P，F，E三点共线，B，C，E三点共线，cos∠PCF= 5 13 ，PC= 13，则PB= ． 26 2266 (2024·安徽黄山·统考一模)如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，正方形ABCD 的边长为4，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC=∠FAB=90°，则该四 第 页 共 页 398 1043棱锥外接球被平面PBC所截的圆面的面积为 . 2267 (2024·山西大同·高三统考阶段练习)如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC= 1，AB=AD= 3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则三棱锥P-ABC的外接球 的表面积为 ． 6 题型六：最短路径问题 2268 (2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末)如图，一竖立在地面上的圆锥形物 体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为4 3，则这个圆锥的体积为( ). 15 32 35π 128 2π 8 3 A. B. C. D. 3 27 81 3 2269 (2024·陕西宝鸡·高一统考期末)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为 棱长为2cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内 任意转动，则包装盒的棱长最短为 ( ) A. 6cm B.2 6cm C.4 6cm D.6cm 2270 (2024·全国·高一专题练习)如图，已知正四棱椎S-ABCD的侧棱长为2 3，侧面等腰 三角形的顶角为30°，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为 ( ) 第 页 共 页 399 1043A.2 6 B.2 3 C. 6 D.6 2271 (2024·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习)我们知道立体图形上的最短路径问题通 常是把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.请根 据此方法求函数fx,y  = x2- 3x+1+ y2- 3y+1+ x2- 3xy+y2(x>0,y>0) 的最小值 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D.2 3 2272 (2024·全国·高三专题练习)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长 为4cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意 转动，则包装盒的棱长最短为 ( ) A. 6cm B.2 6cm C.4 6cm D.6cm 2273 (2024·山东济宁·高一校考阶段练习)如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋 转二周后所得如图的一开口容器(下表面密封)，P是BC中点，现有一只妈蚁位于外壁A 处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需 经过的最短路程为 ( ) A. π2+36 B. π2+16 C. 4π2+36 D. 4π2+1 2274 (2024·全国·高一专题练习)如图所示，在正三棱柱ABC-ABC 中，AB=2，AA =2， 1 1 1 1 由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA)到达顶点C ，与AA 的交点记为M，则从点B经点 1 1 1 M到C 的最短路线长为 ( ) 1 A.2 2 B.2 5 C.4 D.4 5 2275 (2024·河北·高三专题练习)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为a，点E为AA 的 1 1 1 1 1 中点，在对角面BBDD上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为 1 1 第 页 共 页 400 1043第 页 共 页 401 1043