文档内容
专题21.3 实际问题与一元二次方程
（知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：列一元二次方程解应用题的一般步骤.....................................1
知识点梳理02：常见的实际问题类型及解法.............................................2
优选题型 考点讲练......................................................................4
考点1：传播问题（一元二次方程的应用）..............................................4
考点2：增长率问题（一元二次方程的应用）............................................5
考点3：与图形有关的问题（一元二次方程的应用）......................................7
考点4：数字问题（一元二次方程的应用）..............................................9
考点5：营销问题（一元二次方程的应用）.............................................10
考点6：动态几何问题（一元二次方程的应用）.........................................12
考点7：工程问题（一元二次方程的应用）.............................................15
考点8：行程问题（一元二次方程的应用）.............................................16
考点9：图表信息题（一元二次方程的应用）...........................................18
考点10：其他问题（一元二次方程的应用）............................................20
考点11：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）....................................22
考点12：解分式方程（化为一元二次方程).............................................23
中考真题 实战演练.....................................................................24
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................29
基础夯实..........................................................................29
培优拔高..........................................................................33
知识点梳理01：列一元二次方程解应用题的一般步骤
知识点：
1.审题：认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题，找出题目中的关键信息和等量关系。
2.设未知数：根据题目要求，合理设出未知数。一般可直接设所求的量为未知数，也可间接设与所求量相关的其他量为未知数。
3.列方程：根据找出的等量关系，将已知数和未知数代入，列出一元二次方程。
4.解方程：运用所学的一元二次方程的解法（如因式分解法、配方法、公式法等）求出方程的解。
5.检验：
（1）检验所求得的解是否是原方程的解，将解代入原方程看等式是否成立。
（2）检验解是否符合实际问题的题意，例如在涉及人数、物品个数等实际情况时，解必须是正整
数，若得到负数或小数解，可能就不符合实际情况，需要舍去。
6.答：写出答案，回答题目所问的问题，答案要完整、准确且符合实际情况。
易错点提示：
1.审题不清：没有仔细理解题目中的条件和关系，导致错误地找出等量关系或遗漏重要信息。例如在
关于面积问题的题目中，没看清是长方形还是正方形，或者没注意到边长的限制条件等。
2.设未知数不合理：设未知数时没有考虑后续列方程和解方程的便利性，使得方程过于复杂难以求
解。比如在一些有多个相关量的问题中，没有选择最合适的量设为未知数，导致后续计算繁琐。
3.忘记检验：只求出方程的解就直接作答，没有进行检验步骤，可能会出现所得解不符合原方程或者
不符合实际情况的错误，导致答案错误。
知识点梳理02：常见的实际问题类型及解法
1.面积问题
知识点：
（1）常见的有长方形、正方形、三角形、圆形等图形的面积相关问题。例如，已知长方形的长比宽
多若干，且面积为一定值，求长和宽。一般设其中一个边长为未知数（如设宽为x），根据长与宽的
关系表示出另一个边长（如长为x+a，a为长比宽多的值），再根据面积公式（长方形面积 = 长×
宽）列出一元二次方程求解。
（2）对于不规则图形的面积问题，通常需要通过割补法等将其转化为规则图形的组合，然后根据相
应规则图形的面积公式来列方程。
易错点提示：
1.面积公式记错：在列方程时，错误地使用了图形的面积公式，导致方程错误。比如把三角形面积公
1
式记错成S=底×高（正确的应该是S= ×底×高）。
2
2.单位换算问题：如果题目中给出的长度单位不一致，在计算面积前没有进行正确的单位换算，会使
计算结果错误。例如，长的单位是米，宽的单位是厘米，计算面积时需先将单位统一。2.增长率问题
知识点：若设原来的量为a，平均增长率为x，增长后的量为b，经过n次增长，则有公式b=a(1+x) n
。例如，某工厂去年的产量为100件，预计今年和明年的产量平均每年比上一年增长x，那么明年的产
量就可以表示为100(1+x) 2，若已知明年的产量为121件，就可据此列出一元二次方程
100(1+x) 2=121求解增长率x。
易错点提示：
1.公式应用错误：没有正确理解增长率公式的含义，在列方程时可能会错误地写成b=a+axn等错误
形式，导致方程错误，无法正确求出增长率。
2.对增长次数判断错误：在实际问题中，没有准确判断出增长的次数，比如在涉及两年增长的问题
中，应该用(1+x) 2，但误写成(1+x)，使得方程不符合实际情况。
3.利润问题
知识点：利润 = 售价 - 成本。通常会涉及到售价的调整对利润的影响等情况。例如，某商品的成本
为c元，原售价为s元，销售量为q件，现在售价降低了d元，销售量随之增加了m件，那么此时的利润
P可以表示为：P=(s−d−c)(q+m)。若已知利润的目标值，就可列出一元二次方程求解相关的变量
（如售价降低的金额d等）。
易错点提示：
1.利润公式理解错误：把利润公式记错，比如认为利润 = 售价 + 成本，这会导致在列方程时出现严
重错误。
2.销售量与售价调整关系处理不当：在一些问题中，销售量会随着售价的调整而变化，没有正确处理
好这种关系，使得列出的方程不能准确反映实际情况。例如，没有根据题目给定的销售量随售价变化
的规律来准确表示出调整售价后的销售量。
4.传播问题
知识点：类似于传染病的传播模型等。假设一种传染病最初有a个人患病，每轮传染中平均一个病人
能传染给x个人，经过n轮传染后，患病总人数y可以用公式y=a(1+x) n来表示。比如最初有1个人患流感，每轮平均一个病人能传染给3个人，经过2轮传染后，患病总人数为1×(1+3) 2=16人。若已知
经过一定轮数后的患病总人数，就可列出一元二次方程求解每轮的传染人数x。
易错点提示：
1.传染模型理解错误：没有正确理解传播问题的模型，在列方程时可能会错误地认为每轮传染人数是
固定不变的，而忽略了是由患病总人数不断增加而导致每轮传染人数实际上是动态变化的，从而列出
错误的方程。
2.对轮数的界定模糊：在实际问题中，没有清晰界定传染的轮数，比如把第一轮传染后的情况当成第
二轮传染后的情况来列方程，导致方程不符合实际情况。
考点1：传播问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·全国·随堂练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人
患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）
A．1轮后有(x+1)个人患了流感
B．第2轮又增加(x+1)⋅x个人患流感
C．依题意可得方程(x+1) 2=144
D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感
【答案】D
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，根据每轮传染中平均每人传染了x个人，可得出第1轮传
染中有x人被传染，第2轮传染中有(x+1)x人被传染，进而可得出1轮后有(x+1)个人患了流感，结合
“有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之即可
得出x的值，将其正值代入144(x+1)中，可求出经过三轮传染后患病人数．
【规范解答】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人，
∴1轮后有(x+1)个人患了流感，结论A不符合题意；
∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有(x+1)⋅x人被传染，结论B不符合题意；
根据题意得：1+x+x(1+x)=144，即(x+1) 2=144，结论C不符合题意；
解得：x =11，x =−13（不符合题意），
1 2∴不考虑其他因素经过三轮一共会有144×(x+1)=144×(11+1)=1728人感染，结论D符合题意．
故选：D．
【变式训练】（24-25九年级上·云南昭通·期中）电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感
染后就会有169台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，下列方程正确的是（ ）
A．x(x+1)=169 B．1+x+x2=169
C．1+x+x(x+1)=169 D．1+(x+1) 2=169
【答案】C
【思路引导】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑
被感染是解决此题的关键．
首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这(x+1)
台电脑又感染给了x(x+1)台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有169台电脑被感染得出即可．
【规范解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，
根据题意，得1+x+x(x+1)=169，
故选：C．
考点2：增长率问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核
桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月
增长率相同．
(1)求该专卖店核桃销售量的月增长率；
(2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，
在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获
利2240元，请回答：
①每千克核桃应降价多少元？
②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价
的_____折出售．
【答案】(1)20%
(2)①每千克核桃应降价4或6元；②9
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键；
（1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为x，根据题意列出方程，解方程，即可求解；
（2）①设每千克核桃应降价m元，根据题意列出方程，解方程，即可求解；②设该店应按原售价的n折销售，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【规范解答】（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为x，根据题意得，
4000(1+x) 2=5760
解得：x=0.2=20%或x=−2.2（舍去）
答：该专卖店核桃销售量的月增长率为20%；
（2）解：①设每千克核桃应降价m元，则售价为(60−m)元，利润为(60−m)−40=(20−m)元，销量为
(100+10m)千克根据题意得，
(20−m)(100+10m)=2240
解得：m =4,m =6
1 2
答：每千克核桃应降价4或6元；
②设该店应按原售价的n折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，
赢得市场，则售价为60−6=54元，
n
∴ ×60=54
10
解得：n=9
故答案为：9．
【变式训练】（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一
带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月
份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础
上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到
实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%
(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个
【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求
解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即
可．【规范解答】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意，得：150(1+x) 2=216，
解得：x=0.2=20%或x=−2.2（舍去）；
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，由题意，得：
(m−30)[600−10(m−40))=10000，
解得：m =50,m =80，
1 2
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m=50；
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
考点3：与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49
米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
(1)AB=________米（用含x的代数式表示）；
(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(3)矩形围栏ABCD面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
【答案】(1)(51−3x)
(2)篱笆BC的长为10米；
(3)矩形围栏ABCD面积不可能达到270平方米．
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式．
（1）设篱笆BC长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB
的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得
出结论；
（3）根据矩形围栏ABCD面积为270平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式
Δ=−71<0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不可能达到270平方米．【规范解答】（1）解：设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB=49+2−3x=(51−3x)米，
故答案为：(51−3x)；
（2）解：依题意，得：(51−3x)x=210，
整理，得：x2−17x+70=0，
解得：x =7，x =10．
1 2
当x=7时，AB=51−3x=30>25，不合题意，舍去，
当x=10时，AB=51−3x=21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）解：不可能，理由如下：
依题意，得：(51−3x)x=270，
整理得：x2−17x+90=0，
∵Δ=(−17) 2−4×1×90=−71<0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到270平方米．
【变式训练】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局
如图13所示，已知空地长AD=52m，宽AB=28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽
xm的道路，已知铺花砖的面积为640m2．
(1)求道路的宽是多少米；
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的
月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．在停车位有剩余的情况下，当每个车位的月租金上涨多少元时，
停车场的月租金收入与全部租出时相同？
【答案】(1)道路的宽为6米
(2)每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键．
（1）由题意知，道路的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
( a)
（2）设车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量是 50− 个，根据月租金=每个车位的月租金×车位
5
数，列出方程并解答即可；
【规范解答】（1）解：根据道路的宽为x米，
(52−2x)(28−2x)=640，
整理得：x2−40x+204=0，
解得：x =34（舍去），x =6，
1 2
答：道路的宽为6米．
（2）解：全部租出时的租金为：50×200=10000（元）
设月租金上涨a元，
( a)
根据题意得：(200+a) 50− =10000，
5
解得：a=50，
答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同
考点4：数字问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（21-22九年级上·陕西西安·阶段练习）已知整数a与b的平方之和可以表示为a2+b2．现
有两个连续的正整数：
(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是2，求它们的平方之和是多少？
(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？
【答案】(1)13
(2)4和5
【思路引导】（1）将22和(2+1) 2相加，即可求出它们的平方之和；
（2）设这两个正整数中较小的数是x，则较大的数是(x+1)，根据这两个连续正整数的平方之和是41，即
可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出较小的正整数，再将其代入(x+1)中即可求出较大的
正整数．
【规范解答】（1）22+(2+1) 2=4+9=13，
答：它们的平方之和是13；（2）设这两个正整数中较小的数是x，则较大的数是(x+1)，
依题意得：x2+(x+1) 2=41
整理得：x2+x−20=0
解得：x =4,x=−5（不合题意，舍去），
1
∴x+1=4+1=5，
答：这两个正整数分别是4和5.
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式训练】（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽
的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计
数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数
3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME−14的举办年份．
（1）八进制数3747换算成十进制数是 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，则n= ．
【答案】 2023 9
【思路引导】（1）根据八进制数换算成十进制数的方法列式计算即可得；
（2）参照八进制数换算成十进制数的方法，建立方程，解方程即可得．
【规范解答】解：（1）3×83+7×82+4×81+7×80
=3×512+7×64+4×8+7×1
=1536+448+32+7
=2023，
故答案为：2023；
（2）由题意得：n2+4×n1+3×n0=120，即n2+4n−117=0，
解得n =9，n =−13<0（不符合题意，舍去），
1 2
故答案为：9．
【考点评析】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、一元二次方程的应用，正确理解换算方法是解题关键．
考点5：营销问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）电瓶车是重要的出行工具之一．交警部门提醒市
民“骑车戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量后发现，此种品牌头盔如果每个盈利
10元，月销售量为500个．若在此基础上，每个涨价1元，则月销售量将减少20个．若要使月销售利润达
到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个应涨价多少元?【答案】该品牌头盔每个应涨价5元
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设
该品牌头盔每个应涨价m元，根据“此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上，
每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在要使月销售利润达到6000元”，列出一元二次方程求解，再
根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．
【规范解答】解：设该品牌头盔每个应涨价m元，
由题意得：(10+m)(500−20m)=6000，
整理得：m2−15m+50=0，
解得m =5，m =10，
1 2
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴m=5，
故该品牌的头盔每个应涨价5元．
【变式训练】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）暑假期间，某景区商店推出纪念品销售活动，已
知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；
当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
(1)当该纪念品的销售单价为44元时，求当天销售的件数；
(2)当该纪念品的销售单价为多少元时，该纪念品当天的销售利润是3600元；
(3)该纪念品当天的销售利润有可能达到3800元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】(1)当该纪念品的销售单价为44元时，当天的销售量为240件
(2)当该纪念品的销售单价为50元或48元时，该纪念品当天的销售利润是3600元
(3)不能，见解析
【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
（1）根据当天销售量=280−10×增加的销售单价，即可得到答案；
（2）设该纪念品的销售单价为x元，则当天的销售利润为[280−10(x−40))件，列出一元二次方程即可
得到答案；
（3）设该纪念品的销售单价为y元，则当天的销售利润为[280−10(y−40))件，
，列出一元二次方程根据根的判别式判断即可．
【规范解答】（1）解：280−(44−40)×10=240（件）．
答：当该纪念品的销售单价为44元时，当天的销售量为240件．（2）解：设该纪念品的销售单价为x元时，该纪念品当天的销售利润是3600元．
根据题意，得(x−30)[280−10(x−40))=3600．
解得x =50，x =48．
1 2
答：当该纪念品的销售单价为50元或48元时，该纪念品当天的销售利润是3600元．
（3）解：不能．理由如下：
设该纪念品的销售单价为y元，则当天的销售利润为[280−10(y−40))件，
当该纪念品当天的销售利润为3800元时，
根据题意，得(y−30)[280−10(y−40))=3800，
即y2−98 y+2420=0．
∵Δ=(−98) 2−4×1×2420=−76<0，
∴该方程无实数根．
即该纪念品当天的销售利润不可能达到3800元．
考点6：动态几何问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点
P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果
P、Q分别从A、B同时出发，设移动的时间为t． 求：
(1)当t为多少时，△PQD的面积等于8cm2？
(2)当t为多少时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形？
【答案】(1)不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2
3
(2)当t为 秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形
2
【思路引导】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案．
（2）用含t的代数式分别表示图中各线段，在Rt△ADP中，利用勾股定理可求出DP2，同理，在
Rt△DPQ中利用勾股定理也可以求出DP2，联合起来，得到关于t的一元二次方程，解即可，然后根据
实际意义确定t的值．
【规范解答】（1）解：不存在．
设出发秒x时△DPQ的面积等于8cm2．
∵S −S −S −S =S ，
矩形ABCD △APD △BPQ △CDQ △DPQ
1 1 1
∴6×12− ×12×x− ×(6−x)⋅2x− (12−2x)×6=8，
2 2 2
∴x2−6x+28=0，
∵ Δ=b2−4ac=36−4×28=−76<0，
∴原方程无实数根，
即不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2．
（2）解：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴PD2=t2+122，PQ2=(6−t) 2+(2t) 2，QD2=(12−2t) 2+62，
∵△PQD是以DP为斜边的直角三角形，
∴PD2=PQ2+QD2，即t2+122=(6−t) 2+(2t) 2+(12−2t) 2+62，
整理得2t2−15t+18=0，
3
解之得t =6，t = ，
1 2 2
3
即当t为 秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形．
2
【变式训练】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，
点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以
4cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间
为t秒，(00)，乙开车时间比甲开车时间少 m小时；乙步行的平均速度比甲
24
1 1
步行的平均速度快 m千米/小时，乙步行了 小时后到达目的地，求m的值．
4 3
【答案】(1)甲开车的平均速度是50千米/小时，步行的平均速度是2千米/小时；
(2)4．
【思路引导】（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，根据甲先
将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时．列出分式方程，解
方程即可；
（2）根据乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米．列出一元二次方程，解之取
其正值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和
一元二次方程．
【规范解答】（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，50 1
由题意得： + =1.5，
25x x
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
∴25x=25×2=50，
答：甲开车的平均速度是50千米/小时，步行的平均速度是2千米/小时；
( 1 )
（2）由（1）可知，甲开车的时间为50÷50=1小时)，则乙开车的时间为 1− m 小时，
24
( 1 )
由题意可知，乙开车的速度为(50+m)千米/小时，乙步行的速度为 2+ m 千米/小时，
4
( 1 ) 1( 1 )
由题意得：(50+m) 1− m + 2+ m =46，
24 3 4
整理得：m2+24m−112=0，
解得：m =4，m =−24(不符合题意，舍去)，
1 2
答：m的值为4．
【变式训练】（2024九年级·全国·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点
出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上
了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑
了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ．
【答案】(1+❑√17):4
【思路引导】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为s，根据甲、乙两
人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为v ，望望的速度为v ，圆形跑道的周长为
1 2
s，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可
解决问题．
【规范解答】解：设王老师的速度为v ，望望的速度为v ，圆形跑道的周长为s，则
1 2
( s s )
v ⋅ + =4s，
2 v −v v +v
1 2 1 2
v 2 v
( )
整理得2 1 − 1−2=0，
v v
2 2v 1−❑√17 v 1+❑√17
解得
1=
（舍去）或
1=
．
v 4 v 4
2 2
则王老师的速度与望望的速度之比为(1+❑√17):4，
故答案为：(1+❑√17):4
考点9：图表信息题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统
计图的信息完成下列各题：
（1）该月小王手机话费共有________元．
（2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度．
（3）请将条形统计图补充完整．
（4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话
时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？
【答案】（1）125元；（2）72°；（3）见解析；（4）长途话费的月平均折扣为八折
【思路引导】（1）根据月功能费在扇形统计图中所占比例计算即可.
（2）用短信费所占比例乘以360°即可.
（3）用第（1）问中求出的总话费，分别乘以基本话费和长途话费所占比例，求出两者具体金额后填图.
（4）可设长途话费的月平均减少率为x，根据题意“两个月后，月长途花费将降至28.8元”可得
125×36%(1−x) 2=28.8，解一元二次方程即可.
【规范解答】（1）5÷4%=125元
（2）360°×(1−40%−36%−4%)=72°.（3）如图，
（4）解：设平均减少率为x，据题意得
125×36%(1−x) 2=28.8
解得x=0.8
答：长途话费的月平均折扣为八折.
【考点评析】本题综合考查了条形统计图与扇形统计图中的数据关系，和一元二次方程解决问题中的增长
率问题，熟练掌握相关知识点，找到其中的数量关系并列式计算是解答关键.
【变式训练】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协
同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元
水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析;
【思路引导】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）
+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合
理即可；
【规范解答】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；（2）由题意得：5a（7-a）+10=70，
解得：a=3或a=4
5a（5-a）+10=40
解得：a=3或a=2，
综上，规定用水量为3吨；
（3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准．
考点10：其他问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·湖南娄底·期末）大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作
物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题
展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆
成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下：
试验田编号 1 2 3 4 5 6
单位面积试验田种植株数/株 30 40 50 60 70 80
单位面积试验田单株的平均产量/粒 51 46 41 36 31 26
(1)根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验
田种植x株（30≤x≤80），单位面积试验田单株的平均产量为y粒，求y关于x的函数关系式．
(2)如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多
少株？
1
【答案】(1)y= x+66
2
(2)单位面积大豆应种植60株
【思路引导】本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，一元二次方程的应用，列方程解决实际问题
的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
（1）设单株的平均产量为y，由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次
函数．设y与x的关系式为y=kx+b，在表格中取两组值代入y=kx+b，求出k、b的值，即可得到单位面
积试验田单株的平均产量；
( 1 )
（2）根据题意列出一元二次方程x − x+66 =2160，解一元二次方程求出x的值，再根据题意选取合
2
适的值即可．【规范解答】（1）解：设单株的平均产量为y，
由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次函数．
设y与x的关系式为y=kx+b，
{51=30k+b)
将x=40，y=46；x=30，y=51代入得： ，
46=40k+b
{ k=− 1 )
∴ 2 ，
b=66
1
∴y与x的关系式为：y= x+66；
2
( 1 )
（2）根据题意可列方程：x − x+66 =2160．
2
整理得x2−132x+4320=0，
∴x =72，x =60．
1 2
∵种植60株比种植72株的田间管理少一些，故x =72应舍去，
1
∴x=60．
答：单位面积大豆应种植60株．
【变式训练】（24-25九年级上·四川眉山·期中）2024年10月28日，2024龙芯产品发布暨用户大会举
行．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产
业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产300万个，第三季度生产432万个．试回
答下列问题：
(1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
(2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加2条生产线，每条生产线的最大产能将减
少40万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条
件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
【答案】(1)20%
(2)4条
【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，
（1）设前三季度生产量的平均增长率为x，利用第三季度的生产量=第一季度的生产量×（1+前三季度生
产量的平均增长率）❑ 2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为(600−20m)万个/季度，根据该公司要保证
每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出结论；
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【规范解答】（1）解：设前三季度生产量的平均增长率为x，
依题意得：300(1+x) 2=432，
解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不符合题意，舍去），
1 2
答：前三季度生产量的平均增长率为20%；
（2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为(600−20m)万个/季度，
依题意得：(m+1)(600−20m)=2600，
整理得：m2−29m+100=0，
解得：m =4，m =25，
1 2
又∵在增加产能同时又要节省投入成本，
∴m=4，
答：应该再增加4条生产线．
考点11：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·广东江门·期中）列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队
报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？
【答案】有12个队参加了报名
【思路引导】本题考查的是一元二次方程的应用，设有x个队参加了报名，由单循环制的特点可得
x(x−1)
=66，再解方程并检验即可．
2
【规范解答】解：设有x个队参加了报名，则
x(x−1)
=66，
2
∴x2−x−132=0，
∴(x−12)(x+11)=0，
解得x =12，x =−11（经检验不符合题意），
1 2
所以有12个队参加了报名．
【变式训练】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）元旦晚宴上大家两两碰杯一次，总共碰杯55次，那么
有几人参加了这次宴会（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】D1
【思路引导】此题考查一元二次方程的应用中的基本数量关系：单循环比赛进行的总场数为 n(n−1)，
2
依此数量关系推广到一般问题．
1
此题利用基本数量关系：两两碰杯一次，总次数为 n(n−1)（n表示人数）列方程解答即可．
2
【规范解答】解：设有x人参加了这次宴会，根据题意列方程得，
1
x(x−1)=55，
2
解得x =11，x =−10（不合题意，舍去），
1 2
∴有11人参加了这次宴会．
故选：D．
考点12：解分式方程（化为一元二次方程)
x2−1 x
【典例精讲】（24-25八年级下·上海青浦·期末）用换元法解分式方程 − −1=0时，如果设
3x x2−1
x2−1
= y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ．
3x
【答案】3 y2−3 y−1=0
【思路引导】本题考查了换元法解分式方程．
x2−1 x 1 x2−1 x 1
设 = y，则 = ，方程 − −1=0可变为y− −1=0，两边都乘以3 y即可．
3x x2−1 3 y 3x x2−1 3 y
x2−1 3x 1
【规范解答】解：设 = y，则 = ，
3x x2−1 y
x 1
=
即 ，
x2−1 3 y
x2−1 x 1
因此方程 − −1=0可变为y− −1=0，
3x x2−1 3 y
两边都乘以3 y得：3 y2−3 y−1=0，
故答案为：3 y2−3 y−1=0．
2−3x 1
【变式训练】（21-22八年级下·上海静安·期中）解方程： − =2．
x2−4 2−x
【答案】x=−3【思路引导】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母后化为整式方程，再解方程并检验即可得到
答案．
2−3x 1
【规范解答】解： − =2
x2−4 2−x
去分母得：2−3x+(x+2)=2(x+2)(x−2)，
去括号得：2−3x+x+2=2x2−8，
移项，合并同类项得：2x2+2x−12=0，即x2+x−6=0，
解得x=2或x=−3，
当x=−3时，(x+2)(x−2)≠0，则x=−3是原方程的解；
当x=2时，(x+2)(x−2)=0，则x=2不是原方程的解；
∴原方程的解为x=−3．
1．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为
125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80
元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为20%
(2)最少购进甲种商品40件
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出
方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，
2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100−m)件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m
的取值范围即可得到答案．
【规范解答】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，125(1−x) 2=80，
解得x=0.2=20%或x=1.8（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100−m)件，
由题意得，(125−25×2)m+80(100−m)≤7800，
∴75m+8000−80m≤7800，
解得m≥40，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
2．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越
高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100
套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000
元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为25%
(2)购买的这种健身器材的套数为200套
【思路引导】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列
出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，
解之取符合题意的值即可．
【规范解答】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32(1+x) 2=50，
解得：x =0.25=25%,x =−2.25（不符合题意，舍去），
1 2
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）解：∵1600×100=160000<240000元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为m套，
( m−100 )
由题意得：m 1600− ×40 =240000，
10
整理得：m2−500m+60000=0，
解得：m =200,m =300，
1 2300−100
当m=300时，售价=1600− ×40=800<1000元（不符合题意，故舍去），
10
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
3．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x
（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价x
⋅⋅⋅45 55 65 ⋅⋅⋅
/元
日销售量y
⋅⋅⋅55 45 35 ⋅⋅⋅
/件
(1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】(1)y=−x+100；
(2)该商品日销售额不能达到2600元，理由见解析。
【思路引导】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数
法求出y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）利用销售额=每件售价×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【规范解答】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将(45,55)，(55,45)代入y=kx+b得
{45k+b=55)
，
55k+b=45
{k=−1)
解得 ，
b=100
∴y与x之间的函数表达式为y=−x+100；
（2）解：该商品日销售额不能达到2600元，理由如下：
依题意得x(−x+100)=2600，
整理得x2−100x+2600=0，
∴Δ=b2−4ac=(−100) 2−4×1×2600=−400<0，
∴该商品日销售额不能达到2600元．
4．（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节
前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单
位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈
20 30 270
妈
小乐妈
30 20 230
妈
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本
忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m
个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为
(80−4m)包，(4m+8)包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
【答案】(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元
(2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②m=10
【思路引导】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为2x元，依题意列一元一次方程即可求解；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解；
②根据销售额=销售单价×销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．
【规范解答】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为2x元，
依题意得10x+12×2x=136，
解得x=4；
则2x=8；
所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，
{20a+30b=270) {a=3)
依题意得 ，解得 ，
30a+20b=230 b=7
所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②依题意得[3m+(40−m)×7]×(80−4m)+[3×(40−m)+7m]×(4m+8)=17280，
解得m=19或m=10，
1
∵m≤ (40−m)，
2
40
∴m≤ ，
3
∴m=10．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意
找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键．
5．（2023·广西桂林·中考真题）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，
已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
(2)如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算．该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的
5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需
2000元，则最多可购买电脑多少台？
【答案】(1)该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%
(2)2021年最多可购买电脑880台
【思路引导】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2018年及2020年投入的基
础教育经费金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于
m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大值即可．
【规范解答】（1）解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1＋x）2=7200，
解得：x
1
=0.2=20%，x
2
=−2.2（舍去）．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；
（2）解：2021年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）=8640（万元），
设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500−m）台，
根据题意得：3500m＋2000（1500−m）≤86400000×5%，
解得：m≤880，
答：2021年最多可购买电脑880台．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据
2018年及2020年投入的基础教育经费金额，列出关于x的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，
列出关于m的一元一次不等式．
基础夯实
1．（2025·云南昆明·三模）以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱．某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出
100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题
意，下列方程正确的是（ ）
A．100(1+x) 2=144 B．100(1+x2 )=144
C．100(1+2x)=144 D．100(1+x)=144
【答案】A
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，根据1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰
品，将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，进行列方程，即可作答．
【规范解答】解：∵1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，将这两个月该款饰品销售量
的平均增长率设为x，
∴100(1+x) 2=144，
故选：A
2．（2025·云南昆明·三模）2024年12月4日，春节申遗成功．伴随着中国春节除夕夜必不可少的春晚，
承载了无数家庭的欢乐与记忆．据相关统计，2023年春晚在新媒体端直播规模约8亿人次，2025年约21
亿人次．设这两年春晚在新媒体端直播规模的年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．8(1+2x)=21 B．8(1+x2)=21
C．8(1+x) 2=21 D．8(1−x) 2=21
【答案】C
【规范解答】本题考查一元二次方程的实际应用．
根据题意列方程即可．
【思路引导】解：设年平均增长率为x，则：
2024年的规模为8(1+x)亿人次，
2025年的规模为8(1+x)(1+x)=8(1+x) 2亿人次．
∵2025年的规模为21亿人次，
∴8(1+x) 2=21，
故选C．
3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）春暖花开，温州各园区的郁金香都盛开了．已知温州某郁金香园区2023年的赏花人数为5500人，预计2025年赏花人数将达到6050人．若设2023年至2025年赏花人数年
平均增长率为x，由题可列方程为（ ）
A．5500(1+x) 2=6050 B．5500(1+2x)=6050
C．6050(1−x) 2=5500 D．6050(1−2x)=5500
【答案】A
【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及年均增长率问题．根据题意，2023年至2025年共
两年，年均增长率为x，则两年后的总人数为初始人数乘以(1+x) 2．
【规范解答】解：2023年到2025年共经过2年，故增长次数为2次，
设年均增长率为x，则2025年人数为5500(1+x) 2，根据题意，该值等于6050，即5500(1+x) 2=6050
故选：A
4．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已
知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 ．
【答案】188(1−x) 2=108
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为x，根据题意列出方程
188(1−x) 2=108即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【规范解答】解：设每次降价的百分率为x，
根据题意得，188(1−x) 2=108，
故答案为：188(1−x) 2=108．
5．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统
计所有人一共握了45次手，这次会议到会的人数是 人．
【答案】10
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这次会议到会的人数是x人，每个人都与其他
1
(x−1)人握手，共握手次数为 x(x−1)，根据题意列方程．
2
【规范解答】解：设这次会议到会的人数是x人，1
依题意得： x(x−1)=45，
2
整理得：x2−x−90=0，
解得x =10，x =−9（舍去）．
1 2
答：参加这次会议的有10人，
故答案为：10．
6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百
一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下：现请人代买一批椽，这批
椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价
钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为 ．
【答案】3(x−1)x=6210
【思路引导】本题考查了列一元二次方程，设这批椽的数量为x株，再结合题意列出一元二次方程即可，
理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【规范解答】解：设这批椽的数量为x株，
由题意可列方程为3(x−1)x=6210，
故答案为：3(x−1)x=6210．
7．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）某药品原价每盒144元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，
经过连续两次降价，现在售价每盒81元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
【答案】25%
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【规范解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x,
依题意得：144(1−x) 2=81，
解得：x =0.25，x =1.75（不符合题意，舍去），
1 2
∴该药品平均每次降价的百分率是25%．
故答案为：25% ．
8．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）新能源汽车如今已成为越来越多的人们购车的首选．某停车
场为了解决充电难的问题，现将长为140米，宽为90米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的
AB边和AD边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩（阴影部分），剩余停车场的面积
为8400平方米，求AB边和AD边减少的长度分别是多少米?【答案】AB边和AD边减少的长度均为20米
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是解题的关键．设AB
边减少的长度为x米，则剩余停车场是长为(140−x)米，宽为(90−x)米的矩形，根据矩形的面积公式列出
一元二次方程，解方程即可得解．
【规范解答】解：设AB边减少的长度为x米，则AD边减少的长度为x米，
根据题意，得(140−x)(90−x)=8400，
整理，得x2−230x+4200=0，
解得：x =210（不合题意，舍去），x =20，
1 2
答：AB边和AD边减少的长度均为20米．
9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）有一块长方形草坪，长比宽的2倍多1m，它的面积为10m2．
(1)设草坪的宽为xm，列出关于x的一元二次方程．
(2)把方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
5
(3)x=2，x=− 都是（1）中方程的解吗？
2
【答案】(1)(2x+1)x=10
(2)2x2+x−10=0，二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，1，−10
5
(3)x=2，x=− 都是原方程的解，见详解
2
【思路引导】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键．
（1）根据题意得到草坪的长，结合面积公式求解即可；
（2）根据一元二次方程一般式化简即可；
5
（3）把x=2，x=− 代入计算即可求解．
2
【规范解答】（1）解：根据题意，设草坪的宽为xm，则草坪的长为(2x+1)m，
∴(2x+1)x=10；
（2）解：(2x+1)x=10化成一般形式为2x2+x−10=0，
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，1，−10；
（3）解：把x=2代入原方程得，左边=2×22+2=10，右边=10，即左边=右边，5 ( 5) 2 5
把x=− 代入原方程得，左边=2× − − =10，右边=10，即左边=右边，
2 2 2
5
所以x=2，x=− 都是原方程的解．
2
10．（24-25九年级上·四川成都·期末）杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉
祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰
店共获利10500元．
(1)求玩偶套装的进价是多少元？
(2)该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会
接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增
加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，当天卖出的玩偶获利2000元．求第二天销售结束后
还剩余多少套玩偶套装？
【答案】(1)60元
(2)20套
【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，
（1）设玩偶套装的进价是x元，根据题意建立方程求解即可；
（2）设第二天降价y元，则第二天的销量为(80+2y)套，售价为(90−y)元，根据题意建立方程求解即可．
【规范解答】（1）设玩偶套装的进价是x元，
根据题意有：100(108−x)+150(98−x)=10500，
解得：x=60，
即玩偶套装的进价是60元；
（2）设第二天降价y元，则第二天的销量为(80+2y)套，售价为(90−y)元，
根据题意有：(90−60−y)(80+2y)=2000，
解得：y=10或y=−20不符合题意舍去，
则第二天销量为80+20=100（套），
∴第二天销售后，剩余的数量为：200−80−100=20（套），
答：第二天销售结束后还剩余20套玩偶套装．
培优拔高
11．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，取一张长与宽之比为2:1的矩形纸板，在四个角各剪去四
个边长为20cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为12000cm3
（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为xcm，则可列方程为（ ）(x )
A．20(x−20) −20 =12000 B．20(2x−20)(x−20)=12000
2
(x )
C．20(2x−40)(x−40)=12000 D．20(x−40) −40 =12000
2
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．根
据题意用x表示出包装盒底边的长和宽，然后用体积公式列方程即可得解．
【规范解答】 解：∵包装盒的容积为12000cm3，矩形纸板的长为xcm，
(x )
∴根据题意可得：20(x−40) −40 =12000，
2
故选：D．
12．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：m），
1
现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的 ．设
3
观花道的直角边（如图所示）为xm，则x的值为（ ）
1 2 4
A． B． C．1 D．
2 3 3
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键．
直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解．1 ( 1)
【规范解答】解：由题意可得：2× ×(6−x)(5−x)=6×5× 1− ，
2 3
即(6−x)(5−x)=20，
解得：x=1或x=10（舍），
故选：C．
13．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）有一名初三学生，前两年不够努力，但进入初三后，奋起
直追，已知他初二下期末考试数学成绩为64分，初三后，第一次和第二次测试均进步明显，第二次数学成
绩为100分．两次增长率相同，设每次平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．1+2x=100 B．1+x=100
C．64(1+x) 2=100 D．1+x+x2=100
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用．审清题意、找到等量关系是解题的关键．
设每次平均增长率为x，根据增长率问题列出一元二次方程即可解答．
【规范解答】解：设每次平均增长率为x，
根据题意得∶64(1+x) 2=100．
故选：C．
14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，某农家乐老板计划在一块长130m，宽60m的空地开挖两
块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750m2，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓
通道，则垂钓通道的宽度为 m．
【答案】5
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，设垂钓通道的宽度为xm，把两块垂钓鱼塘
平移在一起所得到的长方形的长为(130−3x)m，宽为(60−2x)m，根据题意列出方程即可求解，掌握平
移的性质是解题的关键．
【规范解答】解：设垂钓通道的宽度为xm，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为
(130−3x)m，宽为(60−2x)m，
由题意得，(130−3x)(60−2x)=5750，整理得，3x2−220x+1025=0，
205
解得x =5，x = ，
1 2 3
205 410
当x = 时，60−2x=60− <0，不合题意，舍去，
2 3 3
∴x=5，
∴垂钓通道的宽度为5m，
故答案为：5．
15．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两
轮培育后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均
每个有益菌可分裂出 个有益菌．
【答案】19
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题
意得60(1+x) 2=24000，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【规范解答】解：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，
根据题意得，60(1+x) 2=24000，
解得：x =19，x =−21（舍去），
1 2
故答案为：19．
16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调
查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，
皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
(1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整；
小明：设每件皮衣降价x元，
由题意，可列方程为________________．
小红：设每件皮衣定价为y元，
由题意，可列方程为________________．
(2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元．
( x ) ( 1100−y )
【答案】(1)(1100−x−750) 30+ ×10 =12000；(y−750) 30+ ×10 =12000
50 50
(2)1050或950【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此
题的关键．
（1）根据利润=单件利润×件数列出一元二次方程即可；
（2）根据（1）中列出的一元二次方程计算即可得解．
x
【规范解答】（1）解：小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为(30+ ×10)件，
50
x
依题意，得(1100−x−750)(30+ ×10)=12000；
50
( 1100−y )
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为 30+ ×10 件，
50
( 1100−y )
依题意，得(y−750) 30+ ×10 =12000．
50
x
（2）解：选择小明的设法，则(1100−x−750)(30+ ×10)=12000，
50
整理，得x2−200x+7500=0，
解得x =50，x =150，
1 2
则定价为1100−50=1050元或1100−150=950元，
答：每件皮衣定价为1050元或950元；
( 1100−y )
选择小红的设法，则(y−750) 30+ ×10 =12000，
50
整理，得y2−2000 y+997500=0，
解得y =1050，y =950．
1 2
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
17．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图所示，有一块三角形余料ABC，它的边长BC=6cm，高
AD=4cm．要用它加工一个矩形零件MNPQ（其中点Q，M在BC边上，点P，N分别在AB，AC边上）．
若矩形MNPQ的面积为6cm2，则其长和宽分别为 ．
【答案】3cm和2cm【思路引导】本题考查了等面积法，解一元二次方程．
6
设PN=xcm，则PQ= cm，根据等面积法计算即可．
x
【规范解答】解：设PN=xcm，
∵矩形MNPQ的面积为6cm2，
6
∴PQ= cm，
x
( 6)
∴BQ+CM=(6−x)cm，AE= 4− cm，
x
∵S =S +S +S +S
△ABC △APN △BPQ △CNM 矩形PQMN
1 1 ( 6) 1 6
∴ ×6×4= x⋅ 4− + (6−x)⋅ +6
2 2 x 2 x
整理得：x2−6x+9=0，
6
解得：x=3， =2，
x
故答案为：3cm和2cm．
18．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然
后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可
多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，张阿姨决定降价销售．
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤？（用含x的代数式表示）；
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
【答案】(1)(100+200x)
(2)张阿姨需将每斤的售价降低1元．
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，列出代数式，根据题意找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
（1）根据销售量=原来销售量+降价增加的销售量，即可解答；
（2）设将每斤的售价降低x元，则每天的销售量是(100+200x)斤，根据题意列出方程，解方程求出x的
值，再结合题意“每天至少售出280斤”，即可得出结论．
x
【规范解答】（1）解：将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+ ×20=(100+200x)
0.1
斤；
故答案为：(100+200x)．（2）解：设将每斤的售价降低x元，则每天的销售量是(100+200x)斤，
依题意得，(4−x−2)(100+200x)=300，
整理得，2x2−3x+1=0，
解得：x =1，x =0.5，
1 2
当x=1时，每天的销售量是100+200×1=300>280斤，符合题意；
当x=0.5时，每天的销售量是100+200×0.5=200<280斤，不符合题意，舍去；
∴x=1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
19．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研
制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销
售价格不低于12元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系
如图所示．
(1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
(2)求销售这种电子产品售价是多少时利润为85万元（利润=总售价－总成本－研发费用）．
【答案】(1)y=−x+32
(2)这种电子产品售价是25元/件或17元/件时利润为85万元
【思路引导】本题主要考查一元二次方程和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）设y与x之间的函数关系式是y=kx+b，将(12,20)，(32,0)代入y=kx+b得方程组，解方程组即可
得解；
（2）根据题意得：(x−10)⋅y−20=85，然后代入解方程即可．
【规范解答】（1）解：设y与x之间的函数关系式是y=kx+b，
将(12,20)，(32,0)代入得：
{12k+b=20) {k=−1)
，解得 ，
32k+b=0 b=32
∴y=−x+32；
（2）解：根据题意得：(x−10)⋅y−20=85，
即(x−10)(−x+32)−20=85，解得：x =25，x =17，
1 2
答：这种电子产品售价是25元/件或17元/件时利润为85万元．
20．（24-25七年级上·重庆·期末）环保活动周期间，某社区每月举办一次“垃圾分类，环保惠民”活
动，社区居民每月共完成垃圾分类的A类（可回收垃圾）和B类（厨余垃圾）总量可获得积分奖励．其全
场月分类垃圾总量积分奖励方案如下表所示：
月分类垃圾总量 积分奖励方案
未超过100千克 不享受积分奖励
超过100千克但未超过300千克的部分 每20千克积10分
超过300千克的部分 每20千克积15分
（每1千克分类垃圾总量都可以按照奖励方案规则积分，如月分类垃圾总量为101千克可以获得0.5积分）
(1)若某家庭月分类垃圾总量为a千克，当a=180时，该家庭获得积分奖励为______分；当a>300时，该
家庭获得积分奖励为______分（用含a的代数式表示）．
(2)已知小李家第一季度前两个月都参与活动，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，共获得积分260分，
求小李家1月的月分类垃圾总量是多少千克？
(3)为了鼓励更多家庭参与到环保活动中，社区加大力度开展了积分兑换活动，社区决定提高月分类垃圾
总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积(2m+20)分，在此基础上再一次性赠送积分
(100−0.58m2)分．在（2）问条件下小李家2月B类分类垃圾总量是A类垃圾总量的1.2倍还要多8千克，
3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加1.75m%，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加
6
1.5m%，3月小李家月分类垃圾总量获得积分比2月积分增长 m，求m的值．
25
(3 )
【答案】(1)40， a−125
4
(2)小李家1月的月分类垃圾总量是320千克
(3)m=5
【思路引导】本题主要考查列代数式，一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列出代数式，方程是解
题的关键．
（1）根据题意，分段收费计算即可；
（2）设小李家1月的月分类垃圾总量是x千克，则2月的月分类垃圾总量是(x+40)千克，根据题意，分类
讨论：当100300时；根据各段的费用计算即可求解；
（3）设2月份的A类垃圾为a千克，由题意可得a=160，再由数量关系列式求解即可．
【规范解答】（1）解：∵超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分，
∴当a=180时，10×(80÷20)=40（分），
3a−900 3
当a>300时，10×[(300−100)÷20)+15×[(a−300)÷20)=100+ = a−125（分），
4 4
(3 )
故答案为：40， a−125 ；
4
（2）解：已知超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分，
10 1
∴每千克积 = =0.5分，
20 2
已知超过300千克的部分，每20千克积15分，
15 3
∴每千克积 = =0.75分，
20 4
设小李家1月的月分类垃圾总量是x千克，则2月的月分类垃圾总量是(x+40)千克，
当100300时， x−125+ (x+40)−125=260，
4 4
解得，x=320，
∴小李家1月的月分类垃圾总量是320千克；
（3）解：月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积(2m+20)分，
2m+20 m+10
∴每千克积 = =0.1m+1（分），
20 10
由（2）可知，小李家1月的月分类垃圾总量是320千克，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，
∴小李家2月的月分类垃圾总量是360千克，
设2月份的A类垃圾为a千克，
∴1.2a+8+a=360，
解得，a=160，
∴360−160=200（千克），∴小李家2月份的A类垃圾为160千克，B类垃圾为200千克，
∵3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加1.75m%，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加
1.5m%，
∴小李家3月份的A类垃圾为160(1+1.75m%)千克，B类垃圾为200(1.1.5m%)千克，
∴200×0.5+(0.1m+1)[160(1+1.75m%)+200(1+1.5m%)−300)+(100−0.58m2)
( 6 )
=(0.5×200+60×0.75) 1+ m
25
解得，m=5．
