文档内容
专题21.4 解一元二次方程计算85题
【8大题型++知识梳理+中考实战演练】
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 ..........................................1
知识点梳理02：配方法解一元二次方程.................................................2
知识点梳理03：公式法解一元二次方程.................................................3
知识点梳理04：因式分解法解一元二次方程.............................................3
易错真题 能力拔尖......................................................................4
高频解法1：直接开平方法（一元二次方程的解法）......................................4
高频解法2：配方法（一元二次方程的解法）............................................5
高频解法3：根据判别式判断一元二次方程根的情况（一元二次方程的解法）................7
高频解法4：根据一元二次方程根的情况求参数（一元二次方程的解法）...................10
高频解法5：公式法（一元二次方程的解法）...........................................13
高频解法6：因式分解法（一元二次方程的解法）.......................................16
高频解法7：换元法（一元二次方程的解法）...........................................18
高频解法8：一元二次方程的根与系数的关系...........................................21
中考真题 实战演练.....................................................................24
知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a的算术平方根为❑√a，平方根为±❑√a．
例如：144的算术平方根为❑√144=12，平方根为±❑√144=±12．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．
例如x2=25，解得x=±5．
一般地，对于方程x2=p．
方程有两个不等的实数根x =❑√p，
p>0 1
x =−❑√p
2
p=0 方程有两个相等的实数根x =x =0
1 2p<0 方程无实数根
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为 p或 的形式；
x2= (mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点梳理02：配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方
程化为 的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通
(x+a) 2=b
过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)
一般步骤 方法 实例(9 y2−18 y−4=0)
将常数项移到方程的右边，含未知数
一移 移项 9 y2−18 y=4
的项移到方程的左边
二化
二次项系数化为
方程左、右两边同时除以二次项系数
y2−2y= 4
1 9
4
y2−2y+1= +1
9
方程左、右两边同时加上一次项系数
三配 配方
一半的平方 13
即(y−1) 2=
9
❑√13
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 (y−1)=±
3
❑√13 ❑√13
五解 得出两个根 移项，合并同类项 y =1+ ，y =1−
1 3 2 3
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不
相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这
个方程就没有实数根．
3. 解题依据： ，把公式中的 看作未知数 ，并用 代替，则
(a±b) 2=a2±2ab+b2 a x x
．
(x±b) 2=x2±2bx+b2知识点梳理03：公式法解一元二次方程
1. 当 时，方程 通过配方，其实数根可写为 −b±❑√b2−4ac的形式，这个
∆≥0 ax2+bx+c=0(a≠0) x=
2a
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程
的方法叫做公式法．
方程有两个不相等的实数根
∆>0 −b±❑√b2−4ac
x=
2a
b
∆=0 方程有两个相等的实数根x =x =−
1 2 2a
∆<0 方程无实数根
2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，确定 a ， b ， c 的值；
（2）求出∆=b2−4ac的值；
（3）若 ，则将a，b，c的值代人求根公式 −b±❑√b2−4ac求出方程的根，若 ，则方程无
∆≥0 x= ∆<0
2a
实数根．
知识点梳理04：因式分解法解一元二次方程
1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个 一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于
0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
四解 写出方程的两个解
高频解法1：直接开平方法（一元二次方程的解法）
1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）解方程
(1)4x2+2=66 (2)x2−8x+1=0（配方法）
2．（24-25九年级上·吉林·期中）用适当方法解方程：
2(x−1) 2=8.
3．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）解方程：ax2−2=2x2
4．（24-25八年级下·上海·期中）解关于x的方程： ．
7−bx2=x2+6(b≠−1)
5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程：
(1) (2)（配方法）
(x+1) 2−4=0 y2−6 y−112=06．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算：
(1) (2)
2(x−1) 2=18 x2−4x−3=0
7．（24-25九年级上·河南新乡·期末）解方程：
(1) ． (2) ．
(x−1) 2=4 x2−4x=2x−8
8．（24-25九年级上·广西柳州·期中）解方程： ；
(x+5) 2=25
9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程：
(1) ； (2)
(x+1) 2−16=0 x2+6x−8=0
10．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1) (2)
x2+2x−4=0 (x−5) 2−9=0高频解法2：配方法（一元二次方程的解法）
11．（24-25九年级上·吉林长春·期末）解方程：x2−2x−1=0．
12．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）用配方法解方程：x2−8x+6=0．
13．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算
(1)解方程： ； (2)化简： a2 (2a−2 )．
2x2−1=3x ÷ −1
a2−4 a−2
14．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程：
(1) ； (2) ．
(x−1) 2−9=0 x2+2x−4=0
15．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）解方程：
(1)x2−4x−1=0； (2)x2+5x+7=3x+11．
16．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程方程：−3x2+4x+1=0．17．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1) (2)
x2−4x=2 (x−3) 2=(2x+1) 2
18．解方程：x2+2x−5=0．
19．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）解方程：x2−6x−6=0
20．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）解方程：
(1)x2−25=0 (2)x2−2x−1=0
高频解法3：根据判别式判断一元二次方程根的情况（一元二次方程的解法）
21．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解关于x的方程：
(1) (2)
x2+mx+2=mx2+3x(m≠1) x2−4ax+3a2+2a−1=022．（2025·福建厦门·模拟预测）已知a2+a−4=0．
(1)求代数式 的值；
2a−2(4−a2)
(2)请判断关于x的一元二次方程 是否存在两不等实根，并说明理由．
x2−2(4−a2)x+a2=0
23．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知关于x的一元二次方程x2−mx−2=0．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由；
(2)当m=1时，求方程的根．
24．（24-25九年级上·北京西城·期末）已知关于 的方程 ．
x x2−(m+4)x+2m+4=0
(1)求证：方程总有两个实数根：
(2)若方程的一个根比另一个根大3，求m的值．
25．（24-25九年级上·河南南阳·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
x x2−(2k+1)x+k2+k=0
(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个根x ，x 是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值．
1 226．（24-25九年级上·全国·期中）请你判别下列方程根的情况：
(1)2x2−x+1=0 (2)y2+3 y−15=0
27．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于 的方程
x x2−(m+2)x+2m−1=0
(1)求证：无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根．
28．（23-24八年级下·河南周口·期末）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中
一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．注：如果选择多组条件分别作答，按
第一个解答计分．
①b=2，c=1；②b=3，c=1；③b=3，c=−1；④b=2，c=2．
29．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程
(1)x2−2x+1=25； (2)x2+2❑√5x+10=030．（23-24九年级上·陕西延安·期末）若关于x的一元二次方程 ，求证：不
x2+(m+4)x+2m−1=0
论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
高频解法4：根据一元二次方程根的情况求参数（一元二次方程的解法）
31．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−2x+a−2=0有两个实数根，
求a的取值范围．
32．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 （m为常
x2−(2m−1)x+m2−1=0
数）
(1)若x=0是该方程的一个实数根，求m的值；
(2)当m=−2时，求该方程的实数根；
(3)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．33．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）已知关于x的一元二次方程ax2+5x−5=0有两个不相等
的实数根x 、x ．
1 2
(1)求a的取值范围；
1
(2)若a=− ，用公式法求该方程的解．
2
34．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知关于 的一元二次方程为 ．
x x2−2(m+1)x+m2=0
(1)当m为何值时，该方程有实数根；
(2)当m=1时，求出这个方程的两个根．
35．（23-24九年级上·天津·期末）解方程：
(1)2x2−4x−1=0．
(2)关于x的方程x2−x−m=0有两个不相等的实根，求m的取值范围．36．（2024·广东广州·一模）已知： a2−1 1．
A= ÷(a+1)−
a2−2a+1 a
(1)化简A；
(2)若关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，求A的值．
37．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
x x2−2(k+1)x+k2+2=0
(1)若方程的一个根为2，求k的值；
(2)若方程有实数根，求k的取值范围．
38．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）解方程 x2−4x−3=0．
（2）关于x的方程 有两个相等的实数根，求m的值．
x2+(m−1)x+m+2=039．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习） 关于x的一元二次方程x2+3x+m−1=0有两个实数根．
求m的取值范围．
40．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知一元二次方程 .
(a+3)x|a|−1+5x−k=0
(1)求a的值.
(2)若方程有实数根，求k的取值范围.
高频解法5：公式法（一元二次方程的解法）
41．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1)x2−2x=4x−5． (2)x(x+3)=12+8x．
42．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）计算：
(1)解方程： ； (2)化简：( 1 1 ) a−2 ．
2x2−3x−7=0 + ÷
a+3 a2−9 2a+643．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）解方程：
(1)4x2−9=0 (2)3x2−4x−1=0
44．（24-25九年级上·全国·随堂练习）解下列方程：
(1)x2−3x−1=0（用公式法）． (2)2x2+6x−1=0（用配方法）．
45．（24-25九年级上·全国·随堂练习）解下列方程：
(1)x2−8x+16=2． (2)x2−2x−2=0．
(3) ． (4) ．
2x2=4x−1 x2+6x+9=(2x−1) 2
46．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）解方程：x2+2x−1=0
47．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解下列方程：(1)x2−3x+1=5x+2． (2)x−7=2x2．
(3)4x2−4x+1=0． (4)−5x2+12x+32=0．
48．（24-25八年级下·山东·期末）解方程：
(1)x2+2❑√5x+2=0； (2)(3x+2)(x+3)=4(x+1)．
49．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程：
(1)x2−6x+4=0；（配方法） (2)5x2−3x=x+1；（公式法）
50．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）（1）用配方法解方程：x2+2x−15=0
（2）用公式法解方程：4x2−8x−1=0
高频解法6：因式分解法（一元二次方程的解法）
51．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）解方程
(1) ． (2) ．
(x−2) 2+x(x−2)=0 2x2−4x+1=052．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）解方程：
(1) (2)
3(x−1) 2=48 2x(x−1)=3−3x
(3)3x2−1=4❑√2x (4)(x+8)(x+1)=−12
53．（24-25九年级上·广东汕头·期末）解方程：x2+4x−5=0．
54．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）解下列一元二次方程：
(1)2x2−4x−3=0； (2)2(x−3)=3x(x−3)．
55．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解下列一元二次方程：
(1) (2)
4(x−3) 2=x(3−x) x(x−4)=1256．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）解方程
(1) ； (2) ．
2(x−1) 2−8=0 x2−3x+2=0
57．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程：
(1) (2)
3(x−2) 2=27 x2+2x−3=0
58．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）解方程：x2+2x−8=0．
59．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）解方程：4x(2x+1)=3(2x+1)．
60．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）用适合的方法解下列方程：
(1) ； (2)
(2x−1) 2=81 2(x−3)=3x(x−3)高频解法7：换元法（一元二次方程的解法）
61．（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程：
(1) ； (2) ．
x2=❑√2|x| x2−6x−3|x−3|−1=0
62．（24-25八年级下·重庆·期末）计算：
(1) (2) [ 1 )
(x2+2) 2−4(x2+2)=12 x 120− (x−60) =8800
2
63．（24-25九年级上·河南周口·期末）
（1）解方程： ； （2）若 ，求 的值．
(x−2) 2+2−x=0 (x+2y) 2+4(x+2y)−5=0 x+2y
64．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）解方程：
1
(1)y4−3 y2−4=0 (2) (2x−5) 2−2=0；
265．（24-25九年级上·四川成都·期中）解方程
(1) (2)
2x2−6x+3=0 (x+2) 2+4(x+2)−12=0
66．（24-25九年级上·北京·期中）解方程： ；
(x+2) 2−2(x+2)−3=0
．
67．（23-24九年级上·河南商丘·期中）用适当的方法解下列方程：
(1) (2)
(2x+1) 2−25=0 3x−6x2+3=0
(3) (4)
x2+6x+9=(5−2x) 2 (3x−2) 2−(3x−2)−30=0
68．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程(1) (2)
(x−3) 2−4=0 x2−6x+7=0
(4) (4)
(x−1)(x+2)=10 (2x−1) 2−3(2x−1)+2=0
69．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）解方程
(1) ． (2) ．
2(x+3) 2−18=0 2x2−3x−5=0
(3) (4)
(2y+1) 2+3(2y+1)+2=0 4(2x−1) 2=9(3x+2) 2
70．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）解方程：
(1) ；（公式法） (2) ；（因式分解法）
2x2+4x−3=0 5(x+1) 2=7(x+1)
(4) ．
(x2−1) 2 −5(x2−1)+4=0高频解法8：一元二次方程的根与系数的关系
71．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知x ，x 是方程2x2−5x+1=0的两实数根，求下列各式的
1 2
值．
(1) ；
x x2+x2x
1 2 1 2
(2)|x −x |．
1 2
72．（24-25九年级下·全国·假期作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与
积．
(1)x2−4x+1=0； (2)x2−2x+1=0；
(3) −x2+3x−2=0； (4)x2−4x=0．
73．（24-25九年级下·全国·假期作业）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)(x+1)(x−2)=2； (2)3x2+7x=6．1
74．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）（1）解方程： x2−2x=3；
2
（2）若α，β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，求α2+3α+β的值．
75．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）已知 x 满足一元二次方程x2−3x+1=0，求下列各式的值：
(1)x3−2x2−2x+1
1
(2)x2+
x2
(3)
x2
x4−5x2+1
76．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若x ，x 是方程x2+4x−3=0的两个根，求下列各式的值：
1 2
(1)
x2+x2
1 2
1 1
(2) +
x x
1 2
77．（24-25九年级上·四川自贡·期中）已知x ，x 是方程x2−3x−4=0的两根，在不解方程的前提
1 2
下，求下列各式的值．
1 1
(1) +
x x
1 2
(2)x −x
1 278．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知α，β是方程x2−3x−5=0的两根，不解方程，求
下列代数式的值．
1 1
(1) + ；
α β
(2)α2+β2；
(3)α−β．
79．（2024九年级上·全国·专题练习）已知x ,x 是方程x2−3x+1=0的两个实数根，求下列各式的值：
1 2
(1) ；
(x −1)(x −1)
1 2
(2) ；
x2+x2
1 2
(3) ；
(x −x ) 2
1 2
(4)x −x ．
1 2
80．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）已知x ，x 是方程x2−4x+2=0的两个实数根，求：
1 2
(1)x x 和x +x 的值，
1 2 1 2
(2) 的值．
(x −x ) 2
1 21．（2024·江苏无锡·中考真题）（1）解方程： ；
(x−2) 2−4=0
{2x−3≤x)
（2）解不等式组：
x+2>1
2．（2023·广东广州·中考真题）解方程：x2−6x+5=0．
3．（2024·上海·中考真题）解方程组：{x2−3xy−4 y2=0①)．
x+2y=6②
4．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程： ．
(x+1) 2−4=0
