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专题21.5 一元二次方程（章节复习）
（知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：一元二次方程的概念...................................................2
知识点梳理02：一元二次方程的一般形式...............................................2
知识点梳理03：一元二次方程的解.....................................................3
知识点梳理04： 一元二次方程的重要结论..............................................3
知识点梳理05：解一元二次方程.......................................................3
知识点梳理06：一元二次方程的判别式.................................................4
优选题型 考点讲练......................................................................6
考点1：由一元二次方程的解求参数....................................................6
考点2：由一元二次方程的定义求參数..................................................6
考点3：解—元二次方程—直接开平方法................................................6
考点4：解—元二次方程一配方法......................................................7
考点5：配方法的应用................................................................7
考点6：根据判别式判断一元二次方程根的情况..........................................8
考点7：根据一元二次方程根的情况求参数..............................................9
考点8：公式法解一元二次方程........................................................9
考点9：因式分解法解一元二次方程...................................................10
考点10：换元法解一元二次方程......................................................10
考点11：—元二次方程的根与系数的关系..............................................11
考点12：传播问题（一元二次方程的应用）............................................11
考点13：增长率问题（一元二次方程的应用）..........................................12
考点14：与图形有关的问题（一元二次方程的应用).....................................13
考点15：数字问题（一元二次方程的应用）............................................14
考点16：营销问题（一元二次方程的应用).............................................15
考点17：动态几何问题（一元二次方程的应用）........................................16
考点18：工程问题（一元二次方程的应用）............................................17
考点18：行程问题（一元二次方程的应用）............................................18
考点19：图表信息题（一元二次方程的应用)...........................................19考点20：其他问题（一元二次方程的应用).............................................20
考点21：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）....................................20
中考真题 实战演练.....................................................................21
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................22
基础夯实..........................................................................22
培优拔高..........................................................................22
知识点梳理01：一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方
程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程
就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不
是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
知识点梳理02：一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二
次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各系数时不要
漏掉前面的性质符号。
知识点梳理03：一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将
方程的根或解反代回去再进行求解.知识点梳理04： 一元二次方程的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程
ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程
ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
知识点梳理05：解一元二次方程
1.直接开方
注意：
（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（3）方法是根据平方根的意义开平方
2.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果
b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
3.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式
，
（2）求出判别式
4.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
知识点梳理06：一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立
知识点梳理07：一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ， 利用韦
。
达
定理可以求一些代数式的值（式子变形），如解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
知识点梳理08：一元二次方程的实际应用
1. 变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）
后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b
2. 传染、枝干问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设
每轮传染中平均一个人传染了x个人：
3.握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠卡问题：n个人相
互之间送卡片，总共要送
n(n−1)张卡片。
4. 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
5. 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则
；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
6. 动点与几何问题点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
关键是将
每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量
考点1：由一元二次方程的解求参数
【典例精讲】（24-25九年级上·全国·期中）已知m 是方程x2−2x−1010=0 的根，则代数式
4m−2m2−2 的值为（ ）
A．−2021 B．2 021 C．−2022 D．2 022
【变式训练】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如果m是方程x2−3x−5=0的一个根，那么代数
式m2−3m+2024的值为 ．
考点2：由一元二次方程的定义求參数
【典例精讲】（24-25九年级上·广东韶关·期末）一元二次方程(2x+3)(2x−3)=72的二次项系数、一
次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，−81，0 B．4，0，81 C．4，0，−81 D．−4，0，−81
【变式训练】（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于 的方程 是一元二次方程，则
x (m−3)xm2−7−x=5
m的值为的 ．
考点3：解—元二次方程—直接开平方法
【典例精讲】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）解方程：
(1) (2)
(x−5) 2=16 x2+6x+2=0
【变式训练】（21-22九年级·全国·假期作业）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2
＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a＋bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加
法，减法，乘法运算类似．
例如：解方程x2＝﹣1，
解得：x＝i，x＝﹣i．
1 2
同样我们也可以化简 2i；
❑√−4=❑√4×(−1)=❑√22×i2=
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：i3＝ ，i4＝ ，i6＝ ，i2020＝ ；
(2)在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1
(3)在复数范围内解方程：x2﹣4x＋8＝0
考点4：解—元二次方程一配方法
【典例精讲】（23-24九年级上·四川南充·期中）如果m,n满足m2+2m−2=0，n2+2n−2=0，且
m n
m≠n ，则 + 的值为 ．
n m
【变式训练】（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程．
解：x2+mx+n=0
x2+mx= ；
x2+mx = ；
( m) 2 ；
x+ =
2
（1）当m2−4n>0时，此方程有两个不相等的实数根分别为：x = ； x = ；
1 2
（2）当m2−4n=0时，此方程有两个相等的实数根分别为：x = ； x = ；
1 2
（3）当m2−4n<0时，请写出此方程根的情况．考点5：配方法的应用
【典例精讲】（21-22九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式x2−4x+5
的最小值时，利用公式 ，对式子作如下变形：
a2±2ab+b2= (a±b) 2
，因为 ，所以 ．所以当 时，
x2−4x+5=x2−4x+4+1=(x−2) 2+1 (x−2) 2≥0 (x−2) 2+1≥1 x=2
x2−4x+5有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题：
(1)代数式x2+8x+12的最小值为；
(2)求代数式−x2+2x+9的最大或最小值．
【变式训练】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料：
将代数式x2+2x+3进行如下变形：
x2+2x+3
=x2+2x+12−12+3
．
=(x+1) 2+2
，
∵(x+1) 2≥0
．
∴(x+1) 2+2≥2
当 时， 存在最小值2．
∴ (x+1) 2=0 x2+2x+3
根据以上材料，完成下列问题：
(1) _____ ；
x2+4x+ =(x+_____) 2
(2)求代数式x2−4x+5的最小值；
(3)求代数式−x2−2x+2的最值．考点6：根据判别式判断一元二次方程根的情况
【典例精讲】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
x x2+(2m+1)x+m=0
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当方程的一个根是1时，求m的值．
【变式训练】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．x2−2x−3=0 B．x2+3x+2=0
C．x2−2x+1=0 D．x2+2x+2=0
考点7：根据一元二次方程根的情况求参数
【典例精讲】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二
次方程 来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法：
px2+qx+r=0(p≠0)
①若 ，则方程 必有一个根为 ；
p−q+r=0 px2+qx+r=0(p≠0) −1
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
px2+r=0 px2+qx+r=0(p≠0)
③若r是方程 的一个根，则一定有 成立．
px2+qx+r=0(p≠0) pr+q+1=0
这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知关于x的一元二次方程
x2−2(m−1)x+m2−5=0
有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；
(2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根．
考点8：公式法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的方程 ．
x2−2(k+1)x+k2+2k=0
(1)求证：不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)求出方程的根（用含k的代数式表示）．
(3)若等腰三角形ABC的周长为14，其中两边长恰好是这个方程的两个根，求k的值．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程：
(1) x2+2x−4=0； (2)(2x+1)(x−4)+9=0．
考点9：因式分解法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25九年级上·广东清远·期末）关于x的一元二次方程x2+3x+c=0．
(1)当c=−4时，求方程的根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求c的取值范围．
【变式训练】（24-25九年级上·重庆大渡口·阶段练习）解方程
(1) x2−2x−3=0 (2)x(x−2)=2−x考点10：换元法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25九年级上·山东青岛·期中）若实数 满足方程 ，那么
x (x2+x)(x2+x−2)−15=0
x2+x的值为（）
A．−3 B．5 C．−3或5 D．3或−5
【变式训练】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次
方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程
时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解
法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，
我们还可以解一些新的方程，例如：方程2x−❑√2x+3−3=0的解法如下：
解：原方程变形为
(2x+3)−❑√2x+3−6=0
设❑√2x+3=k，得方程k2−k−6=0
解这个方程得k =3，k =−2
1 2
当k =3时，2x+3=9，∴x=3
1
当k =−2时，❑√2x+3=k无意义．
2
检验：把x=3代入原方程，等式成立．
∴原方程的解为x=3
仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程：
(1) ( x ) 2 x ； (2) ．
− −6=0 (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)=15
x+1 x+1
考点11：—元二次方程的根与系数的关系
【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）（1）已知方程x2+x−2=0，请写出一个一元二次方程，
使它的两个根分别是已知方程根的相反数：________．
1
（2）已知α和β是方程2x2+3x−1=0的两个根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是α+ 和
β
1
β+ ．
α【变式训练】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于 的一元二次方程
x x2−(2k+1)x+k2+2k=0
的两个实数根为x ，x ．
1 2
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数 ，使得 成立？若存在，请求出 值，若不存在，请说明理由．
k x2+x2−x ⋅x ≤0 k
1 2 1 2
考点12：传播问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑
被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染．
(1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？
【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫
情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头
生猪发病．
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？
考点13：增长率问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社
团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720
册．(1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率．
(2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？
【变式训练】今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，
四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月的月平均增长率．
(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增
加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
考点14：与图形有关的问题（一元二次方程的应用)
【典例精讲】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，
计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪．
(1)如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）；
(2)已知a:b=2:1，并且四块草坪的面积之和为312m2，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
【变式训练】24-25九年级上·河南郑州·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充
电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的
重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小
区的后墙（可利用墙长为45m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．
(1)若车棚占地面积为384m2，试求出电动车车棚的长(BC)和宽(AB)；
(2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为450m2的电动车车棚吗？如果
能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
考点15：数字问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）综合与实践
【主题】利用闲置硬纸板制作收纳盒收纳玩具
【素材】两张长为100cm，宽为40cm的硬纸板
【任务】
(1)把如图1所示的长方形硬纸板的四角沿虚线剪去四个相同的小正方形，得到如图2的纸板，然后把纸板
的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖的长方体收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为
1216cm2，求剪去的小正方形的边长；
(2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图3所示．若EF
和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2，问能否把家里一个机械狗玩具收纳入内？机
械狗的实物图和尺寸大小如图4，请通过计算判断机械狗玩具能否完全放入该收纳盒．【变式训练】（23-24九年级上·云南文山·期中）已知实数 、 满足 ，
a b (2a2+b2+1)(2a2+b2−1)=80
试求2a2+b2的值．
解：设2a2+b2=m，则原方程可化为(m+1)(m−1)=80，即m2=81，
解得：m=±9，
∵2a2+b2≥0，
∴2a2+b2=9，
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的
运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化．
根据以上阅读材料，解决下列问题：
(1)已知实数 、 满足 ，求 的值；
x y (2x2+2y2−1)(x2+ y2 )=3 3x2+3 y2−2
(2)若四个连续正整数的积为120，求这四个正整数．
考点16：营销问题（一元二次方程的应用)
【典例精讲】（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）苏轼在《念奴娇－赤壁怀古》中写道：遥想公
瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发．羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭．根据资料，周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，个位数比十位数大3，个位数的平方等于去世时的年龄．若设周瑜去世时年
龄的十位数为x，则根据题意可列出方程 ．
【变式训练】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安
归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A
款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共
用去资金43500元．
(1)求第一批购入A、B两款头盔的数量；
(2)12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有
所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头
盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基
2
础上增加 ，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？
3
考点17：动态几何问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·全国·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，
经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加
10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
(1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整；
小明：设每件皮衣降价x元，
由题意，可列方程为________________．
小红：设每件皮衣定价为y元，
由题意，可列方程为________________．
(2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元．【变式训练】（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm．点P
从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、
Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
(1)当t=__________时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t=__________时，四边形AQCP是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
考点18：工程问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，
AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以
2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止．(1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
(2)在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
【变式训练】（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划
每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成
本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；
1 1
(2)实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加 a万元，且每天多挖 a．乙每合格完成1米隧
6 24
道施工成本增加1 万元，且每天多挖1 米．若最终每天实际总成本比计划多( 11 )万元，求 的值．
a a 24+ a a
3 8 2
考点18：行程问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月
7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A、B两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，
已知A点平均每人采样720份，B点平均每人采样700份．
(1)求A、B两点各有多少名医护人员？
(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个
商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B点抽调部分医护人员到A点经调查发现，B点每
减少1名医护人员，人均采样量增加10份，A点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B点抽调了多少名医护人员到A点？
【变式训练】（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。
甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、
乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10
步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行
走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
(3x) 2+102=(7x−10) 2 (3x) 2+(7x−10) 2=102
C． D．
(7x) 2+102=(3x−10) 2 (7x) 2+(3x−10) 2=102
考点19：图表信息题（一元二次方程的应用)
【典例精讲】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，
叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等
于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运
动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，❑√2≈1.41，❑√3≈1.73）
【变式训练】（21-22九年级上·全国·课后作业）一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况
下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设
运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距离水面的高度ℎ(m)满足关系：ℎ=10+2.5t−5t2，那么他最多
有多长时间完成规定动作？(结果保留根号)考点20：其他问题（一元二次方程的应用)
【典例精讲】（2020·山西临汾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图
是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，
相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11−3×17=48，13×15−7×21=48．不难发现，结果都
是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大
数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的
说法是否正确．（不必叙述理由）
【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·期中）某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36
场比赛，设参加的队数为x，根据题意列出方程为（ ）
1 1
A．x(x−1)=36 B．x(x+1)=36 C． x(x−1)=36 D． x(x+1)=36
2 2考点21：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（2025·福建·一模）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，
将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学
习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，
则符合题意的方程是（ ）
A． B．
2400(1−x2)=1944 2400(1−x) 2=1944
C． D．
2400(1−2x)=1944 2400(1−2x) 2=1944
【变式训练】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性
时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛
季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共
有多少支球队．
1．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边
都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为
x米，根据题意可列方程（ ）A． B． C． D．
5x2=6 5(1+x2)=6 x(5−x)=6 5(1+x) 2=6
2．（2025·四川遂宁·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−3x+m+1=0有实数根，则实数m的取
值范围是（ ）
5 5 5 5
A．m< B．m≥ C．m> D．m≤
4 4 4 4
1
3．（2025·山东东营·中考真题）若关于x的方程(k2−1)x2+(k+1)x+ =0无实根，则k的取值范围是
4
．
4．（2023·湖北荆门·中考真题）若一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范
围是 ．
5．（2023·贵州黔东南·中考真题）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−6x+8=0的解，
则此三角形的周长是 ．
基础夯实
1．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）关于x的一元二次方程x2−x+a=0的一个根是2，则a的值
为（ ）
A．6 B．0 C．2 D．−2
2．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x(x+4)+3=0，下列说法正确
的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）若−3是关于x的一元二次方程x2+3x−m=0的一个根，则
方程的另一个根是 ．
4．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x 、x ，则
1 2
x −x x +x 的值是 ．
1 1 2 2
5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程：
(1) (2) ．
x2−6x−4=0 (x−3) 2+4x(x−3)=0培优拔高
6．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程2x2+3x−2=0的两个根为（ ）
1 1
A．x =−2，x = B．x =2，x =
1 2 2 1 2 2
1 1
C．x =−2，x =− D．x =2，x =−
1 2 2 1 2 2
7．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）若实数 满足 ，则代数式 的值是
x (x2+x) 2 +x2+x=6 x2+x
（ ）
A．−3 B．2 C．3 D．−3或2
8．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知一元二次方程 x²+2x−m=0有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是 ．
1−ax 1
9．（24-25九年级上·重庆永川·期中）已知关于x的分式方程 +3= 解为整数，且关于x的一
x−2 2−x
元二次方程x2+2x+a−2=0有实数根，则满足条件的整数a的和为 ．
10．（2025九年级上·全国·专题练习）小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．
他们打算以每千克m元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的［5000(m+1)]kg蜜梨以每千克比零售价低1
元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入．
(1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？
(2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取
了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才
能使得每天的销售利润为600元？
