文档内容
专题21.5 一元二次方程（章节复习）
（知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：一元二次方程的概念...................................................2
知识点梳理02：一元二次方程的一般形式...............................................2
知识点梳理03：一元二次方程的解.....................................................2
知识点梳理04： 一元二次方程的重要结论..............................................2
知识点梳理05：解一元二次方程.......................................................3
知识点梳理06：一元二次方程的判别式.................................................4
优选题型 考点讲练......................................................................5
考点1：由一元二次方程的解求参数....................................................5
考点2：由一元二次方程的定义求參数..................................................6
考点3：解—元二次方程—直接开平方法................................................7
考点4：解—元二次方程一配方法......................................................8
考点5：配方法的应用...............................................................10
考点6：根据判别式判断一元二次方程根的情况.........................................12
考点7：根据一元二次方程根的情况求参数.............................................13
考点8：公式法解一元二次方程.......................................................14
考点9：因式分解法解一元二次方程...................................................16
考点10：换元法解一元二次方程......................................................17
考点11：—元二次方程的根与系数的关系..............................................19
考点12：传播问题（一元二次方程的应用）............................................21
考点13：增长率问题（一元二次方程的应用）..........................................22
考点14：与图形有关的问题（一元二次方程的应用).....................................24
考点15：数字问题（一元二次方程的应用）............................................26
考点16：营销问题（一元二次方程的应用).............................................28
考点17：动态几何问题（一元二次方程的应用）........................................29
考点18：工程问题（一元二次方程的应用）............................................32
考点18：行程问题（一元二次方程的应用）............................................34
考点19：图表信息题（一元二次方程的应用)...........................................36考点20：其他问题（一元二次方程的应用).............................................37
考点21：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）....................................39
中考真题 实战演练.....................................................................40
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................43
基础夯实..........................................................................43
培优拔高..........................................................................45
知识点梳理01：一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方
程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程
就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不
是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
知识点梳理02：一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二
次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各系数时不要
漏掉前面的性质符号。
知识点梳理03：一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将
方程的根或解反代回去再进行求解.知识点梳理04： 一元二次方程的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程
ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程
ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
知识点梳理05：解一元二次方程
1.直接开方
注意：
（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（3）方法是根据平方根的意义开平方
2.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果
b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
3.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式
，
（2）求出判别式
4.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
知识点梳理06：一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立
知识点梳理07：一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ， 利用韦
。
达
定理可以求一些代数式的值（式子变形），如解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
知识点梳理08：一元二次方程的实际应用
1. 变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）
后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b
2. 传染、枝干问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设
每轮传染中平均一个人传染了x个人：
3.握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠卡问题：n个人相
互之间送卡片，总共要送
n(n−1)张卡片。
4. 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
5. 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则
；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
6. 动点与几何问题点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
关键是将
每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量
考点1：由一元二次方程的解求参数
【典例精讲】（24-25九年级上·全国·期中）已知m 是方程x2−2x−1010=0 的根，则代数式
4m−2m2−2 的值为（ ）
A．−2021 B．2 021 C．−2022 D．2 022
【答案】C
【思路引导】本题考查一元二次方程的根，由题意可知，m是方程x2−2x−1010=0的根，因此
m2=2m+1010．将代数式4m−2m2−2中的m2用该等式替换，即可化简求值．
【规范解答】解：∵m是方程x2−2x−1010=0的根，
∴m2−2m−1010=0，
∴m2=2m+1010．
∴4m−2m2−2=4m−2(2m+1010)−2=4m−4m−2020−2=−2022
故选C．
【变式训练】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如果m是方程x2−3x−5=0的一个根，那么代数
式m2−3m+2024的值为 ．
【答案】2029
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解，以及代数式求值．由一元二次方程的解可得m2−3m=5，
再整体代入求值即可．
【规范解答】解：∵m是方程x2−3x−5=0的一个根，
∴m2−3m−5=0即m2−3m=5，
∴m2−3m+2024=5+2024=2029．
故答案为：2029．考点2：由一元二次方程的定义求參数
【典例精讲】（24-25九年级上·广东韶关·期末）一元二次方程(2x+3)(2x−3)=72的二次项系数、一
次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，−81，0 B．4，0，81 C．4，0，−81 D．−4，0，−81
【答案】C
【思路引导】先将原方程化为一般形式，再求解即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a为二次项系数；bx
叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键．
【规范解答】解：将(2x+3)(2x−3)=72化为一般式为4x2−81=0，
∴一元二次方程(2x+3)(2x−3)=72的二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，0，−81，
故选：C．
【变式训练】（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于x的方程(m−3)xm2−7−x=5是一元二次方程，则
m的值为的 ．
【答案】−3
【思路引导】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到m−3≠0，m2−7=2求
解，即可解题．
【规范解答】解：∵关于x的方程(m−3)xm2−7−x=5是一元二次方程，
∴ m−3≠0，m2−7=2，
解得m≠3，m=±3，
综上，m=−3，
故答案为：−3．
考点3：解—元二次方程—直接开平方法
【典例精讲】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）解方程：
(1)(x−5) 2=16
(2)x2+6x+2=0
【答案】(1)x =9，x =1
1 2
(2)x =❑√7−3，x =−❑√7−3
1 2【思路引导】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
（1）直接开平方即可求解；
（2）利用配方法求解即可．
【规范解答】（1）解：(x−5) 2=16，
x−5=±4，
x =9，x =1；
1 2
（2）解：x2+6x+2=0，
x2+6x=−2，
x2+6x+32=−2+32，
(x+3) 2=7，
x+3=±❑√7，
x =❑√7−3，x =−❑√7−3．
1 2
【变式训练】（21-22九年级·全国·假期作业）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2
＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a＋bi
（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加
法，减法，乘法运算类似．
例如：解方程x2＝﹣1，
解得：x＝i，x＝﹣i．
1 2
同样我们也可以化简❑√−4=❑√4×(−1)=❑√22×i2=2i；
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：i3＝ ，i4＝ ，i6＝ ，i2020＝ ；
(2)在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1
(3)在复数范围内解方程：x2﹣4x＋8＝0
【答案】(1)﹣i，1，﹣1，1
(2)x＝1+i，x＝1﹣i
1 2
(3)x＝2+2i，x＝2﹣2i
1 2
【思路引导】（1）直接根据i2＝﹣1计算即可；
（2）把右边的-1写成i2求解即可；
（3）利用配方法，结合i2＝﹣1求解.【规范解答】（1）解：i3＝i2×i＝﹣i；i4＝i2×i2＝1．i6＝（i2）3＝﹣1；i2020＝（i2）1010＝1；
故答案为﹣i，1，﹣1，1；
（2）解：∵（x﹣1）2＝﹣1，
∴（x﹣1）2＝i2，
∴x﹣1＝±i，
∴x＝1+i，x＝1﹣i．
1 2
（3）解：x2﹣4x+8＝0，x2﹣4x＝﹣8，（x﹣2）2＝4i2，
∴x﹣2＝±2i,
解得：x＝2+2i，x＝2﹣2i．
1 2
【考点评析】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，读懂材料及正确解一元二次方程是解题的关键．
考点4：解—元二次方程一配方法
【典例精讲】（23-24九年级上·四川南充·期中）如果m,n满足m2+2m−2=0，n2+2n−2=0，且
m n
m≠n ，则 + 的值为 ．
n m
【答案】−4
【思路引导】此题考查了一元二次方程根与系数关系、求代数式的值等知识，熟练掌握一元二次方程根与
系数关系的应用是解题的关键．
由题意可知x =m,x =n是方程x2+2x−2=0的两个不相等的实数根，则m+n=−2，mn=−2，把
❑1 ❑2
m n
+ 变形后整体代入即可得到答案．
n m
【规范解答】解：∵m、n满足m2+2m−2=0，n2+2n−2=0，且m≠n，
∴x =m,x =n是方程x2+2x−2=0的两个不相等的实数根，
❑1 ❑2
∴m+n=−2，mn=−2，
m n m2+n2 (m+n) 2−2mn (−2) 2−2×(−2)
∴ + = = = =−4，
n m mn mn −2
故答案为：−4．
【变式训练】（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程．
解：x2+mx+n=0
x2+mx= ；
x2+mx = ；( m) 2
x+ = ；
2
（1）当m2−4n>0时，此方程有两个不相等的实数根分别为：x = ； x = ；
1 2
（2）当m2−4n=0时，此方程有两个相等的实数根分别为：x = ； x = ；
1 2
（3）当m2−4n<0时，请写出此方程根的情况．
m2 m2 m2−4n −m+❑√m2−4n −m−❑√m2−4n m m
【答案】−n；+ ； −n； ；（1） ； ；（2）− ；−
4 4 4 2 2 2 2
；（3）此方程无实数根
( m) 2 m2−4n
【思路引导】利用配方法得 x+ = ，然后分三种情况讨论：（1）当m2−4n>0时，（2）当
2 4
m2−4n=0时，（3）当m2−4n<0时，分别求解即可．
本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键．
【规范解答】解： x2+mx+n=0，
x2+mx=−n，
m2 m2
x2+mx+ = −n，
4 4
( m) 2 m2−4n
x+ = ，
2 4
−m+❑√m2−4n
（1）当m2−4n>0时，此方程有两个不相等的实数根分别为： x = ，
1 2
−m−❑√m2−4n
x = ；
2 2
−m −m
（2）当m2−4n=0时，此方程有两个相等的实数根分别为：x = ，x = ；
1 2 2 2
（3）当m2−4n<0时，此方程无实数根．
故答案为： ； m2；m2 ；m2−4n ；（1）−m+❑√m2−4n；−m−❑√m2−4n；（2） m ；
−n + −n −
4 4 4 2 2 2m
− ．
2
考点5：配方法的应用
【典例精讲】（21-22九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式x2−4x+5
的最小值时，利用公式a2±2ab+b2= (a±b) 2，对式子作如下变形：
x2−4x+5=x2−4x+4+1=(x−2) 2+1，因为(x−2) 2≥0，所以(x−2) 2+1≥1．所以当x=2时，
x2−4x+5有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题：
(1)代数式x2+8x+12的最小值为；
(2)求代数式−x2+2x+9的最大或最小值．
【答案】(1)−4
(2)最大值为10
【思路引导】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键：
（1）仿照题干的方法进行求解即可；
（2）仿照题干的方法进行求解即可．
【规范解答】（1）解：x2+8x+12
=x2+8x+16−4
=(x+4) 2−4；
∵(x+4) 2≥0，
∴(x+4) 2−4≥−4，
∴当x=−4时，x2+8x+12有最小值为−4；
（2）−x2+2x+9
=−(x2−2x+1)+10
=−(x−1) 2+10；
∵(x−1) 2≥0，∴−(x−1) 2≤0，
∴−(x−1) 2+10≤10，
∴当x=1时，−x2+2x+9有最大值为10．
【变式训练】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料：
将代数式x2+2x+3进行如下变形：
x2+2x+3
=x2+2x+12−12+3
=(x+1) 2+2．
∵(x+1) 2≥0，
∴(x+1) 2+2≥2．
∴当(x+1) 2=0时，x2+2x+3存在最小值2．
根据以上材料，完成下列问题：
(1)x2+4x+_____=(x+_____) 2；
(2)求代数式x2−4x+5的最小值；
(3)求代数式−x2−2x+2的最值．
【答案】(1)4，2．
(2)1
(3)最大值为3．
【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用
非负数的性质解答是解题的关键．
（1）根据完全平方公式的常数项为一次项系数绝对值一半的平方即可得出结论，
（2）将多项式加22再减22，利用配方法后可得结论；
（3）将多项式改写为−2 ( x2− 1 x ) +3，再配方可得结论．
2
【规范解答】（1）x2+4x+4=(x+2) 2，
故答案为：4，2．（2）x2−4x+5
=x2−4x+22−22+5
=(x−2) 2+1
∵(x−2) 2≥0，
∴(x−2) 2+1≥1．
∴当(x−2) 2=0时，x2−4x+5存在最小值1．
（3）∵ −x2−2x+2=−(x2+2x)+2=−[(x+1) 2−1]+2=−(x+1) 2+3，
∵ −(x+1) 2≤0，
∴ −(x+1) 2+3≤3，
∴当x=−1时，代数式−x2−2x+2有最大值3．
考点6：根据判别式判断一元二次方程根的情况
【典例精讲】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m=0．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当方程的一个根是1时，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
2
(2)m=−
3
【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握利用根的判别式判断一元
二次方程解的情况是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式判定即可；
（2）将x=1代入x2+(2m+1)x+m=0，求解即可．
【规范解答】（1）解：∵Δ=(2m+1) 2−4m
=4m2+4m+1−4m
=4m2+1>0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x=1代入x2+(2m+1)x+m=0，
得12+(2m+1)+m=0，
2
解得：m=− ．
3
【变式训练】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．x2−2x−3=0 B．x2+3x+2=0
C．x2−2x+1=0 D．x2+2x+2=0
【答案】D
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与
Δ=b2−4ac有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③
Δ<0，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解．
【规范解答】解：A、Δ=(−2) 2−4×1×(−3)=16>0，故该一元二次方程有实数根，不符合题意；
B、Δ=32−4×1×2=1>0，故该一元二次方程有实数根，不符合题意；
C、Δ=(−2) 2−4×1×1=0，故该一元二次方程有实数根，不符合题意；
D、Δ=22−4×1×2=−4<0，故该一元二次方程没有实数根，符合题意；
故选：D．
考点7：根据一元二次方程根的情况求参数
【典例精讲】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二
次方程px2+qx+r=0(p≠0)来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法：
①若p−q+r=0，则方程px2+qx+r=0(p≠0)必有一个根为−1；
②若方程px2+r=0有两个不相等的实根，则方程px2+qx+r=0(p≠0)必有两个不相等的实根；
③若r是方程px2+qx+r=0(p≠0)的一个根，则一定有pr+q+1=0成立．
这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【思路引导】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元
二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一
元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案．
【规范解答】解：①当x=−1时，p×(−1) 2+q×(−1)+r=p−q+r=0，所以方程
px2+qx+r=0(p≠0)必有一个根为−1，故①正确．
②方程px2+r=0有两个不相等的实根，则−4 pr>0，那么q2−4 pr>0，故方程px2+qx+r=0(p≠0)必
有两个不相等的实根，故②正确．
③由r是方程px2+qx+r=0的一个根，得pr2+qr+r=0． 当r≠0，则pr+q+1=0；当r=0，则
pr+q+1不一定等于0，故③不一定正确．
综上所述：正确的有2个；
故选：C．
【变式训练】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2−5=0
有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根．
【答案】(1)m<3
(2)−2
【思路引导】本题考查了一元二次方方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
（1）由题意可得Δ=[−2(m−1)) 2 −4×1×(m2−5)>0，计算即可得解；
（2）把x=2代入方程可得22−2(m−1)×2+m2−5=0，求出m=1，此时一元二次方程化为x2−4=0，解
方程即可得解．
【规范解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2−5=0有两个不相等的实数根，∴Δ=[−2(m−1)) 2 −4×1×(m2−5)=−8m+24>0，
解得：m<3
（2）解：把x=2代入方程可得22−2(m−1)×2+m2−5=0，
解得：m=1或m=3，
∵m<3，
∴m=1，
此时一元二次方程化为x2−4=0，
解方程得x =2，x =−2，
1 2
∴方程的另一个根为−2．
考点8：公式法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的方程x2−2(k+1)x+k2+2k=0．
(1)求证：不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)求出方程的根（用含k的代数式表示）．
(3)若等腰三角形ABC的周长为14，其中两边长恰好是这个方程的两个根，求k的值．
【答案】(1)见详解
(2)x =k+2,x =k
1 2
10
(3)k=4或
3
【思路引导】本题主要考查的是根的判别式以及等腰三角形的分类讨论思想，属于中等难度的题型．对等
腰三角形进行分类讨论是解决这个问题的关键．
（1）根据题意求出Δ=b2−4ac的值，从而得出方程的解的个数，即可判断；
（2）根据求根公式求解即可；
（3）结合（2）中x =k+2,x =k，根据等腰三角形的性质进行分类讨论，从而得出k的值．
1 2
【规范解答】（1）证明：∵Δ=b2−4ac=4(k+1) 2−4(k2+2k)=4>0，
∴不论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
2(k+1)±2
（2）解：∵x= ，
2
∴x =k+2,x =k．
1 2
（3）解：∵x ≠x ，故由等腰三角形ABC的周长为 14 ，
1 210
得①2(k+2)+k=14，解得：k= ，
3
16 16 10
∴三边长分别为 , , ，符合题意．
3 3 3
②k+2+2k=14，∴k=4，
∴三边长分别为4,4,6，符合题意．
10
综上所述，k=4或 ．
3
【变式训练】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程：
(1)x2+2x−4=0；
(2)(2x+1)(x−4)+9=0．
【答案】(1)x =−1+❑√5，x =−1−❑√5
1 2
5
(2)x = ，x =1
1 2 2
【思路引导】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）方程运用配方法求解即可；
（2）方程整理后运用公式法求解即可．
【规范解答】（1）解：x2+2x−4=0，
x2+2x=4，
x2+2x+1=5，
(x+1) 2=5，
x=−1±❑√5，
∴x =−1+❑√5，x =−1−❑√5；
1 2
（2）解：(2x+1)(x−4)+9=0，
整理，得： 2x2−7x+5=0，
∵a=2,b=−7,c=5，
Δ=(−7) 2−4×2×5=9>0，
7±❑√9
∴x=
4
5
∴x = ，x =1．
1 2 2考点9：因式分解法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25九年级上·广东清远·期末）关于x的一元二次方程x2+3x+c=0．
(1)当c=−4时，求方程的根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求c的取值范围．
【答案】(1)x =−4,x =1
1 2
9
(2)c<
4
【思路引导】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与
Δ=b2−4ac有如下关系：（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当Δ=0时，方程有两
个相等的实数根；（3）当Δ<0时，方程无实数根是解题的关键．
（1）把c=−4代入一元二次方程，求出x的值即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【规范解答】（1）解：∵c=−4，
∴方程可化为x2+3x−4=0，
∴(x+4)(x−1)=0，
解得x =−4,x =1；
1 2
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即Δ=32−4c>0，
9
解得：c< ．
4
【变式训练】（24-25九年级上·重庆大渡口·阶段练习）解方程
(1)x2−2x−3=0
(2)x(x−2)=2−x
【答案】(1)x =−1，x =3
1 2
(2)x =−1，x =2
1 2
【思路引导】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程，进行计算即可求解；
（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，进行计算即可求解．
【规范解答】（1）解：x2−2x−3=0，
(x+1)(x−3)=0，
∴x+1=0或x−3=0，解得：x =−1，x =3．
1 2
（2）解：x(x−2)=2−x，
x(x−2)−(2−x)=0，
x(x−2)+(x−2)=0，
(x+1)(x−2)=0，
∴x+1=0或x−2=0，
解得：x =−1，x =2．
1 2
考点10：换元法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25九年级上·山东青岛·期中）若实数x满足方程(x2+x)(x2+x−2)−15=0，那么
x2+x的值为（）
A．−3 B．5 C．−3或5 D．3或−5
【答案】B
【思路引导】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设
y=x2+x，则原方程转化为关于y的新方程，通过解新方程来求y的值，即x2+x的值．
【规范解答】解：设y=x2+x，
原方程变形为y(y−2)−15=0，
整理得：y2−2y−15=0，
解得：y =5,y =−3，
1 2
当y =5时，x2+x=5，
1
即x2+x−5=0，
此时Δ=12−4×1×(−5)=21>0；
当y =−3时，x2+x=−3，
2
即x2+x+3=0，
此时Δ=12−4×1×3=−11<0；
此时方程x2+x+3=0无实数根；
∴x2+x=5.
故选：B．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次
方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解
法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，
我们还可以解一些新的方程，例如：方程2x−❑√2x+3−3=0的解法如下：
解：原方程变形为
(2x+3)−❑√2x+3−6=0
设❑√2x+3=k，得方程k2−k−6=0
解这个方程得k =3，k =−2
1 2
当k =3时，2x+3=9，∴x=3
1
当k =−2时，❑√2x+3=k无意义．
2
检验：把x=3代入原方程，等式成立．
∴原方程的解为x=3
仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程：
( x ) 2 x
(1) − −6=0；
x+1 x+1
(2)(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)=15．
2 3
【答案】(1)x=− 或x=− ；
3 2
5+❑√21 5−❑√21
(2)x = ，x = ．
1 2 2 2
【思路引导】本题考查解高次方程和分式方程，解题的关键是读懂阅读材料，把未知转化为已知，注意解
分式方程必须检验．
x
（1）设 =k，得方程k2−k−6=0，利用阅读材料中的方法求解即可；
x+1
（2）方程整理得(x2−5x+4)(x2−5x+6)=15，设x2−5x+5=k，得方程(k−1)(k+1)=15，利用阅读
材料中的方法求解即可．
x
【规范解答】（1）解：设 =k，得方程k2−k−6=0，
x+1
解这个方程得k =3，k =−2，
1 2
x 3
当k =3时， =3，解得x=− ，
1 x+1 2
3
经检验，x=− ，是原方程的解；
2x
当k =−2时， =−2，
2 x+1
2
解得x=− ，
3
2
经检验，x=− ，是原方程的解；
3
2 3
∴原方程的解为x=− 或x=− ；
3 2
（2）解：原方程变形为(x2−5x+4)(x2−5x+6)=15，
设x2−5x+5=k，得方程(k−1)(k+1)=15，
整理得k2=16，
解这个方程得k =4，k =−4，
1 2
当k =4时，x2−5x+5=4，即x2−5x+1=0，
1
5+❑√21 5−❑√21
解得x = ，x = ；
1 2 2 2
当k =−4时，x2−5x+5=−4，即x2−5x+9=0，
2
Δ=b2−4ac=25−36=−11<0，
方程x2−5x+9=0没实数解，舍去，
5+❑√21 5−❑√21
∴原方程的解为x = ，x = ．
1 2 2 2
考点11：—元二次方程的根与系数的关系
【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）（1）已知方程x2+x−2=0，请写出一个一元二次方程，
使它的两个根分别是已知方程根的相反数：________．
1
（2）已知α和β是方程2x2+3x−1=0的两个根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是α+ 和
β
1
β+ ．
α
1 1
【答案】（1）y2−y−2=0；（2）构造一元二次方程2y2−3 y−1=0，它的两个根分别是α+ 和β+
β α
【思路引导】（1）先设这个一元二次方程为y2+py+q=0；
根据根与系数的关系得到：y + y =−p，y y =q.
1 2 1 2
由方程x2+x−2=0得x +x =−1，x x =−2；
1 2 1 2
由题意得y =−x ,y =−x ，再根据y + y =−p，y y =q，
1 1 2 2 1 2 1 2即可求出这个一元二次方程.
3 1
（2）由方程2x2+3x−1=0得α+β=− ，αβ=− .
2 2
1 1
而构造的这个一元二次方程的两根为α+ ，β+ .
β α
再利用根与系数的关系，分别求出两根之和、两根之积.
得到对应的p和q的值，代入得到一元二次方程为2y2−3 y−1=0.
【规范解答】解：（1）设方程y2+py+q=0的两个根y ，y ，
1 2
则y + y =−p，y y =q．
1 2 1 2
由x2+x−2=0得x +x =−1，x x =−2，
1 2 1 2
由y ，y 分别是方程x2+x−2=0根的相反数，
1 2
∴y =−x ，y =−x ．
1 1 2 2
∴y + y =−(x +x )=1=−p，y y =x x =−2=q，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴p=−1，q=−2，
∴两个根分别是方程x2+x−2=0根的相反数的方程是y2−y−2=0．
（2）∵α和β是方程2x2+3x−1=0的两个根，
3 1
∴α+β=− ,αβ=− ，
2 2
( 1) ( 1) α+β 3
∴ α+ + β+ =α+β+ = ，
β α αβ 2
( 1)( 1) 1 1
α+ β+ =αβ+ +2=− ，
β α αβ 2
设所求一元二次方程为y2+py+q=0
( 1) ( 1) ( 1)( 1)
∴ α+ + β+ =−p， α+ β+ =q
β α β α
3 1
∴p=− ，q=−
2 2
3 1 1 1
故所求方程为y2− y− =0，两边同时乘以2得：2y2−3 y−1=0，它的两个根分别是α+ 和β+ ．
2 2 β α
故答案为：2y2−3 y−1=0
【考点评析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.【变式训练】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0
的两个实数根为x ，x ．
1 2
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使得x2+x2−x ⋅x ≤0成立？若存在，请求出k值，若不存在，请说明理由．
1 2 1 2
1
【答案】(1)k≤ ；
4
(2)不存在这样的实数k．理由见解析
【思路引导】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点．
（1）根据一元二次方程的根的判别式即可得；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得x +x =2k+1，x x =k2+2k，再代入化简可得
1 2 1 2
k2−2k+1=(k−1) 2，据此求解即可得．
【规范解答】（1）解：由题意得：方程的根的判别式Δ=[−(2k+1)) 2 −4(k2+2k)≥0，
1
解得k≤ ；
4
（2）解：不存在，理由如下，
由一元二次方程根与系数的关系得：x +x =2k+1，x x =k2+2k，
1 2 1 2
则x2+x2−x x =(x2+2x x +x2)−3x x ，
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
=(x +x ) 2−3x x ，
1 2 1 2
=(2k+1) 2−3(k2+2k)，
=k2−2k+1=(k−1) 2≥0，
∵x2+x2−x ⋅x ≤0，
1 2 1 2
∴(k−1) 2≤0，
∴k=1．1
∵k=1> （不符题意，舍去），
4
故不存在这样的实数k．
考点12：传播问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑
被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染．
(1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？
【答案】(1)每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑
(2)三轮传播后，被感染的电脑共有3456台
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是本题的关键．
（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有2(1+x)+2(1+x)x=288，再解方程求出满足条
件的x的值即可；
（2）将x=11代入2(1+x) 3中计算即可．
【规范解答】（1）解：设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，
根据题意得：2(1+x)+2(1+x)x=288，即2(1+x) 2=288，
整理得：(1+x) 2=144，
解得：x =11,x =−13（不合题意，舍去），
1 2
答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑；
（2）解：由题意可知，2(1+x) 2+2x(1+x) 2=2(1+x) 3，
由（1）知x=11，
则2(1+11) 3=3456（台），
答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台．
【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫
情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头
生猪发病．
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？【答案】(1)每头发病生猪平均每天传染13头生猪
(2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，
（1）设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，根据第一天及第三天生猪发病的头数，即可得出关于x的一
元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据3天后生猪发病头数196×（1+每头发病生猪平均每天传染的头数），即可求出结论．
【规范解答】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，
依题意，得：1+x+(1+x)x=196，
解得：x =13，x =−15（不合题意，舍去）．
1 2
答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪．
（2）解：3天后生猪发病头数为：196×(1+13)=2744（头），
2744>2500，
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头．
考点13：增长率问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社
团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720
册．
(1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率．
(2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？
【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率20％
(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是864册
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月
的藏书量×（1+藏书的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得
出结论；
（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），
即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．
【规范解答】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x，
根据题意，得500(1+x) 2=720
解得x =20%，x =−2.2（不合题意，舍去）
1 2该校这两个月藏书的月均增长率为20%；
（2）解；720×(1+20%)=864（册），
所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是864册．
【变式训练】今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，
四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月的月平均增长率．
(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增
加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长率25%；
(2)当商品降价5元时，商场月获利4250元．
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设四月，五月的月平均增长率为x，根据题意，得256(1+x) 2=400，解方程即可；
（2）设降价m元，商场月获利4250元，根据题意，得(40−m−25)(400+5m)=4250，解方程即可．
【规范解答】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意，得256(1+x) 2=400，
解得x =0.25=25％，x =−2.25（舍去），
1 2
答：四、五这两个月的月平均增长率25%；
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意，得
(40−m−25)(400+5m)=4250，
解得m =5，m =−70（舍去），
1 2
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．
考点14：与图形有关的问题（一元二次方程的应用)
【典例精讲】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，
计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪．(1)如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）；
(2)已知a:b=2:1，并且四块草坪的面积之和为312m2，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
【答案】(1)这两条道路的面积分别是2am2和2bm2；
(2)原来矩形的长为28米，宽为14米．
【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键．
（1）由题意矩形场地的长为a米，宽为b米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积；
（2）根据题意四块草坪的面积之和为312m2这一等量关系建立方程进行分析计算即可．
【规范解答】（1）解：由题意可知这两条道路的面积分别是2am2和2bm2；
（2）解：∵a:b=2:1，
∴a=2b，
根据题意得：(2b−2)(b−2)=312，
整理得b2−3b−154=0，
解得：b =14，b =−11（舍去），
1 2
∴a=2b=28（米）
答：原来矩形的长为28米，宽为14米．
【变式训练】24-25九年级上·河南郑州·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充
电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的
重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小
区的后墙（可利用墙长为45m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出
口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．
(1)若车棚占地面积为384m2，试求出电动车车棚的长(BC)和宽(AB)；
(2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为450m2的电动车车棚吗？如果
能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)电动车车棚的长(BC)为24m，宽(AB)为16m；
(2)不能围成占地面积为450m2的电动车车棚，见解析．
【思路引导】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关
系列出方程．（1）设车棚宽AB为xm，则车棚长BC为(72−3x)m，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即
可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过45m；
（2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题．
【规范解答】（1）解：设车棚宽AB为xm，则车棚长BC为(72−3x)m，
由题意，得x(72−3x)=384，
整理，得x2−24x+128=0，
解得：x =8，x =16，
1 2
当x=8时，72−3×8=48>45（不合题意，舍），
当x=16时，72−3×16=24<45．
答：电动车车棚的长(BC)为24m，宽(AB)为16m．
（2）解：不能围成占地面积为450m2的电动车车棚，理由如下：
设车棚宽AB为ym，则车棚长BC为(72−3 y)m，
由题意，得y(72−3 y)=450，
整理，得y2−24 y+150=0，
∵Δ=(−24) 2−4×1×150=−24<0，
∴原方程无解，
∴不能围成占地面积为450m2的电动车车棚．
考点15：数字问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）综合与实践
【主题】利用闲置硬纸板制作收纳盒收纳玩具
【素材】两张长为100cm，宽为40cm的硬纸板
【任务】
(1)把如图1所示的长方形硬纸板的四角沿虚线剪去四个相同的小正方形，得到如图2的纸板，然后把纸板
的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖的长方体收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为
1216cm2，求剪去的小正方形的边长；
(2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图3所示．若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2，问能否把家里一个机械狗玩具收纳入内？机
械狗的实物图和尺寸大小如图4，请通过计算判断机械狗玩具能否完全放入该收纳盒．
【答案】(1)剪去的小正方形的边长为12cm；
(2)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由见解析．
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，合理将实际问题转化成方程
（组）是解题的关键．
（1）设剪去的小正方形的边长x，则无盖收纳盒的长为(100−2x)，宽为(40−2x)，列出方程求解即可；
（2）设小长方形的宽为xcm(x<20)，长ycm，列出方程组求解即可．
【规范解答】（1）解：设剪去的小正方形的边长x，则无盖收纳盒的长为(100−2x)，宽为(40−2x)，依
题意得：
(100−2x)(40−2x)=1216，
整理得：x2−70x+696=0
解得：x =12，x =58（舍去），
1 2
∴剪去的小正方形的边长12cm．
（2）解：设小长方形的宽为xcm(x<20)，长ycm，由题意得：
{ 2(y−x)=100−2y )
，
(40−2x)(100−2y)=702
{ x=11 )
解得： ，
y=30.5
∴小长方形的宽为11cm，
当EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为11<13，
∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．
【变式训练】（23-24九年级上·云南文山·期中）已知实数a、b满足(2a2+b2+1)(2a2+b2−1)=80，
试求2a2+b2的值．
解：设2a2+b2=m，则原方程可化为(m+1)(m−1)=80，即m2=81，
解得：m=±9，
∵2a2+b2≥0，
∴2a2+b2=9，
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的
运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化．
根据以上阅读材料，解决下列问题：(1)已知实数x、y满足(2x2+2y2−1)(x2+ y2 )=3，求3x2+3 y2−2的值；
(2)若四个连续正整数的积为120，求这四个正整数．
5
【答案】(1)
2
(2)这四个正整数为2，3，4，5
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程即可求解；
（1）令x2+ y2=m，则原方程为：(2m−1)m=3，结合x2+ y2≥0可得答案；
（2）根据题意设最小数为x，列出关系式，进而利用换元法即可求解．
【规范解答】（1）解：令x2+ y2=m，
∴(2x2+2y2−1)(x2+ y2 )=3化为：(2m−1)m=3，
3
解得：m= 或m=−1，
2
∵x2+ y2≥0，
3
∴x2+ y2=
，
2
3 5
∴3x2+3 y2−2=3× −2= ；
2 2
（2）解：设最小的数为x，则x(x+1)(x+2)(x+3)=120，
∴(x2+3x)(x2+3x+2)=120，
设x2+3x=m，则m2+2m−120=0，
解得：m =−12，m =10，
1 2
∵x是正整数，
∴x2+3x=10，
解得：x =2，x =−5(舍去)，
1 2
∴这四个正整数为2，3，4，5．
考点16：营销问题（一元二次方程的应用)
【典例精讲】（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）苏轼在《念奴娇－赤壁怀古》中写道：遥想公
瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发．羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭．根据资料，周瑜三十岁当上了东吴
都督，去世时年龄是两位数，个位数比十位数大3，个位数的平方等于去世时的年龄．若设周瑜去世时年
龄的十位数为x，则根据题意可列出方程 ．【答案】(x+3) 2=10x+x+3
【思路引导】根据个位及十位数字间的关系，可得出他去世时年龄的个位数为x+3，结合个位数的平方等
于他去世时的年龄，可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【规范解答】解：∵去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的十位数为x，
∴他去世时年龄的个位数为x+3，
根据题意得：(x+3) 2=10x+x+3，
故答案为：(x+3) 2=10x+x+3．
【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
【变式训练】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安
归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A
款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共
用去资金43500元．
(1)求第一批购入A、B两款头盔的数量；
(2)12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有
所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头
盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基
2
础上增加 ，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？
3
【答案】(1)第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；
(2)A款头盔的单价上涨了10元．
【思路引导】（1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为(4x+300)个，
根据共用去资金43500元，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为(1500−50 y)个，根据最终花费的总资金比第一批增加
了9000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【规范解答】（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为(4x+300)个，
由题意得：20（4x+300）+45x=43500，
解得：x=300，
∴4x+300=4×300+300=1500，
答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为(1500−50 y)本，
2
根据题意得：（20+ y）(1500−50 y)+45×300×（1+ ）=9000+43500，
3
整理得：y2−10 y=0，
解得：y =10，y =0（不符合题意，舍去），
1 2
答：A款头盔的单价上涨了10元．
考点17：动态几何问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·全国·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，
经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加
10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
(1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整；
小明：设每件皮衣降价x元，
由题意，可列方程为________________．
小红：设每件皮衣定价为y元，
由题意，可列方程为________________．
(2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元．
( x ) ( 1100−y )
【答案】(1)(1100−x−750) 30+ ×10 =12000；(y−750) 30+ ×10 =12000
50 50
(2)1050或950
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此
题的关键．
（1）根据利润=单件利润×件数列出一元二次方程即可；
（2）根据（1）中列出的一元二次方程计算即可得解．
x
【规范解答】（1）解：小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为(30+ ×10)件，
50x
依题意，得(1100−x−750)(30+ ×10)=12000；
50
( 1100−y )
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为 30+ ×10 件，
50
( 1100−y )
依题意，得(y−750) 30+ ×10 =12000．
50
x
（2）解：选择小明的设法，则(1100−x−750)(30+ ×10)=12000，
50
整理，得x2−200x+7500=0，
解得x =50，x =150，
1 2
则定价为1100−50=1050元或1100−150=950元，
答：每件皮衣定价为1050元或950元；
( 1100−y )
选择小红的设法，则(y−750) 30+ ×10 =12000，
50
整理，得y2−2000 y+997500=0，
解得y =1050，y =950．
1 2
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
【变式训练】（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm．点P
从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、
Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
(1)当t=__________时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t=__________时，四边形AQCP是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
9
(2)
4
(3)不存在某一时刻t，使得PQ⊥PC【思路引导】（1）当四边形是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；
（2）当四边形是菱形时，AP=AQ，列方程求得运动的时间t；
（3）根据勾股定理得到PQ2，PC2列方程得5t2−24t+54=(6−t) 2，根据根的判别式得出方程无实数根，
即可得出答案；
【规范解答】（1）解：如图， 过P点作PN⊥BC于N点，
由矩形ABCD可知， AB=CD=3cm，AD=BC=6cm， AD∥BC，
∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵PN⊥BC，
∴∠PNQ=∠PNC=90°，
∴四边形CDPN是矩形，
∴CN=DP， PN=CD=3cm，由运动可知， DP=BQ=tcm， 则AP=CQ=(6−t)cm，
当BQ=AP， 四边形ABQP是矩形，得到， t=6−t，
解得，t=3,
即当t=3时，四边形ABQP是矩形，
故答案为：3；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
由题意可知，AP=CQ，
∴四边形AQCP是平行四边形，
∴当AP=AQ,四边形AQCP是菱形，
∵AQ=❑√AB2+BQ2=❑√9+t2(cm)，
∴❑√9+t2=6−t，
9
解得t= ，
4
9
即当t= 时，四边形AQCP是菱形，
49
故答案为： ；
4
（3）解：不存在，理由如下：
∵QN=BC−BQ−CN=6−2t，
∴PQ2=QN2+PN2=(6−2t) 2+32=4t2−24t+45，
∵PC2=DP2+CD2=t2+9,
∴PQ2+PC2=5t2−24t+54，
若存在某一时刻t，使得PQ⊥PC，则存在某一时刻t使得，PQ2+PC2=CQ2，
即方程5t2−24t+54=(6−t) 2有解，
方程整理得2t2−6t+9=0,
Δ=(−6) 2−4×2×9=−36<0，
故方程5t2−24t+54=(6−t) 2无解，
即不存在某一时刻t，使得PQ⊥PC．
【考点评析】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．解决此题
注意结合方程的思想解题．
考点18：工程问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，
AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以
2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止．
(1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
(2)在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
【答案】(1)1秒后△PBQ的面积等于4cm2
(2)不能等于7cm2，理由见详解
【思路引导】此题主要考查了一元二次方程的应用；（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，
点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到7cm2．
【规范解答】（1）解：设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，依题意，PB=AB−AP=5−x,BQ=2x
1
则 ×(5−x)⋅2x=4，
2
整理得：x2−5x+4=0，
解得：x =1,x =4（舍去），
1 2
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）解：△PQB的面积不能等于7cm2，理由如下∶
设经过t秒以后△PQB面积为7cm2，
1
则 ×(5−t)×2t=7，
2
整理得：t2−5t+7=0，
Δ=52−4×1×7=−3<0，
所以此方程无解，
故△PQB的面积不能等于7cm2．
【变式训练】（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划
每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成
本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；
1 1
(2)实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加 a万元，且每天多挖 a．乙每合格完成1米隧
6 24
1 1 ( 11 )
道施工成本增加 a万元，且每天多挖 a米．若最终每天实际总成本比计划多 24+ a 万元，求a的值．
3 8 2
【答案】(1)甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元
(2)a的值为12
【思路引导】（1）设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为
(x+2)万元，根据题意列方程即可求解；
（2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解．
【规范解答】（1）解：设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为(x+2)万元，
∴6x+6(x+2)=108，解得，x=8，
∴甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元．
（2）解：由（1）可知，甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8
万元，
1
∴实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加 a万元，则甲每合格完成1米实际成本为
6
( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )
10+ a 万元，且每天多挖 a，则甲每天实际完成量为6× 1+ a = 6+ a 米，乙每合格完成1
6 24 24 4
1 ( 1 ) 1
米隧道施工成本增加 a万元，则乙每合格完成1米实际成本为 8+ a 万元，且每天多挖 a米，则乙每
3 3 8
( 1 ) ( 11 )
天实际完成量为 6+ a 米，终每天实际总成本比计划多 24+ a 万元，则最中每天的实际总成本为
8 2
( 11 ) ( 11 )
108+ 24+ a = 132+ a 万元，
2 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 11
∴ 10+ a × 6+ a + 8+ a × 6+ a =132+ a，整理得，a2+12a−288=0，解得，a =12，
6 4 3 8 2 1
a =−24（不符合题意，舍去），
2
∴a的值为12．
【考点评析】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元
一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键．
考点18：行程问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月
7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A、B两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，
已知A点平均每人采样720份，B点平均每人采样700份．
(1)求A、B两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个
商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B点抽调部分医护人员到A点经调查发现，B点每
减少1名医护人员，人均采样量增加10份，A点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B点抽调
了多少名医护人员到A点？
【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人
(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队
【思路引导】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人
员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一
次方程组，解之即可得出结论；
（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样(700+10m)份,根据重新规划后当天共采
样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【规范解答】（1）解：设A检测队有x人，B检测队有y人，
{ x+ y=13 ) {x=6)
依题意得： ，分解得：
720x+700 y=9200 y=7
答：A检测队有6人，B检测队有7人；
（2）解：设从B检测队中抽调了m人到A检测队，则B检测队人均采样(700+10m)人，
依题意得：720(6+m)+(700+10m)(7−m)=9360，
解得：m2−9m+14=0，解得：m =2，m =7，
1 2
由于从B对抽调部分人到A检测队，则m<7故m=2，
答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等
关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式训练】（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。
甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、
乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10
步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行
走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ）
A．(3x) 2+102=(7x−10) 2 B．(3x) 2+(7x−10) 2=102
C．(7x) 2+102=(3x−10) 2 D．(7x) 2+(3x−10) 2=102
【答案】A【思路引导】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关
键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，
利用勾股定理列出方程即可解答．
【规范解答】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形：
设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，
则AB=3x，BC=7x−10，
由勾股定理得，AB2+AC2=BC2，
∴(3x) 2+102=(7x−10) 2．
故选：A．
考点19：图表信息题（一元二次方程的应用)
【典例精讲】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，
叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等
于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运
动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，❑√2≈1.41，❑√3≈1.73）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s
(2)小球滚动5m约用了1.2秒
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动5m约用了x秒，由时间×速度=路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【规范解答】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少5÷4=1.25(m/s)，
答：小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s．
（2）解：设小球滚动5m约用了x秒，此时速度为5−1.25x，
5+(5−1.25x)
由题意得：x⋅ =5，
2整理得：x2−8x+8=0，
解得：x=4−2❑√2或x=4+2❑√2，
5
当x=4+2❑√2时，5−1.25x=5−1.25×(4+2❑√2)=− ❑√2<0，不符题意，舍去，
2
∴x=4−2❑√2≈1.2，
答：小球滚动5m约用了1.2秒．
【变式训练】（21-22九年级上·全国·课后作业）一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况
下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设
运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距离水面的高度ℎ(m)满足关系：ℎ=10+2.5t−5t2，那么他最多
有多长时间完成规定动作？(结果保留根号)
1+❑√17
【答案】
4
【思路引导】由题意可得，把函数值h=5直接代入关系式即可求得t的值，注意负值舍去．
【规范解答】解：由题意可知，将h=5代入关系式中，
得到：10+2.5t−5t2=5，
整理即：2t2−t−2=0．
1+❑√17 1-❑√17
解得：t = ，t = (负值舍去)，
1 4 2 4
1+❑√17
答：运动员完成动作的时间最多不超过 秒．
4
【考点评析】本题考查一元二次方程的解法及应用，关键是读懂题意，将距离水面的最大值h=5m代入函数
关系式，就可以求出时间的最大值．
考点20：其他问题（一元二次方程的应用)
【典例精讲】（2020·山西临汾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图
是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，
相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11−3×17=48，13×15−7×21=48．不难发现，结果都
是48．（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大
数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的
说法是否正确．（不必叙述理由）
【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确
【思路引导】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a−7），（a−1），（a＋1），（a＋7），利用
（a−1）（a＋1）−（a−7）（a＋7）＝48可证出结论；
（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方
程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方
程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确．
【规范解答】（1）证明：设中间的数为a，
∴(a−1)(a+1)−(a−7)(a+7)=a2−1−(a2−49)
=a2−1−a2+49=48．
（2）解：设这五个数中最大数为x，
由题意，得x(x−14)=435，
解方程，得x =29，x =−15（不合题意，舍去）．
1 2
答：这5个数中最大的数是29．
（3）他的说法不正确．
解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），
依题意，得：y（y−14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，∴小明的说法不正确．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，
正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·期中）某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36
场比赛，设参加的队数为x，根据题意列出方程为（ ）
1 1
A．x(x−1)=36 B．x(x+1)=36 C． x(x−1)=36 D． x(x+1)=36
2 2
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，每两队比赛一场，则每支队伍需与别的(x−1)支
队伍各赛一场．此时每场比赛会被计算两次（如甲队与乙队的比赛既算作甲队的比赛，也算作乙队的比
1
赛），因此总比赛场数为 x(x−1)场，据此列方程即可．
2
【规范解答】解：设有x支队伍参赛，
1
由题意得， x(x−1)=36，
2
故选：C．
考点21：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（2025·福建·一模）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，
将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学
习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，
则符合题意的方程是（ ）
A．2400(1−x2)=1944 B．2400(1−x) 2=1944
C．2400(1−2x)=1944 D．2400(1−2x) 2=1944
【答案】B
【思路引导】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设每次降价的百分率为x，根据两
次降价后的单价=原来的单价×(1−x) 2列出方程即可得．
【规范解答】解：由题意可列方程为2400(1−x) 2=1944，
故选：B．【变式训练】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性
时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛
季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共
有多少支球队．
【答案】本次联赛共有16支球队
【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关
键．设本次联赛共有x支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两
场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可．
【规范解答】解：设本次联赛共有x支球队，
由题意得x(x−1)=240，
x2−x−240=0，
∴(x−16)(x+15)=0，
∴x =16,x =−15（舍去），
1 2
∴本次联赛共有16支球队．
1．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边
都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为
x米，根据题意可列方程（ ）
A．5x2=6 B．5(1+x2)=6 C．x(5−x)=6 D．5(1+x) 2=6
【答案】C
【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，
列出方程即可．
【规范解答】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为(5−x)米，由题意，得：
x(5−x)=6；
故选：C．2．（2025·四川遂宁·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−3x+m+1=0有实数根，则实数m的取
值范围是（ ）
5 5 5 5
A．m< B．m≥ C．m> D．m≤
4 4 4 4
【答案】D
【思路引导】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的
关键；
根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值
范围．
【规范解答】解：对于方程x2−3x+m+1=0，其判别式为：
Δ=(−3) 2−4×1×(m+1)=9−4(m+1)=5−4m，
方程有实数根需满足Δ≥0，即：5−4m≥0，
5
解得m≤ ；
4
故选：D．
1
3．（2025·山东东营·中考真题）若关于x的方程(k2−1)x2+(k+1)x+ =0无实根，则k的取值范围是
4
．
【答案】k≤−1/−1≥k
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键．
分两种情况讨论：当k2−1=0时，方程为一元一次方程； 当k2−1≠0时，方程是一元二次方程，分别求
出k的取值范围即可．
1
【规范解答】解：当k2−1=0且k+1≠0时，即k=1时，原方程化为2x+ =0，这是一元一次方程，有实
4
数根；
当k=−1时，原方程无实数根，
1
当k2−1=0且k+1=0时，即k=−1时，原方程化为 =0，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于
4
一元二次方程的无实根情况；
1
当k2−1≠0，即k≠±1时，原方程(k2−1)x2+(k+1)x+ =0是一元二次方程，
41
因为方程无实根，所以△=(k+1) 2−4×(k2−1)× <0，即△=2k+2<0，
4
解得：k<−1；
综上，k的取值范围是k≤−1，
故答案为：k≤−1．
4．（2023·湖北荆门·中考真题）若一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范
围是 ．
【答案】k<1且k≠0
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且a≠0
）根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ<0时，方程无实数根．
{22−4k>0)
根据题意得出 ，解不等式组即可得到答案．
k≠0
{22−4k>0)
【规范解答】解：由题意得， ，
k≠0
解得：k<1且k≠0，
故答案为：k<1且k≠0 ．
5．（2023·贵州黔东南·中考真题）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−6x+8=0的解，
则此三角形的周长是 ．
【答案】13
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理；解方程得 x =2，x =4，当x=2时，
1 2
当x=4时，由三角形的三边关系定理进行判断，即可求解；能正确解一元二次方程，会利用三角形三边关
系定理进行求解是解题关键．
【规范解答】解：x2−6x+8=0，
(x−2)(x−4)=0，
x−2=0，x−4=0，
∴ x =2，x =4，
1 2
当x=2时，
2+3<6，
不符合三角形的三边关系定理，
∴ x=2舍去，当x=4时，
符合三角形的三边关系定理，
∴三角形的周长是3+6+4=13，
故答案为：13．
基础夯实
1．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）关于x的一元二次方程x2−x+a=0的一个根是2，则a的值
为（ ）
A．6 B．0 C．2 D．−2
【答案】D
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的概念，解题的关键是掌握方程根的意义．
将根代入方程中，等号两边相等即可求解．
【规范解答】解：将x=2代入方程得22−2+a=0，
解得a=−2，
故选：D．
2．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x(x+4)+3=0，下列说法正确
的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式判断一元二次方程根
的情况．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．
求解一元二次方程的判别式，即可求解．
【规范解答】解：一元二次方程x(x+4)+3=0可化简为x2+4x+3=0，
则Δ=42−4×1×3=4>0，
所以，方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
3．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）若−3是关于x的一元二次方程x2+3x−m=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
【答案】0
【思路引导】本题考查利用一元二次方程的根求参数的值，解题关键是掌握一元二次方程解的含义．
把x=−3代入方程，得到关于m的方程，即可求解．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x−m=0有一个根是x=−3，
∴(−3) 2+3×(−3)−m=0，
解得：m=0，
则方程为x2+3x=0，解得：x=−3或x=0，
则方程的另一个根是0，
故答案是：0．
4．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x 、x ，则
1 2
x −x x +x 的值是 ．
1 1 2 2
1
【答案】−2
2
【思路引导】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到
4 1
x +x =− =−2,x x = ，整体代入法求值即可．
1 2 2 1 2 2
4 1
【规范解答】解：由题意，得：x +x =− =−2,x x = ，
1 2 2 1 2 2
1 1
∴x −x x +x =x +x −x x =−2− =−2 ，
1 1 2 2 1 2 1 2 2 2
1
故答案为：−2 ．
2
5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程：
(1)x2−6x−4=0
(2)(x−3) 2+4x(x−3)=0．
【答案】(1)x =3+❑√13,x =3−❑√13
1 2
3
(2)x = ，x =3．
1 5 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程；
（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．
【规范解答】（1）解：x2−6x−4=0
x2−6x+9=4+9
(x−3) 2=13
x−3=±❑√13
解得：x =3+❑√13,x =3−❑√13；
1 2
（2）解：(x−3) 2+4x(x−3)=0
(x−3)(x−3+4x)=0
(x−3)(5x−3)=0
∴5x−3=0或x−3=0，
3
解得：x = ，x =3．
1 5 2
培优拔高
6．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程2x2+3x−2=0的两个根为（ ）
1 1
A．x =−2，x = B．x =2，x =
1 2 2 1 2 2
1 1
C．x =−2，x =− D．x =2，x =−
1 2 2 1 2 2
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式．
利用一元二次方程的求根公式进行求解即可．
【规范解答】解：2x2+3x−2=0，a=2,b=3,c=−2，
Δ=b2−4ac=9−4×2×(−2)=25>0，
根据求根公式得，
−b±❑√Δ −3±❑√25 −3±5
x= = = ，
2a 2×2 4
1
∴x =−2，x = ，
1 2 2
故选：A．7．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）若实数x满足(x2+x) 2 +x2+x=6，则代数式x2+x的值是
（ ）
A．−3 B．2 C．3 D．−3或2
【答案】B
【思路引导】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结果．
【规范解答】解：设y=x2+x，原方程变为y2+ y=6，即y2+ y−6=0．
因式分解得(y+3)(y−2)=0，
解得y=−3或y=2，
当y=2时，方程x2+x=2的判别式Δ=1+8=9>0，存在实数解，
当y=−3时，方程x2+x=−3的判别式Δ=1−12=−11<0，无实数解，
因此，代数式x2+x的值为2，
故选：B．
8．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知一元二次方程 x²+2x−m=0有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是 ．
【答案】m>−1
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意得到Δ>0，求出m的取值范围即可．
【规范解答】解：∵一元二次方程 x²+2x−m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4+4m>0，
解得m>−1，
故答案为：m>−1．
1−ax 1
9．（24-25九年级上·重庆永川·期中）已知关于x的分式方程 +3= 解为整数，且关于x的一
x−2 2−x
元二次方程x2+2x+a−2=0有实数根，则满足条件的整数a的和为 ．
【答案】1
【思路引导】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可
4
得x= ，根据分式方程有整数解可得−a+3=−4或−2或−1或1或2或4，即可得到a=7或5或4或2
−a+3
或1或−1，再根据分式方程有意义可得a≠1，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得a≤3，进而得
到满足条件的所有整数a，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数a的值是
解题的关键．1−ax 1
【规范解答】解：∵ +3= ，
x−2 2−x
∴1−ax+3(x−2)=−1，
4
∴x= ，
−a+3
1−ax 1
∵分式方程 +3= 有整数解，
x−2 2−x
∴−a+3=−4或−2或−1或1或2或4，
即a=7或5或4或2或1或−1，
∵x−2≠0，
4
∴ ≠2，
−a+3
∴a≠1，
∴a=7或5或4或2或−1，
又∵关于x的一元二次方程x2+2x+a−2=0有实数根，
∴Δ=22−4×(a−2)≥0，
∴a≤3，
∴a=2或−1，
∴满足条件的所有整数a的和为2+(−1)=1，
故答案为：1．
10．（2025九年级上·全国·专题练习）小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．
他们打算以每千克m元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的［5000(m+1)]kg蜜梨以每千克比零售价低1
元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入．
(1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？
(2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取
了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才
能使得每天的销售利润为600元？
【答案】(1)小琴的父母今年共收获蜜梨35000kg
(2)每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为600元
【思路引导】（1）根据销售毛利润与单价、数量之间的关系可列方程，求出m的值，进而求出总产量；
（2）由于降价，日销售量增加，用含有x的代数式表示每斤的销售利润和日销售量，根据日销售利润可
列方程求解，注意结果的合理性.【规范解答】解：（1）由题意，得5000m+5000(m+1)(m−1)=145000，
解得m =5,m =−6（不合题意，舍去）．
1 2
当m=5时，5000+5000(m+1)=35000．
故小琴的父母今年共收获蜜梨35000kg．
（2）设每千克零售价应降价x元，才能使得每天的销售利润为600元．
( x )
由题意，得(2−x) 200+40× =600，
0.1
解得x =0.5,x =1．
1 2
为了加快销售速度， 应该舍去0.5，选降价1 元。
故每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为600元．
【考点评析】一元二次方程及应用，列出合理的方程是解题的关键，分析数量关系则显得尤其重要，降价
使日销售量和每斤的销售利润发生变化，尤为注意.
