文档内容
专题21.4 解一元二次方程计算85题
【8大题型++知识梳理+中考实战演练】
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 ..........................................1
知识点梳理02：配方法解一元二次方程.................................................2
知识点梳理03：公式法解一元二次方程.................................................3
知识点梳理04：因式分解法解一元二次方程.............................................3
易错真题 能力拔尖......................................................................4
高频解法1：直接开平方法（一元二次方程的解法）......................................4
高频解法2：配方法（一元二次方程的解法）............................................9
高频解法3：根据判别式判断一元二次方程根的情况（一元二次方程的解法）...............14
高频解法4：根据一元二次方程根的情况求参数（一元二次方程的解法）...................20
高频解法5：公式法（一元二次方程的解法）...........................................26
高频解法6：因式分解法（一元二次方程的解法）.......................................34
高频解法7：换元法（一元二次方程的解法）...........................................40
高频解法8：一元二次方程的根与系数的关系...........................................49
中考真题 实战演练.....................................................................57
知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a的算术平方根为❑√a，平方根为±❑√a．
例如：144的算术平方根为❑√144=12，平方根为±❑√144=±12．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．
例如x2=25，解得x=±5．
一般地，对于方程x2=p．
方程有两个不等的实数根x =❑√p，
p>0 1
x =−❑√p
2
p=0 方程有两个相等的实数根x =x =0
1 2p<0 方程无实数根
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为x2=p或(mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)的形式；
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点梳理02：配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方
程化为(x+a) 2=b的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通
过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)
一般步骤 方法 实例(9 y2−18 y−4=0)
将常数项移到方程的右边，含未知数的项
一移 移项 9 y2−18 y=4
移到方程的左边
二化
二次项系数化为
方程左、右两边同时除以二次项系数
y2−2y= 4
1 9
4
y2−2y+1= +1
9
方程左、右两边同时加上一次项系数一半
三配 配方
的平方 13
即(y−1) 2=
9
❑√13
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 (y−1)=±
3
❑√13
y =1+ ，
1 3
五解 得出两个根 移项，合并同类项
❑√13
y =1−
2 3
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不
相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这
个方程就没有实数根．
3. 解题依据： ，把公式中的 看作未知数 ，并用 代替，则
(a±b) 2=a2±2ab+b2 a x x．
(x±b) 2=x2±2bx+b2
知识点梳理03：公式法解一元二次方程
−b±❑√b2−4ac
1. 当∆≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形式，这个
2a
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程
的方法叫做公式法．
方程有两个不相等的实数根
∆>0 −b±❑√b2−4ac
x=
2a
b
∆=0 方程有两个相等的实数根x =x =−
1 2 2a
∆<0 方程无实数根
2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，确定 a ， b ， c 的值；
（2）求出∆=b2−4ac的值；
−b±❑√b2−4ac
（3）若∆≥0，则将a，b，c的值代人求根公式x= 求出方程的根，若∆<0，则方程无
2a
实数根．
知识点梳理04：因式分解法解一元二次方程
1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个 一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于
0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
四解 写出方程的两个解
高频解法1：直接开平方法（一元二次方程的解法）
1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）解方程
(1)4x2+2=66
(2)x2−8x+1=0（配方法）
【答案】(1)x =4,x =−4
1 2
(2)x =4+❑√15,x =4−❑√15
1 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程．
（1）用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）用配方法解一元二次方程即可．
【规范解答】（1）解：4x2+2=66，
4x2=64，
x2=16，解得：x =4,x =−4；
1 2
（2）解：x2−8x+1=0，
x2−8x+1+15=15
(x−4) 2=15
x−4=±❑√15
解得：x =4+❑√15,x =4−❑√15．
1 2
2．（24-25九年级上·吉林·期中）用适当方法解方程：2(x−1) 2=8.
【答案】x =3,x =−1
1 2
【思路引导】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可．
【规范解答】解：2(x−1) 2=8.
(x−1) 2=4，
x−1=±2，
∴x =3,x =−1．
1 2
3．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）解方程：ax2−2=2x2
❑√2a−4 ❑√2a−4
【答案】a≤2时，方程没有实数解；a>2时，x =− ，x = ．
1 a−2 2 a−2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法．先移项得到(a−2)x2=2，讨论：当a=2时，
方程无解；当a≠2时，方程为一元二次方程，若a−2<0时，方程没有实数解；a−2>0，利用直接开平方
法解方程．
【规范解答】解：ax2−2=2x2，
(a−2)x2=2，
当a=2时，方程无解；
2
当a≠2时，x2=
，
a−2
a−2<0时，即a<2，方程没有实数解；
√ 2 ❑√2a−4
a−2>0，即a>2，x=±❑ =± ，
a−2 a−2❑√2a−4 ❑√2a−4
即x =− ，x = ，
1 a−2 2 a−2
❑√2a−4 ❑√2a−4
综上所述，a≤2时，方程没有实数解；a>2时，x =− ，x = ．
1 a−2 2 a−2
4．（24-25八年级下·上海·期中）解关于x的方程：7−bx2=x2+6(b≠−1)．
❑√b+1
【答案】当b>−1时，x=± ，当b<−1时，方程无实数根
b+1
【思路引导】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平
方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
先变形，再利用直接开平方法求解可得．
【规范解答】解：7−bx2=x2+6(b≠−1)，
1
整理得：(1+b)x2=7−6，即x2= (b≠−1,即b+1≠0)，
b+1
❑√b+1
当b>−1时，x=± ，
b+1
当b<−1时，方程无实数根．
5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程：
(1)(x+1) 2−4=0
(2)（配方法）y2−6 y−112=0
【答案】(1)x =−3，x =1
1 2
(2)y =14,y =−8
1 2
【思路引导】本题考查了一元二次方程解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，进而根据直解开平方法解，即可求解．
（2）根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【规范解答】（1）解：(x+1) 2−4=0，
∴(x+1) 2=4，
∴x+1=±2，
解得x =−3，x =1；
1 2
（2）解：y2−6 y−112=0
∴y2−6 y=112，∴y2−6 y+9=112+9，
∴(y−3) 2=121，
∴y−3=±11，
∴y−3=11 或 y−3=−11，
解得：y =14,y =−8．
1 2
6．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算：
(1)2(x−1) 2=18
(2)x2−4x−3=0
【答案】(1)x =4，x =−2；
1 2
(2)x =2+❑√7，x =2−❑√7．
1 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）直接用开平方法即可求解；
（2）用配方法求解即可．
【规范解答】（1）解：2(x−1) 2=18，
∴(x−1) 2=9，
∴x−1=3或x−1=−3，
解得：x =4，x =−2；
1 2
（2）解：x2−4x−3=0，
∴x2−4x=3，
∴x2−4x+22=3+22，
∴(x−2) 2=7，
∴x−2=❑√7或x−2=−❑√7，
解得：x =2+❑√7，x =2−❑√7．
1 2
7．（24-25九年级上·河南新乡·期末）解方程：
(1)(x−1) 2=4．
(2)x2−4x=2x−8．【答案】(1)x =3，x =−1
1 2
(2)x =2，x =4
1 2
【思路引导】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）方程运用直接开平方法求解即可；
（2）方程移项后运用配方法求解即可．
【规范解答】（1）解：(x−1) 2=4，
两边开平方，得x−1=±2，
∴x =3，x =−1．
1 2
（2）解：x2−4x=2x−8，
移项，得x2−6x=−8，
配方，得x2−6x+9=−8+9，
∴(x−3) 2=1，
两边开平方，得x−3=±1，
∴x =2，x =4．
1 2
8．（24-25九年级上·广西柳州·期中）解方程：(x+5) 2=25；
【答案】x =0,x =−10
1 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、
公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．利用直接开平方法解一元二次方程即可得．
【规范解答】解：(x+5) 2=25，
x+5=±5，
x=−5+5或x=−5−5，
所以方程的解为x =0,x =−10．
1 2
9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程：
(1)(x+1) 2−16=0；
(2)x2+6x−8=0
【答案】(1)x =3，x =−5
1 2
(2)x =−3+❑√17，x =−3−❑√17
1 2
【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【规范解答】（1）解：原方程化为(x+1) 2=16，
开方，得x+1=±4，
∴x =3，x =−5．
1 2
（2）解：原方程化为x2+6x=8，
配方，得x2+6x+32=8+32，
即(x+3) 2=17，
开方，得x+3=±❑√17，
∴x =−3+❑√17，x =−3−❑√17．
1 2
10．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1)x2+2x−4=0
(2)(x−5) 2−9=0
【答案】(1)x =−1+❑√5，x =−1−❑√5；
1 2
(2)x =8，x =2．
1 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用直接开方法解一元二次方程即可．
【规范解答】（1）x2+2x−4=0
x2+2x=4
x2+2x+1=4+1
(x+1) 2=5
x+1=±❑√5
解得x =−1+❑√5，x =−1−❑√5；
1 2
（2）(x−5) 2−9=0(x−5) 2=9
x−5=±3
解得x =8，x =2．
1 2
高频解法2：配方法（一元二次方程的解法）
11．（24-25九年级上·吉林长春·期末）解方程：x2−2x−1=0．
【答案】x =1+❑√2，x =1−❑√2
1 2
【思路引导】本题考查解一元二次方程，用配方法解一元二次方程即可．
【规范解答】解：x2−2x−1=0
x2−2x=1
x2−2x+1=2
(x−1) 2=2，
x−1=±❑√2
x =1+❑√2，x =1−❑√2．
1 2
12．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）用配方法解方程：x2−8x+6=0．
【答案】x =4+❑√10，x =4−❑√10
1 2
【思路引导】本题考查解一元二次方程．先变形、移项，得到x2−8x=−6，再通过配方求解．
【规范解答】解：x2−8x+6=0
∴x2−8x=−6，
即x2−8x+42=−6+42，
∴(x−4) 2=10，
∴x−4=±❑√10，
∴x =4+❑√10，x =4−❑√10．
1 2
13．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算
(1)解方程：2x2−1=3x；
a2 (2a−2 )
(2)化简： ÷ −1 ．
a2−4 a−2❑√17+3 −❑√17+3
【答案】(1)x = ，x =
1 4 2 4
a
(2)
a+2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，分式混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用配方法进行解方程，即可作答．
a
（2）先通分括号内，再运算除法，化简得 ，即可作答．
a+2
【规范解答】（1）解：∵2x2−1=3x，
∴2x2−3x=1，
3 1
∴x2− x= ，
2 2
3 9 1 9
∴x2− x+ = +
2 16 2 16
( 3) 2 17
∴ x− =
4 16
3 ❑√17
∴x− =±
4 4
❑√17+3 −❑√17+3
解得x = ，x =
1 4 2 4
a2 (2a−2 )
（2）解： ÷ −1
a2−4 a−2
a2 2a−2−a+2
= ÷
a2−4 a−2
a2 a−2
= ×
(a+2)(a−2) a
a
= ．
a+2
14．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程：
(1)(x−1) 2−9=0；
(2)x2+2x−4=0．
【答案】(1)x =4，x =−2
1 2(2)x =−1+❑√5，x =−1−❑√5
1 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程．
（1）先移项，再利用直接开平方法求解即可；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【规范解答】（1）解：(x−1) 2−9=0，
∴(x−1) 2=9，
∴x−1=±3，
∴x =4，x =−2；
1 2
（2）解：x2+2x−4=0，
∴x2+2x=4，
∴x2+2x+1=4+1，即(x+1) 2=5，
∴x+1=±❑√5，
∴x =−1+❑√5，x =−1−❑√5．
1 2
15．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）解方程：
(1)x2−4x−1=0；
(2)x2+5x+7=3x+11．
【答案】(1)x =❑√5+2，x =−❑√5+2
1 2
(2)x =❑√5−1，x =−❑√5−1
1 2
【思路引导】此题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【规范解答】（1）解：x2−4x−1=0
x2−4x=1
(x−2) 2=5
x−2=❑√5，x−2=−❑√5
x =❑√5+2，x =−❑√5+2；
1 2（2）解：x2+5x+7=3x+11
x2+2x=4
(x+1) 2=5
x+1=❑√5，x+1=−❑√5
x =❑√5−1，x =−❑√5−1．
1 2
16．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程方程：−3x2+4x+1=0．
2 ❑√7 2 ❑√7
【答案】x = + ，x = −
1 3 3 2 3 3
【思路引导】本题考查了解一元二次方程−−配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．方程整理后，
利用配方法求出解即可．
4 1
【规范解答】解∶方程整理，得x2− x= ，
3 3
配方，得x2− 4 x+ 4 = 1 + 4 ，即 ( x− 2) 2 = 7 ，
3 9 3 9 3 9
2 ❑√7
开方，得x− =± ，
3 3
2 ❑√7 2 ❑√7
解得x = + ，x = − ．
1 3 3 2 3 3
17．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2−4x=2
(2)(x−3) 2=(2x+1) 2
【答案】(1)x =2+❑√6,x =2−❑√6
1 2
2
(2)x =−4，x =
1 2 3
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题
的关键．
（1）利用配方法即可求解；
（2）利用直接开平方法求解．
【规范解答】（1）解：x2−4x=2
x2−4x+4=6(x−2) 2=6
x−2=±❑√6
∴x =2+❑√6,x =2−❑√6；
1 2
（2）解：(x−3) 2=(2x+1) 2
x−3=2x+1或x−3=−2x−1
2
解得：x=−4或x= ，
3
2
∴原方程的根为：x =−4，x = ．
1 2 3
18．解方程：x2+2x−5=0．
【答案】x =❑√6−1，x =−❑√6−1
1 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．利用配方法解
方程即可求解．
【规范解答】解：x2+2x−5=0，
x2+2x=5，
x2+2x+1=5+1，
(x+1) 2=6，
x+1=±❑√6，
∴x =❑√6−1，x =−❑√6−1．
1 2
19．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）解方程：x2−6x−6=0
【答案】x =3+❑√15，x =3−❑√15
1 2
【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项
系数一半的平方进行配方，再解方程即可．
【规范解答】解：∵x2−6x−6=0，
∴x2−6x=6，
∴x2−6x+9=15，
∴(x−3) 2=15，∴x−3=±❑√15，
解得x =3+❑√15，x =3−❑√15．
1 2
20．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）解方程：
(1)x2−25=0
(2)x2−2x−1=0
【答案】(1)x =5，x =−5
1 2
(2)x =1+❑√2，x =1−❑√2
1 2
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练并灵活地运用一元二次方程的解法去解
方程．
（1）先移项，再利用直接开平方法求解；
（2）利用配方法求解．
【规范解答】（1）解：（1）x2−25=0，
∴x2=25，
解得：x =5，x =−5；
1 2
（2）（2）x2−2x−1=0，
∴x2−2x+1=2，
∴(x−1) 2=2，
∴x−1=±❑√2，
解得：x =1+❑√2，x =1−❑√2．
1 2
高频解法3：根据判别式判断一元二次方程根的情况（一元二次方程的解法）
21．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解关于x的方程：
(1)x2+mx+2=mx2+3x(m≠1)
(2)x2−4ax+3a2+2a−1=0
2
【答案】(1)x= 或x=1
1−m
(2)x=3a−1或x=a+1
【思路引导】本题考查了利用公式法解一元二次方程，解题关键是先利用判别式判断是否有根．
（1）先将方程化为一般形式，再计算判别式，确定有根后，然后根据公式法即可求出答案；（2）先计算判别式，确定有根后，再根据公式法即可求出答案．
【规范解答】（1）解： ∵x2+mx+2=mx2+3x，
∴(1−m)x2+(m−3)x+2=0，
∴a=1−m，b=m−3，c=2，
∴ Δ=(m−3) 2−8(1−m)
=m2+2m+1，
−m+3±❑√(m+1) 2
∴x=
2−2m
−m+3±|m+1|
= ；
2−2m
2
∴x= 或x=1；
1−m
（2）∵x2−4ax+3a2+2a−1=0，
∴a=1，b=−4a，c=3a2+2a−1，
∴△=16a2−4(3a2+2a−1)
=4(a2−2a+1)
=4(a−1) 2，
4a±❑√4(a−1) 2
∴x=
2
4a±2|a−1|
=
2
=2a±|a−1|
∴x=3a−1或x=a+1．
22．（2025·福建厦门·模拟预测）已知a2+a−4=0．
(1)求代数式2a−2(4−a2)的值；
(2)请判断关于x的一元二次方程x2−2(4−a2)x+a2=0是否存在两不等实根，并说明理由．
【答案】(1)0(2)不存在两不等实根，理由见详解
【思路引导】本题主要考查一元二次方程根的判别式及代数式的值，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
代数式的值是解题的关键；
（1）由题意易得a2+a=4，然后利用整体代入进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【规范解答】（1）解：∵a2+a−4=0，
∴a2+a=4，
∴2a−2(4−a2)=2a−8+2a2=2(a2+a)−8=2×4−8=0；
（2）解：不存在，理由如下：
∵a2+a−4=0，
∴a=4−a2，
∴x2−2ax+a2=0，
∴Δ=(−2a) 2−4a2=0，
∴原方程有两个相等的实数根．
23．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知关于x的一元二次方程x2−mx−2=0．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由；
(2)当m=1时，求方程的根．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析
(2)x =−1，x =2
1 2
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识．
（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2−4ac的值的符号即可；
（2）把m的值代入方程，然后解方程即可．
【规范解答】（1）解：方程有两个不相等的实数根，理由如下：
∵关于x的一元二次方程为x2−mx−2=0，
∴ Δ=(−m) 2−4×1×(−2)=m2+8，
∵ m2+8≥8，
∴ Δ>0，
即方程有两个不相等的实数根；
（2）当m=1时，原方程为x2−x−2=0，
x2−x−2=0x2−x=2
x2−x+
(1) 2
=2+
1
2 4
( 1) 2 9
x− =
2 4
1 3
x− =±
2 2
x =−1，x =2．
1 2
24．（24-25九年级上·北京西城·期末）已知关于x的方程x2−(m+4)x+2m+4=0．
(1)求证：方程总有两个实数根：
(2)若方程的一个根比另一个根大3，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)m=3或m=−3
【思路引导】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关
系建立关于m的方程解决问题．
（1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解；
（2）利用根与系数的关系建立关于m的方程即可求解．
【规范解答】（1）证明：Δ=(m+4) 2−4×1×(2m+4)=m2+8m+16−8m−16=m2，
因为m2≥0，所以Δ≥0，
所以方程总有两个实数根．
(m+4)±❑√m2 (m+4)±m
（2）解：解方程，得x= = ，
2 2
整理，得x=2或x=m+2，
∵方程的一个根比另一个根大3，∴m+2−2=3或2−m−2=3，
∴m=3或m=−3．
25．（24-25九年级上·河南南阳·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．
(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个根x ，x 是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值．
1 2
【答案】(1)见解析；(2)4．
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、求根公式和矩形的性质，准确计算是解题的关键．
（1）根据根的判别式判断即可；
（2）根据求根公式算出方程的解，再根据矩形的性质讨论即可；
【规范解答】（1）解：x2−(2k+1)x+k2+k=0，
∵a=1，b=−(2k+1)，c=k2+k，
∴Δ=b2−4ac=[−(2k+1)) 2 −4×1×(k2+k)=1>0；
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；；
（2）解：x2−(2k+1)x+k2+k=0，
−b+❑√b2−4ac 2k+1±1
∴x= = ，
2a 2
∴x =k，x =k+1，
1 2
∵k+1>k，
∴x=k+1为对角线，
由勾股定理得(k+1) 2=k2+32，
解得：k=4．
26．（24-25九年级上·全国·期中）请你判别下列方程根的情况：
(1)2x2−x+1=0
(2)y2+3 y−15=0
【答案】(1)无实数根
(2)有两个不相等的实数根
【思路引导】本题考查判断一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别
式为Δ=b2−4ac，且当Δ>0时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，该方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，该方程没有实数根是解题关键．
（1）计算其判别式Δ，根据Δ的符号即可判断；
（2）计算其判别式Δ，根据Δ的符号即可判断．
【规范解答】（1）解：∵2x2−x+1=0，∴Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×2×1=−7<0，
∴该一元二次方程无实数根；
（2）解：∵y2+3 y−15=0，
∴Δ=b2−4ac=32−4×1×(−15)=69>0，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根．
27．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于x的方程x2−(m+2)x+2m−1=0
(1)求证：无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根．
【答案】(1)见详解
(2)方程的另一个根为x=3
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式及方程的解．
（1）根据根的判别式Δ=b2−4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）把方程的根x=1代入，求得m的值，然后解方程即可得到另一个根．
【规范解答】（1）解： Δ=[−(m+2)) 2 −4⋅(2m−1)=(m−2) 2+4>0，
∴无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的一个根为1，
∴1−(m+2)+2m−1=0，
解得m=2，
∴方程为x2−4x+3=0，
解方程得x =1，x =3，
1 2
∴方程的另一个根为x=3．
28．（23-24八年级下·河南周口·期末）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中
一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．注：如果选择多组条件分别作答，按
第一个解答计分．
①b=2，c=1；②b=3，c=1；③b=3，c=−1；④b=2，c=2．
−3+❑√5 −3−❑√5 −3+❑√13 −3−❑√13
【答案】选②解方程，x = ，x = ；选③解方程，x = ，x =
1 2 2 2 1 2 2 2
【思路引导】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的
判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2−4ac>0，由此可知b、c的值可在③④中选取，然后求解
方程即可．
【规范解答】解：∵使方程x2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac>0，
①b=2，c=1；
∴b2−4ac=22−4×1×1=0，不符合题意，应舍去；
②b=3，c=1；
∴b2−4ac=32−4×1×1=5，
∴这个方程为：x2+3x+1=0，
−b±❑√b2−4ac −3±❑√5
∴x= = ；
2a 2
−3+❑√5 −3−❑√5
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
③b=3，c=−1；
∴b2−4ac=32−4×1×(−1)=13，
∴这个方程为：x2+3x−1=0，
−b±❑√b2−4ac −3±❑√13
∴x= =
2a 2
−3+❑√13 −3−❑√13
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
④b=2，c=2
∴b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，不符合题意，应舍去．
29．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程
(1)x2−2x+1=25；
(2)x2+2❑√5x+10=0
【答案】(1)x =6，x =−4
1 2
(2)原方程无解．
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）首先计算判别式得到Δ=b2−4ac=(2❑√5) 2 −4×1×10=−20<0，进而得到原方程无解．
【规范解答】（1）x2−2x+1=25
(x−1) 2=25
x−1=±5
解得x =6，x =−4；
1 2
（2）x2+2❑√5x+10=0
a=1，b=2❑√5，c=10
Δ=b2−4ac=(2❑√5) 2 −4×1×10=−20<0
∴原方程无解．
30．（23-24九年级上·陕西延安·期末）若关于x的一元二次方程x2+(m+4)x+2m−1=0，求证：不
论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】详见解析
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，直接根据根的判别式计算即可．
【规范解答】证明：∵△=b2−4ac
=(m+4) 2−4×1×(2m−1)
=m2+8m+16−8m+4
=m2+20>0，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根
高频解法4：根据一元二次方程根的情况求参数（一元二次方程的解法）
31．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−2x+a−2=0有两个实数根，
求a的取值范围．
【答案】a≤3
【思路引导】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数
根．根据根的判别式，得出(−2) 2−4(a−2)≥0，解不等式即可．【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+a−2=0有两个实数根，
∴Δ≥0，
即(−2) 2−4(a−2)≥0，
解得：a≤3．
32．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−1=0（m为常
数）
(1)若x=0是该方程的一个实数根，求m的值；
(2)当m=−2时，求该方程的实数根；
(3)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)m=±1
−5+❑√13 −5−❑√13
(2)x = ,x =
1 2 2 2
5
(3)m<
4
【思路引导】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是熟知根的判别式与一元二次方程
的解法．
（1）代入x=1可得出关于m的方程，解之即可得出m的值；
（2）代入m=−2，利用公式法解一元二次方程，即可得出方程的实数根；
（3）由方程有两个不相等的实数根可得Δ>0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取
值范围．
【规范解答】（1）∵x=0是该方程的一个实数根，
∴m2−1=0，解得m=±1；
（2）当m=−2时，原方程为：x2+5x+3=0，a=1，b=5，c=3，
∵Δ=b2−4ac=52−4×1×3=13>0，
∴一元二次方程有两个不等的实数根：
−b±❑√Δ −5±❑√13 −5±❑√13
x= = = ；
2a 2×1 2
−5+❑√13 −5−❑√13
∴该方程的实数根是x = ,x =
1 2 2 2
（3）若方程有两个不相等的实数根，
则Δ=b2−4ac=[−(2m−1)) 2 −4×1×(m2−1)>0，(2m−1) 2−4(m2−1)>0，4m2−4m+1−4m2+4>0，
5
−4m+5>0，m< ．
4
5
∴m的取值范围是m< ．
4
33．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）已知关于x的一元二次方程ax2+5x−5=0有两个不相等
的实数根x 、x ．
1 2
(1)求a的取值范围；
1
(2)若a=− ，用公式法求该方程的解．
2
5
【答案】(1)a>− 且a≠0
4
(2)x =5+❑√15，x =5−❑√15
1 2
【思路引导】本题主要考查一元二次方程及其解，解答本题的关键在于熟练掌握一元二次方程有关知识点
和解法．
（1）方程有两个不相等的实数根用根的判别式即可求出a的取值范围，
（2）根据公式法即可求解方程．
【规范解答】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
5
∴b2−4ac=52−4a×(−5)>0．解得：a>− ．
4
∵方程是关于x的一元二次方程．
∴a≠0，
5
∴a>− 且a≠0．
4
1
（2）∵a=− ，b=5，c=−5，
2
∴b2−4ac=52−4× ( − 1) ×(−5)=15>0．
2
−b±❑√b2−4ac −5±❑√15
x= =
∴ 2a ( 1) ．
2× −
2即x =5+❑√15，x =5−❑√15．
1 2
34．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知关于x的一元二次方程为x2−2(m+1)x+m2=0．
(1)当m为何值时，该方程有实数根；
(2)当m=1时，求出这个方程的两个根．
1
【答案】(1)m≥−
2
(2)x =2+❑√3，x =2−❑√3．
1 2
【思路引导】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数、解一元二次方程，解题的关键是熟知根的判
别式与一元二次方程的解法．
（1）由方程有实数根可知Δ≥0，然后解得m的取值范围即可．
（2）将m的值代入原方程，求解方程即可．
【规范解答】（1）∵方程x2−2(m+1)x+m2=0有实数根，
∴Δ=[−2(m+1)) 2 −4×1×m2≥0，
1
即2m+1≥0，解得m≥− ，
2
1
∴当m≥− 为何值时，该方程有实数根；
2
（2）将m=1代入原方程得x2−2(1+1)x+12=0，即(x−2) 2=3，
∴x=2±❑√3,
即x =2+❑√3，x =2−❑√3．
1 2
35．（23-24九年级上·天津·期末）解方程：
(1)2x2−4x−1=0．
(2)关于x的方程x2−x−m=0有两个不相等的实根，求m的取值范围．
2+❑√6 2−❑√6
【答案】(1)x = ，x =
1 2 2 2
1
(2)m>−
4
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，根的判别式；（1）先求出Δ=b2−4ac=24>0，再由求根公式，即可求解；
（2）Δ=1+4m，由一元二次方程两个不相等的实根，可得Δ>0即可求解；
−b±❑√b2−4ac
掌握求根公式“x= ”及根的判别式：“Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，
2a
方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程有无的实数根．”是解题的关键．
【规范解答】（1）解：由题意得
a=2，b=−4，c=−1，
∴Δ=b2−4ac
=(−4) 2−4×2×(−1)
=24>0，
2±❑√6
∴ x= ，
2
2+❑√6 2−❑√6
∴ x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：∵方程有两个不相等的实根，
∴ Δ=(−1) 2−4×1×(−m)
=1+4m>0，
1
解得：m>− ．
4
a2−1 1
36．（2024·广东广州·一模）已知：A= ÷(a+1)− ．
a2−2a+1 a
(1)化简A；
(2)若关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，求A的值．
1
【答案】(1)
a(a−1)
1
(2)
2
【思路引导】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根的判别式，掌握相关运算法则是解题关键
（1）先将除法化为乘法约分，再通分计算减法即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式，求得a=2或a=−1，再结合分母不为0，得到a=2，代入计算求出A
的值即可．a2−1 1
【规范解答】（1）解：A= ÷(a+1)−
a2−2a+1 a
(a+1)(a−1) 1 1
= × −
(a−1) 2 a+1 a
1 1
= −
a−1 a
a−(a−1)
=
a(a−1)
1
=
；
a(a−1)
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(2a) 2−4(a+2)=0，
解得：a=2或a=−1，
∵a+1≠0，
∴a≠−1，
∴a=2，
1 1
∴A= =
2×(2−1) 2
37．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−2(k+1)x+k2+2=0．
(1)若方程的一个根为2，求k的值；
(2)若方程有实数根，求k的取值范围．
【答案】(1)k=2±❑√2
1
(2)k≥
2
【思路引导】（1）由于x=2是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值．
（2）根据根的判别式公式，令Δ≥0，得到关于k的一元一次不等式，解之即可．
【规范解答】（1）解：把x=2代入x2−2(k+1)x+k2+2=0得k2−4k+2=0，
4±❑√16−8 4±2❑√2
解得k= = =2±❑√2；
2 2
（2）解：∵方程有实数根，∴Δ=[2(k+1)) 2 −4×1×(k2+2)≥0，
1
∴k≥ ．
2
1
∴k的取值范围为k≥ ．
2
38．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）解方程 x2−4x−3=0．
（2）关于x的方程x2+(m−1)x+m+2=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）x =❑√7+2,x =−❑√7+2（2）m的值为7或−1
1 2
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式等知识．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）根据方程有两个相等的实数根可以得到Δ=(m−1) 2−4×1×(m+2)=0，解关于m的方程即可求解．
【规范解答】解：（1）x2−4x−3=0，
移项得 x2−4x=3，
配方得 x2−4x+22=3+4，
即 (x−2) 2=7，
∴x−2=±❑√7，
∴x =❑√7+2,x =−❑√7+2；
1 2
（2）∵关于x的方程x2+(m−1)x+m+2=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(m−1) 2−4×1×(m+2)=0，
∴m2−6m−7=0，
解得m =7,m =−1，
1 2
∴m的值为7或−1．
39．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习） 关于x的一元二次方程x2+3x+m−1=0有两个实数根．
求m的取值范围．
13
【答案】m≤
4【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若
Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若
Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根，据此列式求解即可．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+m−1=0有两个实数根，
∴Δ=32−4(m−1)≥0，
13
∴m≤ ．
4
40．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知一元二次方程(a+3)x|a|−1+5x−k=0.
(1)求a的值.
(2)若方程有实数根，求k的取值范围.
【答案】(1)a=3
25
(2)k≥−
24
【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义；
（1）根据一元二次方程的定义，可得a+3≠0,|a)−1=2，即可求解；
（2）根据该方程有实数根，由根的判别式可求k的取值范围．
【规范解答】（1）解：∵(a+3)x|a|−1+5x−k=0是一元二次方程
∴a+3≠0,|a)−1=2
∴a=3；
（2）解：∵a=3，
∴一元二次方程为6x2+5x−k=0
∵有实数根，
∴Δ=b2−4ac=52−4×6×(−k)≥0
25
解得：k≥− ．
24
高频解法5：公式法（一元二次方程的解法）
41．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1)x2−2x=4x−5．(2)x(x+3)=12+8x．
【答案】(1)x =5，x =1
1 2
5+❑√73 5−❑√73
(2)x = ，x =
1 2 2 2
【思路引导】本题考查的是用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解答本题的关键．
【小问1分析】
对一元二次方程x2−2x=4x−5进行移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、
一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解．
【小问2分析】
对一元二次方程x(x+3)=12+8x进行去括号、移项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一
次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解．
【规范解答】【小问1详解】
解：x2−2x=4x−5
移项、合并同类项得x2−6x+5=0
观察可得a=1,b=−6,c=5
∴Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×1×5=16＞0
−b±❑√b2−4ac
∵x=
2a
−(−6)+❑√16 −(−6)−❑√16
∴x = =5；x = ＝1；
1 2×1 2 2×1
故答案为：x =5，x =1.
1 2
【小问2详解】
解：x(x+3)=12+8x
去括号得x2+3x=12+8x
移项得x2+3x−8x−12=0；
合并同类项得x2−5x−12=0
∴Δ=(−5) 2−4×1×(−12)=73＞0；
−b±❑√b2−4ac
∵x=
2a−(−5)+❑√73 5+❑√73
∴x = = ，
1 2×1 2
42．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）计算：
(1)解方程：2x2−3x−7=0；
( 1 1 ) a−2
(2)化简： + ÷ ．
a+3 a2−9 2a+6
3−❑√65 3+❑√65
【答案】(1)x = , x = ；
1 4 2 4
2
(2) ．
a−3
【思路引导】（1）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 ，根据判别式△=b²−4ac的计算，运用求
−b±❑√b2−4ac
根公式x= 求解方程，即可解答．
2a
（2）先利用平方差公式通分、计算括号内的分式加法，再按照分式乘除法则将除法转化为乘法(除以一个
分式等于乘以它的倒数)，最后通过约分简化分式，运算化简即可．
【规范解答】（1）解：∵在方程2x2−3x−7=0中，a=2，b=−3，c=−7，
∴Δ=b²−4ac=(−3) 2−4×2×(−7)=9+56=65>0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
−b±❑√b2−4ac
根据求根公式x= ，
2a
3−❑√65 3+❑√65
解得：x = ，x = ；
1 4 2 4
( 1 1 ) a−2
（2） + ÷
a+3 a2−9 2a+6
[ a−3 1 ) 2(a+3)
= + ×
(a+3)(a−3) (a+3)(a−3) a−2
a−3+1 2(a+3)
= ×
(a+3)(a−3) a−22
=
a−3
【考点评析】本题主要考查一元二次方程的解法及分式的混合运算，熟练运用求根公式以及分式的运算法
则和顺序，是解题的关键．
43．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）解方程：
(1)4x2−9=0
(2)3x2−4x−1=0
3 3
【答案】(1)x = ，x =− ；
1 2 2 2
2+❑√7 2−❑√7
(2)x = ，x = ．
1 3 2 3
【思路引导】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【规范解答】（1）解：4x2−9=0，
4x2=9，
9
x2=
，
4
3 3
解得：x = ，x =− ；
1 2 2 2
（2）解：3x2−4x−1=0，
其中，a=3，b=−4，c=−1，
∴Δ=(−4) 2−4×3×(−1)=16+12=28>0，
−(−4)±❑√28 4±2❑√7 2±❑√7
∴x= = = ，
2×3 6 3
2+❑√7 2−❑√7
解得：x = ，x = ．
1 3 2 3
44．（24-25九年级上·全国·随堂练习）解下列方程：
(1)x2−3x−1=0（用公式法）．
(2)2x2+6x−1=0（用配方法）．
3+❑√13 3−❑√13
【答案】(1)x = ，x = ．
1 2 2 2
−3+❑√11 −3−❑√11
(2)x = ，x = ．
1 2 2 2【思路引导】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
（1）利用公式法解方程，即可得到答案；
（2）先将二次项系数化为1，再利用配方法解方程，即可得到答案．
【规范解答】（1）x2−3x−1=0
解：a=1,b=−3,c=−1,
b2−4ac=9−4×1×(−1)=13,
−(−3)±❑√(−3) 2−4×1×(−1) 3±❑√13
x= =
2×1 2
3+❑√13 3−❑√13
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
（2）2x2+6x−1=0
1
解：x2+3x− =0
2
( 3) 2 (3) 2 1
x+ − − =0
2 2 2
( 3) 2 9 1
x+ = +
2 4 2
( 3) 2 11
x+ =
2 4
3 ❑√11
∴x+ =±
2 2
3 ❑√11 3 ❑√11
∴x + = 或x + =−
1 2 2 2 2 2
−3+❑√11 −3−❑√11
解得：x = ，x = ．
1 2 2 2
45．（24-25九年级上·全国·随堂练习）解下列方程：
(1)x2−8x+16=2．
(2)x2−2x−2=0．
(3)2x2=4x−1．
(4)x2+6x+9=(2x−1) 2．【答案】(1)x =4+❑√2，x =4−❑√2
1 2
(2)x =❑√3+1，x =−❑√3+1
1 2
❑√2 ❑√2
(3)x =1+ ，x =1−
1 2 2 2
2
(4)x =4，x =−
1 2 3
【思路引导】（1）利用公式法求解即可．
（2）利用公式法求解即可．
（3）利用公式法求解即可．
（4）利用直接开平方法求解即可．
本题考查了公式法，因式分解法和配方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【规范解答】（1）解：∵x2−8x+16=2,
故x2−8x+14=0
在这里，a=1,b=−8,c=14,b2−4ac=(−8) 2−4×1×14=8>0
8±2❑√2
∴x= =4±❑√2，
2
解得x =4+❑√2，x =4−❑√2．
1 2
（2）解：∵x2−2x−2=0，
在这里，a=1,b=−2,c=−2,b2−4ac=(−2) 2−4×1×(−2)=12>0
2±2❑√3
∴x= =1±❑√3，
2
解得x =❑√3+1，x =−❑√3+1．
1 2
（3）解：2x2=4x−1，
移项，得2x2−4x+1=0．
在这里，a=2,b=−4,c=1,b2−4ac=(−4) 2−4×1×2=8>0
4±2❑√2 2±❑√2
∴x= = ，
4 2
❑√2 ❑√2
解得x =1+ ，x =1− ．
1 2 2 2（4）解：∵x2+6x+9=(2x−1) 2，
∴(x+3) 2=(2x−1) 2，
∴x+3=2x−1或x+3=1−2x，
2
解得x =4，x =− ．
1 2 3
46．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）解方程：x2+2x−1=0
【答案】x =−1+❑√2，x =−1−❑√2
1 2
【思路引导】运用公式法解方程即可．
本题考查一元二次方程的求解；掌握求根公式是解题的关键．
【规范解答】解：x2+2x−1=0，
∵a=1，b=2，c=−1，
Δ=b2−4ac=22−4×1×(−1)=8，
−b±❑√b2−4ac −2±2❑√2
∴x= = ，
2a 2
∴x =−1+❑√2，x =−1−❑√2．
1 2
47．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解下列方程：
(1)x2−3x+1=5x+2．
(2)x−7=2x2．
(3)4x2−4x+1=0．
(4)−5x2+12x+32=0．
【答案】(1)x =4+❑√17，x =4−❑√17
1 2
(2)原方程无实数根
1
(3)x =x =
1 2 2
(4)x =−1.6，x =4
1 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；（3）利用公式法解一元二次方程即可；
（4）利用公式法解一元二次方程即可．
【规范解答】（1）解：整理可得：x2−8x−1=0，
∴a=1，b=−8，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−8) 2−4×1×(−1)=68>0，
−(−8)±❑√68 8±2❑√17
∴x= = ，
2×1 2
∴x =4+❑√17，x =4−❑√17；
1 2
（2）解：整理可得：2x2−x+7=0，
∴a=2，b=−1，c=7，
∴Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×2×7=−55<0，
∴原方程无实数根；
（3）解：∵a=4，b=−4，c=1，
∴Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×4×1=0，
−(−4)±❑√0 1
∴x= = ，
2×4 2
1
∴x =x = ；
1 2 2
（4）解：∵a=−5，b=12，c=32，
∴Δ=b2−4ac=122−4×(−5)×32=784>0，
−12±❑√784 −12±28
∴x= = ，
2×(−5) −10
∴x =−1.6，x =4．
1 2
48．（24-25八年级下·山东·期末）解方程：
(1)x2+2❑√5x+2=0；
(2)(3x+2)(x+3)=4(x+1)．
【答案】(1)x =−❑√5+❑√3，x =−❑√5−❑√3
1 2
1
(2)x =−2，x =−
1 2 3【思路引导】本题考查了解一元二次方程．
（1）根据配方法计算即可；
（2）根据公式法计算即可．
【规范解答】（1）解：原方程可化为：x2+2❑√5x=−2
∴x2+2❑√5x+5=3
即(x+❑√5) 2=3，
即x+❑√5=±❑√3，
∴x =−❑√5+❑√3，x =−❑√5−❑√3；
1 2
（2）解：方程整理得：3x2+7x+2=0，
∵a=3，b=7，c=2，
∴b2−4ac=72−4×3×2=25>0，
−7±❑√25 −7±5
∴x= = ，
2×3 6
1
∴x =−2，x =−
1 2 3
49．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程：
(1)x2−6x+4=0；（配方法）
(2)5x2−3x=x+1；（公式法）
【答案】(1)x =❑√5+3，x =−❑√5+3
1 2
1
(2)x =1，x =−
1 2 5
【思路引导】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法
解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可；
（2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可．
【规范解答】（1）解：x2−6x+4=0，
x2−6x+9=5，
(x−3) 2=5，
x−3=±❑√5，所以x =❑√5+3 x =−❑√5+3．
1 2
（2）解：5x2−3x=x+1，
5x2−4x−1=0，
∴a=5,b=−4,c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×(−1)×5=36>0，
−(−4)±❑√36 2±3
∴x= = ，
2×5 5
1
∴x =1 x =− ．
1 2 5
50．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）（1）用配方法解方程：x2+2x−15=0
（2）用公式法解方程：4x2−8x−1=0
❑√5 ❑√5
【答案】（1）x =−5，x =3；（2）x =1− ，x =1+
1 2 1 2 2 2
【思路引导】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题关键．
（1）按题干要求用配方法求解即可；
−b±❑√b2−4ac
（2）按题干要求用公式法求解即可，x= ．
2a
【规范解答】解：（1）x2+2x−15=0，
x2+2x=15，
x2+2x+1=16，
(x+1) 2=16，
x+1=±4，
解得x =−5，x =3；
1 2
（2）4x2−8x−1=0，
∵ a=4，b=−8，c=−1，
∴ Δ=b2−4ac=(−8) 2−4×4×(−1)=80>0，
−b±❑√Δ 8±❑√80 ❑√5
∴ x= = =1± ，
2a 2×4 2
❑√5 ❑√5
∴ x =1− ，x =1+ ．
1 2 2 2高频解法6：因式分解法（一元二次方程的解法）
51．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）解方程
(1)(x−2) 2+x(x−2)=0．
(2)2x2−4x+1=0．
【答案】(1)x =2，x =1
1 2
❑√2 ❑√2
(2)x =1+ ，x =1−
1 2 2 2
【思路引导】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平
方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用公式法解答，即可求解．
【规范解答】（1）解：(x−2) 2+x(x−2)=0
∴(x−2)(x−2+x)=0，
∴x−2=0或2x−2=0，
∴x =2，x =1；
1 2
（2）解：2x2−4x+1=0
∵a=2，b=−4，c=1，
∴Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×2×1=8>0，
4±2❑√2 2±❑√2
∴x= = ，
4 2
❑√2 ❑√2
∴x =1+ ，x =1− ．
1 2 2 2
52．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）解方程：
(1)3(x−1) 2=48
(2)2x(x−1)=3−3x
(3)3x2−1=4❑√2x
(4)(x+8)(x+1)=−12
【答案】(1)x =5，x =−3
1 2
3
(2)x =− ，x =1
1 2 22❑√2+❑√11 2❑√2−❑√11
(3)x = ，x =
1 3 2 3
(4)x =−5，x =−4
1 2
【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案；
（3）利用公式法解方程即可；
（4）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法分解因式得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案．
【规范解答】（1）解：∵3(x−1) 2=48，
∴(x−1) 2=16，
∴x−1=±4，
解得x =5，x =−3；
1 2
（2）解：∵2x(x−1)=3−3x，
∴2x(x−1)+3(x−1)=0，
∴(2x+3)(x−1)=0，
∴2x+3=0或x−1=0，
3
解得x =− ，x =1；
1 2 2
（3）解：∵3x2−1=4❑√2x，
∴3x2−4❑√2x−1=0，
∴a=3，b=−4❑√2，c=−1，
∴Δ=(−4❑√2) 2 −4×3×(−1)=44>0，
−b±❑√b2−4ac 4❑√2±❑√44
∴x= = ，
2a 6
2❑√2+❑√11 2❑√2−❑√11
解得x = ，x = ；
1 3 2 3
（4）解：∵(x+8)(x+1)=−12，
∴x2+8x+x+8+12=0，
∴x2+9x+20=0，
∴(x+4)(x+5)=0，∴x+4=0或x+5=0，
解得x =−5，x =−4．
1 2
53．（24-25九年级上·广东汕头·期末）解方程：x2+4x−5=0．
【答案】x =−5，x =1
1 2
【思路引导】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．
【规范解答】解：原方程变形为(x−1)(x+5)=0
∴x+5=0或x−1=0
∴x =−5，x =1．
1 2
54．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）解下列一元二次方程：
(1)2x2−4x−3=0；
(2)2(x−3)=3x(x−3)．
❑√10 ❑√10
【答案】(1)x =1+ ,x =1−
1 2 2 2
2
(2)x =3,x =
1 2 3
【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．
（1）根据配方法求解即可；
（2）根据因式分解法求解即可．
【规范解答】（1）解：2x2−4x−3=0，
移项，得2x2−4x=3
3
即x2−2x=
，
2
3
配方，得x2−2x+1= +1，
2
5
即(x−1) 2= ．
2
❑√10
两边开平方，得x−1=± ，
2
❑√10 ❑√10
∴x =1+ ,x =1− ．
1 2 2 2
（2）解：2(x−3)=3x(x−3)，
∴2(x−3)−3x(x−3)=0，
∴(x−3)(2−3x)=0，
∴x−3=0或2−3x=0，2
解得x =3,x = ．
1 2 3
55．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解下列一元二次方程：
(1)4(x−3) 2=x(3−x)
(2)x(x−4)=12
12
【答案】(1)x = ，x =3
1 5 2
(2)x =−2或x =6
1 2
【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，进而解方程即可；
（2）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而解方程即可．
【规范解答】（1）解：∵4(x−3) 2=x(3−x)，
∴4(x−3) 2+x(x−3)=0，
∴[4(x−3)+x)(x−3)=0，
∴4(x−3)+x=0或x−3=0，
12
解得x = ，x =3；
1 5 2
（2）解：∵x(x−4)=12，
∴x2−4x−12=0，
∴(x+2)(x−6)=0，
∴x+2=0或x−6=0，
解得x =−2或x =6．
1 2
56．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）解方程
(1)2(x−1) 2−8=0；
(2)x2−3x+2=0．
【答案】(1)x =−1,x =3
1 2
(2)x =2,x =1
1 2
【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、换元法、因式分解法成为解题的关键．
（1）设x−1= y，则2y2−8=0，再移项、运用直接开平方法求得y，进而求得x即可；（2）直接运用因式分解法求解即可．
【规范解答】（1）解：设x−1= y，则2y2−8=0，
2y2=8，
y2=4，
y=±2，即x−1=±2，
所以该方程的解为：x =−1,x =3．
1 2
（2）解：x2−3x+2=0，
(x−2)(x−1)=0，
x−2=0,x−1=0，
所以该方程的解为：x =2,x =1．
1 2
57．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程：
(1)3(x−2) 2=27
(2)x2+2x−3=0
【答案】(1)x =5，x =−1
1 2
(2)x =−3，x =1
1 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开方法和因式分解法是解题的关键．
（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【规范解答】（1）解：3(x−2) 2=27；
(x−2) 2=9，
x−2=±3，
x−2=3或x−2=−3，
x =5，x =−1；
1 2
（2）解：x2+2x−3=0，
(x+3)(x−1)=0，
x+3=0或x−1=0，
x =−3，x =1．
1 2
58．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）解方程：x2+2x−8=0．
【答案】x =2，x =−4
1 2
【思路引导】利用因式分解法计算即可．本题考查了因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【规范解答】解：∵x2+2x−8=0，
∴(x−2)(x+4)=0
解得x =2，x =−4．
1 2
59．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）解方程：4x(2x+1)=3(2x+1)．
1 3
【答案】x =− ，x =
1 2 2 4
【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解
方程即可．
【规范解答】解：∵4x(2x+1)=3(2x+1)，
∴4x(2x+1)−3(2x+1)=0，
∴(4x−3)(2x+1)=0，
∴4x−3=0或2x+1=0，
1 3
解得x =− ，x = ．
1 2 2 4
60．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）用适合的方法解下列方程：
(1)(2x−1) 2=81；
(2)2(x−3)=3x(x−3)
【答案】(1)x =5，x =−4；
1 2
2
(2)x =3，x =
1 2 3
【思路引导】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：
（1）利用开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【规范解答】（1）解：(2x−1) 2=81，
∴2x−1=±9，
解得：x =5，x =−4；
1 2
（2）解：2(x−3)=3x(x−3)，
(x−3)(2−3x)=0，
∴x−3=0或2−3x=0，
2
解得：x =3，x = ．
1 2 3高频解法7：换元法（一元二次方程的解法）
61．（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程：
(1)x2=❑√2|x|；
(2)x2−6x−3|x−3|−1=0．
【答案】(1)x =0，x =−❑√2，x =❑√2．
1 2 3
(2)x =8，x =−2
1 2
【思路引导】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键；
（1）把原方程化为：x2−❑√2|x|=0，设|x|= y，则y2−❑√2y=0．再按照一元二次方程的解法求解即可；
（2）把原方程化为：|x−3| 2 −3|x−3|−10=0，设|x−3|= y，则y2−3 y−10=0，再按照解一元二次方
程的解法求解即可．
【规范解答】（1）解：∵x2=❑√2|x|，
∴x2−❑√2|x|=0，
设|x|= y，则y2−❑√2y=0．
解得：y =0，y =❑√2．
1 2
当y=0时，|x)=0，
∴x=0；
当y=❑√2时，
∴x=±❑√2；
∴原方程的解是：x =0，x =−❑√2，x =❑√2．
1 2 3
（2）解：∵x2−6x−3|x−3|−1=0，
∴(x−3) 2−3|x−3|−10=0，
即|x−3| 2 −3|x−3|−10=0．
设|x−3|= y，则y2−3 y−10=0，解得：y =5，y =−2．
1 2
当y =5时，即|x−3|=5，
1
∴x=8或x=−2．
当y =−2时，即|x−3|=−2，
2
∴方程无解．
∴原方程的解是：x =8，x =−2．
1 2
62．（24-25八年级下·重庆·期末）计算：
(1)(x2+2) 2−4(x2+2)=12
[ 1 )
(2)x 120− (x−60) =8800
2
【答案】(1)x=±2
(2)x =220,x =80
1 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）设y=x2+2，则原方程化为y2−4 y−12=0，得到y=6或y=−2，当y=6时x2+2=6，解得x=±2；
当y=−2时x2+2=−2，方程无实数解；即可得到答案；
（2）整理方程得到x2−300x+17600=0，用因式分解法解方程即可．
【规范解答】（1）解：(x2+2) 2−4(x2+2)=12
设y=x2+2，则原方程化为y2−4 y−12=0，
∴(y−6)(y+2)=0
解得y=6或y=−2，
当y=6时x2+2=6，解得x=±2；
当y=−2时x2+2=−2，方程无实数解；
∴x=±2；
[ 1 )
（2）解：x 120− (x−60) =8800
2
1
120x− x2+30x=8800
2
x2−300x+17600=0
(x−220)(x−80)=0
x−220=0或x−80=0解得：x =220,x =80．
1 2
63．（24-25九年级上·河南周口·期末）（1）解方程：(x−2) 2+2−x=0；
（2）若(x+2y) 2+4(x+2y)−5=0，求x+2y的值．
【答案】（1）x =2，x =3；（2）1或−5．
1 2
【思路引导】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）设x+2y=t，则原方程换元为t2+4t−5=0，可得t =1，t =−5，即可求解．
1 2
本题考查了解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
【规范解答】解：（1）(x−2) 2+2−x=0，
(x−2) 2−(x−2)=0，
(x−2)(x−3)=0，
∴x−2=0，或x−3=0，
∴x =2，x =3；
1 2
（2）设x+2y=t，则有t2+4t−5=0，
∴(t−1)(t+5)=0，即t−1=0或t+5=0，
∴t =1，t =−5，
1 2
∴x+2y的值为1或−5．
64．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）解方程：
(1)y4−3 y2−4=0
1
(2) (2x−5) 2−2=0；
2
【答案】(1)y =2，y =−2
1 2
7 3
(2)x = ,x =
1 2 2 2
【思路引导】本题主要考查了换元法解一元二次方程及解一元二次方程−直接开平方法，熟知换元法及直
接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
（1）利用换元法对所给一元二次方程进行求解即可．
（2）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可．
【规范解答】（1）解：y4−3 y2−4=0，
令y2=t，
则原方程可变形为t2−3t−4=0，(t+1)(t−4)=0，
则t =−1，t =4，
1 2
因为y2≥0，
所以t=4，
则y2=4，
所以y =2，y =−2．
1 2
1
（2）解： (2x−5) 2−2=0，
2
1
(2x−5) 2=2，
2
(2x−5) 2=4，
则2x−5=±2，
7 3
所以x = ,x = ．
1 2 2 2
65．（24-25九年级上·四川成都·期中）解方程
(1)2x2−6x+3=0
(2)(x+2) 2+4(x+2)−12=0
3+❑√3 3−❑√3
【答案】(1)x = ，x =
1 2 2 2
(2)x =0，x =−8
1 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
（1）利用公式法求解即可；
（2）令x+2= y，则原方程可化为y2+4 y−12=0，先求出y值，进而求出x值，即可求解．
【规范解答】（1）解：2x2−6x+3=0
∵ Δ=(−6) 2−4×2×3=12，
6±❑√12 3±❑√3
∴ x= = ，
2×2 2
3+❑√3 3−❑√3
x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：(x+2) 2+4(x+2)−12=0
令x+2= y，则原方程可化为y2+4 y−12=0，
即(y−2)(y+6)=0，
y−2=0或y+6=0，
解得：y=2或y=−6，
即x+2=2或x+2=−6，
解得：x =0，x =−8．
1 2
66．（24-25九年级上·北京·期中）解方程：(x+2) 2−2(x+2)−3=0；
【答案】x =1，x =−3
1 2
【思路引导】此题考查了解一元二次方程．设x+2=t，得到t2−2t−3=0，求出t=3或−1，则x+2=3或
−1，即可求出答案．
【规范解答】解：(x+2) 2−2(x+2)−3=0，
设x+2=t，
则方程变形为t2−2t−3=0，
移项，得t2−2t=3，
配方，得t2−2t+1=4，
即(t−1) 2=4，
开方，得t−1=2或−2，
则t=3或−1，
则x+2=3或−1，
解得：x =1，x =−3．
1 2
67．（23-24九年级上·河南商丘·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)(2x+1) 2−25=0
(2)3x−6x2+3=0
(3)x2+6x+9=(5−2x) 2
(4)(3x−2) 2−(3x−2)−30=0
【答案】(1)x =2，x =−3
1 2
1
(2)x =− ，x =1
1 2 22
(3)x =−8，x =
1 2 3
8
(4)x =−1，x =
1 2 3
【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，
配方法，因式分解法等．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）先化为一般式，再利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用换元法和因式分解法解方程即可．
【规范解答】（1）解：(2x+1) 2−25=0，
(2x+1) 2=25，
2x+1=±5，
∴x =2，x =−3；
1 2
（2）解：方程化为2x2−x−1=0，
(2x+1)(x−1)=0，
2x+1=0或x−1=0，
1
∴x =− ，x =1；
1 2 2
（3）解：(x+3) 2=(5−2x) 2，
(x+3) 2−(5−2x) 2=0，
(x+3+5−2x)(x+3−5+2x)=0，
即(−x+8)(3x−2)=0，
∴−x+8=0或3x−2=0，
2
∴x =−8，x = ；
1 2 3
（4）解：(3x−2) 2−(3x−2)−30=0，
令t=3x−2，
则有t2−t−30=0，
因式分解得(t+5)(t−6)=0，∴t+5=0或t−6=0，
∴t=−5或6，
即3x−2=−5或6，
8
∴x =−1，x = .
1 2 3
68．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程
(1)(x−3) 2−4=0
(2)x2−6x+7=0
(3)(x−1)(x+2)=10
(4)(2x−1) 2−3(2x−1)+2=0
【答案】(1)x =5，x =1
1 2
(2)x =3−❑√2，x =3+❑√2
1 2
(3)x =3，x =−4
1 2
3
(4)x = ，x =1
1 2 2
【思路引导】本题主要考查因式分解法，直接开方法，公式法，换元法解一元二次方程，
（1）移项，直接开方即可求解；
−b±❑√b2−4ac
（2）运用求根公式x= 即可求解；
2a
（3）先展开，再整理为一元二次方程的一般式，运用因式分解求解即可；
（4）根据题意，运用公式法或换元法进行求解．
【规范解答】（1）解：(x−3) 2−4=0
移项得，(x−3) 2=4，
直接开方得，x−3=±2，
∴x−3=2，x−3=−2，
解得，x =5，x =1；
1 2
（2）解：x2−6x+7=0
a=1，b=−6，c=7，∴Δ=(−6) 2−4×1×7=36−28=8>0，
−(−6)±❑√8 6±2❑√2
∴x= = =3±❑√2，
2 2
∴x =3−❑√2，x =3+❑√2；
1 2
（3）解：(x−1)(x+2)=10
整理得，x2+x−12=0
因式分解得，(x−3)(x+4)=0，
∴x−3=0，x+4=0，
∴x =3，x =−4；
1 2
（4）解：(2x−1) 2−3(2x−1)+2=0
方法一：先展开得，4x2−4x+1−6x+3+2=0，整理得，2x2−5x+3=0，
因式分解得，(2x−3)(x−1)=0，
∴2x−3=0，x−1=0，
3
∴x = ，x =1；
1 2 2
方法二：令2x−1=t，则原式变形得，t2−3t+2=0，
因式分解得，(t−1)(t−2)=0，
∴t−1=0，t−2=0，
解得，t =1，t =2，
1 2
∴2x−1=1，2x−1=2，
3
∴x = ，x =1．
1 2 2
69．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）解方程
(1)2(x+3) 2−18=0．
(2)2x2−3x−5=0．
(3)(2y+1) 2+3(2y+1)+2=0
(4)4(2x−1) 2=9(3x+2) 2
【答案】(1)x =0，x =−6
1 2
(2)x =2.5,x =−1
1 23
(3)y =− ,y =−1
1 2 2
4
(4)x =−1.6,x =−
1 2 13
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先移项，再系数化1，得(x+3) 2=9，即运用直接开平方法解一元二次方程，据此即可作答．
（2）运用公式法解一元二次方程，据此即可作答．
（3）运用换元法解一元二次方程，据此即可作答．
（4）运用直接开平方法解一元二次方程，据此即可作答．
【规范解答】（1）解：2(x+3) 2−18=0，
2(x+3) 2=18，
(x+3) 2=9，
∴x+3=±3，
x+3=3，x+3=−3，
∴x =0，x =−6；
1 2
（2）解：2x2−3x−5=0，
Δ=(−3) 2−4×2×(−5)=49，
3±❑√49 3±7
则x= = ，
4 4
∴x =2.5,x =−1；
1 2
（3）解：(2y+1) 2+3(2y+1)+2=0，
令t=2y+1，
原式可化为t2+3t+2=0
即(t+2)(t+1)=0，
t+2=0,t+1=0，
解得t =−2,t =−1，
1 2
∵t=2y+1，
∴−2=2y+1,或−1=2y+1,3
解得y =− ,y =−1；
1 2 2
（4）解：4(2x−1) 2=9(3x+2) 2，
2(2x−1)=±3(3x+2)，
4x−2=±(9x+6)，
∴4x−2=9x+6或4x−2=−9x−6，
4
解得x =−1.6,x =− ．
1 2 13
70．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）解方程：
(1)2x2+4x−3=0；（公式法）
(2)5(x+1) 2=7(x+1)；（因式分解法）
(3)(x2−1) 2 −5(x2−1)+4=0．
−2+❑√10 −2−❑√10
【答案】(1)x = ，x = ；
1 2 2 2
2
(2)x =−1，x = ；
1 2 5
(3)x =❑√2,x =−❑√2,x =❑√5,x =−❑√5
1 2 3 4
【思路引导】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用公式法，求出Δ=40>0，即可解方程；
（2）先移项，再提公因式(x+1)，即可解方程；
（3）利用换元法设x2−1= y，将原方程化为y2−5 y+4=0，再利用因式分解法求出y的值，进而求出x
的值，即可解方程．
【规范解答】（1）解：2x2+4x−3=0，
其中a=2，b=4，c=−3，
∴Δ=42−4×2×(−3)=16+24=40>0，
−4±❑√40 −2±❑√10
∴x= = ，
2×2 2
−2+❑√10 −2−❑√10
解得x = ，x = ；
1 2 2 2（2）解：∵5(x+1) 2=7(x+1)，
∴5(x+1) 2−7(x+1)=0，
∴(x+1)[5(x+1)−7)=0，
∴x+1=0或5x+5−7=0，
2
解得：x =−1，x = ；
1 2 5
（3）解：(x2−1) 2 −5(x2−1)+4=0，
设x2−1= y，那么原方程可化为y2−5 y+4=0，
∴(y−1)(y−4)=0，
∴y−1=0或y−4=0，
解得：y =1，y =4
1 2
当y=1时，x2−1=1，则x2=2，解得：x=±❑√2；
当y=4时，x2−1=4，则x2=5，解得：x=±❑√5；
故原方程的解为x =❑√2,x =−❑√2,x =❑√5,x =−❑√5．
1 2 3 4
高频解法8：一元二次方程的根与系数的关系
71．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知x ，x 是方程2x2−5x+1=0的两实数根，求下列各式的
1 2
值．
(1)x x2+x2x ；
1 2 1 2
(2)|x −x |．
1 2
5
【答案】(1) ；
4
❑√17
(2) ．
2
【思路引导】本题考查了根与系数的关系；
5 1
（1）先利用根与系数的关系得到x +x = ，x x = ，利用因式分解法变形得到x x (x +x )，然后利
1 2 2 1 2 2 1 2 1 2
用整体代入的方法计算；（2）利用完全平方公式得到(x +x ) 2−4x x ，然后利用整体代入的方法计算．
1 2 1 2
5 1
【规范解答】（1）解：x +x = ，x x = ，
1 2 2 1 2 2
1 5 5
原式=x x (x +x )= × = ；
1 2 1 2 2 2 4
5 1 17
（2）解：∵(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =( ) 2−4× = ．
1 2 1 2 1 2 2 2 4
❑√17
∴|x −x |=❑√(x −x ) 2= ．
1 2 1 2 2
72．（24-25九年级下·全国·假期作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与
积．
(1)x2−4x+1=0；
(2)x2−2x+1=0；
(3)−x2+3x−2=0；
(4)x2−4x=0．
【答案】(1)有两个不相等的实数根，x +x =4，x ⋅x =1
1 2 1 2
(2)有两个相等的实数根，x +x =2，x ⋅x =1
1 2 1 2
(3)有两个不相等的实数根，x +x =3，x ⋅x =2
1 2 1 2
(4)有两个不相等的实数根，x +x =4，x ⋅x =0
1 2 1 2
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次
方程根的判别式和根与系数的关系．
各个小题均根据根的判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，求出两根和与两根积．
【规范解答】（1）解：x2−4x+1=0，
∵a=1，b=−4，c=1，
∴△=b2−4ac=(−4) 2−4×1×1
=16−4
=12>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为：x ，x ，
1 2
b −4 c
∴ x +x =− =− =4，x ⋅x = =1；
1 2 a 1 1 2 a
（2）解：x2−2x+1=0，∵a=1，b=−2，c=1，
∴△=b2−4ac=(−2) 2−4×1×1
=4−4
=0，
∴方程有两个相等的实数根，
设方程的两个根为：x ，x ，
1 2
b −2 c
∴ x +x =− =− =2，x ⋅x = =1；
1 2 a 1 1 2 a
（3）解：−x2+3x−2=0，
∵a=−1，b=3，c=−2，
∴△=b2−4ac=32−4×(−1)×(−2)
=9−8
=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为：x ，x ，
1 2
b 3 c −2
x +x =− =− =3，x ⋅x = = =2；
1 2 a −1 1 2 a −1
（4）解：x2−4x=0，
∵a=1，b=−4，c=0，
∴△=b2−4ac=(−4) 2−4×1×0
=16−0
=16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为：x ，x ，
1 2
b −4 c 0
∴ x +x =− =− =4，x ⋅x = = =0．
1 2 a 1 1 2 a 1
73．（24-25九年级下·全国·假期作业）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)(x+1)(x−2)=2；
(2)3x2+7x=6．
【答案】(1)x +x =1，x ⋅x =−4
1 2 1 27
(2)x +x =− ，x ⋅x =−2
1 2 3 1 2
【思路引导】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系是解题关键．
（1）首先去括号，进而整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可；
（2）首先整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可．
【规范解答】（1）解：(x+1)(x−2)=2，
整理得：x2−x−4=0，
b c
则x +x =− =1，x ⋅x = =−4；
1 2 a 1 2 a
（2）解：3x2+7x=6，
整理得：3x2+7x−6=0，
b 7 c
则x +x =− =− ，x ⋅x = =−2．
1 2 a 3 1 2 a
1
74．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）（1）解方程：
x2−2x=3；
2
（2）若α，β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，求α2+3α+β的值．
【答案】（1）x =2+❑√10，x =2−❑√10；（2）2023
1 2
【思路引导】此题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程解的定义、根与系数关系等知识，熟练掌握
一元二次方程的解法和根与系数关系是解题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）根据方程解的定义和一元二次方程根与系数关系得到α2+2α=2025，α+β=−2，代入
α2+3α+β=(α2+2α)+(α+β)即可得到答案．
1
【规范解答】解：（1）
x2−2x=3
2
整理，得x2−4x−6=0，
配方，得(x−2) 2=10，
开平方，得x−2=±❑√10，
∴x =2+❑√10，x =2−❑√10；
1 2
（2）解：∵α是方程x2+2x−2025=0的根，
∴α2+2α−2025=0，∴α2+2α=2025，
∵α，β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，
∴α+β=−2
∴α2+3α+β=α2+2α+α+β=2025−2=2023
75．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）已知 x 满足一元二次方程x2−3x+1=0，求下列各式的值：
(1)x3−2x2−2x+1
1
(2)x2+
x2
x2
(3)
x4−5x2+1
【答案】(1)0
(2)7
1
(3)
2
【思路引导】本题考查方程的解，根与系数的关系：
（1）根据题意，得到x2−3x=−1，x2=3x−1，整体代入计算即可；
1 1
（2）根据根与系数的关系，得到方程的另一个根为 ，进而得到x+ =3，利用完全平方公式进行计算即
x x
可；
（3）结合（2）中的结论利用倒数法求值即可．
【规范解答】（1）解：∵x 满足一元二次方程x2−3x+1=0，
∴x2−3x=−1，x2=3x−1，
∴x3−2x2−2x+1
=x⋅x2−2x2−2x+1
=x⋅(3x−1)−2x2−2x+1
=3x2−x−2x2−2x+1
=x2−3x+1
=0；
（2）∵x 满足一元二次方程x2−3x+1=0，
1
∴方程的另一个根为： ，
x1
∴x+ =3，
x
∴ ( x+ 1) 2 =x2+ 1 +2=32=9，
x x2
1
∴x2+ =7；
x2
x4−5x2+1 1
（3）原式的倒数为：
=x2−5+
，
x2 x2
1
由（2）知：x2+ =7，
x2
∴上式=7−5=2，
1
∴原式= ．
2
76．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若x ，x 是方程x2+4x−3=0的两个根，求下列各式的值：
1 2
(1)x2+x2
1 2
1 1
+
(2)
x x
1 2
【答案】(1)22
4
(2)
3
【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的运用，代数式求值，掌握一元二
次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，得出x +x =−4，x ⋅x =−3，再根据
1 2 1 2
x 2+x 2=(x +x ) 2−2x x 进行计算，即可解题．
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
（2）根据x +x =−4，x ⋅x =−3，结合 + = 2 1 进行计算，即可解题．
1 2 1 2 x x x x
1 2 1 2
【规范解答】（1）解∵ a=1，b=4，c=−3，且x ，x 是方程的两个根
1 2
b 4 c −3
∴ x +x =− =− =−4．x ⋅x = = =−3，
1 2 a 1 1 2 a 1
∴ x 2+x 2=(x +x ) 2−2x x =(−4) 2−2×(−3)=22．
1 2 1 2 1 2（2）解：由（1）得x +x =−4，x ⋅x =−3，
1 2 1 2
1 1 x +x −4 4
∴ + = 2 1= = ．
x x x x −3 3
1 2 1 2
77．（24-25九年级上·四川自贡·期中）已知x ，x 是方程x2−3x−4=0的两根，在不解方程的前提
1 2
下，求下列各式的值．
1 1
+
(1)
x x
1 2
(2)x −x
1 2
3
【答案】(1)−
4
(2)±5
【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由一元二次方程的根与系数的关系可得x +x =3，
1 2
x ⋅x =−4；
1 2
x +x
1 2
（1）将所求式子变形为 ，然后整体代入上面两个式子计算即可；
x ⋅x
1
（2）先求得(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x ⋅x =25，再根据平方根的定义计算即可．
1 2 1 2 1 2
【规范解答】（1）解：∵x ，x ，是一元二次方程x2−3x−4=0的两根，
1 2
∴x +x =3，x ⋅x =−4．
1 2 1 2
1 1 x +x 3
∴ + = 1 2 =− ；
x x x ⋅x 4
1 2 1
（2）解：∵x ，x ，是一元二次方程x2−3x−4=0的两根，
1 2
∴x +x =3，x ⋅x =−4．
1 2 1 2
∴(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x ⋅x
1 2 1 2 1 2
=32−4×(−4)
=25，
∴x −x =±5．
1 2
78．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知α，β是方程x2−3x−5=0的两根，不解方程，求
下列代数式的值．1 1
(1) + ；
α β
(2)α2+β2；
(3)α−β．
3
【答案】(1)−
5
(2)19
(3)❑√29或−❑√29
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
b c
若x ，x 是该方程的两个实数根，则x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
1 1 α+β
（1）由根与系数的关系得到α+β=3，αβ=−5，再根据 + = 进行求解即可；
α β αβ
（2）根据完全平方公式的变形得到α2+β2=(α+β) 2−2αβ，据此代值计算即可；
（3）根据完全平方公式的变形得到(α−β) 2=(α+β) 2−4αβ，据此代值计算求出(α−β) 2即可得到答案．
【规范解答】（1）解：∵α，β是方程x2−3x−5=0的两根，
∴α+β=3，αβ=−5．
1 1 α+β 3
∴ + = =− ；
α β αβ 5
（2）解：∵α+β=3，αβ=−5，
∴α2+β2=(α+β) 2−2αβ=32−2×(−5)=19；
（3）解：∵α+β=3，αβ=−5，
∴(α−β) 2=(α+β) 2−4αβ=32−4×(−5)=29．
∴α−β=❑√29或−❑√29．
79．（2024九年级上·全国·专题练习）已知x ,x 是方程x2−3x+1=0的两个实数根，求下列各式的值：
1 2
(1)(x −1)(x −1)；
1 2
(2)x2+x2
；
1 2(3)(x −x ) 2 ；
1 2
(4)x −x ．
1 2
【答案】(1)−1
(2)7
(3)5
(4)±❑√5
【思路引导】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个
b c
根为x ,x ，则x +x =− ,x ·x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
（1）根据(x −1)(x −1)=x ⋅x −(x +x )+1即可求解；
1 2 1 2 1 2
（2）根据x 2+x 2=(x +x ) 2−2x ⋅x 即可求解；
1 2 1 2 1 2
（3）根据(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x ⋅x 即可求解；
1 2 1 2 1 2
（4）根据x −x =±❑√(x −x ) 2即可求解；
1 2 1 2
【规范解答】（1）解：∵x ,x 是方程x2−3x+1=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =3,x ⋅x =1．
1 2 1 2
(x −1)(x −1)=x ⋅x −(x +x )+1=1−3+1=−1；
1 2 1 2 1 2
（2）解：x 2+x 2=(x +x ) 2−2x ⋅x =32−2×1=7；
1 2 1 2 1 2
（3）解：(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x ⋅x =32−4×1=5；
1 2 1 2 1 2
（4）解：x −x =±❑√(x −x ) 2=±❑√5．
1 2 1 2
80．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）已知x ，x 是方程x2−4x+2=0的两个实数根，求：
1 2
(1)x x 和x +x 的值，
1 2 1 2
(2)(x −x ) 2 的值．
1 2
【答案】(1)x x =2，x +x =4
1 2 1 2
(2)8【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉此关系是解题的关键．
（1）由一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（2）利用完全平方公式变形及根与系数的关系，整体代入即可求解．
【规范解答】（1）解：∵x ，x 是方程x2−4x+2=0的两个实数根，
1 2
∴x x =2，x +x =4；
1 2 1 2
（2）解：(x −x ) 2
1 2
=(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2
=42−4×2
=8．
1．（2024·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：(x−2) 2−4=0；
{2x−3≤x)
（2）解不等式组：
x+2>1
【答案】（1）x =4,x =0，（2）−11②
由①可得：x≤3，
由②可得：x>−1，
∴原不等式组的解集为−1
