第52讲立体几何中的轨迹问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第52讲 立体几何中的轨迹问题 知识梳理 立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结： 1、定义法 2、交轨法 3、几何法 4、坐标法 5、向量法 必考题型全归纳 1 题型一：由动点保持平行求轨迹 2606 (2024·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试)设正方体ABCD-ABCD 1 1 1 1 的棱长为1，点E是棱AB 的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题： 1 1 3 ①如果AM⊥BD ，则点M的轨迹所围成图形的面积为 ； 1 2 3 5 ②如果BM∥平面AEC ，则点M的轨迹所围成图形的周长为 ； 1 1 2 ③如果EM∥平面DBBD，则点M的轨迹所围成图形的周长为2+ 2； 1 1 3 3 ④如果EM⊥BD ，则点M的轨迹所围成图形的面积为 ． 1 4 其中正确的命题个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2607 (2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末)在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 1 1 1 1 中，E在棱DD 上且满足DE=ED，点F是侧面ABBA 上的动点，且DF⎳面AEC， 1 1 1 1 1 则动点F在侧面ABBA 上的轨迹长度为 ． 1 1 2608 (2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末)如图所示，在棱长为2的正方体 ABCD-ABCD 中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面BCCB 内(包括边界) 1 1 1 1 1 1 一动点，且DP∥平面EFG，则P点的轨迹长度为 1 第 页 共 页 481 10432609 (2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末)如图，在正三棱柱 ABC-ABC 中，AB=AA ，D，E分别为AA ，AC的中点．若侧面BBCC的中心 1 1 1 1 1 1 1 为O，M为侧面AACC内的一个动点，OM⎳平面BDE，且M的轨迹长度为3 2，则三 1 1 棱柱ABC-ABC 的表面积为 ． 1 1 1 2610 (2024·江苏扬州·高二统考期中)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为2，点E是线 1 1 1 1 段DD 的中点，点M是正方形BBCC 所在平面内一动点，若DM⎳平面ABE，则M 1 1 1 1 1 点轨迹在正方形BBCC 内的长度为 . 1 1 2611 (2024·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习)正方体ABCD-ABCD 的棱长为3， 1 1 1 1 点E，F分别在线段DD 和线段AA 上，且DE=2ED，AF=2FA ，点M是正方形 1 1 1 1 BBCC 所在平面内一动点，若DM⎳平面FBE，则M点的轨迹在正方形BBCC 内的 1 1 1 1 1 长度为 . 2612 (2024·全国·高三专题练习)在边长为2的正方体ABCD-ABCD 中，点M是该正方 1 1 1 1 体表面及其内部的一动点，且BM⎳平面ADC，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 1 ． 第 页 共 页 482 10432613 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为2,E、F分别 1 1 1 1 是棱AA,AD 的中点，点P为底面四边形ABCD内(包括边界)的一动点，若直线DP 1 1 1 1 与平面BEF无公共点，则点P在四边形ABCD内运动所形成轨迹的长度为 . 2614 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，正方体ABCD-ABCD 的棱长为2,E、F分别 1 1 1 1 为AA ，AB的中点，点P是正方体表面上的动点，若CP∥平面CDEF，则点P在正方 1 1 1 体表面上运动所形成的轨迹长度为 ． 2615 (2024·全国·高三专题练习)已知棱长为3的正四面体ABCD，E为AD的中点，动点P 满足PA=2PD，平面α经过点D，且平面α⎳平面BCE，则平面α截点P的轨迹所形成 的图形的周长为 . 2 题型二：由动点保持垂直求轨迹 2616 (2024·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习)在棱长为4的正方体ABCD-ABCD 1 1 1 1 中，点P、Q分别是BD ，BC 的中点，点M为正方体表面上一动点，若MP与CQ垂直， 1 1 1 则点M所构成的轨迹的周长为 . 2617 (2024·湖南长沙·长郡中学校考二模)在正四棱柱ABCD-ABCD 中，AB=1，AA 1 1 1 1 1 =4，E为DD 中点，P为正四棱柱表面上一点，且CP⊥BE，则点P的轨迹的长为 1 1 1 第 页 共 页 483 1043. 2618 (2024·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测)已知N为正方体ABCD-ABCD 的内 1 1 1 1 8 5π 切球球面上的动点，M为BC 的中点，DN⊥MB，若动点N的轨迹长度为 ，则正 1 1 5 方体的体积是 . 2619 (2024·全国·高三专题练习)已知直三棱柱ABC-ABC 的所有棱长均为4，空间内的 1 1 1 点H满足HA⊥HA ，且HB⊥HC ，则满足条件的H所形成曲线的轨迹的长度为 1 1 . 2620 (2024·四川成都·三模)如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已   π 知∠AOC= ，OA=2，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足BC⋅CD= 3 0，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ． 2621 (2024·全国·高三专题练习)如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一 π 点，已知∠AOC= ,OA=2，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足BC⊥ 3 AD，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ． 2622 (2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末)如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，BC= 1 1 1 CC =3，AC=4，AC⊥BC，动点P在△ABC 内(包括边界上)，且始终满足BP⊥ 1 1 1 1 AB ，则动点P的轨迹长度是 . 1 第 页 共 页 484 10432623 (2024·山东枣庄·高一统考期末)M，N分别是棱长为1的正方体ABCD-ABCD 的 1 1 1 1 棱CC,AB 的中点，点P在正方体的表面上运动，总有MP⊥BN，则点P的轨迹所围成 1 1 1 图形的面积为 . 2624 (2024·四川广元·高二广元中学校考期中)如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下 π 底面圆周上一点，已知∠AOC= ，OA=2，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动， 2 且满足BC⊥AD，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ． 2625 (2024·陕西榆林·高二校考阶段练习)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为2，点M 1 1 1 1 是棱BC 的中点，点P是正方体表面上的动点．若DM⊥CP，则P点在正方体表面上 1 1 1 运动所形成的轨迹的长度为 ( ) 第 页 共 页 485 1043A. 2+ 5 B.2 2+ 5 C. 2+2 5 D.2 2+2 5 3 题型三：由动点保持等距(或定长)求轨迹 2626 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末)在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中， 1 1 1 1 5 点Q为侧面BBCC内一动点(含边界)，若DQ= ，则点Q的轨迹长度为 ． 1 1 1 2 2627 (2024·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校联考期末)已知正方体ABCD- ABCD 的棱长为3，动点P在△ABC内，满足DP= 14，则点P的轨迹长度为 1 1 1 1 1 1 . 2628 (2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习)已知正方体ABCD-ABCD的 棱长为1，点P在该正方体的表面ABCD上运动，且PA= 2则点P的轨迹长度是 ． 2629 (2024·贵州铜仁·统考模拟预测)已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为4，点P在该 1 1 1 1 正方体的表面上运动，且PA=4 2，则点P的轨迹长度是 ． 2630 (2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模)表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且 △AMB为等边三角形，空间中的动点P满足PA  =2PB  ，当点P在△AMB所在的平面 内运动时，点P的轨迹是 ；当P在该球的球面上运动时，点P的轨迹长度为 . 2631 (2024·全国·高三专题练习)已知正四棱柱ABCD-ABCD 的体积为16，E是棱BC 1 1 1 1 的中点，P是侧棱AA 上的动点，直线CP交平面EBD 于点P，则动点P的轨迹长度 1 1 1 1 的最小值为 ． 2632 (2024·全国·高三专题练习)已知棱长为8的正方体ABCD-ABCD中，平面ABCD 1 1 1   1 内一点E满足BE= CB，点P为正方体表面一动点，且满足PE 4  =2 2，则动点P运 动的轨迹周长为 ． 2633 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′-ABCD，M是正方 形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内(包括边界)的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长 度为 ． 第 页 共 页 486 10432634 (2024·河南许昌·高三统考阶段练习)三棱锥P-ABC的体积为4 3，底面三角形ABC 是边长为2 3的正三角形且其中心为O ，三棱锥P-ABC的外接球球心O到底面 1 ABC的距离为2，则点P的轨迹长度为 . 2635 (2024·全国·高三专题练习)在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB,PA=4,PC=2,AB=3， 二面角P-AB-C的大小为30°，在侧面△PAB内(含边界)有一动点M，满足到PA的 距离与到平面ABC的距离相等，则动点M的轨迹的长度为 ． 4 题型四：由动点保持等角(或定角)求轨迹 2636 (2024·山东·高三专题练习)如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DE⊥ AB，DC=8，DE=6.沿着DE将△ADE折起，使A到达点A的位置，且平面ADE⊥ 平面ADE.设P为△ADE内的动点，若∠EPB=∠DPC，则P的轨迹的长度为 . 2637 (2024·全国·高三专题练习)在棱长为6的正方体ABCD-ABCD 中，点M是线段 1 1 1 1 BC的中点，P是正方形DCCD(包括边界)上运动，且满足∠APD=∠MPC，则P点的 1 1 轨迹周长为 . 2638 (2024·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测)已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为 1 1 1 1 2，M为棱BC 的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所 1 1 π 成的角为 ，则动点N的轨迹的长度为 ． 3 2639 (2024·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习)已知正方体ABCD-ABCD 的棱 1 1 1 1 长为2，点E为平面ABD内的动点，设直线AE与平面ABD所成的角为α，若sinα= 1 1 3 10 ，则点E的轨迹所围成的周长为 ． 10 2640 (2024·全国·高三专题练习)已知点P是棱长为2的正方体ABCD-ABCD 的表面上 1 1 1 1 一个动点，若使AP=2的点P的轨迹长度为a；使直线AP∥平面BDC的点P的轨迹长 度为b；使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为c．则a，b，c的大 小关系为 ．(用“<”符号连接) 2641 (2024·全国·高三专题练习)已知正方体ABCD-ABCD 中，AB=2 3，点E为平面 1 1 1 1 第 页 共 页 487 10432 5 ABD内的动点，设直线AE与平面ABD所成的角为α，若sinα= ，则点E的轨迹 1 1 5 所围成的面积为 ． 2642 (2024·山西大同·高一统考期中)已知A,B,C,P是半径为2的球面上的四点，且AB= π AC=2,AB⊥AC．二面角P-BC-A的大小为 ，则点P形成的轨迹长度为 4 ． 2643 (2024·贵州铜仁·高二统考期末)粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁的粽子不 仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方体形、圆锥形等，但最常见的还是“四 角粽子”，其外形近似于正三棱锥．因为将粽子包成这样形状，既可以节约原料，又不失饱 满，而且十分美观．如图，假设一个粽子的外形是正三棱锥P-ABC，其侧棱和底面边长 分别是8cm和6cm，O是顶点P在底面ABC上的射影．若D是底面ABC内的动点，且 2 39 直线PD与底面ABC所成角的正切值为 ，则动点D的轨迹长为 ． 3 2644 (2024·广东佛山·高二校联考期中)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为1，点P为 1 1 1 1 正方形ABCD 内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为60°的点P的轨迹长 1 1 1 1 度为 ( ) 3 3 3 A. B. π C. 3 D. π 3 6 2 2645 在正方体ABCD-ABCD 中，动点M在底面ABCD内运动且满足∠DDA= 1 1 1 1 1 ∠DDM，则动点M在底面ABCD内的轨迹为 ( ) 1 A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线一支的一部分 D.前三个答案都不对 5 题型五：投影求轨迹 2646 (2024·安徽滁州·高三校考阶段练习)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC= 2，D为线段BC(端点除外)上一动点.现将△ABD沿线段AD折起至△ABD，使二面角 B-AD-C的大小为120°，则在点D的移动过程中，下列说法错误的是 ( ) 第 页 共 页 488 1043A.不存在点D，使得CB⊥AB B.点B在平面ABC上的投影轨迹是一段圆弧 10 C.BA与平面ABC所成角的余弦值的取值范围是 ,1 5  D.线段CB的最小值是 3 2647 (2024·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习)如图，在等腰RtΔABC中，AB⊥ AC，BC=2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为线段BM上一个动点(异于两端 点)，ΔABD沿AD翻折至BD⊥DC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在线 1 1 段BM上运动时，以下说法不正确的是( )． A.线段NO为定长 B.∠AMO+∠BDA>180° 1 C.CO∈(1, 2) D.点O的轨迹是圆弧 2648 (2024·江西赣州·高二南康中学校考阶段练习)在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC= 2，M为BC中点，N为AC中点，D为BC边上一个动点，△ABD沿AD翻折使BD⊥ DC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是 ( ) A.线段NO为定长 B.∠AMO+∠ADB>180° C.线段CO的长CO  ∈1, 2  D.点O的轨迹是圆弧 2649 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O，在平行 光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为 E，OE=3．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e=． 第 页 共 页 489 10432650 (2024·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中)如图，在△ABC中，AB= 7，AC= 10， BC=3.过AC的中点M的动直线l与线段AB交于点N.将△AMN沿直线l向上翻折 至△AMN，使得点A在平面BCMN内的投影H落在线段BC上.则点A的轨迹长度为 . 2651 (2024·北京·高三专题练习)如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC= 3，E为线段BC上 一动点，现将ΔABE沿AE折起得到ΔABE，当二面角B-AE-D的平面角为120°，点 B在平面ABC上的投影为K，当E从B运动到C，则点K所形成轨迹的长度为 . 6 题型六：翻折与动点求轨迹 2652 (2024·全国·高三专题练习)在矩形ABCD中，E是AB的中点，AD=1,AB=2，将 △ADE沿DE折起得到△ADE，设AC的中点为M，若将△ADE绕DE旋转90°，则在此 过程中动点M形成的轨迹长度为 . 2653 (2024·全国·高三专题练习)矩形ABCD中，AB=2,AD= 3，E为AB中点，将 △ADE沿DE折起至△A'DE，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在0，π  范围内变化时， 点A'的轨迹长度为 第 页 共 页 490 10432654 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DE⊥ AB，DC=8，DE=6.沿着DE将△ADE折起，使A到达点A的位置，且平面ADE⊥ 平面BCDE.若点P为△ADE内的动点，且满足∠EPB=∠DPC，则点P的轨迹的长度 为 . 2655 (2024·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°.将菱形沿对角 线AC折叠成大小为60°的二面角B-AC-D.设E为BC的中点，F为三棱锥B- ACD表面上动点，且总满足AC⊥EF，则点F轨迹的长度为 . 2656 (2024·江苏连云港·高二校考阶段练习)在矩形ABCD中，AB= 3，AD=1，点E在 CD上，现将△AED沿AE折起，使面AED⊥面ABC，当E从D运动到C，求点D在面 ABC上的射影K的轨迹长度为 ( ) 2 2 2 π π A. B. C. D. 2 3 2 3 2657 (2024·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD的各边长为2,∠D=60°．如图所示，将 △ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S-ABC，此时SB =3．E是线段SA的中点，点F在三棱锥S-ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥ AC，则点F的轨迹的周长为 ( ) 2 3 4 3 5 3 2 21 A. π B. π C. π D. π 3 3 3 3 2658 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD 将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD， 第 页 共 页 491 1043垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为 ( ) π π 2π A. B. C. D.π 6 3 3 2659 (2024·广东中山·高三华南师范大学中山附属中学校考期中)如图，在长方形ABCD中， AB= 3，BC=1，点E为线段DC上一动点，现将ΔADE沿AE折起，使点D在面 ABC内的射影K在直线AE上，当点E从D运动到C，则点K所形成轨迹的长度为 3 2 3 π π A. B. C. D. 2 3 3 2 2660 (2024·全国·高三专题练习)如图，在等腰梯形ABCD中，CD=2AB=2EF=2a，E,F 分别是底边AB,CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起使得平面BEFC⊥平面 ADFE.若动点P∈平面ADFE，设PB,PC与平面ADFE所成的角分别为θ,θ (θ,θ 均 1 2 1 2 不为0).若θ =θ ，则动点P的轨迹围成的图形的面积为 ( ) 1 2 1 4 1 4 A. a2 B. a2 C. πa2 D. πa2 4 9 4 9 第 页 共 页 492 1043