文档内容
专题21.3 配方法（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）
一、【学习目标】
1.深入理解配方法的基本方法，能准确阐述配方法的核心步骤及其作用；
2.熟练掌握用配方法解一元二次方程的完整步骤，能够针对不同形式的一元二次方程，规范准确地进
行移项、二次项系数化为 1、配方、开平方以及求解等操作，确保计算结果的正确性；
3.能够灵活运用配方法解决与一元二次方程相关的各类问题，根据实际情境建立一元二次方程模型并
求解，以及判断方程根的情况；
4.通过配方法的探究过程，提升观察、分析、归纳、类比等数学思维能力，培养自主探究、合作交流
的学习能力.
二、【知识梳理】
【知识点1】直接开方法解一元二次方程
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
【知识点2】一元二次方程的解法---配方法
（1）配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方
程的方法叫配方法.
（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为 的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程
无实数解.
【知识点3】配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而
比较出大小.
2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待
定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中
也有着广泛的应用．
三、【题型目录】
【夯实基础】
【题型一】解一元二次方程——直接开平方法.............................................2
【题型二】解一元二次方程——配方法...................................................3
【题型三】配方法的基本应用——求最值.................................................5
【拓展延伸】
【题型四】解一元二次方程（直接开平方法+配方法综合）..................................6
【题型五】解一元二次方程（配方法+新定义综合）........................................8
【题型六】解一元二次方程（配方法+几何综合）.........................................11
【题型七】解一元二次方程（配方法+整体思想+规律问题）................................14
【题型八】解一元二次方程（配方法+一次函数综合）.....................................16
【题型九】配方法的应用（求最值+比较大小+其他应用）..................................18
四、【题型展示与方法点拨】
【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4.
【夯实基础】
【题型一】解一元二次方程——直接开平方法
★【例题1】（24-25九年级上·吉林·期中）解方程: ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是
解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
即 或 ，解得 ， ．
★【变式1】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）用适当的方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程．先把方程的左边利用完全平方公式变形为 ，再直接开平方
得到两个一元一次方程，进而求解．
解：原方程可变形为： ，
直接开平方得： 或 ，
解得： ， ．
★【变式2】（24-25七年级下·福建莆田·期中）求下列各式中未知数的值：
（1） ；
（2） ；
【答案】（1） ， ；（2） ， ．
【分析】本题考查了绝对值方程的解法，直接开方法解一元二次方程，理解相关方程的解法是解答关键．
（1）根据绝对值的定义变形为 ，再来解方程求解；
（2）根据直接开方求解即可．
解：（1）解： ，
，
或 ，
， ；
（2）解：原方程变形为： ，开方得 ，
或 ，
， ．
【题型二】解一元二次方程——配方法
★【例题2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）用配方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次
方程，再求出方程的解即可．
解： ，
移项，得 ，
方程两边再时除以2，得 ，
配方，得 ，
∴ ，
开方，得 ，
∴ ， ．
★【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、
公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再利用配方法解一元二次方
程即可得．
解： ，，
，
，
，
，
，
所以方程的解为 ．
★【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程： ．
【答案】 ， ．
【分析】本题考查了高次方程的解法，运用直接开配方法进行解答即可，掌握直接开配方法是解题的关
键．
解：
或
∴ ， ．
【题型三】配方法的应用
★【例题3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）代数式 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到 ，再根据偶次方的非负性可得 ，据此可得答案．
解：
，
∵ ，
∴ ，
∴代数式 的最小值为 ，
故选：B．
★【变式1】（23-24九年级上·四川南充·开学考试）当 时，代数式 的值最小．
【答案】
【分析】本题考查的是代数式的最小值问题，利用配方法及平方的非负性是解答的关键.
对代数式进行配方，利用平方的非负性解答.
解：
∵
∴
∴当 时，原式有最小值
即当 时，代数式 取得最小值.
故答案为：
★【变式2】（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知代数式 用配方法说明：不论x为何
值，代数式 的值总是负数．
【答案】见分析
【分析】本题考查了配方，根据配方法的步骤把代数式 进行配方，即可得出答案．
解：∵ ，
∴
∴ ，
∴不论x为何值，代数式 的值总是负数．
【拓展延伸】
【题型四】解一元二次方程（直接开平方法+配方法综合）
★★【例题4】（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程：
（1）
（2）（配方法）
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】本题考查了一元二次方程解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，进而根据直解开平方法解，即可求解．
（2）根据配方法解一元二次方程，即可求解．
解：（1）解： ，
，
，
解得 ， ；
（2）解：∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ．
★★【变式1】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算：
（1）
（2）
【答案】（1） ， ；（2） ， ．
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）直接用开平方法即可求解；
（2）用配方法求解即可．
解：（1）解： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，解得： ， ．
★★【变式2】（24-25九年级上·河南新乡·期末）解方程：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1） ， ；（2） ，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）方程运用直接开平方法求解即可；
（2）方程移项后运用配方法求解即可．
解：（1）解： ，
两边开平方，得 ，
， ．
（2）解： ，
移项，得 ，
配方，得 ，
，
两边开平方，得 ，
， ．
【题型五】解一元二次方程（配方法+新定义综合）
★★【例题5】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）字母x、y表示两个有理数，且 ，现规定
表示x、y中较小的数，例如： ， ，若 ，则x的值为
（ ）
A．3 B．1 C．3或1 D． 或1
【答案】C【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意分情况讨论，再分别求解即可．
解：∵ ，
∴当 时， ，
即： ，
∴ ，
即： ，
移项配方得： ，
解得： ，即： 或 （舍），
当 时， ，
即： ，
∴ ，
即： ，
解得： （舍）或 ，
综上所述： 或 ，
故选：C．
★★【变式1】（21-22八年级下·重庆·期中）对于示数x，规定 ，例如 ，
，现有下列结论：
①若 ，则 ；
② 的最小值为﹣1；
③对于实数a，b，若 ， ，则 ；
④ ．
以上结论正确的是（ ）A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】依据题意，规定 ，①题直接解一元二次方程；②题用配方法求最值；③题用完全
平方公式进行变形；④题把特殊值代入，即可得出答案．
解：依据题意 ，
① ，即 ，解得 ， ，因此①错误，不符合题意，
② ，故 的最小值为﹣1，因此②正确，符合题意，
③对于实数a，b，若 ， ，
即
，故③正确，符合题意，
④∵ ， ， ，
， ， ，
， ， ，
，
∴ ，故④错误，不符合题意．
∴答案为②③．
故选：B．
【点拨】本题考查了求代数式的值，解一元二次方程，配方法求最值，完全平方公式的变形等内容，掌
握相关知识点并正确运用是解题关键．
★★【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）新定义：关于 的一元二次方程 与
称为“同族二次方程”，例如： 与 是“同族二次方程”．
现有关于 的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，则代数式
的最小值是 ．【答案】
【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解
本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于 与 的方程
组，求出方程组的解得到 与 的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
解： 关于 的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，
，
，
，
解得： ，
，
，
代数式 的最小值是 ．
故答案为： ．
【题型六】解一元二次方程（配方法+几何综合）
★★【例题6】（2025·河南商丘·二模）如图， 为 的高， ， ， ．为求
出 的值，小聪把 、 分别沿 、 翻折后得 ， ．延长 与 的延长线交
于点 ，易得四边形 为正方形，从而得出 的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理等等，由折叠的性质可得
， ，
，这可证明 ，进而可证明矩形 是正方形，设
，则 ，由勾股定理得 ，解方程
即可得到答案．
解：∵ 为 的高，
∴
由折叠的性质可得 ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴矩形 是正方形，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
故答案为： ．
★★【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程
的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理及二次根式的应用，求得方程的两个根是关键．解一元
二次方程，求得方程的两根，由勾股定理求得斜边的长．解：解方程 ，
得： ， ，
即：直角三角形的两直角边分别 和 ，
由勾股定理得斜边长为： ．
故答案为： ．
★★【变式2】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，以矩形 的顶点A为圆心，以 边的长为
半径作弧，交线段 的延长线于点E，交边 于点F，若 ， ，则 的长为
．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，连接 ，设 ，则
，由矩形的性质得到 ，则 ，再由勾股定理建立
方程，解方程即可得到答案．
解：如图所示，连接 ，设 ，则 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【题型七】解一元二次方程（配方法+整体思想+规律问题）
★★【例题7】（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知实数 满足 ，则
．
【答案】2
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．运用整体的思想是解题的关键．
由 ，整理得 ，即 ，然后求解作答即
可．
解：∵ ，∴ ，整理得 ，
∴ ，
解得， ，
故答案为：2．
★★【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）已知 ， ， ，……，
（ ，且 为正整数）．若 ，则 的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了分式的运算、解一元二次方程，熟练掌握分式的运算法则和配方法解一元二次方程
是解题的关键．根据题意，用 分别表示出 至 ，再由 得出关于 的方程，解方程
求出 的值即可．
解：由题意得， ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
整理得： ，
配方得： ，
解得： ， ，
经检验： ， 都是分式方程的解，
的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
★★【变式2】（21-22九年级·江苏南京·自主招生）已知 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，分式的化简求值．由条件得出 ， ，再将方程
去分母合并整理得 ，然后两边同时除以 得 ，再利用配方法求得方程
的解，注意舍去不合题意的解．
解：∵ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，∴ ，
两边同时除以 得 ，即 ，
配方得 ，即 ，
解得 或 ，
∴ 或 （舍去），
故答案为： ．
【题型八】解一元二次方程（配方法+一次函数综合）
★★【例题8】（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）若方程 用配方法可配成
的形式，则直线 不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程配方及一次函数的性质，先配方得到 ， ，再根据一次函数的性质判断
即可得到答案；
解：方程 配方得，
，
∴ ， ，
∴直线 经过一、二、四象限，不经过三象限，
故选：C．
★★【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图1，在矩形 中， ，点E
和F同时从点A出发，点E以 的速度 的方向运动，点F以 的速度沿 的方向
运动，两点相遇时停止运动，设运动时间为 ， 的面积为 ，y关于x的函数图象如图2，图象经过点 ， ，则n 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点F在 上时；
当点E在 上，且点F在 上时；当点E在 上，且点F在 上时．图2中的最高点是当点E与点
B重合时，y的值为4；当点E和点F相遇时，即到达点C时，用时6秒．由此可求出 ，
由此可求出当点E运动3秒后y的值，即可求出m的值，进而可求出n的取值．
解：由图2可知，当点E运动到点B时， ，即 ，
当点E和点F相遇时，即到达点C时，运动了6秒，即 ，
解得： ，
当 时，如图， ，
；
当 时，点F在 上，点E在 上，如图，
此时， ，
∴ ；
解得 ，或 （舍）．故答案为： ．
★★【变式2】（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题：
若关于 、 的方程 ，求 、 的值．
解；因为
所以
所以
即
所以 ，
所以 ，
解得 ，
（1）模仿阅读内容解关于 、 的方程，已知 ，求 、 的值；
（2）若 、 是方程 的解，求关于 的一次函数 图象与坐标轴交点所围
成的三角形的面积．
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】本题考查了配方法的应用，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次函数的性质．
（1）根据题意把方程进行配方即可求解；
（2）先根据配方法求出 、 ，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，最
后利用三角形面积公式求解即可．
解：（1）解：
即 ，，
解得： ， ；
（2）
即
，
解得 ，
将 ， 代入一次函数 ，得 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，解得 ；
该函数与 轴的交点为 ，于 轴的交点为
一次函数 的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为 ．
【题型九】配方法的应用（求最值+比较大小+其他应用）
★★★【例题9】（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当 ， 时，由 ，
得 当且仅当 时，取到等号．已知 ，求式子 的最小值．解：令 ， ，
则由 ，得 ，当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为
4，根据材料，思考下列问题：
（1） ______ （用“ ”“ ”“ ”填空）
（2）当 ，式子 的最小值为______．
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四边形 面积的最小值．
【答案】（1） ；（2）6；（3）
【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．
（1）根据题意可知 ，
（2）令 ， ，则由 ，即可得出答案．
（3）设 ，根据题意可得出 ，即可得出当且仅当 ，即 时，，四边形
面积 ．
解：（1）解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：
（2）解：令 ， ，则由 ，
得
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6，
故答案为：6；
（3）解：设 ，已知 ， ，
则由等高三角形可知： ，，
，
四边形 的面积
当且仅当 ，即 时，取等号，
四边形 面积的最小值为 ．
★★【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）设 ， ，其中a为实数，
则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】利用作差法，用完全平方公式，得 ，结合非负性解答
即可．
本题考查了大小比较，完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
解：根据题意，得 ， ，
故
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：A．
★★【变式2】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知 ，则
的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用
配方法把方程 变形为 ，求出 的值，再代入到题目中的式子，
利用裂项法求和即可解答．
解： ，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
