文档内容
专题21.3 配方法（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）
一、【学习目标】
1.深入理解配方法的基本方法，能准确阐述配方法的核心步骤及其作用；
2.熟练掌握用配方法解一元二次方程的完整步骤，能够针对不同形式的一元二次方程，规范准确地进
行移项、二次项系数化为 1、配方、开平方以及求解等操作，确保计算结果的正确性；
3.能够灵活运用配方法解决与一元二次方程相关的各类问题，根据实际情境建立一元二次方程模型并
求解，以及判断方程根的情况；
4.通过配方法的探究过程，提升观察、分析、归纳、类比等数学思维能力，培养自主探究、合作交流
的学习能力.
二、【知识梳理】
【知识点1】直接开方法解一元二次方程
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
【知识点2】一元二次方程的解法---配方法
（1）配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方
程的方法叫配方法.
（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为 的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程
无实数解.
【知识点3】配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而
比较出大小.
2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待
定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中
也有着广泛的应用．
三、【题型目录】
【夯实基础】
【题型一】解一元二次方程——直接开平方法.............................................2
【题型二】解一元二次方程——配方法...................................................2
【题型三】配方法的基本应用——求最值.................................................3
【拓展延伸】
【题型四】解一元二次方程（直接开平方法+配方法综合）..................................3
【题型五】解一元二次方程（配方法+新定义综合）........................................3
【题型六】解一元二次方程（配方法+几何综合）..........................................4
【题型七】解一元二次方程（配方法+整体思想+规律问题）.................................4
【题型八】解一元二次方程（配方法+一次函数综合）......................................5
【题型九】配方法的应用（求最值+比较大小+其他应用）...................................5
四、【题型展示与方法点拨】
【特别说明】序号前带“”难度系数0.85，“”难度系数0.65，“”难度系数0.4.
【夯实基础】
【题型一】解一元二次方程——直接开平方法
【例题1】（24-25九年级上·吉林·期中）解方程: ．
【变式1】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）用适当的方法解方程： ．
【变式2】（24-25七年级下·福建莆田·期中）求下列各式中未知数的值：
（1） ；
（2） ；
【题型二】解一元二次方程——配方法
【例题2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）用配方法解方程： ．【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程： ．
【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程： ．
【题型三】配方法的应用
【例题3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）代数式 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
【变式1】（23-24九年级上·四川南充·开学考试）当 时，代数式 的值最小．
【变式2】（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知代数式 用配方法说明：不论x为何值，
代数式 的值总是负数．
【拓展延伸】
【题型四】解一元二次方程（直接开平方法+配方法综合）
【例题4】（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程：
（1） （2）（配方法）
【变式1】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算：
（1） （2）
【变式2】（24-25九年级上·河南新乡·期末）解方程：
（1） ． （2） ．
【题型五】解一元二次方程（配方法+新定义综合）
【例题5】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）字母x、y表示两个有理数，且 ，现规定 表
示x、y中较小的数，例如： ， ，若 ，则x的值为
（ ）
A．3 B．1 C．3或1 D． 或1
【变式1】（21-22八年级下·重庆·期中）对于示数x，规定 ，例如 ，，现有下列结论：
①若 ，则 ；
② 的最小值为﹣1；
③对于实数a，b，若 ， ，则 ；
④ ．
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）新定义：关于 的一元二次方程 与
称为“同族二次方程”，例如： 与 是“同族二次方程”．
现有关于 的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，则代数式
的最小值是 ．
【题型六】解一元二次方程（配方法+几何综合）
【例题6】（2025·河南商丘·二模）如图， 为 的高， ， ， ．为求出
的值，小聪把 、 分别沿 、 翻折后得 ， ．延长 与 的延长线交于
点 ，易得四边形 为正方形，从而得出 的长为 ．
【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程
的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ．
【变式2】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，以矩形 的顶点A为圆心，以 边的长为半径作弧，交线段 的延长线于点E，交边 于点F，若 ， ，则 的长为 ．
【题型七】解一元二次方程（配方法+整体思想+规律问题）
【例题7】（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知实数 满足 ，则
．
【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）已知 ， ， ，……，
（ ，且 为正整数）．若 ，则 的值为 ．
【变式2】（21-22九年级·江苏南京·自主招生）已知 ， ，则 ．
【题型八】解一元二次方程（配方法+一次函数综合）
【例题8】（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）若方程 用配方法可配成 的形
式，则直线 不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图1，在矩形 中， ，点E和F
同时从点A出发，点E以 的速度 的方向运动，点F以 的速度沿 的方向运动，
两点相遇时停止运动，设运动时间为 ， 的面积为 ，y关于x的函数图象如图2，图象经过点
， ，则n 的值为 ．【变式2】（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题：
若关于 、 的方程 ，求 、 的值．
解；因为
所以
所以
即
所以 ，
所以 ，
解得 ，
（1）模仿阅读内容解关于 、 的方程，已知 ，求 、 的值；
（2）若 、 是方程 的解，求关于 的一次函数 图象与坐标轴交点所围
成的三角形的面积．
【题型九】配方法的应用（求最值+比较大小+其他应用）
【例题9】（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当 ， 时，由 ，得
当且仅当 时，取到等号．已知 ，求式子 的最小值．解：令 ， ，则
由 ，得 ，当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为
4，根据材料，思考下列问题：
（1） ______ （用“ ”“ ”“ ”填空）（2）当 ，式子 的最小值为______．
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四
边形 面积的最小值．
【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）设 ， ，其中a为实数，则
M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【变式2】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知 ，则
的值等于 ．
