文档内容
21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次
方程”21.3 实际问题与一元二次方程第2课时，内容包括：利用一元二次方程解决几何问题和数字问题。
2.内容解析
本节课学习如何利用一元二次方程解决几何问题和数字问题。想要解决几何问题，就要根据图形的性
质构建一元二次方程，从而将实际问题转化为数学问题，再次体现数学建模思想，在此过程中培养学生分
析问题和运用一元二次方程解决实际问题的能力。数字问题大致可分为三类，即一般数目关系问题，连续
数问题、数字排列问题。解答这类题的关键是：掌握其基本的数量关系和连续数及一般数的表示方法。利
用一元二方程解数字问题，关键是找到其基本的数量关系，以及数字之间的规律，然后利用其基本的数量
关系和连续数及一般数的表示方法来进行求解。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：找出实际问题中的等量关系，正确列出一元二次方程。
二、目标和目标解析
1.目标
1）根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2）通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的
过程，提高数学应用意识。
2.目标解析
达成目标1)的标志是：通过审题，根据“几何问题”中图形的性质构建一元二次方程，根据“数字问
题”中基本的数量关系构建一元二次方程。找等量关系，正确列出方程并求解，从而解决实际问题。
达成目标2）的标志是：对用方程解决实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答）进行回顾、总结
和深化，体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型。
三、教学问题诊断分析
九年级学生已具备一定的建模思想，也接触了一些实际问题，了解将实际问题转化为数学问题的一般
步骤，积累了一定的解题经验和方法。学生解决“几何问题”的困难是：根据图形的性质构建一元二次方
程。学生解决“数字问题”的困难是：读懂图意，找到其基本的数量关系。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：发现实际问题的等量关系。
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤?
师生活动：教师提问，学生回答。
【提问】计算下列图形面积?
师生活动：教师提问，学生回答。
【设计意图】先回顾常见图形的面积计算公式及列方程解决实际问题的相关知识，为本节课学生学习
利用一元二次方程解决几何问题和数字问题做好铺垫。
（二）探究新知
【问题】要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的
矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬 等宽，左、右边衬 等宽，
应如何设计四周边衬的宽度？
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：
【提问1】本题要解决什么问题？（几何问题）
【提问2】上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？如何表示？
（封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm
1 1
和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是： (27-9a): (21-7a)= 9(3-a):7(3-a)=
2 2
9:7）
【设计意图】将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系。学生理解的难点
就是探究上、下边衬与左、右边衬的宽度比。因此在此设问，以帮助学生理解。
【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
师生活动：学生独立思考，给出答案。3
等量关系:中央矩形的长×宽= ×封面面积
4
设上、下边衬的宽均为9y cm ，左、右边衬的宽均为7y cm，
3
由题意得 (27-18y)(21-14y)= ×27×21
4
6+3❑√3 6−3❑√3
解方程得y= ≈0.2，y2= ≈2.8（不合题意，舍去）
1
4 4
所以9y=1.8 cm，7y=1.4 cm
答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm
【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。
【问题】如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面问题？请你试一试。
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：
【提问4】中央矩形的长与宽 还可以怎么表示？你能解决这个问题吗?
师生活动：学生独立思考，给出答案。
设正中央的矩形长和宽分别为9x cm，7x cm
3
由题意得 9x×7x= ×27×21
4
3❑√3 3❑√3
则x= ，x2= - （舍去）
1
2 2
27−9x
故上、下边衬的宽度为 ≈1.8 cm，
2
21−7x
左、右边衬的宽度为 ≈1.4 cm
2
答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm
【设计意图】通过不同的列式情况，提高学生分析和解决问题的能力。
【问题】如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠
把耕地分成面积均为 885m2 的 6 块小矩形，水渠应挖多宽？
【提问1】你能用几种方法表示水渠的面积？
1.设水渠宽为 x m，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，
它的长为 (92 – 2x ) m, 宽(60-x) m.新矩形的面积为5310 m2。（利用
“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理）
2.设水渠宽为 x m，水渠的总面积为92x+2×60x- 2x2，耕地总面积-水渠面积=5310 m2。
【提问2】你能解决这个问题吗?
解法1：设水渠的宽应挖 x m .( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885
解得 x=105(舍去），x=1
1 2
答：水渠应挖1米宽
解法2：设水渠的宽应挖 x m .
92×60 - 92x - 2×60x+ 2x2 = 6×885
解得 x=105(舍去），x=1
1 2
答：水渠应挖1米宽
【设计意图】通过不同的列式情况，提高学生分析和解决问题的能力。
（三）典例分析
例1 等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高。
解：设这个梯形的高为 x cm，则上底为(x+4)cm，下底为(x+20)cm.
1
根据题意得 x(x+4+x+20)=160
2
整理，得x2 +12x -160= 0
解得 x=8 , x=－20 ( 不合题意，舍去 )
1 2
答：这个梯形的高为8cm.
师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程
中做到有的放矢，对症下药。
[针对训练]
1.如图，准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽
度相等，且与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，
且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽
度为_____米．
答案：设小路的宽度为x，由题意得x(30+4x)+x(24+4x)=80，由x>0，
5
可得x= =1.25.
4
2. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，
篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
【详解】
解：1）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝150，解得：x＝10，x＝7.5，
1 2
当x＝10时，35﹣2x＝15＜18，
1
当x＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），
2
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
2）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2。
【设计意图】检测“几何问题”的掌握情况。
（四）归纳小结
【设计意图】通过归纳，明确“几何问题”的常见思路和类型，以及解决此类问题的一般过程和方法。
（五）探究讲解
【问题】通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄。
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：
【提问】你能将题干 内容转化为数学语言吗？周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数（不小于30岁），十位数字比个位数字小三，个位数
字的平方等于他去世时的年龄。
【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
等量关系：周瑜去世时的年龄=年龄个位数字的平方。
【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x−3，依题意得：
，
10(x−3)+x=x2
解得x =5，x =6，
1 2
当x=5时，25<30，（不合题意，舍去），
当x=6时，36>30（符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为36岁。
【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。
【问题】一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这
个两位数.
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。
【详解】设个位数字为x，则十位数字为9−x.
x2+(9−x) 2=45
得x =3，x =6
1 2
∴这个两位数为36或63.
【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。
（六）典例分析
典例2 一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把
这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数．
【详解】设一位数为x，则两位数为x2．
则根据题意可得： ，
100x+x2−(10x2+x)=252
整理得：x2−11x+28=0．
分解得：(x−4)(x−7)=0，
解得：x =4，x =7．
1 2
答：这个两位数为16或49．
师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程
中做到有的放矢，对症下药。[针对训练]
1 两个连续奇数的积为255，若设其中较小的奇数为x，则可列方程为_________________，这两个数
分别为_______________．
【详解】设其中较小的奇数为x，则较大的奇数为(x+2)，
根据题意，得x(x+2)=255，
解得，x =−17,x =15
1 2
当x=−17时，x+2=−15；
当x=15时，x+2=17．
故答案为：x(x+2)=255，−17,−15或15,17．
[能力提升]
1．第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代
数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进
位 基 数 的 数 字 系 统 ， 有 0~7 共 8 个 基 本 数 字 ， 八 进 制 数 3745 换 算 成 十 进 制 数 是
3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME—14的举办年份．
(1)八进制数3747换算成十进制数是______；
(2)小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．
【详解】（1）3×83+7×82+4×81+7×80=2023
（2）由题意，得2n2+3n+4=193，
21
解得n =9，n =− （舍负）
1 2 2
2 阅读材料，回答下列问题：
反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的
两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654．
用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大 3，这个两位数与其反序数
之积为1300，求这个两位数．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+3)，
根据题意得： ，
[10(x+3)+x][10x+(x+3)]=1300
∴(10x+30+x)(10x+x+3)=1300，即(11x+30)(11x+3)=1300，
∴121x2+330x+33x+90=1300，
∴x2+3x−10=0
解得x=2或x=−5（舍去），∴10(x+3)+x=10×(2+3)+2=52，
∴这个两位数为52．
3 如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m
的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28
m．
(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由．
1
【详解】（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为 （60﹣x+2）米，
2
1
依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝300，
2
解这个方程得：x＝12，x＝50，
1 2
∵28＜50，∴x＝50（不合题意，舍去），
2
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；
1 1
（2）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为 （60﹣x+2）米，依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝
2 2
500，
△＝622﹣4000＝﹣156＜0，
则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．
答：不能围成500平方米的矩形花园．
【设计意图】检测“数字问题”的掌握情况。
（七）直击中考
1．（2022·江苏泰州真题）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余
下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
【详解】解：设道路的宽应为x米，
由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x=4，x=40(不符合题意，舍去)
1 2
答：道路的宽应为4m．
2．（2021·山西省真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月
日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小
数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【详解】解：设这最小数为x．
根据题意，得x(x+8)=65．
解得x =5，x =−13（不符合题意，舍去）．
1 2
答：这个最小数为5．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考查内容，进一步了解考点。
（八）归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言简述一元二次方程解应用题的步骤？
2. 你知道解决“几何问题” 、“数字问题” 的关键步骤是什么？
（九）布置作业
P21：习题21.3：第5题、第9题
P25：复习题21：第11题、第12题
五、教学反思
