文档内容
21.3 实际问题与一元二次方程（几何问题和数字问题）导学案
学习目标
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，
提高数学应用意识。
思维导图
引入新课
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤?
【提问】计算下列图形面积?新知探究
【问题】要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，
如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬 等宽，左、右边衬 等宽，应如何
设计四周边衬的宽度？
【提问1】本题要解决什么问题？
【提问2】上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？如何表示？
【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
【问题】如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面问题？请你试一试。
【提问4】中央矩形的长与宽 还可以怎么表示？你能解决这个问题吗?
【问题】如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠
把耕地分成面积均为 885m2 的 6 块小矩形，水渠应挖多宽？
【提问1】你能用几种方法表示水渠的面积？
【提问2】你能解决这个问题吗?典例分析
例1 等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高。
[针对训练]
1.如图，准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相
等，且与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且
边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度
为_____米．
2. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为
18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有
空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
探究新知
【问题】通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄。【提问】你能将题干 内容转化为数学语言吗？
【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
【问题】一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两
位数.
典例分析
典例2 一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个
一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数．
1 两个连续奇数的积为255，若设其中较小的奇数为x，则可列方程为_________________，这两个数分别
为_______________．
[能力提升]1．第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学
的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基
数 的 数 字 系 统 ， 有 0~7 共 8 个 基 本 数 字 ， 八 进 制 数 3745 换 算 成 十 进 制 数 是
3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME—14的举办年份．
(1)八进制数3747换算成十进制数是______；
(2)小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．
2 阅读材料，回答下列问题：
反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的
两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654．
用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大 3，这个两位数与其反序数
之积为1300，求这个两位数．
3 如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱
笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m．
(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由．直击中考
1．（2022·江苏泰州真题）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的
铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
2．（2021·山西省真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月
日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小
数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
课堂小结
【参考答案】
新知探究
【问题】要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，
如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬 等宽，左、右边衬 等宽，应如何
设计四周边衬的宽度？【提问1】本题要解决什么问题？（几何问题）
【提问2】上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？如何表示？
（封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm
1 1
和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是： (27-9a): (21-7a)= 9(3-a):7(3-a)=
2 2
9:7）
【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
3
等量关系:中央矩形的长×宽= ×封面面积
4
设上、下边衬的宽均为9y cm ，左、右边衬的宽均为7y cm，
3
由题意得 (27-18y)(21-14y)= ×27×21
4
6+3❑√3 6−3❑√3
解方程得y= ≈0.2，y2= ≈2.8（不合题意，舍去）
1
4 4
所以9y=1.8 cm，7y=1.4 cm
答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm
【问题】如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面问题？请你试一试。
【提问4】中央矩形的长与宽 还可以怎么表示？你能解决这个问题吗?
设正中央的矩形长和宽分别为9x cm，7x cm
3
由题意得 9x×7x= ×27×21
4
3❑√3 3❑√3
则x= ，x2= - （舍去）
1
2 2
27−9x
故上、下边衬的宽度为 ≈1.8 cm，
2
21−7x
左、右边衬的宽度为 ≈1.4 cm
2
答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm
【问题】如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠
把耕地分成面积均为 885m2 的 6 块小矩形，水渠应挖多宽？
【提问1】你能用几种方法表示水渠的面积？
1.设水渠宽为 x m，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，它
的长为 (92 – 2x ) m, 宽(60-x) m.新矩形的面积为 5310 m2。（利用
“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理）2.设水渠宽为 x m，水渠的总面积为92x+2×60x- 2x2，耕地总面积-水渠面积=5310 m2。
【提问2】你能解决这个问题吗?
解法1：设水渠的宽应挖 x m .
( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885
解得 x=105(舍去），x=1
1 2
答：水渠应挖1米宽
解法2：设水渠的宽应挖 x m .
92×60 - 92x - 2×60x+ 2x2 = 6×885
解得 x=105(舍去），x=1
1 2
答：水渠应挖1米宽
典例分析
例1 等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高。
解：设这个梯形的高为 x cm，则上底为(x+4)cm，下底为(x+20)cm.
1
根据题意得 x(x+4+x+20)=160
2
整理，得x2 +12x -160= 0
解得 x=8 , x=－20 ( 不合题意，舍去 )
1 2
答：这个梯形的高为8cm.
[针对训练]
1.如图，准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相
等，且与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且
边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度
为___1.25__米．
2. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为
18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有
空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
解：1）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝150，
解得：x＝10，x＝7.5，
1 2
当x＝10时，35﹣2x＝15＜18，
1当x＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），
2
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
2）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2。
探究新知
【问题】通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄。
【提问】你能将题干 内容转化为数学语言吗？
周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数（不小于30岁），十位数字比个位数字小三，个位数
字的平方等于他去世时的年龄。
【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
等量关系：周瑜去世时的年龄=年龄个位数字的平方。
【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x−3，依题意得：
，
10(x−3)+x=x2
解得x =5，x =6，
1 2
当x=5时，25<30，（不合题意，舍去），
当x=6时，36>30（符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为36岁。
【问题】一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两
位数.
【详解】设个位数字为x，则十位数字为9−x.x2+(9−x) 2=45
得x =3，x =6
1 2
∴这个两位数为36或63.
典例分析
典例2 一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个
一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数．
【详解】设一位数为x，则两位数为x2．
则根据题意可得： ，
100x+x2−(10x2+x)=252
整理得：x2−11x+28=0．
分解得：(x−4)(x−7)=0，
解得：x =4，x =7．
1 2
答：这个两位数为16或49．
1 两个连续奇数的积为255，若设其中较小的奇数为x，则可列方程为________ x(x+2)=255_________，
这两个数分别为______−17,−15或15,17_________．
[能力提升]
1．第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学
的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基
数 的 数 字 系 统 ， 有 0~7 共 8 个 基 本 数 字 ， 八 进 制 数 3745 换 算 成 十 进 制 数 是
3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME—14的举办年份．
(1)八进制数3747换算成十进制数是______；
(2)小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．
【详解】（1）3×83+7×82+4×81+7×80=2023
（2）由题意，得2n2+3n+4=193，
21
解得n =9，n =− （舍负）
1 2 2
2 阅读材料，回答下列问题：
反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的
两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654．用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大 3，这个两位数与其反序数
之积为1300，求这个两位数．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+3)，
根据题意得： ，
[10(x+3)+x][10x+(x+3)]=1300
∴(10x+30+x)(10x+x+3)=1300，即(11x+30)(11x+3)=1300，
∴121x2+330x+33x+90=1300，
∴x2+3x−10=0
解得x=2或x=−5（舍去），
∴10(x+3)+x=10×(2+3)+2=52，
∴这个两位数为52．
3 如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱
笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m．
(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由．
1
【详解】（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为 （60﹣x+2）米，
2
1
依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝300，
2
解这个方程得：x＝12，x＝50，
1 2
∵28＜50，∴x＝50（不合题意，舍去），
2
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；
1 1
（2）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为 （60﹣x+2）米，依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝
2 2
500，
△＝622﹣4000＝﹣156＜0，
则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．
答：不能围成500平方米的矩形花园．
直击中考
1．（2022·江苏泰州真题）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
【详解】解：设道路的宽应为x米，
由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x=4，x=40(不符合题意，舍去)
1 2
答：道路的宽应为4m．
2．（2021·山西省真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月
日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小
数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【详解】解：设这个最小数为x．
根据题意，得x(x+8)=65．
解得x =5，x =−13（不符合题意，舍去）．
1 2
答：这个最小数为5．
