文档内容
21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次
方程”21.3 实际问题与一元二次方程第1课时，内容包括：利用一元二次方程解决传播问题和变化率问题。
2.内容解析
本节课学习如何利用一元二次方程解决传播问题和变化率问题。想要解决传播问题，就要分析两轮传
播中每个周期内相应的数量关系，从而将实际问题转化为数学问题，再次体现数学建模思想，在此过程中
培养学生分析问题和运用一元二次方程解决实际问题的能力。探究2以成本下降为问题背景，讨论平均变
化率的问题，这类问题在现实世界中有许多原型，例如经济增长率、人口增长率等，教材中讨论两轮（即
两个时间段）的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型，涉及成本下降额和成本下降率，这两
个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元；后者表示相对变化量，是表示比率的数字，通过
这个问题，可以使学生认识到分析问题时应对变化额与变化率两者兼顾，这样才能全面比较对象的变化状
况。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：找出实际问题中的等量关系，正确列出一元二次方程。
二、目标和目标解析
1.目标
1）根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2) 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的
过程，提高数学应用意识。
2.目标解析
达成目标1)的标志是：通过审题，分析出“传播问题”中每个周期的传播源和传播后的总数各是什么，
分析出“变化率问题”中“第一个时间段”,“第二个时间段”变化前、后的量与平均变化率的关系，从
而选择合适的未知数，列出相应的代数式。找等量关系，正确列出方程并求解，从而解决实际问题。
达成目标2）的标志是：对用方程解决实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答）进行回顾、总结
和深化，体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型。
三、教学问题诊断分析
九年级学生已具备一定的建模思想，也接触了一些实际问题，了解将实际问题转化为数学问题的一般
步骤，积累了一定的解题经验和方法。学生解决“传播问题”的困难是：“第一轮”，“第二轮”中的传
染源及被传染总人数是多少，在弄清问题背景，明确数量关系后，还要解决第二轮被传染总人数的代数式如何表示的问题。学生解决“变化率问题”的困难是：“第一个时间段”，“第二个时间段”变化前、后
的数量和平均变化率的关系，在弄清问题背景，分析数量关系后，还要解决第二个时间段的代数式如何表
示问题。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：发现实际问题的等量关系。
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
师生活动：教师提问，学生回答。
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤?
师生活动：教师提问，学生回答。
【设计意图】先回顾解一元二次方程及列方程解决实际问题的相关知识，为本节课学生学习利用一元
二次方程解决传播问题和变化率问题做好铺垫。
（二）探究新知
【问题】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了
几个人？
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：
【提问1】本题要解决什么问题？（传播问题）
【提问2】第一轮、第二轮中传染源人数和被传染人数各是多少？如何表示？
（设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染源人数为1人，被传染人数为x人，第二轮
传染源人数为（x+1）人，被传染人数为x（x+1）人）
【设计意图】将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系。学生理解的难点
就是如何表示每一轮的传染源人数和被传染人数。因此在此设问，以帮助学生理解。
【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
师生活动：学生独立思考，给出答案。
等量关系:初始传染源人数+第一轮被传染人数+第二轮被传染人数=两轮后传染总人数
解设每轮传染中平均一个人传染了x个人
列方程 1+x+x(1+x) = 121
解方程得x=10，x=-12 （不合题意，舍去）
1 2
答：平均一个人传染了 10 个人
【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。
【问题】如果按照这样的传播速度，第三轮传染过后，总共有多少人得流感？
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：【提问4】前两轮总共有多少人患流感？每轮传染中平均一个人传染几个人？（121人、10人）
【提问5】第三轮中传染源人数和被传染人数各是多少？（121人、1210人）
【提问6】你能解决这个问题吗?
师生活动：学生独立思考，回答，得出121+121×10 = 1331（人）
【设计意图】让学生进一步理解传播问题的特征。
【问题】若某人感染流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，填空：
师生活动：学生独立思考，回答，教师引导与纠正，最后得出解决“传播问题”的关键步骤是：明确
每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。
【设计意图】通过归纳，明确“传播问题”的基本特征，以及解决此类问题的一般过程和方法。
（三）典例分析
例1 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 144台电脑被感染．
请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，
被感染的电脑会不会超过1700台？
【详解】
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，
由题可知1+x+(1+x)x=144，
整理得 ，
(x+1) 2=144
解得x =11，x =−13（舍），
1 2
则（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+11）3=1728＞1700．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑.若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑
会超过1700台；
例2 某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？【解析】
(1)解：由题意可知：第一轮传染后患病的人数(1+x)人，
(2)解：设在每轮传染中一人将平均传给x人，
根据题意得：x−1+x(x−1)=21，
整理得：x2−1=21，
解得： ， ，
x =❑√22 x =−❑√22
1 2
∵x ，x 都不是正整数，
1 2
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程
中做到有的放矢，对症下药。
[针对训练]
1．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传
染了x个人．
(1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示）
(2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人
患病的情况发生，并说明理由．
【详解】（1）解：第一轮被感染的人数为x，第二轮被传染上流感人数是x(x+1)，
（2）解：经过两轮传染后不会有63人患病的情况发生，理由如下：
依题意得：1+x+x(x+1−4)=63，
整理得：x2−2x−62=0，
解得： ， （不合题意，舍去），
x =1+3❑√7 x =1−3❑√7
1 2
∵ 不为正整数，
x =1+3❑√7
1
∴第二轮传染后不会有63人患病的情况发生．
2. 学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
1
【详解】解：（1） ×4×3=6 （场），答：共进行6场比赛；
2
1
（2）设有x 支球队参加比赛，根据题意得： x(x−1)=36 ，
2解得：x =9,x =−8 （不合题意，舍去），
1 2
答：有9支球队参加比赛．
3 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的
总数是91，每个支干长出多少个小分支？
解：设每个支干长出 x个小分支，
则 1 + x + x2 = 91
解方程，得x = 9，x = -10（不合题意，舍去）
1 2
答：每个支干长出 9 个小分支
师生活动：学生积极回答问题，教师负责引导与提示，最后由多媒体展示具体求解过程。
【设计意图】检测“传播问题”的掌握情况。
（四）新知讲解
【问题】
1．某农户的小麦产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 50 000 kg，第二年的产量为
____________ kg，第三年的产量为______________ kg．
2．某粮食厂2021年面粉产量为a吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2022年的
产量将是_________吨．2023年的产量将是__________吨．
师生活动：学生积极思考，讨论交流答案。师生一起总结得出，与变化率 相关问题的等量关系是：
设平均变化率为x，则变化前的数量×(1+x)2 = 变化后的数量。
【设计意图】明确与变化率有关的数量关系，为建立一元二次方程模型解决变化率问题打好基础。
【问题】
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，
现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降
率较大？
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：
【提问1】什么是下降额？下降率如何计算？
下降额=下降前的量-下降后的量
下降额 下降前的量-下降后的量
下降率= =
下降前的量 下降前的量
【提问2】什么是增长额？增长率如何计算？
增长额=增长后的量-增长前的量
增长额 增长后的量-增长前的量
增长率= =
增长前的量 增长前的量【提问3】计算甲、乙两种药品成本的年平均下降额？
甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元），
乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200（元）．
显然，乙种药品的年平均下降额较大，但是年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分率）。
【提问4】一年后、两年后甲、乙两种药品成本各是多少元？如何表示？
设甲种药品成本的年平均下降率为 x，一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成
本为 元．
5000(1−x) 2
设乙种药品成本的年平均下降率为 y，一年后乙种药品成本为6000（1-y）元，两年后乙种药品成
本为 元．
6000(1−x) 2
【设计意图】将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系。学生理解的难点
就是如何表示“第一个时间段”,“第二个时间段”变化前、后的量与平均变化率的关系。因此在此设问，
以帮助学生理解。
【提问5】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
师生活动：学生独立思考，给出答案。
等量关系:平均变化率为a，变化前的数量 =变化后的数量
×(1+a) 2
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x
列方程得 =3000
5000(1−x) 2
解方程得 x≈0.225，x≈1.775（舍去）．
1 2
答：甲种药品成本的年平均下降率为22.5%
解：设乙种药品成本的年平均下降率为 y
列方程得 =3600
6000(1−x) 2
解方程得 x≈0.225，x≈1.775（舍去）．
1 2
答：乙种药品成本的年平均下降率为22.5%
【问题】经过计算，你能得出什么结论？（两种药品成本的年平均下降率相等）
【问题】成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？
成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。
【问题】应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
成本下降额表示绝对变化量，成本下降率 表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。
师生活动：学生独立思考，给出答案。【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。
（五）典例分析
例3 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成
本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x=0.05=5%，x=1.95（不合题意，舍去）．
1 2
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程
中做到有的放矢，对症下药。
[针对训练]
1.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学
习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参
观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
由题意得： ，
10(1+x) 2=12.1
21
解得：x =10%，x =− （不合题意，舍去），
1 2 10
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×(1+10%)=13.31（万人），
答：六月份的参观人数为13.31万人．
【设计意图】检测“变化率问题”的掌握情况。
（六）直击中考
1．（2022·黑龙江真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环
比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）A．8 B．10 C．7 D．9
答案：B
2．（2023·湖南永州真题）某县2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020
年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
2.7(1+x) 2=2.36 2.36(1+x) 2=2.7
C． D．
2.7(1−x) 2=2.36 2.36(1−x) 2=2.7
答案：B
3．（2023·重庆真题）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了
301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，
请列出方程________．
【详解】
∵第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x．
∴第二个月新建了301(1+x) 个充电桩，
第三个月新建了 个充电桩，
∴ 301(1+x) 2
第三个月新建了500个充电桩，于是有 ，
∵ 301(1+x) 2=500
故答案为 ．
301(1+x) 2=500
4．（2023·湖南郴州真题）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6
万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区
5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意，得： ，解得： （负值已舍掉）；
1.6(1+x) 2=2.5 x=0.25=25%
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，
由题意，得：2.125+ y≤2.5(1+25%)，解得：y≤1；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．5．（2021·山东东营真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产 攻坚第一阶
段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明
他们的目标能否实现．
【详解】
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
根据题意得： ， 解得： ， （舍去），
700(1+x) 2=1008 x =0.2=20% x =−2.2
1 2
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为1008×(1+20%)=1209.6（公斤），
∵1209.6>1200，∴他们的目标可以实现．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考查内容，进一步了解考点。
（七）归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言简述一元二次方程解应用题的步骤？
2. 你知道 “传播问题”的基本特征吗？解决此类问题的关键步骤是什么？
“传播问题”的基本特征：以相同的速度逐轮传播。
解决此类问题的关键步骤：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。
（八）布置作业
P25：复习题21：第7题、第9题、第10题
五、教学反思
