文档内容
21.3 实际问题与一元二次方程（传播问题和变化率问题）导学案
学习目标
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，
提高数学应用意识。
引入新课
【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤?
新知探究
【问题】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个
人？
【提问1】本题要解决什么问题？
【提问2】第一轮、第二轮中传染源人数和被传染人数各是多少？如何表示？
【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
【问题】如果按照这样的传播速度，第三轮传染过后，总共有多少人得流感？【问题】若某人感染流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，填空：
“传播问题”的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。
典例分析
例1 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 144台电脑被感染．请
你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，
被感染的电脑会不会超过1700台？
例2 某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
[针对训练]
1．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了 x
个人．
(1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示）(2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病
的情况发生，并说明理由．
2. 学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
3 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数
是91，每个支干长出多少个小分支？
新知探究
【问题】
1．某农户的小麦产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 50 000 kg，第二年的产量为____________
kg，第三年的产量为______________ kg．
2．某粮食厂2021年面粉产量为a吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2022年的产量
将是_________吨．2023年的产量将是__________吨．
【问题】两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的
进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平
均下降率较大？【提问1】什么是下降额？下降率如何计算？
【提问2】什么是增长额？增长率如何计算？
【提问3】计算甲、乙两种药品成本的年平均下降额？
【提问4】一年后、两年后甲、乙两种药品成本各是多少元？如何表示？
【提问5】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
【问题】经过计算，你能得出什么结论？
【问题】成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？
【问题】应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
典例分析例3 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是
361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
[针对训练]
1.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活
动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人
数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
直击中考
1．（2022·黑龙江真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛
共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
2．（2023·湖南永州真题）某县2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至
2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
2.7(1+x) 2=2.36 2.36(1+x) 2=2.7
C． D．
2.7(1−x) 2=2.36 2.36(1−x) 2=2.7
3．（2023·重庆真题）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个
充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程________．
4．（2023·湖南郴州真题）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，
4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区 5月
1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
5．（2021·山东东营真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产 攻坚第一阶段实
现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们
的目标能否实现．
归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言简述一元二次方程解应用题的步骤？
2. 你知道 “传播问题”的基本特征吗？解决此类问题的关键步骤是什么？
【参考答案】引入新课
【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
直接开方法 x2=a (a≥0)
配方法 (x+m)2=n (n≥0)
公式法 −b±❑√b2−4ac
x= (b2−4ac≥0)
2a
因式分解法 (x-x)(x-x )=0
1 2
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤?
1）审：分清已知未知，明确数量关系；
2）设：设未知数；
3）列：列方程；
4）解：解方程；
5）验：根据实际验结果；
6) 答：写出答案。
新知探究
【问题】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个
人？
【提问1】本题要解决什么问题？
传播问题
【提问2】第一轮、第二轮中传染源人数和被传染人数各是多少？如何表示？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染源人数为1人，被传染人数为x人，第二轮传染源
人数为（x+1）人，被传染人数为x（x+1）人
【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
等量关系:初始传染源人数+第一轮被传染人数+第二轮被传染人数=121
解设每轮传染中平均一个人传染了x个人
列方程 1+x+x(1+x) = 121
解方程得x=10，x=-12 （不合题意，舍去）
1 2
答：平均一个人传染了 10 个人
【问题】如果按照这样的传播速度，第三轮传染过后，总共有多少人得流感？
121+121×10 = 1331（人）【问题】若某人感染流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，填空：
“传播问题”的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。
典例分析
例1 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 144台电脑被感染．请
你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，
被感染的电脑会不会超过1700台？
【详解】
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，
由题可知1+x+(1+x)x=144，
整理得 ，
(x+1) 2=144
解得x =11，x =−13（舍），
1 2
则（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+11）3=1728＞1700．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染 11台电脑.若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑
会超过1700台；
例2 某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
【解析】
(1)解：由题意可知：第一轮传染后患病的人数(1+x)人，
(2)解：设在每轮传染中一人将平均传给x人，
根据题意得：x−1+x(x−1)=21，
整理得：x2−1=21，解得： ， ，
x =❑√22 x =−❑√22
1 2
∵x ，x 都不是正整数，
1 2
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
[针对训练]
1．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了 x
个人．
(1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示）
(2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病
的情况发生，并说明理由．
【详解】（1）解：第一轮被感染的人数为x，第二轮被传染上流感人数是x(x+1)，
（2）解：经过两轮传染后不会有63人患病的情况发生，理由如下：
依题意得：1+x+x(x+1−4)=63，
整理得：x2−2x−62=0，
解得： ， （不合题意，舍去），
x =1+3❑√7 x =1−3❑√7
1 2
∵ 不为正整数，
x =1+3❑√7
1
∴第二轮传染后不会有63人患病的情况发生．
2. 学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
1
【详解】解：（1） ×4×3=6 （场），答：共进行6场比赛；
2
1
（2）设有x 支球队参加比赛，根据题意得： x(x−1)=36 ，
2
解得：x =9,x =−8 （不合题意，舍去），
1 2
答：有9支球队参加比赛．
3 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数
是91，每个支干长出多少个小分支？
解：设每个支干长出 x个小分支，
则 1 + x + x2 = 91
解方程，得x = 9，x = -10（不合题意，舍去）
1 2答：每个支干长出 9 个小分支
新知探究
【问题】
1．某农户的小麦产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 50 000 kg，第二年的产量为50 000(1 + x )
kg，第三年的产量为 kg．
50000(1+x) 2
2．某粮食厂2021年面粉产量为a吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2022年的产量
将是a(1–x)．2023年的产量将是a(1–x)2吨．
【问题】两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的
进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平
均下降率较大？
【提问1】什么是下降额？下降率如何计算？
下降额=下降前的量-下降后的量
下降额 下降前的量-下降后的量
下降率= =
下降前的量 下降前的量
【提问2】什么是增长额？增长率如何计算？
增长额=增长后的量-增长前的量
增长额 增长后的量-增长前的量
增长率= =
增长前的量 增长前的量
【提问3】计算甲、乙两种药品成本的年平均下降额？
甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元），
乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200（元）．
显然，乙种药品的年平均下降额较大，但是年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分率）。
【提问4】一年后、两年后甲、乙两种药品成本各是多少元？如何表示？
设甲种药品成本的年平均下降率为 x，一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成
本为 元．
5000(1−x) 2
设乙种药品成本的年平均下降率为 y，一年后乙种药品成本为6000（1-y）元，两年后乙种药品成
本为 元．
6000(1−x) 2
【提问5】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
等量关系:平均变化率为a，变化前的数量 =变化后的数量
×(1+a) 2
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x列方程得 =3000
5000(1−x) 2
解方程得 x≈0.225，x≈1.775（舍去）．
1 2
答：甲种药品成本的年平均下降率为22.5%
解：设乙种药品成本的年平均下降率为 y
列方程得 =3600
6000(1−x) 2
解方程得 x≈0.225，x≈1.775（舍去）．
1 2
答：乙种药品成本的年平均下降率为22.5%
【问题】经过计算，你能得出什么结论？（两种药品成本的年平均下降率相等）
【问题】成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？
成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。
【问题】应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
成本下降额表示绝对变化量，成本下降率 表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。
典例分析
例3 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是
361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x=0.05=5%，x=1.95（不合题意，舍去）．
1 2
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
[针对训练]
1.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活
动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人
数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x，由题意得： ，
10(1+x) 2=12.1
21
解得：x =10%，x =− （不合题意，舍去），
1 2 10
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×(1+10%)=13.31（万人），
答：六月份的参观人数为13.31万人．
直击中考
1．（2022·黑龙江真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛
共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ B ）
A．8 B．10 C．7 D．9
2．（2023·湖南永州真题）某县2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至
2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ B ）
A． B．
2.7(1+x) 2=2.36 2.36(1+x) 2=2.7
C． D．
2.7(1−x) 2=2.36 2.36(1−x) 2=2.7
3．（2023·重庆真题）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个
充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请
列出方程_____ ___．
301(1+x) 2=500
4．（2023·湖南郴州真题）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，
4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区 5月
1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意，得： ，解得： （负值已舍掉）；
1.6(1+x) 2=2.5 x=0.25=25%
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，
由题意，得：2.125+ y≤2.5(1+25%)，解得：y≤1；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．5．（2021·山东东营真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产 攻坚第一阶段实
现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们
的目标能否实现．
【详解】
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
根据题意得： ， 解得： ， （舍去），
700(1+x) 2=1008 x =0.2=20% x =−2.2
1 2
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为1008×(1+20%)=1209.6（公斤），
∵1209.6>1200，∴他们的目标可以实现．
归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言简述一元二次方程解应用题的步骤？
2. 你知道 “传播问题”的基本特征吗？解决此类问题的关键步骤是什么？
“传播问题”的基本特征：以相同的速度逐轮传播。
解决此类问题的关键步骤：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。
