文档内容
21.3 实际问题与一元二次方程（几何问题和数字问题） 分层作业
基础训练
1．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，
要使草坪的面积为551m2，求道路的宽．
【详解】解：设道路的宽为 ，根据题意得：
，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：道路的宽为 ．
2．有一块长60m，宽50m的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中黑色部分为通道，
通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为am）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
(1)设通道的宽度为xm，则a＝ （用含x的代数式表示）；
(2)若塑胶运动场地总的占地面积为2430m2，则通道的宽度为多少？
【详解】（1）解：结合图形可得：荒地的长为60m，内部两个矩形的宽为am，通道宽为xm，
∴ ，
，
故答案为： ；
（2）解：根据题意得： ，
∵ ，∴ ，
解得 （不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为2m．
3．如图，学校课外生物小组的试验园地是长30米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两
纵三条等宽的小道，要使种植面积为532平方米，求小道的宽．
【详解】解：如图，
设该小道的宽为x米，依题意得 （30-2x）（20-x）=532，
解得x=1，x=34．
1 2
因为2x=68＞30，不合题意，舍去．
所以x=1．
答：小道宽1米．
4．某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．
如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面
积的 ，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度
和左、中、右通道的宽度分别是多少米？【详解】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，
，
解得， ， （舍去），
则上、下通道的宽度为 （米），左、中、右通道的宽度 （米），
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
5．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队绿化了22000平方米后，将每天的工作
量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？
(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们
的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度
是多少米？
（1）设该项绿化工程原计划每天完成x平方米，根据题意得：
，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解，
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
（2）
设人行道的宽度为a米，根据题意得：
（20-3a）(8−2a)=56，解得：a=2或a= （不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
6．某新建公园需要绿化的面积为 ，施工队在绿化了 后，将每天的工作量增加为原来的
1.2倍，结果提前5天完成了该项绿化工程．
(1)该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米?
(2)该公园内有一块长30m，宽20m的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条长方
形的矩形小道（如图），剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为 ，那么小道的宽度应为多少
米?（注；所有小道宽度相等）
（1）
设该公园绿化工程原计划每天完成 .
由题意得：
解得： ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意
答：该公园绿化工程原计划每天完成400
（2）
设小道的宽度为 ，
由题意得： ，
整理，得 ，
解得， 或
∵ ，
∴ ．
答：小道的宽度应为1m．
7．已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．
【详解】解：设这三个连续奇数分别为 、 、 ，根据题意得：
，
解得： ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
答：这三个连续正整数为 ， ， 或 ， ，
8．根据下列提示列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．
(1)已知两个数的和为7，积为6，求这两个数；
(2)如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个相同的边长为2厘米的小正方形，然后把四边折起来，做
成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32立方厘米．所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？
【详解】（1）解：设其中一个数为x，则另一个数为（7﹣x），
x（7﹣x）＝6
x2﹣7x+6＝0；
（2）解：设正方形纸板的边长为x厘米，
（x﹣2×2）2×2＝32
x2﹣8x＝0．
9．根据下列问题，设出未知数x，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．
（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍
比这个三位数大20，求这个三位数；
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为 ，面积为 ，求它的两条直角边的长．
【详解】解：（1）设十位数字为x，则个位数字为 ，百位数字为 ，根据题意得：
，
化简为 ；
（2）设其中一条直角边的长为 ，则另一条直角边的长为 ，根据题意得 ，
整理得 ．
10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 个位置相邻的 个数（如
），若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和是多少？
【详解】解：设最小数为 ，则最大数为 ，
根据题意，得
解得
故这 个数为
所以这 个数的和为 ．
11．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗？
【详解】解：将这五个连续整数中的第一个数设为x，
那么其余四个数依次为 ，
根据题意，得 ．
也就是 ．
根据方程 ，
所以 或 ．
因此这五个连续整数依次为 ， ，0，1，2或10，11，12，13，14．
能力提升
1．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长
15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．【详解】解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，
依题意，得：x（33-3x）=90，
解得：x=6，x=5．
1 2
当x=6时，33-3x=15，符合题意，
当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）不能，理由如下：
设BC=ym，则AB=（33-3y）m，
依题意，得：y（33-3y）=100，
整理，得：3y2-33y+100=0．
∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0，
∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
2．如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，
且中间共留两个1米的小门，设篱笆BC长为x米．
(1)AB=________米（用含x的代数式表示）；
(2)若矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，求篱笆BC的长；
(3)矩形鸡舍ABCD面积是否有可能达到210平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
【详解】（1）解：设篱笆BC长为x米，
∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB=43+2−3x=45−3x（米）．
故答案为：（45−3x）．
（2）解：依题意，得：（45−3x）x=150，整理，得：x2−15x+50=0，
解得：x=5，x=10．
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当x=5时，AB=45−3x=30＞20，不合题意，舍去；
当x=10时，AB=45−3x=15，符合题意．
答：篱笆BC的长为10米．
（3）解：不可能，理由如下：
依题意，得：（45−3x）x=210，
整理得：x2−15x+70=0，
∵Δ=（−15）2−4×1×70=−55＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米．
3．发现：四个连续的整数的积加上 是一个整数的平方．
验证：(1) 的结果是哪个数的平方？
(2)设四个连续的整数分别为 ，试证明他们的积加上 是一个整数的平方；
延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整数分别是多少．
【详解】(1)3×4×5×6＋1=361=192，
即3×4×5×6＋1的结果是19的平方；
(2)设这四个连续整数依次为：n-1，n，n+1，n+2，则
(n-1)n(n+1)(n+2)+1，
=[(n-1)(n+2)][n(n+1)]+1
=(n2+n-2)(n2+n)+1
=(n2+n)2-2(n2+n)+1
=(n2+n-1)2．
故四个连续整数的积加上1是一个整数的平方；
(3)设中间的整数是x，则第一个是x-1，第三个是x+1，根据题意得
(x-1)2+x2=(x+1)2
解之得x=4，x=0，
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则x-1=3，x+1=5，
或x-1=-1，x+1=1，x=0，
答：这三个整数分别是3、4、5或-1、0、1．
4．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑
色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：（1）第5个图案中黑色三角形的个数有 个．
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程
的相关知识说明道理．
【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15，
故答案是：15；
（2）不能，理由如下：
第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n= ，
根据题意，得 ，
解得： 不是整数，不合题意，
所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个．
5．如图是2019年1月份的日历．任意选择图中的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之
后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不难发现，结果都是
48
（1）请证明发现的规律；
（2）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，请判断他的说
法是否正确．
【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a-7），（a-1），（a+1），（a+7），
∴（a-1）（a+1）-（a-7）（a+7）=a2-1-（a2-49）=48．（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x-14），
依题意，得：x（x-14）=120，
解得：x=20，x=-6（不合题意，舍去）．
1 2
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确
拔高拓展
1．阅读材料，解决问题．
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，
比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵
中所有的点数和称为三角数．
则第n个三角数可以用 （ 且为整数）来表示．
(1)若三角数是55，则 ______；
(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数
的和；
(3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由．
【详解】（1）解：由题意得， ，即 ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
故答案为：10；
（2）解：由题意得：前n行所有点数的和为；
（3）解：不能，理由如下：
假设能为120，则 ，即
解得： ，
∵n为正整数，
∴前n行的点数和不能为120．
