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2025-2026学年人教版数学九年级上册期中复习题型培优专练
【44个高频易错题型 共88题】
讲义简介：
同学你好，该份讲义针对 2025-2026学年上学期期中考试制作。考察范围为人教版九年级上
册第13章-第15章知识内容，精选近两年全国各地名校常考、易错、压轴类题型，结合常考
易错类型题，精心优选44个题型，题目难度中等及偏上，适合绝大多数同学考前复习使用，
非常有助于提升考试适应性，提高解题能力，掌握答题技巧。相信你在正式考试中取得满意
成绩！
题型1 由一元二次方程的解求参数.........................................................2
题型2 一元二次方程的解的估算...........................................................4
题型3 由一元二次方程的定义求参数.......................................................6
题型4 配方法解一元二次方程.............................................................6
题型5 公式法解一元二次方程.............................................................8
题型6 因式分解法解一元二次方程........................................................10
题型7 —元二次方程的根与系数的关系....................................................12
题型8 传播问题（一元二次方程的应用）..................................................14
题型9 增长率问题（一元二次方程的应用）................................................16
题型10 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）.........................................17
题型11 数字问题（元二次方程的应用）...................................................19
题型12 营销问题（一元二次方程的应用）.................................................20
题型13 动态几何问题（一元二次方程的应用）.............................................22
题型14 工程问题（一元二次方程的应用）.................................................24
题型15 行程问题（一元二次方程的应用）.................................................26
题型16 图表信息题（一元二次方程的应用）...............................................27
题型17 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）.........................................29
题型18 二次函数y=ax²的图象和性质.....................................................31
题型19 二次函数y=a(x- h)²+k的图象和性质..............................................32
题型20 y=ax²+bx+c的图象与性质.......................................................33
题型21 二次函数图象与各项系数符号.....................................................35题型22 一次函数、二次函数图象综合判断.................................................37
题型23 根据二次函数的图象判断式子符号.................................................39
题型24 y=ax²+bx+c的最值..............................................................42
题型25 待定系数法求二次函数解析式.....................................................45
题型26 线段周长问题（二次函数综合）...................................................47
题型27 面积问题（次函数综合）.........................................................52
题型28 角度问题（二次函数综合)........................................................57
题型29 特殊三角形问题（次函数综合）...................................................61
题型30 特殊四边形（二次函数综合）.....................................................68
题型31 抛物线与x轴的交点问题.........................................................75
题型32 求x轴与抛物线的截线长.........................................................76
题型33 图形问题（实际问题与二次函数）.................................................79
题型34 图形运动问题（实际问题与二次函数）.............................................81
题型35 拱桥问题（实际问题与二次函数）.................................................84
题型36 销售问题（实际问题与二次函数）.................................................86
题型37 投球问题（实际问题与二次函数）.................................................88
题型38 喷水问题（实际问题与二次函数）.................................................91
题型39 增长率问题（实际问题与二次函数）...............................................92
题型40坐标与旋转规律问题.............................................................93
题型41 线段问题（旋转综合题）.........................................................95
题型42 面积问题（旋转综合题）........................................................101
题型43 角度问题（旋转综合题）........................................................104
题型44 坐标系中的动点问题（不含函数）................................................107
题型1 由一元二次方程的解求参数
1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）等腰三角形的一边长为2，它的另外两边的长度是关于x的
方程x2−6x+k=0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．9 B．8 C．8或9 D．1
【答案】A
【思路引导】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质．根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
【规范解答】解：①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2−6x+k=0有两个相等实数根，
∴Δ=36−4k=0，
∴k=9，
∴原方程为x2−6x+9=0，
解得x =x =3，
1 2
此时两腰长为3，
∵2+3>3，
∴k=9满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时x=2是方程x2−6x+k=0的其中一根，
代入得4−12+k=0，
∴k=8，
∴x2−6x+8=0求出另外一根：x=4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k=9，
故选：A．
2．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x=−2是关于x的一
元二次方程(b−c)x2−4(c−a)x+4(a−c)=0的根．
(1)△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
(2)若代数式❑√a−3+❑√3−a有意义，且c为方程y2−9 y+14=0的根，求△ABC的周长．
【答案】(1)△ABC是等腰三角形，不是等边三角形，证明见解析
(2)△ABC的周长为8
【思路引导】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形三边关系等知
识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将x=−2代入一元二次方程计算得出b=a，从而可得△ABC是等腰三角形，再由一元二次方程的定
义得出b≠c，从而可得△ABC不是等边三角形；
（2）根据二次根式有意义的条件得出b=a=3，解一元二次方程得出c=2或c=7，再分两种情况并结合三
角形三边关系计算即可得解．【规范解答】（1）解：△ABC是等腰三角形，不是等边三角形，证明如下：
∵x=−2是关于x的一元二次方程(b−c)x2−4(c−a)x+4(a−c)=0的根，
∴(b−c)×(−2) 2−4(c−a)×(−2)+4(a−c)=0，
∴4b−4c+8c−8a+4a−4c=0，
∴4b−4a=0，
∴b=a，
∴△ABC是等腰三角形，
∵方程(b−c)x2−4(c−a)x+4(a−c)=0为一元二次方程，
∴b−c≠0，
∴b≠c，
∴△ABC不是等边三角形；
（2）解：∵代数式❑√a−3+❑√3−a有意义，
∴a−3≥0，3−a≥0，
∴a=3，
∴b=a=3，
∵c为方程y2−9 y+14=0的根，
∴(y−2)(y−7)=0，
解得y=2或y=7，
∴c=2或c=7，
当c=2时，2+3=5>3，满足三角形三边关系，此时△ABC的周长为2+3+3=8，
当c=7时，3+3=6<7，不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，△ABC的周长为8．
题型2 一元二次方程的解的估算
3．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：分
析表格中的数据，估计方程(x+8) 2−826=0的一个正数解x的大致范围为（ ）x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输出 −13.75 −8.04 −2.31 3.44 9.21
A．20.50，从而得到x在0.5～0.6之
间取一数值时，ax2+bx+c=0，于是得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）一个解
x的范围．【规范解答】解：∵x=0.5时，ax2+bx+c=−0.25<0；x=0.6时，ax2+bx+c=0.16>0，
∴当x在0.5～0.6之间取一数值时，ax2+bx+c=0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）一个解x的范围为0.50，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【规范解答】解：乙同学意见正确
证明如下：
m2−8m+19=m2−8m+16+3=(m−4) 2+3，
∵(m−4) 2≥0
∴(m−4) 2+3>0
∴m2−8m+19肯定不会等于零
∴可以确定这个方程一定是一元二次方程，
故乙同学意见正确．
题型5 公式法解一元二次方程
9．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段练习）按要求解下列方程：
(1)x2−2x−2=0（配方法）；
(2)6x2−3x=2x−1（公式法）．
【答案】(1)x =1+❑√3，x =1−❑√3
1 2
1 1
(2)x = ，x =
1 2 2 3
【思路引导】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是关键．（1）变形为x2−2x+1=2+1，得到(x−1) 2=3，用直接开平方法解方程即可；
（2）求出Δ=(−5) 2−4×6×1=25−24=1，代入求根公式进行解答即可．
【规范解答】（1）解：x2−2x=2，
x2−2x+1=2+1，
(x−1) 2=3，
x−1=±❑√3，
x=1±❑√3，
∴x =1+❑√3，x =1−❑√3．
1 2
（2）6x2−5x+1=0，
a=6，b=−5，c=1，
Δ=(−5) 2−4×6×1=25−24=1，
−b±❑√b2−4ac 5±❑√1 5±1
∴x= = = ，
2a 2×6 2×6
5+1 1 5−1 1
∴x = = ，x = = ．
1 2×6 2 2 2×6 3
10．（25-26九年级上·云南玉溪·阶段练习）关于x的方程为(k2−1)x2−(3k−1)x+2=0，k为实数．
(1)若方程有一个根是1，求此时k的值；
(2)求证：不管k取任何实数，方程总有实数根；
(3)求整数k，使原方程至少有一个整数根．
【答案】(1)k=1或k=2
(2)见解析
(3)k=2, 1, 0, −2, −3
【思路引导】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的
关键：
（1）把x=1代入方程进行求解即可；
（2）分类讨论，当k2−1=0时，k=1或k=−1，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当k2−1≠0时，利用根的判别式Δ=(k−3) 2≥0，则一元二次方程必有两个实数根；综合以上即可得证；
（3）至少有一实数根为整数，分方程为一元一次方程和一元二次方程，分别求出方程的解，再根据原方
程至少有一个整数根，进行求解即可．
【规范解答】（1）解：把x=1代入(k2−1)x2−(3k−1)x+2=0，得(k2−1)−(3k−1)+2=0，
解得k=1或k=2；
当k=1时，方程化为−2x+2=0，符合题意；
当k=2时，方程化为3x2−5x+2=0，符合题意；
故k=1或k=2．
（2）解：当k2−1=0时，k=1或k=−1．
原方程为−2x+2=0，或4x+2=0，两个方程均有实数根．
当k2−1≠0时，
Δ=[−(3k−1)) 2 −8(k2−1)=k2−6k+9=(k−3) 2≥0．方程有实数根．
综上，k为任何实数，原方程均有实数根．
（3）解：由（2），当k=1时，方程化为−2x+2=0，解得x=1，符合题意；
1
当k=−1时，方程化为4x+2=0，解得x=− ，不符合题意．
2
当k2−1≠0时，∵Δ=(3k−1) 2−8(k2−1)=k2−6k+9=(k−3) 2≥0
3k−1±(k−3)
∴x=
．
2(k2−1)
3k−1+k−3 2 3k−1−k+3 1
x = = ,x = =
即 ．
1 2(k2−1) k+1 2 2(k2−1) k−1
若x 是整数，
1
则k+1=±1, ±2．
∴k=0, −2, 1, −3．
取k=0, −2, −3．
若x 是整数，
2
则k−1=±1．
∴k=2, 0．
综上，k=2, 1, 0, −2, −3，原方程至少有一个整数根．题型6 因式分解法解一元二次方程
11．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1)2x2−8x−1=0
(2)3x2−5x+1=0
(3)x2−6x−27=0
(4)2(3x−2)=9x2−4
3❑√2 3❑√2
【答案】(1)x =2+ ,x =2−
1 2 2 2
5 ❑√13 5 ❑√13
(2)x = + ,x = −
1 6 6 2 6 6
(3)x =9,x =−3
1 2
2
(4)x =0,x =
1 2 3
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，配方法，因式分解法解一元二次方程是解题
的关键；
（1）根据配方法求解即可；
（2）先求出Δ，再根据求根公式求解即可；
（3）根据配方法求解即可；
（4）先化为一般式，再对等式左边因式分解，再求解即可．
【规范解答】（1）解：2x2−8x=1，
1
x2−4x=
，
2
1
x2−4x+4= +4，
2
9
(x−2) 2= ，
2
3❑√2
x−2=± ，
2
3❑√2 3❑√2
x−2= 或x−2=− ，
2 2
3❑√2 3❑√2
x =2+ ,x =2− ；
1 2 2 2
（2）解：a=3,b=−5,c=1，Δ=b2−4ac=(−5) 2−4×3×1=13>0，
−b±❑√b2−4ac 5±❑√13 5±❑√13
x= = = ，
2a 2×3 6
5 ❑√13 5 ❑√13
x = + ,x = − ；
1 6 6 2 6 6
（3）解：x2−6x+9=27+9，
(x−3) 2=36，
x−3=±6，
x−3=6或x−3=−6，
x =9,x =−3；
1 2
（4）解：方程可化为3x2−2x=0，
x(3x−2)=0，
x=0或3x−2=0，
2
x =0,x = ．
1 2 3
12．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a−b+c=0，
那么我们就称这个方程为“凤凰方程”．
(1)一元二次方程3x2−4x−7=0______凤凰方程（填“是”或“不是”）；
(2)已知6mx2−m2x+5=0是关于x的凤凰方程，求m的值．
【答案】(1)是
(2)m=−1或m=−5
【思路引导】本题主要考查一元二次方程的解，解一元二次方程，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的
关键．
（1）根据凤凰方程的意义进行计算即可；
（2）根据凤凰方程的意义得到关于m的方程计算即可．
【规范解答】（1）解：由题意得：a=3,b=−4,c=−7，
∴a−b+c=3−(−4)−7=0，
故一元二次方程3x2−4x−7=0是凤凰方程，
故答案为：是；
（2）解：由题意得：a=6m,b=−m2,c=5，∵ 6mx2−m2x+5=0是关于x的凤凰方程，
∴a−b+c=6m+m2+5=0，
解得：m=−1或m=−5．
题型7 —元二次方程的根与系数的关系
13．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段练习）已知关于x的方程x2−(2k+1)x+k2−2=0有两个实数根x ，
1
x ．
2
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的一个实数根为2，求另一个实数根；
1 1 1
(3)若方程的两个实数根x ，x 满足 + =− ，求k的值．
1 2 x x 2
1 2
9
【答案】(1)k≥−
4
(2)−1或7
(3)k=0
【思路引导】（1）根据Δ≥0列出不等式解答即可求解；
（2）把x=2代入方程可求出k=0或k=4，再把k的值代回方程，解方程求出另一个实数根即可；
（3）根据一元二次方程根和系数的关系得x +x =2k+1，x x =k2−2，即得
1 2 1 2
1 1 x +x 2k+1 1
+ = 1 2= =− ，解方程求出k的值，再结合（1）k的取值范围即可求解；
x x x x k2−2 2
1 2 1 2
本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程及一元二次方程解的定义，一元二次方程根和系数
的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
【规范解答】（1）解：由题意得，Δ=[−(2k+1)) 2 −4×1×(k2−2)≥0，
9
解得k≥− ；
4
（2）解：∵方程的一个实数根为2，
∴4−2(2k+1)+k2−2=0，
整理得，k2−4k=0，
解得k=0或k=4，当k=0时，方程为x2−x−2=0，
解得x =2，x =−1，
1 2
∴方程的另一个实数根为−1；
当k=4时，方程为x2−9x+14=0，
解得x =2，x =7，
1 2
∴方程的另一个实数根为7；
综上，另一个实数根为−1或7；
（3）解：由一元二次方程根和系数的关系得，x +x =2k+1，x x =k2−2，
1 2 1 2
1 1 x +x 2k+1 1
∴ + = 1 2= =− ，
x x x x k2−2 2
1 2 1 2
整理得，k2+4k=0，
解得k=0或k=−4，
9
∵k≥− ，
4
∴k=−4不合题意，舍去，
∴k=0．
14．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知关于x的一元二次方程
x2−(2m+1)x+m−2=0．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为x ，x ，且x +x +3x x =1，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)见详解
6
(2)m=
5
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识﹒
（1）计算出Δ=4m2+9>0，据此即可证明一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数关系得到x +x =2m+1,x x =m−2，代入x +x +3x x =1，得到
1 2 1 2 1 2 1 2
6
2m+1+3(m−2)=1，即可求出m= ﹒
5
【规范解答】（1）证明：Δ=b2−4ac2
=[−(2m+1)) −4×1×(m−2)
=4m2+4m+1−4m+8
=4m2+9，
∵4m2≥0，
∴Δ=4m2+9>0，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵一元二次方程x2−(2m+1)x+m−2=0两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x =2m+1,x x =m−2，
1 2 1 2
∵x +x +3x x =1，
1 2 1 2
∴2m+1+3(m−2)=1，
6
∴m= ﹒
5
题型8 传播问题（一元二次方程的应用）
15．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我
们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，
有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同．
(1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？
(2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？
【答案】(1)每轮传播中平均一个人传播9个人；
(2)被感染的人数会超过800人．
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设每轮传播中平均一个人传播x个人，根据经过两轮感染后就会有100人被感染即可得出关于x的一
元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传播后被感染的人数=经过两轮传播后被感染的人数+经过两轮传播后被感染的人数×9，
即可求出结论．
【规范解答】（1）解：设每轮传播中平均一个人传播x个人，
根据题意得：1+x+x(x+1)=100，
整理，得：x2+2x−99=0，
解得：x =9，x =−11（不合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传播中平均一个人传播9个人；（2）三轮感染后，患病的人数为100+100×9=1000（人）．
∵1000>800，
被感染的人数会超过800人．
答：被感染的人数会超过800人．
16．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目
的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支
干．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总数
(2)填空（用含x的代数式表示）：
①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为；
(3)请继续完成本题的解答：
【答案】(1)7，13，21
(2)①1+x;②x2;③1+x+x2
(3)10个
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的
关键．
（1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可；
（2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：1+x；②在每个支干又长出了数目相同的小分支
后，小分支的个数为：x2；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以
表示为：1+x+x2；
（3）由题意得1+x+x2=111，再解方程即可．
【规范解答】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为1+2+22=7；
主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为1+3+32=13；
主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为1+4+42=21；
则填表为：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总 7 1 21数 3
（2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：1+x；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：x2；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：1+x+x2；
（3）解：由题意得，1+x+x2=111，
解得：x =10，x =−11（不合题意，舍去）
1 2
答：每个支干长出10个小分支．
题型9 增长率问题（一元二次方程的应用）
17．（25-26九年级上·四川巴中·阶段练习）某厂某年1月的总产量为620吨，第一季度的总产量为
3100吨，设二、三月份的产量月平均增长率为x,根据题意可得方程为（ ）
A．620(1+x) 2=3100 B．620+620(1+x)+620(1+x) 2=3100
C．620(1−x) 2=3100 D．620+620(1+x) 2=3100
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用已知表示出二、三月份的产值量
进而得出等式求出答案．
【规范解答】解：设月平均增长率为x,则根据题意可得方程为：
620+620(1+x)+620(1+x) 2=3100．
故选：B．
18．（24-25九年级上·广东清远·期中）为了推进农产品的销售，某村村委会在网上直播销售A，B两种
农产品礼包．
(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的
基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；
(2)若B种农产品礼包每包成本价为7元，当售价为每包25元时，每月销量为300包，经调查发现，若B
种农产品礼包每包降价1元，月销售量可增加30包．设B种农产品礼包每包降价m元．请解答以下问题：
①填空：每包降价m元，B种农产品礼包每包利润为__________；B种农产品礼包月销售量为__________包
（用含m的代数式表示）：
②为了尽快减少库存，该村在10月进行降价促销．若该村在10月份销售B种农产品礼包获利5760元，求m的值．
【答案】(1)x=25%
(2)①(18−m)；(300+30m)；②m=6
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
（1）根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）①根据题意列式即可；②根据题意列出一元二次方程求解即可．
【规范解答】（1）根据题意得，256(x+1) 2=400
解得x =0.25=25%，x =−2.25（舍去）
1 2
∴x=25%；
（2）①每包降价m元，B种农产品礼包每包利润为25−7−m=18−m（元）；
B种农产品礼包月销售量为(300+30m)包；
②根据题意得，(18−m)(300+30m)=5760
解得m =2，m =6
1 2
∵为了尽快减少库存，
∴m=6．
题型10 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
19．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，某市近郊有一块长为90m，宽为60m的矩形土地，
地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的四个矩形
（四个矩形的一边长均为am）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
(1)设通道的宽度为xm，则塑胶运动场地总面积y=_______m2．（用含x的代数式表示）；
(2)若塑胶运动场地总面积为4536m2，请问通道的宽度为多少？
【答案】(1)9x2−450x+5400；
(2)通道的宽度为2米．
【思路引导】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解题的关键．
（1）根据题意列出函数关系y=9x2−450x+5400即可；（2）根据题意得9x2−450x+5400=4536，然后解方程并检验即可．
【规范解答】（1）解：设通道的宽度为x米，
则y=(90−3x)(60−3x)=9x2−450x+5400，
故答案为：9x2−450x+5400；
（2）解：根据题意得：9x2−450x+5400=4536，
整理得：x2−50x+96=0，
解得x =2，x =48（不合题意，舍去），
1 2
答：通道的宽度为2米．
20．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角
各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．
(1)这个无盖纸盒的长为______cm，宽为______cm (用含x的式子表示)；
(2)若要制成一个底面积是720cm2的无盖长方体纸盒，求x的值；
(3)当x为______时，该长方体纸盒的容积是2048cm3（写出一个答案即可).
【答案】(1)(40−2x)，(24−2x)；
(2)x=2
(3)4cm（答案不唯一）
【思路引导】（1）根据长方体表面展开图的特征得出答案即可；
（2）根据底面积的计算方法列方程求解即可；
（3）根据长方体体积的计算方法进行计算即可．
本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征以及长方体体积、底面积的计算方法是正确
解答的关键．
【规范解答】（1）解：用一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，
制成一个无盖纸盒，这个无盖纸盒的长为(40−2x)cm，宽为(24−2x)cm，
故答案为：(40−2x)，(24−2x)；
（2）解：由题意得，(40−2x)(24−2x)=720，
解得x =2，x =30(舍去)，
1 2
所以x=2；（3）解：这个长方体的纸盒的长(40−2x)cm，宽为(24−2x)cm，高为xcm，由题意得，
x(40−2x)(24−2x)=2048，
解得x=4，
故答案为：4cm（答案不唯一）
题型11 数字问题（元二次方程的应用）
21．（24-25九年级上·广西来宾·期中）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些
棋子按如图所示的规律摆放，若第n个图中共有77个棋子，则n的值是 ．
【答案】8
【思路引导】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键．
根据给定的图找出其中的规律，列出一元二次方程求解．
【规范解答】解：第1个图中棋子的个数为：7=5+2=5+1×2，
第2个图中棋子的个数为：11=5+6=5+2×3，
第3个图中棋子的个数为：17=5+12=5+3×4，
第4个图中棋子的个数为：25=5+20=5+4×5，
则第n个图中棋子的个数为：5+n(n+1)，
∴ 5+n(n+1)=77，
解得：x =8，x =−9（不合题意，舍去）
1 2
∴第8个图中共有77个棋子．
故答案为：8．
22．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）有一个两位数，个位数字比十位数字大2，且个位数字与十
位数字的平方和等于20，这个两位数是 ．
【答案】24
【思路引导】由个位上的数字与十位上的数字的平方和等于20，设未知数代入求得整数解即可．
【规范解答】解：设十位上的数字为x，的个位上的数字为(x+2)，可列方程为
x2+(x+2) 2=20，解得x =2，x =−4（舍去），
1 2
∴x+2=4，
∴10x+4=24，
故答案为24．
【考点剖析】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握题中的等量关系列出方程是本题的解题关键．
题型12 营销问题（一元二次方程的应用）
23．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨“和“妮妮“以
东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩
偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增
加20件．若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？
【答案】这种玩偶每件应降价4元
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设
每件降价x元（x≥0），则每天的销量为(200+20x)件，根据商家要想获利3080元，列出一元二次方程，
解之取符合题意的值即可．
【规范解答】解：设每件降价x元（x≥0），则每天的销量为(200+20x)件，
根据题意得，(200+20x)(50−35−x)=3080，
整理得：x2−5x+4=0，
解得：x =4，x =1，
1 2
因为要让顾客获得更大实惠，
所以这种玩偶每件应降价4元，
答：这种玩偶每件应降价4元．
24．（24-25九年级上·广东清远·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成
本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件
小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增
长率相同，求该款小商品的日平均增长率．
【答案】(1)每件售价应定为50元；
(2)该款小商品的日平均增长率为12.5%．
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．( x )
（1）设每件降价x元，则每件售价应为(60−x)元，日销售量为 30+ ×10 件，每件盈利为
5
(60−x−30)元，根据日获利1000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设该款小商品的日平均增长率为m，根据第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件，列出一
元二次方程，解之取符合题意的值即可．
( x )
【规范解答】（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为(60−x)元，日销售量为 30+ ×10 件，每件
5
盈利为(60−x−30)元，
( x )
由题意得：(60−x−30) 30+ ×10 =1000，
5
整理得：x2−15x+50=0，
解得：x =10，x =5，
1 2
10
当x=10时，日销售量为30+ ×10=50件；
5
5
当x=5时，日销售量为30+ ×10=40件，
5
因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取x=10，
∴60−x=50，
答：每件售价应定为50元；
（2）解：设该款小商品的日平均增长率为m，
由题意得：64(1+m) 2=81，
解得：m =0.125=12.5%，m =−2.125（不符合题意，舍去），
1 2
答：该款小商品的日平均增长率为12.5%．
题型13 动态几何问题（一元二次方程的应用）
25．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，
AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点
Q以2cm/s的速度向D移动．(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
【答案】(1)5秒
8
(2)从出发到 秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
5
【思路引导】本题主要考查动点问题，一元一次与一元二次方程的应用，勾股定理；
（1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则PB=(16−3x)cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式
求解即可；
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作QE⊥AB，垂足为E，则PA=3t，CQ=BE=2t，有
PE=|16−5t)，利用勾股定理求解即可．
【规范解答】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB=(16−3x)cm，QC=2xcm，
1
根据梯形的面积公式得 (16−3x+2x)×6=33(cm)，
2
解之得x=5，
答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6cm，PQ=10cm，
∵PA=3tcm，CQ=BE=2tcm，
∴PE=AB−AP−BE=|16−5t)，
由勾股定理，得(16−5t) 2+62=102，
8 24
解得t = ，t = （舍去）．
1 5 2 58
答：从出发到 秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
5
26．（25-26九年级上·广东河源·阶段练习）在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开
始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC向终点C以2cm/s的速度移动，
如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为ts．
(1)填空：BQ=________cm，PB=______cm（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，PQ的长为6cm？
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于43cm2？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)2t；(6−t)
12
(2)当t的值为0或 时，PQ的长度等于6cm；
5
(3)当t=1时，五边形APQCD的面积等于43cm2．
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用．
（1）根据点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，可以求得PB；
（2）用含t的代数式分别表示PB和BQ的值，运用勾股定理列式计算即可求出t值；
（3）求得△PBQ的面积为5，再利用三角形的面积公式列式计算可求得t值．
【规范解答】（1）解：由题意得BQ=2tcm，
点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，AB=6cm，
故PB=(6−t)cm .
故答案为：2t；(6−t)；
（2）解：由题意得：(6−t) 2+(2t) 2=62，12
解得t =0，t = ；
1 2 5
12
当t的值为0或 时，PQ的长度等于6cm；
5
（3）解：存在t的值，能够使得五边形APQCD的面积等于43cm2．理由如下：
长方形ABCD的面积是：8×6=48(cm2)，
使得五边形APQCD的面积等于43cm2，则△PBQ的面积为48−43=5(cm2)，
1
∴(6−t)×2t× =5，即t2−6t+5=0，
2
解得t =1，t =5（舍去）．
1 2
即当t=1时，五边形APQCD的面积等于43cm2．
题型14 工程问题（一元二次方程的应用）
27．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）2020年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全
国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行
为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大
大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，
员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥
有两条不同的护目镜加工生产线A,B．原计划A生产线每小时生产护目镜400个，B生产线每小时生产护
目镜500个．
（1）若生产线A,B一共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于5500个，则B生产线至少生产护目镜
多少小时？
（2）原计划A,B生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比
原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，A生产线每增加1小时，该生产线每小
时的产量将减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量将减少15个．这样一天生产的护目
镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．
【答案】（1）B生产线至少生产口罩7小时；（2）该厂实际每天生产口罩的时间为14h．
【思路引导】（1）设B生产线至少生产口罩x小时，根据生产护目镜的总数量不少于5500个列出不等式求
解即可；
（2）设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t，根据实际一天生产的护目镜将比原计划多3300个列
出方程求解即可．【规范解答】（1）解：设B生产线至少生产口罩x小时
(12−x)400+500x≥5500
解得：x≥7
答：B生产线至少生产口罩7小时.
（2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t
(400−10t)(8+t)+(500−15t)(8+t)=8×400+8×500+3300
解得：t =22,t =6
1 2
生产时间：6+8=14h
答：设该厂实际每天生产口罩的时间为14h.
【考点剖析】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题
目中的不等关系和等量关系，列出不等式和方程．
28．（2024·重庆南岸·一模）“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内
河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园.
（1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河
2
步道里程数是疏通河道里程数的 倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？
3
（2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万
元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修
建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一
期增加2a％，求a的值.
【答案】（1）原计划修建滨河步道8千米；（2）a的值是28.
2
【思路引导】（1）根据修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的 倍，列方程即可得出结论；
3
（2）先根据一期工程修建滨河步道里程数是疏通河道里程数与工程费用计算出每千米修建滨河步道与疏
通河道的工程费，然后根据题意列方程，并利用换元法解方程即可得出结论．
【规范解答】（1）设原计划修建滨河步道x千米，
2
根据题意，得 (20−x)=x.解这个方程，得x=8.
3
答：原计划修建滨河步道8千米
（2）根据题意，
一期工程疏通河道里程数：20−8=12（千米）.
一期工程疏通河道费用：600÷12=50（万元/千米）.一期工程修建滨河步道费用：(840−600)÷8=30（万元/千米）
50(1−2.5a%)×12(1+3a%)+30(1+2.5a%)×8(1+5a%)=840(1+2a%)
令a％=t，原方程可化为
50(1−2.5t)×12(1+3t)+30(1+2.5t)×8(1+5t)=840(1+2t)，
整理这个方程，得25t2−7t=0.
解这个方程，得t =0，t =0.28.
1 2
∴a％=0（舍去），a％=0.28.∴a=28.
答：a的值是28.
【考点剖析】本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件．
题型15 行程问题（一元二次方程的应用）
29．（2021·福建龙岩·模拟预测）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙
东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲
的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．
甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
49
【答案】
2
【思路引导】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t−10)步，利用勾
股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其正值代入3t中即可求出结论．
【规范解答】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t−10)步，则
依题意得：102+(3t) 2=(7t−10) 2，
整理得：40t2−140t=0，
7
解得：t = ，t =0（不合题意，舍去），
1 2 2
7 49 49
∴7t=7× = ，即甲走的步数是 ，
2 2 2
49
故答案为： ．
2
【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
30．（2021九年级·陕西·专题练习）甲，乙两人分别骑车从A,B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的
途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时
多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时．
A．2,6 B．12,16 C．16,20 D．20,24
【答案】C
【思路引导】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为(x+4)千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少
一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果．
【规范解答】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶(x+4)千米，
5x 4(x+4)
根据题意得： +1= ，
x+4 x
去分母得：
x2−14x−32=0，
即(x−16)(x+2)=0，
解得：x=16或x=−2（舍去），
经检验x=16分式方程的解，且符合题意，
∴x+4=16+4=20，
则甲、乙两人骑车的速度分别为16,20千米/时，
故选：C．
【考点剖析】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键．
题型16 图表信息题（一元二次方程的应用）
31．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区
旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？
【答案】参加旅游的人数40人.
【思路引导】首先设有x人参加这次旅游，判定x>30，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即
可.
【规范解答】设有x人参加这次旅游∵30×800=24000<28000
∴参加人数x>30
( x−30 )
依题意得：x 800− ×10 =28000
1
解得：x =40，x =70
1 2
x−30
当x =40时，800− ×10=700>500，符合题意.
1 1
x−30
当x =70时，800= ×10=400<500，不符合题意
2 1
答：参加旅游的人数40人.
【考点剖析】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程.
32．（2024·河北唐山·二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月
份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两
对数分别相乘，再相减，例如：9×11−3×17=48，13×15−7×21=48．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最
大数；
（3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的
说法是否正确（不必叙述理由）．
【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确．
【思路引导】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出
算式进行证明；
（2）、设最大数为x，列出方程组解答即可；
（3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定．
【规范解答】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），
（a+7），∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），
=a2﹣1﹣（a2﹣49），
=48．
（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14），
依题意，得：x（x﹣14）＝435，
解得：x＝29，x＝﹣15（不合题意，舍去）．
1 2
答：设这5个数中最大数为29．
（3）嘉琪的说法不正确．
设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y＝19，y＝﹣5
1 2
（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确．
【考点剖析】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答．
题型17 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
33．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛
一场），计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列方程（ ）
x(x−1)
A．x(x−1)=28 B． =28
2
x(x−1)
C．x(x−1)=14 D． =14
2
【答案】B
【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．利用比赛的总场数=参赛队伍数×（参赛队伍数−1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题
得解．
x(x−1)
【规范解答】解：根据题意得： =28．
2
故选：B．
34．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次；
(2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数；
(3)若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA,OB边），角的总数可能为20吗？为什么？
【答案】(1)3；15
(2)10人
(3)不可能；理由见解析【思路引导】本题考查了数字类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳推出一般规律是解题关键．
（1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得；
1
（2）先求出参加聚会的人数为1∼4时，共握手的次数，再归纳推出一般规律，令 n(n−1)=45，解一
2
元二次方程即可得；
（3）参照（2）的规律，归纳推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得．
【规范解答】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手(3−1)×3÷2=3（次），
若参加聚会的人数为6，则共握手(6−1)×6÷2=15（次）．
1
（2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手0= ×1×(1−1)次，
2
1
参加聚会的人数为2，则共握手1= ×2×(2−1)次，
2
1
参加聚会的人数为3，则共握手3= ×3×(3−1)次，
2
1
参加聚会的人数为4，则共握手6= ×4×(4−1)次，
2
1
归纳类推得：若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手 n(n−1)次，
2
若参加聚会的人共握手45次，
1
则 n(n−1)=45，
2
解得n=10或n=−9<0（不符合题意，舍去），
答：参加聚会的人数为10人．
（3）解：角的总数不可能是20；理由如下：
1
若在∠AOB的内部由顶点O引出1条射线（不含OA，OB边），角的总数为3= ×(1+2)×(1+1)个，
2
1
若在∠AOB的内部由顶点O引出2条射线（不含OA，OB边），角的总数为6= ×(2+2)×(2+1)个，
2
1
若在∠AOB的内部由顶点O引出3条射线（不含OA，OB边），角的总数为10= ×(3+2)×(3+1)个，
2
归纳类推得：若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA，OB边），角的总数为
1
(m+2)(m+1)个，
2
1
令 (m+2)(m+1)=20，即m2+3m−38=0，
2−3+❑√161 −3−❑√161
解得m= 或m= <0（均不是正整数，不符合题意，舍去），
2 2
所以角的总数不可能为20个．
题型18 二次函数y=ax²的图象和性质
35．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）在同一坐标系中，二次函数y =a x2 ，y =a x2 ，y =a x2 的
1 1 2 2 3 3
图象如图所示，则a ，a ，a 的大小关系为 （用“>”连接）．
1 2 3
【答案】a >a >a
1 2 3
【思路引导】本题考查二次函数图像与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．二次函数解析式中
二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小，据此解答即可．
【规范解答】解：∵抛物线皆开口向上，
∴各二次函数中的二次项系数都为正数，
∵二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小，
∴a >a >a ．
1 2 3
故答案为：a >a >a ．
1 2 3
36．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知抛物线y=ax2(a>0)上有三点A(−3,y )，B(1,y )，
1 2
C(4,y )，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
3 1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
【答案】D
【思路引导】本题考查二次函数图象上点的坐标特征与性质，熟练掌握二次函数的对称性与增减性是解题
关键．
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=0，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断A点的对称
点(3,y ) 也在函数图象上，再利用对称轴右侧y随x的增大而增大，即可求解．
1【规范解答】解：已知抛物线为y=ax2 (a>0)，
∴对称轴为x=0，
根据二次函数图象的对称性可知A点的对称点D(3,y ) 也在函数图象上，
1
由各点坐标可知B(1,y )，C(4,y )，D(3,y )在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
2 3 1
∵1<3<4，
∴y 1时，y随x增大而增大
【答案】C
【思路引导】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键
由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案．
【规范解答】解：抛物线y=−2(x−1) 2+3中，
A．因为−2<0，所以抛物线开口向下，故A不符合题意；
B．由题意知：抛物线的对称轴为直线x=1，故B不符合题意；
C．由题意知：抛物线的顶点坐标是(1，3)，故C符合题意；
D．x>1时，y随x增大而减小，故D不符合题意；
故选：C．
38．（2025九年级上·全国·专题练习）设A(−5,y )，B(1,y )，C(2,y )是抛物线y=−(x+1) 2+3上
1 2 3
的三点，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
2 3 1 1 3 2 3 2 1 1 2 3
【答案】A
【思路引导】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线y=−(x+1) 2+3的开口向下，对称轴为直线x=−1，
然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【规范解答】解：∵抛物线y=−(x+1) 2+3的开口向下，对称轴为直线x=−1，
且|−5−(−1))=4,|1−(−1))=2,|2−(−1))=3，即4>3>2，
∴A(−5,y )离直线x=−1的距离最远，B(1,y )点离直线x=−1最近，
1 2
∴y >y >y ．
2 3 1
故选：A．
题型20 y=ax²+bx+c的图象与性质
39．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：
①b>0；②b=−3；③c=−3b；④当0＜x＜1时，x2+(b﹣1)x+c>0．其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了二次函数图像的性质和一次函数图像的性质，解决此题的关键是熟练掌握二
次函数图像的性质；根据图像上的点，代入二次函数即可求出二次函数，进而可判断出①②③，根据二次
函数图像和一次函数图像高低的比较进而可以判断④；
【规范解答】解：由图像可知：点(1,1)和点(3,3)在抛物线的图像上，
{1=1+b+c
)
∴ ，
3=9+3b+c
{b=−3)
解得： ，
c=3
∴①错误，②正确，③错误；
由图像可知：当0＜x＜1时，x2+bx+c>x，即当0＜x＜1时，x2+(b﹣1)x+c>0，
故④正确；
综上可知：共有2个正确，
故选：C．
40．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，对
称轴是x=−1，下列结论：①ab>0；②b2>4ac；③a−b+2c<0；④8a+c<0；⑤若图象上有两点
(−1.4,m)、(−0.5,n)，则有m>n；其中正确的是（ ）
A．③④⑤ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②③④
【答案】C
【思路引导】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，根据图象
可得到a>0且a,b同号，故①正确；由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以Δ=b2−4ac>0，故②正确；
当x=−1时，a−b+c>0，又因为c>0，所以a−b+2c>0，故③错误；由图知：x=2时，y<0，可得
4a+2b+c<0，可得到b=2a，代入即可得到④正确；由于对称轴x=−1，所以−1.4到对称轴的距离小
于−0.5到对称轴的距离，故⑤正确．
【规范解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴x=−1在y轴的左侧，
∴ab>0，
∴①正确；
由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴b2>4ac
∴②正确；
∵当x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，
又∵c>0，∴a−b+2c>0，
∴③错误；
由图知：x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，
b
∵x=− =−1，
2a
∴b=2a，
∴4a+4a+c<0，即8a+c<0，
∴④正确；
∵对称轴x=−1
∴−1.4到对称轴的距离小于−0.5到对称轴的距离，
∴m>n，
∴⑤正确；
综上所述：①②④⑤正确，
故选：C．
题型21 二次函数图象与各项系数符号
41．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴
为直线x=−2，下列说法；①c−3a>0；②4a2−2ab≥at(at+b)（t为全体实数）；③若图象上存在点
A(x ,y )和B(x ,y )，当m0，
即可判断①；用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，即可判断②；利用二次函数的性
质以及二次函数与一元二次方程的关系即可判断③；利用二次函数与一次函数的交点问题即可判断④．
【规范解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线x=−2，
b
∴− =2，
2a
∴b=4a，代入原解析式得：y=ax2+4ax+c，
由图象可得：当x=−1时，y>0，
即：a×(−1) 2+4a×(−1)+c>0，
∴c−3a>0，
故①正确；
∵对称轴为直线x=−2，当x=−2时有最大值，
∴当x=−2时的函数值大于或等于x=t时的函数值，
∴4a−2b+c≥at2+bt+c，
故②错误；
由题意得：x 、x 是一元二次方程ax2+bx+c−y =0的两个根，
1 2 1
从图象上看，由于二次函数具有对称性，x 、x 关于直线x=−2对称，
1 2
∴当且仅当m<−2−1，
故④错误；
综上所述，正确的有①③，一共2个，故选：B．
42．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象
经过点(−1,2)和(1,0)且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①a+b+c=0，②abc<0，③2a+b>0，④
a+c=1．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，
利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
①由点(1,0)在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出a+b+c=0，结论①正确；②由
b
二次函数图象的开口方向、对称轴在y轴右侧以及与y轴交于负半轴，可得出a>0,− >0,c<0，进而可
2a
得出abc>0，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及a>0，可得出2a>−b，进而可得出
2a+b>0，结论③正确；④由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,2)和(1,0)，利用二次函数图象
上点的坐标特征可得出a−b+c=2，a+b+c=0，进而可得出a+c=1，结论④正确．综上，此题得解．
【规范解答】解：①点(1,0)在二次函数图象上，
∴a+b+c=0，结论①正确；
②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
b
∴a>0,− >0,c<0，
2a
∴b<0，
∴abc>0，结论②错误；
b
③∵− <1,a>0，
2a
∴2a>−b，
∴2a+b>0，结论③正确；
④二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,2)和(1,0)，∴a−b+c=2,a+b+c=0，
∴a+c=1，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：C．
题型22 一次函数、二次函数图象综合判断
43．（24-25九年级上·云南红河·期末）函数y=ax2与y=−ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路引导】分别根据函数y=ax2的图象和函数y=−ax+b的图象判断a的符号是否一致即可得解．
本题主要考查了二次函数y=ax2的图象和一次函数y=−ax+b的图象与系数的关系，熟练掌握相关知识是
解题的关键．
【规范解答】A、由函数y=ax2的图象知a>0，由函数y=−ax+b的图象知a<0，不相符；
B、由函数y=ax2的图象知a>0，由函数y=−ax+b的图象知a>0，相符；
C、由函数y=ax2的图象知a<0，由函数y=−ax+b的图象知a>0，不相符；
D、由函数y=ax2的图象知a<0，由函数y=−ax+b的图象知a>0，不相符．
故选：B．
44．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）在同一坐标系中，一次函数y=x+a与二次函数y=ax2的
图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【思路引导】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题．
根据y=x+a可知C、D错误，根据A、B可判断出a的取值范围，进而判断即可．
【规范解答】解：∵y=x+a，y随x的增大而增大，
∴C、D错误；
∵A、B中二次函数y=ax2开口均向下，
∴a<0，
∴直线y=x+a与y轴交于负半轴，
∴A错误、B正确；
故选：B．
题型23 根据二次函数的图象判断式子符号
45．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，顶点坐标为(1,2)
(1)该抛物线的对称轴为直线_________，当x=____时，函数有最____值；
(2)求抛物线的解析式；
(3)当0≤x≤2时，写出y的取值范围______________．
【答案】(1)x=1，1，大；
(2)y=−2x2+4x
(3)0≤ y≤2．
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质．
(1)因为抛物线的顶点在抛物线的对称轴上，根据抛物线的顶点坐标为(1,2)，可知抛物线的对称轴是x=1，
因为抛物线开口向下，所以抛物线一定有最大值；
(2)已知抛物线的顶点坐标为(1,2)，设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+2，因为抛物线过原点，可得：
a(0−1) 2+2=0，解方程求出a的值，即可得到抛物线的解析式；(3)由函数图象可知，当x=1时，函数有最大值y=2，当x=0和x=2时，对应的函数值均为0，所以当
0≤x≤2时，0≤ y≤2．
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点，顶点坐标为(1,2)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线开口向下，
∴当x=1时，函数有大值；
故答案为：x=1，1，大；
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为(1,2)，
设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+2，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点，
∴ a(0−1) 2+2=0，
解得：a=−2，
∴抛物线的解析式为y=−2(x−1) 2+2，
整理得：y=−2x2+4x；
（3）解：由函数图象可知，当x=1时，函数有最大值y=2，
当x=0时，y=−2x2+4x=0，
当x=2时，y=−2x2+4x=−2×22+4×2=0，
∴当0≤x≤2时，0≤ y≤2，
故答案为：0≤ y≤2．
46．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知抛物线y=ax2−2ax−2，点O为平面直角坐标系原点，
点A坐标为(4,2)．
(1)若抛物线过点A(4,2)，求该函数图象的对称轴与顶点坐标．
(2)在（1）的条件下，当0≤x≤3时函数的最大值为p，最小值为q，求p+q的值．
(3)若抛物线与线段OA只有一个交点，求a的取值范围．
( 5)
【答案】(1)对称轴为直线x=1，顶点坐标为 1,−
2
(2)−3
1 −5−2❑√6
(3)a≥ 或a=
2 4
【思路引导】本题考查二次函数图像与性质，函数与方程的关系，二次函数最值，掌握相关知识是解决问题的关键．
1 1 5
（1）利用待定系数法求得解析式为y= x2−x−2= (x−1) 2− ，再根据二次函数的性质即可求解；
2 2 2
（2）当0≤x≤3时，由开口方向和对称轴知函数最小值取在当x=1时， 再分别求出当x=0,x=3时的函数
值，确定最大值即可；
1
（3）根据题意得OA的解析式为y= x，y=ax2−2ax−2=a(x−1) 2−2−a，顶点为(1,−2−a)，分两
2
种情况：当a>0时，原点在(0,−2)上方，顶点(1,−2−a)在线段OA下方，当a<0时，原点在(0,−2)上
方，(4,8a−2)在A(4,2)下方，根据抛物线与线段OA只有一个交点分别讨论即可求解．
【规范解答】（1）解：将A(4,2)代入y=ax2−2ax−2，
得16a−8a−2=2，
1
解得a= ，
2
1 1 5
即：抛物线的解析式为：y= x2−x−2= (x−1) 2− ，
2 2 2
( 5)
∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为 1,− ；
2
1
（2）解：∵ >0且对称轴为直线x=1，
2
5
∴当0≤x≤3时，函数最小值取在当x=1时，为− ，
2
当0≤x≤1时，y随x增大而减小，当10时，原点在(0,−2)上方，顶点(1,−2−a)在线段OA下方，
要使抛物线与线段OA只有一个交点，需使得(4,8a−2)在A(4,2)上方，
1
∴8a−2≥2，解得a≥ ；
2
当a<0时，原点在(0,−2)上方，(4,8a−2)在A(4,2)下方，
1
要使抛物线与线段OA只有一个交点，只需要使得ax2−2ax−2= x有两个相等的解，
2
1
即：ax2−(2a+ )x−2=0有两个相等的解，且该解x =x 在0到4之间，
2 1 2
2
[ 1 )
∴ Δ= −(2a+ ) −4a×(−2)=0，
2
1
4a2+10a+ =0，
4
−5±2❑√6
解得：a= ，
4
1
2a+ 1
又∵ 2 ，则2a+ <0，
x +x = >0 2
1 2 a
1
∴ a<− ，
4
−5−2❑√6
∴ a= ；
4
1 −5−2❑√6
综上，抛物线与线段OA只有一个交点时，a≥ 或a= ．
2 4
题型24 y=ax²+bx+c的最值
1
47．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，抛物线y= x2+bx−2与x轴交于A、B两点，与y轴交
2
于C点，且A(−1,0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=
1
x2−
3
x−2，顶点D的坐标为
(3
,−
25)
2 2 2 8
(24 )
(2)M ,0
41
【思路引导】本题考查二次函数的图像和性质，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键．
1 3
（1）把A点坐标代入y= x2+bx−2求出b=− ，从而得到抛物线解析式，然后把一般式通过配方化为
2 2
顶点式即可得到顶点D的坐标；
（2）若△DCM的周长最小，因为CD长度为定值，即MC+MD最小，先求出点C关于x轴的对称点C′的
坐标，利用待定系数法求函数解析式直线C′D的解析式，然后令y=0求解即可．
1
【规范解答】（1）解：把A(−1,0)代入y= x2+bx−2，
2
1
得 −b−2=0，
2
3
解得b=− ，
2
1 3
∴抛物线解析式为y= x2− x−2，
2 2
1 3 1 3 2 25
∵y= x2− x−2= (x− ) − ，
2 2 2 2 8
(3 25)
∴顶点D的坐标为 ,− ；
2 8
（2）解：令x=0，则y=−2，∴点C的坐标为(0,−2)，
∴CD长度为定值，
∴若△DCM的周长最小，即MC+MD最小，
作点C关于x轴的对称点C′的坐标为(0,2)，
连接C′D与x轴的交点即为所求的MC+MD的值最小时的点M，
(3 25)
设直线C′D的解析式为y=kx+b，代入C′ (0,2)和D ,−
2 8
{
b=2
)
则 3 25 ，
k+b=−
2 8
{ k=− 41 )
解得 12 ，
b=2
41
∴直线C′D的解析式为y=− x+2，
12
41
令y=0，则− x+2=0，
12
24
解得x= ，
41
24
∴m= ，
41
(24 )
则M ,0 ．
41
48．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）请用无刻度的直尺分别按下列要求画图，每个问题的画线不得
超过五条（保留画图痕迹）．(1)如图1，抛物线l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，作出抛物线的对
称轴EF；并在EF上画出点Q，使得BQ+CQ最小；
(2)如图2，抛物线l ，l 交于点P且关于直线MN对称，两抛物线分别交x轴于点A，B和点C，D，作出直
1 2
线MN．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】本题考查了二次函数图像的性质——对称性，理解对称性和尺规作图是解答本题的关键．
（1）连接AC，BD相交于一点，连接AD，BC并延长相交于一点，连接两点的直线即为EF, AC,BD交
于点Q，
（2）连接AP并延长交抛物线l 一点，再连接D与该点，并延长；同理作l 的这条直线，两直线相交于M，
1 2
过M，P作出的直线即为MN．
【规范解答】（1）如图所示，直线EF，点Q即为所求；
（2）如图所示，直线MN即为所求．题型25 待定系数法求二次函数解析式
49．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，该二次函数的图象的顶点坐标为(1,−4)，与x轴正半轴
的一个交点的坐标为(3,0)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当y≤2时，请结合图象直接写出x的取值范围；
(3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移n(n>0)个单位长度，图象恰好经过点
(5,−2)，求n的值．
【答案】(1)y=(x−1) 2−4
(2)1−❑√6≤x≤1+❑√6
(3)2
【思路引导】（1）已知顶点坐标(h,k)，设顶点式y=a(x−h) 2+k(a≠0)，再利用待定系数法，代入已知
点坐标求解即可；
（2）令y=2，代入函数解析式求出两个x的值，结合该二次函数图象开口的方向即可确定x的取值范围；
（3）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【规范解答】（1）解：根据二次函数的图象的顶点坐标为(1,−4)，设该二次函数的解析式为
y=a(x−1) 2−4(a≠0)，
将函数与x轴正半轴交点的坐标(3,0)代入得0=a(3−1) 2−4，
解得a=1，
则该二次函数的解析式为y=(x−1) 2−4．
（2）当y=2时，2=(x−1) 2−4，
整理得6=(x−1) 2，解得x =1+❑√6,x =1−❑√6，
1 2
∵二次函数y=(x−1) 2−4中a=1>0，
∴函数图象开口向上，当y≤2时，x的取值范围是1−❑√6≤x≤1+❑√6．
（3）由题意，平移后的函数解析式为y=(x−1−2) 2−4−n=(x−3) 2−4−n，
将点(5,−2)代入得−2=(5−3) 2−4−n，解得n=2．
1
50．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）已知二次函数y=− x2+x+c的部分图象如图所示．
4
(1)求该抛物线与x轴的另外一个交点坐标和c的值．
(2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说
明点(−2,5)是否在平移后的抛物线上．
【答案】(1)(−4,0)；c=8
1
(2)y=− x2+6；点(−2,5)在平移后的抛物线上
4【思路引导】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数图象的平移问题，熟知二
次函数的相关知识是解题的关键．
（1）根据题意可得对称轴和与x轴的一个交点坐标，则由对称性可求出与x轴的另一个交点坐标，再利用
待定系数法可求出c的值；
（2）根据（1）所求可得平移前的抛物线解析式，进而根据平移方式可得平移后的抛物线解析式，再求出
当x=−2时，平移后抛物线所对应的函数值即可得到答案．
【规范解答】（1）解：由题意得，该抛物线的对称轴为直线x=2，且与x轴的一个交点坐标为(8,0)，
∴该抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(2×2−8,0)，即(−4,0)，
1 1
把(−4,0)代入y=− x2+x+c中得0=− ×(−4) 2−4+c，解得c=8；
4 4
1 1
（2）解：由（1）得该抛物线解析式为y=− x2+x+8=− (x−2) 2+9，
4 4
1
∴将抛物线y=− (x−2) 2+9先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为
4
1 1
y=− (x−2+2) 2+9−3=− x2+6，
4 4
1 1
在y=− x2+6中，当x=−2时，y=− ×(−2) 2+6=5，
4 4
1
∴点(−2,5)在抛物线y=− x2+6上，即点(−2,5)在平移后的抛物线上．
4
题型26 线段周长问题（二次函数综合）
1
51．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，已知直线y=− x+2与x轴、y轴交于B，A两点，
2
抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点
N，交直线AB于点M，设点P的横坐标为t．(1)求抛物线解析式；
(2)当MN=2MP，求t的值；
(3)若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值；
7
【答案】(1)y=−x2+ x+2
2
(2)t=1
8❑√5
(3)
5
【思路引导】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求二次函数解
析式等等，通过把求线段的长转换成点P横坐标的二次函数是解题的关键．
（1）先根据一次函数解析式求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可；
（2）由P(t,0)，得M ( t，− 1 t+2 ) ，N ( t，−t2+ 7 t+2 ) ，分别表示出MN=−t2+4t，MP=− 1 t+2，
2 2 2
由MN=2MP，建立方程，−t2+4t=2 ( − 1 t+2 ) ，解方程即可得到答案；
2
（3）如图所示，连接NA、NB，设点N到AB的距离为d，设，同理得到MN=−t2+4t，利用勾股定理
1 8❑√5
求出AB=2❑√5，根据S =−2(t−2) 2+8，最大值为8，得S = AB⋅d=8，推出d= ，即d
△ANB △ANB 2 5
8❑√5
的最大值为
5
1
【规范解答】（1）解：直线y=− x+2中，x=0时，y=2；y=0时，x=4．
2
∴点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,0)．
∵抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，
{ c=2 )
∴ ，
−16+4b+c=0
解得：¿，
7
∴抛物线的解析式为y=−x2+ x+2；
2
（2）解：∵设点P(t,0)（0≤t≤4），则点M ( t，− 1 t+2 ) ，N ( t，−t2+ 7 t+2 ) ，
2 2∴MN=−t2+ 7 t+2− ( − 1 t+2 ) =−t2+4t，MP=− 1 t+2，
2 2 2
∵MN=2MP，
∴−t2+4t=2 ( − 1 t+2 ) ，
2
解得：t=1或4（与点B重合，舍去），
∴t=1；
（3）解：点N到直线AB的距离为d，
求d的最大值即为求△ANB面积的最大值，
连接NA、NB，如下图所示，
∵点B(4,0)、A(0,2)，
∴OB=4，OA=2，
由（2）得：MN=−t2+4t，
1 1
∴S = MN⋅OB= (−t2+4t)×4=−2(t−2) 2+8≤8，
△ANB 2 2
∴△ANB面积最大为8，
∵AB=❑√OA2+OB2=2❑√5，
1
∴S = AB⋅d=8，
△ANB 2
8❑√5
解得d= ，
5
8❑√5
即d的最大值为 ；
552．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)
两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及C点坐标；
(2)如图1，连接AC，在对称轴上找一点D，使得△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐
标；
(3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，连接BC交MN于点Q．当
MQ+❑√2CQ的值最大时，求M点的坐标，并求出这个最大值．
【答案】(1)y=−x2+2x+3，C(0,3)
(2)(1,1)或(1,❑√6)或(1,−❑√6)
(5 7) 25
(3) , ，
2 4 4
【思路引导】（1）将A(−1,0)，B(3,0)代入解析式，即可求解；
（2）由二次函数的对称轴得对称轴为直线x=1，设D(1,m)，①当AD=CD时，②当AC=AD时，由勾
股定理，即可求解；
（3）过Q作QE⊥y轴交于E，由等腰三角形的定义得CE=EQ，由勾股定理得直线BC的解析式为
y=−x+3，设M(n,−n2+2n+3)，Q(n,−n+3)，可得EQ=n，MQ=−n2+2n+3−(−n+3)
=−n2+3n，由二次函数的性质，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵ A(−1,0)，B(3,0)
{a−2+c=0
)
∴ ，
9a+6+c=0{a=−1)
解得 ，
c=3
故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)；
b 2
（2）解：∵x=− =− =1，
2a 2×(−1)
∴对称轴为直线x=1，
∴设D(1,m)，
①当AD=CD时，如图，
∴1+(m−3) 2=(−1−1) 2+m2
，
解得：m=1，
∴ D(1,1)；
②当AC=AD时，如图，
∴m2+(−1−1) 2=12+32
，
解得：m =❑√6，m =−❑√6，
1 2
∴ D(1,❑√6)(1,−❑√6)；故点D的坐标为(1,1)或(1,❑√6)或(1,−❑√6)；
（3）解：过Q作QE⊥y轴交于E，
∴EQ∥x
轴，
∵ B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠CQE=∠OBC=45°，
∴CE=EQ，
∴CQ=❑√CE2+EQ2
=❑√2EQ，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有
{3k+b=0)
，
b=3
{k=−1)
解得： ，
b=3
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
设M(n,−n2+2n+3)，
∴Q(n,−n+3)，
∴EQ=n，
MQ=−n2+2n+3−(−n+3)
=−n2+3n，
∴ MQ+❑√2CQ
=−n2+3n+❑√2×❑√2n=−n2+5n，
( 5) 2 25
=− n− + ，
2 4
∵−1<0，
5
∴当n= 时，
2
25
MQ+❑√2CQ的最大值是 ；
4
(5) 2 5
∴y=− +2× +3
2 2
7
= ，
4
(5 7)
∴M , ．
2 4
【考点剖析】本题考查了待定系数法，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，二次函数的性质求最值，掌
握待定系数法，能熟练利用二次函数的性质求最值及根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关
键．
题型27 面积问题（次函数综合）
53．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线
y=a(x+6)(x−2)交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0,−1)
(1)a的值为 ．
(2)如图1，在第二象限的抛物线上取点P，点D为抛物线的顶点，连接AP、AD、BD、BP，若点P的横
坐标为t，四边形APBD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上取点E，且点E在x轴的上方，连接PE、BE，∠BEP=90°，∠PED−∠BED=2∠ABP，再在第二象限的抛物线上另取一点Q，点Q在点P的上方，
连接BQ交PE于G，并在BE上取点H，连接PH交BQ于T,TH=BH,EG:EH=2:3，求点Q的坐标．
1
【答案】(1)
12
1 4 4
(2)S= t2+ t+
3 3 3
51
(3)Q(−15, )
4
【思路引导】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）由待定系数法即可求解；
1 1
（2）由S=S +S = AB⋅PK+ AB⋅DR，即可求解；
△ABP △ABD 2 2
（3）证明△PWE≌△ERB(AAS)得到P(−10,4)，E(−2,8)，证明△PEH≌△BEF(AAS)得到
EF=EH=3m，BG=2m，在△BEF中，利用勾股定理和中点公式得到G(−6,6)，进而求解．
【规范解答】（1）解：y=a(x+6)(x−2)=a(x2+4x−12)，
由于函数经过C(0,−1)，
则−12a=−1，
1
解得：a= ，
12
1
故答案为： ；
12
（2）解：作DR⊥AB于点R，PK⊥x轴于点K，
4
由抛物线解析式得A(−6,0)、B(2,0)、D(−2,− )，
3
1 1
设P(t, t2+ t−1)，
12 3
1 1 4
∴ PK= t2+ t−1，AB=8，DR= ，
12 3 31 1
∴S=S +S = AB⋅PK+ AB⋅DR
△ABP △ABD 2 2
1 1 1 4
= ×8( t2+ t−1+ )
2 12 3 3
1 4 4
= t2+ t+ ；
3 3 3
（3）解：设抛物线的对称轴DE交x轴于R，作PW⊥ER于点W，
设∠BED=α，
∵∠BEP=90°，
∴∠PED=90°−α，
∴2∠ABP=90°−α−α=90°−2α，
∴∠ABP=45°−α，
又∵ER⊥AB，
∴∠EBR=90°−α，
∴∠PBE=90°−α−(45°−α)=45°，
∵∠BEP=90°，
∴∠BPE=∠PBE=45°，
∴PE=BE，
又∵∠PWE=∠BRE=90°，∠PEW=∠EBR=90°−α，
∴ △PWE≌△ERB(AAS)，
1 1
∴EW=BR=4，PW =ER=EW+RW = t2+ t−1+4，
12 3
1 1
∴ PW = t2+ t+3，
12 3
∵PW+∨=t，
1 1
∴ t2+ t+3+2=t，
12 3
解得t =−10，t =6（舍），
1 2
∴P(−10,4)，E(−2,8)，∴PE=BE=❑√5，
延长PE至点F，连接BF且满足BF=GF，设∠EBG=β，
∵TH=BH，
∴∠BTH=∠EBG=β，
∴∠PHE=2β，
∴∠EPH=90°−2β，∠BGE=90°−β，
∵BF=GF
∴∠F=180°−2(90°−β)=2β=∠PHE，
∴∠PEH=∠PEB=90°，
∵BE=PE，
∴ △PEH≌△BEF(AAS)，
设EG=2m,EH=3m，
∴EF=EH=3m，GF=BF=5m，
根据勾股定理可得BE=❑√(5m) 2−(3m) 2=4m，
在△BEF中，BE=4m=4❑√5，
∴m=❑√5，EG=2m=2❑√5，
∴PG=PE−EG=2❑√5=EG，
∴G为PE的中点，
∵P(−10,4)，E(−2,8)，
∴G(−6,6)
设直线BQ解析式为y=kx+b，
{ 0=2k+b )
把G(−6,6)，B(2,0)代入可得， ，
6=−6k+b
3
{ k=− )
4
解得 ，
3
b=
2
3 3
∴直线BQ解析式为y=− x+ ，
4 2
3 3 1
解方程− x+ = (x+6)(x−2)得：x =−15，x =2（舍去），
4 2 12 1 2
51
故点Q(−15, )．
454．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0)，B(−3,0)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶
点坐标；
(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使△CDP的面积为4，
若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)平移后的解析式为y=(x+2) 2−1，y=x2+2x−3
(2)平移后的解析式为y=(x+2) 2−1，顶点为(−2,−1)；
(3)存在，P(−2+❑√5,4)或(−2−❑√5,4)
【思路引导】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数
解析式是解题的关键：
（1）将点A(1,0)，B(−3,0)代入y=x2+bx+c，求解即可得出答案；
（2）先将解析式变形为y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，再根据二次函数的平移即可得出答案；
1
（3）当y=0时，(x+2) 2−1=0，求出C(−3,0)，D(−1,0)，根据S = CD⋅|y )=4，得出|y )=4，
△CDP 2 p p
再得出(x+2) 2−1=4，求解即可得出答案．【规范解答】（1）将点A(1,0)，B(−3,0)代入y=x2+bx+c
{ 1+b+c=0 )
得， ，
9−3b+c=0
{ b=2 )
解得， ，
c=−3
∴二次函数的解析式为y=x2+2x−3；
（2）y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，
由平移规律得平移后的解析式为y=(x+2) 2−1，
∴顶点为(−2,−1)；
（3）当y=0时，(x+2) 2−1=0，
解得：x =−3，x =−1，
1 2
∴C(−3,0)，D(−1,0)，
∴CD=2．
1
∵S = CD⋅|y )=4，
△CDP 2 p
∴|y )=4，
p
∵顶点为(−2,−1)，
∴点P在x轴的上方，纵坐标为4，
∴(x+2) 2−1=4，
解得，x =−2+❑√5或x =−2−❑√5，
1 2
∴P(−2+❑√5,4)或(−2−❑√5,4)．
题型28 角度问题（二次函数综合)
55．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−5,0)，B(−1,0)两
点，与y轴交于点C(0,5)．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，点Q是平面内任意一点，当以A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形时，
求点P的坐标；
(3)过点B的直线交直线AC于点M，连接BC，当直线BM与直线AC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直
接写出点M的坐标．
【答案】(1)y=x2+6x+5
(2)P(−3,6)或P(−3,−1)或P(−3,8)或P(−3,−2)
( 13 17) ( 23 7)
(3) − , 或 − ,
6 6 6 6
【思路引导】（1）由抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−5,0),B(−1,0)两点，设y=a(x+5)(x+1)，
再把C(0,5)代入利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况讨论：如图，当AC为矩形边时，当AC为矩形对角线时，如图，再结合图形求解即可．
（3）作BC的垂直平分线l，垂足为E，交AC于点M ，作BN⊥AC于点N，作点M 关于点N的对称点
1 1
M ,M ,M 符合条件，根据题意分别画图求解即可．
2 1 2
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−5,0),B(−1,0)两点，
∴设y=a(x+5)(x+1)，
把C(0,5)代入得：5a=5，
解得：a=1，
∴抛物线为：y=(x+5)(x+1)=x2+6x+5；
6
（2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=− =−3，
2
设P(−3,m)，则AC2=50,AP2=4+m2,PC2=9+(m−5) 2=m2−10m+34，
当AC为矩形边时，可得∠P CA=90°或∠P AC=90°，
1 2
当∠P CA=90°时，则AC2+P C2=AP 2 ，即50+m2−10m+34=4+m2，
1 1 1解得：m=8，
则P(−3,8)；
当∠P AC=90°时，则AC2+AP 2=P C2 ，即50+4+m2=m2−10m+34，
2 2 2
解得：m=−2，
则P(−3,−2)；
如图，当AC为矩形对角线时，
∵A(−5,0),C(0,5) AP CQ
3 3
，四边形 是矩形，
∴∠AP C=90°，
3
则AC2=AP 2+P C2 ，即50=4+m2+m2−10m+34，
3 3
解得：m=6或m=−1，
则P(−3,6)或P(−3,−1)；
综上：P(−3,6)或P(−3,−1)或P(−3,8)或P(−3,−2)．
（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+5，则−5k+5=0，解得：k=1，
故直线AC的解析式为y=x+5，
设M(n,n+5)，
作BC的垂直平分线l，垂足为E，交AC于点M ，如图所示．
1
根据题意可得CM =BM ，
1 1当CM =BM 时，∠BCM =∠CBM ，∠AM B=∠BCM +∠CBM =2∠ACB，故M 符合
1 1 1 1 1 1 1 1
条件．
此时，n2+(n+5−5) 2=(−1−n) 2+(n+5) 2，
13
解得：n=− ，
6
( 13 17)
∴点M 的坐标为 − , ．
1 6 6
作BN⊥AC于点N，作点M 关于点N的对称点M ．如图所示．
1 2
此时BM =BM ，则∠CM B=∠AM B=2∠ACB，故点M 符合条件．
2 1 2 1 2
根据题意AO=CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∵BN⊥AC，
∴∠NAO=∠ABN=45°，
过点N作NH⊥AO于H，
1
则NH=AH=HB= AB=2，
2
∴N(−3,2)，
∵点M ,M 关于点N对称，
1 2
即点N为线段M M 的中点，
1 2
( 23 7)
∴点M 的坐标为 − , ．
2 6 6
( 13 17) ( 23 7)
∴点M的坐标为 − , 或 − , ．
6 6 6 6
【考点剖析】本题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数
法求一次函数解析式，矩形的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，利用数形结合和分类讨
论的方法解题是关键．
56．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B
两点，A点坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,3)．(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得∠QCB=2∠ABC，求点Q的坐标．
【答案】(1)二次函数的表达式为y=−x2+2x+3
(2)Q(1,4)
【思路引导】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，根据条件得到△GCQ是等腰直角
三角形，则CG=QG，设Q(q,−q2+2q+3)，则G(0,−q2+2q+3)，再列方程解题即可．
【规范解答】（1）解：将A(−1,0)，C(0,3)代入y=ax2+2x+c，得：
{a−2+c=0)
，
c=3
{a=−1)
解得 ，
c=3
∴二次函数的表达式为y=−x2+2x+3；
（2）解：对于y=−x2+2x+3，令y=0，得−x2+2x+3=0，
解得x =−1，x =3，
1 2
∴B(3,0)，
∴OB=OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵∠QCB=2∠ABC，
∴∠QCB=90°，
如图，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，∴∠GCQ=90°−∠OCB=45°，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∴CG=QG，
设Q(q,−q2+2q+3)，则G(0,−q2+2q+3)，
∴CG=−q2+2q，GQ=q，
∴−q2+2q=q，
解得q=0（舍去）或q=1，
∴当q=1时，−q2+2q+3=4，
∴Q(1,4)．
题型29 特殊三角形问题（次函数综合）
57．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴
交于点C，作直线BC，其中点A(−1,0)，点C(0,−4)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作
EF∥y轴，交直线BC于点P，交x轴于点F．
（i）连接CE，BE，求△BCE面积的最大值，并求此时点E的坐标；
（ii）是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．【答案】(1)y=x2−3x−4
(2)（i）当m=2时，△BCE面积的最大值为8，此时点E的坐标为(2,−6)；（ii）存在，点P的坐标为
(3,−1)或(2,−2)，理由见解析
【思路引导】（1）用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）（i）设E(m,m2−3m−4)，先求出P(m,m−4)，得到PE=−m2+4m，可求得△BCE的面积为
−2m2+8m，再根据二次函数的性质求最大值即可；
（ii）当∠PEC=90°时，证明CE=PE=OF，即可列方程求解；当∠PCE=90°时， 过点C作
1
CH⊥PE于点H，证明CH= PE，即可列方程求解．
2
{(−1) 2+b×(−1)+c=0)
【规范解答】（1）解：把A(−1,0)，C(0,−4)的坐标代入y=x2+bx+c，得 ，
c=−4
{b=−3)
解得 ，
c=−4
∴该抛物线的解析式为y=x2−3x−4；
（2）解：（i）设E(m,m2−3m−4)，
令y=0，则x2−3x−4=0，
解得x =−1，x =4，
1 2
∴B(4,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
{4k+b′=0)
将B(4,0)，C(0,−4)的坐标代入得 ，
b′=−4
{ k=1 )
解得 ，
b′=−4
∴直线BC的解析式为y=x−4，
∴P(m,m−4)，
∴PE=m−4−(m2−3m−4)=−m2+4m，
1
∴△BCE的面积为 ×4×PE=2(−m2+4m)=−2m2+8m=−2(m−2) 2+8，
2
∵0x 时，有y >y ；③它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1
(2,0)；④当00．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【思路引导】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及
性质是解题的关键，利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性
质得出答案．
【规范解答】解：y=−x2+2x=−(x−1) 2+1，
∴它的对称轴是直线x=1，故①正确；
∵对称轴x=1两侧的增减性不一样，
∴设y =−x2+2x ,y =−x2+2x ，则当x >x >1时，有y >y ，故②错误；
1 1 1 2 2 2 2 1 1 2
当y=0，则x(−x+2)=0，解得：x =0,x =2，故它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0)，故③正确；
1 2
∵a=−1<0，
∴抛物线开口向下，
∵它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0)，
∴当00，故④正确．
∴正确的结论的个数为3，
故选：C．
62．（24-25九年级上·山西·期末）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么关于x的方程
ax2+bx+c−3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】A
【思路引导】本题考查由函数图像解决方程根的情况，数形结合求解是解决问题的关键．
关于x的方程ax2+bx+c−3=0的根的情况，可以看作是二次函数y=ax2+bx+c的图像与直线y=3交点
情况，作出图像，数形结合，观察图像交点情况即可得到答案．
【规范解答】解：关于x的方程ax2+bx+c−3=0的根的情况，可以看作是二次函数y=ax2+bx+c的图
像与直线y=3交点情况，如图所示：即二次函数y=ax2+bx+c的图像与直线y=3有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c−3=0的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
题型32 求x轴与抛物线的截线长
63．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(m,0)和(1,0)．
有下列结论：
①abc>0；
②关于x的方程ax2+bx+c+m=0必有两个不相等的实数根；
1 b
③ + +1=0；
m c
④|a−am)=❑√b2−4ac
其中正确的结论是
【答案】①③④
【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程与二次函数的关系，理解相关知识是
解答关键.
利用图象信息进行判定①；根据直线y=m与抛物线的有两个交点赤求解②；③利用两根之和不进行求解；
④利用根的判别来求解.
【规范解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0.
∵抛物线交y轴的正半轴，∴c>0.
b
∵抛物线的对称轴x=− 在y轴的左侧，
2a
b
∴− <0,
2a
∴b<0,
∴abc>0，故①正确；
∵方程ax2+bx+c+m=0，
∴ax2+bx+c=−m.
由图象可知m<0，当y=−m时，
直线y=−m与抛物线在顶点以下有两个交点，顶点时只有一个交点，顶点以上没有交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+m=0必有两个不相等的实数根不一定成立，
故②错误；
∵函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(m,0)和(1,0)，
c
∴1×m= ，am2+bm+c=0，
a
b c
∴a+ + =0，c=am，
m m2
c
∴m= ，
a
ab am
∴a+ + =0，
c m2
ab a
∴a+ + =0，
c m
1 b
∴ + +1=0，故③正确；
m c
∵对于二次函数y=ax2+bx+c，
−b±❑√b2−4ac
其判别式Δ=b2−4ac，由求根公式可得x= ,
2a
−b−❑√b2−4ac −b+❑√b2−4ac ❑√b2−4ac
− =− ,
2a 2a a
已知两根为x =m，x =1，
1 2
由图象可知1>m，❑√b2−4ac
则1−m=−
a
∴−a(1−m)=❑√b2−4ac，
∵a<0,1−m>0，
∴|a)|1−m)=❑√b2−4ac，
∴|a−am)=❑√b2−4ac，故④正确.
综上所述，正确的结论有：①③④.
故答案为：①③④.
64．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线y=x2−2x−1与x轴交于点A，B，则线段AB
的长为 ．
【答案】2❑√2
【思路引导】本题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标，可得x2−2x−1=0，求解x =❑√2+1和
1
x =−❑√2+1，再进一步解答即可．
2
【规范解答】解：∵抛物线y=x2−2x−1与x轴交于点A，B
∴x2−2x−1=0
解得：x =❑√2+1，x =−❑√2+1；
1 2
∴A(❑√2+1,0)，B(−❑√2+1,0)
∴AB=❑√2+1−(−❑√2+1)=2❑√2
故答案为：2❑√2
题型33 图形问题（实际问题与二次函数）
65．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）用篱笆围成如图的矩形ABCD菜地，其中间也用一道篱笆
隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设AB的长为x米．(1)矩形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
(2)矩形ABCD这块菜地的最大面积是多少
【答案】(1)矩形ABCD这块菜地的面积不能为225平方米；x=15
(2)300平方米
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，解题的关键是根据矩形的面积列出函数
解析式．
（1）根据矩形ABCD的面积为225平方米，列出方程即可；
（2）设矩形ABCD的面积为y平方米，用x表示y，然后根据二次函数的性质回答即可．
【规范解答】（1）解：矩形ABCD这块菜地的面积不能为225平方米．理由如下：
∵AB=x米，
∴BC=(60−3x)米，依题意得，
x(60−3x)=225，
解得，x =15,x =5，
1 2
当x=5时，60−3x=60−5×3=45>40，
∵墙长为40米，
∴x=5不符合题意，舍去，
∴x的值为15．
（2）解：设矩形的面积为y平方米，则y=x(60−3x)=−3(x−10) 2+300，
∵−3<0，
∴当x=10，60−3x=30<40时，y的最大值为300平方米，
∴矩形ABCD的最大面积是300平方米．
66．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用79m长的
篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有1m宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设AB=xm，
矩形ABCD的面积为ym2．(1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？
1
【答案】(1)y=− x2+40x(045（不合题意，舍去），
1 2
∴x=30，
∴当AB为30m，BC为25m时，矩形场地的面积为750m2；题型34 图形运动问题（实际问题与二次函数）
67．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB=10cm，E为对角线BD上
一动点，连接AE、CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒
2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．
(1)求证：CE=EF；
(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)用配方法说明△BEF的面积有最大值，并求出它的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)y=−2x2+5❑√2x(0≤x≤5❑√2)
5❑√2 25 25
(3)当x= 时，y有最大值是 ；即△BEF面积的最大值是
4 4 4
【思路引导】（1）过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，则AM=BN，结合正方形的性质，先证明
△AEM≌△EFN(AAS)，再证明△ADE≌△CDE(SAS)，得到AE=CE=EF，即可得证；
（2）由勾股定理得BD=10❑√2，根据题意得BE=2x，0≤x≤5❑√2，由（1）知：△AEM≌△EFN，
1
从而得出BF=10−2❑√2x，再根据y= BF⋅EN，即可求出解析式；
2
（3）利用配方法求二次函数最大值即可．
【规范解答】（1）证明：过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，则AM=BN，
∵ ABCD
四边形 是正方形，
∴AD∥BC，AB⊥AD，
∴MN⊥AD，MN⊥BC，
∴∠AME=∠FNE=90°，∴∠NFE+∠FEN=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEM+∠FEN=90°，
∴∠AEM=∠NFE，
∵∠DBC=45°,∠BNE=90°，
∴BN=EN=AM，
∴△AEM≌△EFN(AAS)，
∴AE=EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=CE=EF；
（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=❑√102+102=10❑√2，
∵E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，
∴BE=2x，0≤x≤5❑√2，
∴BN=EN=❑√2x，
由（1）知：△AEM≌△EFN，
∴ME=FN，
∵AB=MN=10，
∴ME=FN=10−❑√2x，
∴BF=FN−BN=10−❑√2x−❑√2x=10−2❑√2x，
1 1
∴y= BF⋅EN= (10−2❑√2x)⋅❑√2x=−2x2+5❑√2x(0≤x≤5❑√2)；
2 2
（3）解：y=−2x2+5❑√2x=−2 ( x2− 5❑√2 x ) =−2 ( x− 5❑√2) 2 + 25 ，
2 4 4
∵−2<0，
5❑√2 25 25
∴当x= 时，y有最大值是 ；即△BEF面积的最大值是 ．
4 4 4
【考点剖析】此题是四边形的综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，难度适中，熟练掌握正方形中利用辅助线构建全等来
解决问题是本题的关键．
68．（25-26九年级上·四川达州·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，点
P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC终点C以3cm/s速
度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（
t>0）．
(1)填空：PB= ______cm；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，PQ的长度等于10cm？
(3)连接DP，DQ，记△DPQ的面积为S．
①S= ______cm2（用含t的代数式表示）；
②当t=______秒时，S的最小值为______cm2．
【答案】(1)(10−2t)
40
(2)当t= 秒时,PQ的长度等于10cm
13
(3)①3t2−12t+60；②2；48．
【思路引导】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，勾股定理，二次函数的应用等知识，掌握知
识点的应用是解题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（3）①根据S=S −S −S −S ，利用面积公式即可解决问题；②根据①中所求函数
矩形ABCD △BPQ △DCQ △APD
表达式，利用二次函数的性质即可得到结论．
【规范解答】（1）解：∵AB=10cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，
∴PB=(10−2t)cm，
故答案为：(10−2t)；
（2）解：由题意得，PB=(10−2t)cm，BQ=3tcm，PB2+BQ2=PQ2，
∴(10−2t) 2+(3t) 2=102，40
解得t =0（不合题意，舍去），t = ，
1 2 13
40
∴当t= 秒时,PQ的长度等于10cm；
13
（3）解：①根据题意得，AB=CD=10cm，BC=AD=12cm，AP=2tcm，PB=(10−2t)cm，
BQ=3tcm，CQ=(12−3t)cm，
∴S=S −S −S −S
矩形ABCD △BPQ △DCQ △APD
1 1 1
=12×10− ×(10−2t)×3t− ×(12−3t)×10− ×2t×12
2 2 2
=120−15t+3t2−60+15t−12t
=3t2−12t+60，
故答案为：3t2−12t+60；
②由①可知，S=3t2−12t+60=3(t−2) 2+48，
∵3>0，
∴当t=2秒时，S取得最小值，最小值为48cm2，
故答案为：2，48．
题型35 拱桥问题（实际问题与二次函数）
69．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．
(1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式；
(2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
1
【答案】(1)y=− x2+4
25
(2)船的宽度须不超过10米
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意并运用二次函数的图象与性质解题是关键．
（1）根据题意得D(0,4)，B(10,0)，所以可设抛物线的解析式为y=ax2+4，再将B(10,0)代入解析式求
解即可；
1
（2）令y=3，得到方程− x2+4=3，可求出当高为3米时，船能通过的最大宽度，即得答案．
25【规范解答】（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为(0,4)，抛物线与x轴的交点B的坐标为(10,0)，
设抛物线的解析式为y=ax2+4，
将B(10,0)代入解析式，得100a+4=0，
1
解得a=− ，
25
1
抛物线的解析式为y=− x2+4；
25
1
（2）解：令y=3，则− x2+4=3，
25
解得x=±5，
∴船的宽度须不超过5×2=10米．
70．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的
DGD′部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米，它两侧AD和A′D′是高为5.5米的支柱，OA和OA′为两
AD A′D′ 1
个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段CD和C′D′为两段对称的上桥斜坡，且 = = ．以
AC A′C′ 4
CC′所在直线为x轴，横断面的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱DGD′所在抛物线的解析式及OC的长；
(2)BE和B′E′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A′B′为两个方向的行人及非机动车通行区，
EB AD
若 = ，求AB的宽度；
BC AC
(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今有一大型运货汽车，装
载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？
请说明理由．
1
【答案】(1)桥拱DGD′所在抛物线的解析式为y=− x2+8，AB的宽为6米；
90
(2)AB的宽为6米；(3)该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由见解析．
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）设桥拱DGD′所在抛物线的解析式为y=ax2+c，由题意得G(0,8)，D(15,5.5)，然后代入即可求解；
（2）根据题意求出BC=16米，然后通过线段和差即可求解；
1 1 37
（3）在抛物线中当x=4时，y=− ×42+8=− ×16+8=7 ，然后与7.4比较即可．
90 90 45
【规范解答】（1）解：设桥拱DGD′所在抛物线的解析式为y=ax2+c，
由题意得，G(0,8)，D(15,5.5)，
{225a+c=5.5) { a=− 1 )
∴ ，解得 90 ，
c=8
c=8
1
∴桥拱DGD′所在抛物线的解析式为y=− x2+8，
90
AD 1
∵ = ，AD=5.5，
AC 4
∴AC=4×5.5=22（米），
∴OC=OA+AC=15+22=37（米），
答：OC的长为37米；
EB AD 1
（2）解：∵ = = ，BE=4米，
BC AC 4
∴BC=16（米），
∴AB=AC−BC=22−16=6（米），
答：AB的宽为6米；
（3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由，
1 1 37
当x=4时，y=− ×42+8=− ×16+8=7 ，
90 90 45
37 19
∵7 −(7+0.4)= >0，
45 45
∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过．
题型36 销售问题（实际问题与二次函数）
71．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）某商场销售一种商品，每件进价为30元，售价为40
元时，每天可售出500件．市场调查发现：售价每上涨1元，日销售量减少10件．
(1)设售价上涨x元，写出日销售利润 y元与 x的函数关系式；(2)当售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y=−10x2+400x+5000
(2)当售价定为60元时，日销售利润最大，最大利润是9000元
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关键．
（1）设售价上涨x元，则售价为40+x，销量为500−10x，再根据利润=每件商品的利润×销售量即可得
解；
（2）根据二次函数的性质即可得解．
【规范解答】（1）解：设售价上涨x元，则售价为40+x，销量为500−10x，
由题意可得：利润：y=(40+x−30)(500−10x)=(10+x)(500−10x)=−10x2+400x+5000 ；
（2）解：y=−10x2+400x+5000=−10(x−20) 2+9000，
∵−10<0，
∴当x=20时，y由最大值为9000，此时售价为40+20=60元
故当售价定为60元时，日销售利润最大，最大利润是9000元．
72．（2024·江苏宿迁·三模）校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价
y元/千克与购买的质量x千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买
240千克．
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式；
(2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总
费用w(元)最少？最少是多少元？
【答案】(1)y=¿
(2)购买甲种水果80千克，乙种水果160千克时，总费用w最少，最少为1200元
【思路引导】本题考查一元一次不等式组、一次函数、二次函数的应用；
（1）利用待定系数法求解并写为分段函数的形式即可；
（2）甲种水果的质量为a千克(a≥40)，则购买乙种水果(240−a)千克，根据题意列关于x的一元一次不
等式组并求解；按照x不同的取值范围，分别根据“总费用=甲种水果的售价×甲种水果的购买质量+乙种
水果的售价×乙种水果的购买质量”写出w关于x的函数关系式，根据函数的增减性和x的取值范围分别求出当x为何值时w值最小，求出最小值及对应(240−a)的值，比较w的两个最小值，选择较小的一个即可．
【规范解答】（1）解：由图像可知，当甲种水果质量x≤60千克时，费用y保持不变，为6(元/千克)，
所以函数关系式为：y=6(02.44，
12 3
∴球不能射进球门；
1
（2）解：设小明带球向正后方移动nm，则移动后的抛物线为y=− (x−2−n) 2+3，
121
将点(0,2.25)代入，得2.25=− (0−2−n) 2+3，
12
解得n =−5（不合题意，舍去），n =1，
1 2
∴当时他应该带球向正后方移动1m射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处射进球门．
74．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的
1 8 20
高度y（m）与飞出的水平距离x（m）满足y=− x2+ x+ ．
9 9 9
(1)这次传球的出手高度是__________m，篮球飞行的最大高度是__________m；
(2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6m处，他的最大摸高是3m，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说
明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？
20
【答案】(1) ；4
9
(2)不能，前进5m或后退1m
【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）对于出手高度，令x=0代入函数求y值；求最大高度，将二次函数化为顶点式来确定．
（2）先求x=6时的y值，与3比较判断能否接到；若不能，令y=3，解出x的值，再与6比较确定前进或后
退的距离．
1 8 20
【规范解答】（1）解：令x=0，代入y=− x2+ x+ 得
9 9 9
1 8 20 20
y=− ×02+ ×0+ = ，
9 9 9 9
1 8 20
将y=− x2+ x+ 化为顶点式得
9 9 9
1
y=− (x−4) 2+4，
9
∴ 篮球飞行的最大高度是4m．
20
故答案依次为： ；4．
91 8 20
（2）解：当x=6时，y=− ×62+ ×6+
9 9 9
36 48 20
=− + +
9 9 9
32
= ≈3.56
9
32
∵ >3，
9
∴ 他在原地不能接到球．
1 8 20
令y=3，则− x2+ x+ =3，
9 9 9
两边同乘9得：−x2+8x+20=27，
x2−8x+7=0，
(x−1)(x−7)=0，
解得x =1，x =7，
1 2
∴他应该后退7−6=1m能接到球或他应该前进6−1=5m能接到球．
题型38 喷水问题（实际问题与二次函数）
75．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周
喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，
点A在y轴上，x轴上的点C,D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为
1
y=− (x−4) 2+5，则CD的长为 m．
5
【答案】18
【思路引导】本题考查了二次函数与x轴的交点，熟练掌握该知识点并准确计算是解题的关键．将y=0代
1
入y=− (x−4) 2+5，求得点D的坐标，然后根据对称性，得到OC的长度，最后求得CD的长度即可．
51 1
【规范解答】解：将y=0代入y=− (x−4) 2+5，得到0=− (x−4) 2+5，
5 5
解得，x =9或x =−1（舍）
1 2
∴D(9,0)，
∴OD=9，
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC=OD=9，
∴CD=OC+OD=9+9=18，
故答案为：18．
76．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对
此展开研究：测得喷水头P距地面0.4m，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面2m；
建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x−h) 2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的
水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围．
1 4 2
【答案】(1)y=− x2+ x+
10 5 5
(2)20)秒得到矩形M'N'R'S'，点M'、N'、R'、S'分别为M、N、
R、S的对应点，与此同时，点G从点O出发，沿矩形OEDF的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运
动(即O→E→D→F→O→E…)连接GM'，GN'，点H为GN'的中点，当△GM'N'的面积为12时，
则点H坐标为 ．
5 17
【答案】 (−6,3)； ( ,2)或( ,2)．
3 3
【思路引导】本题考查矩形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质，根据点的运动情况分类讨论
是解题的关键．根据矩形的性质直接求解得到点A的坐标，当08时，M'N'在
3
y轴的右侧，当G点在OE上时98时，M'N'在y轴的右侧，
当G点在OE上时9
