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期中复习易错题（24 个考点 60 题）
一．一元二次方程的解（共2小题）
1．已知x＝1是方程x2+mx﹣n＝0的一个根，则m2﹣2mn+n2＝ ．
2．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个
方程为“有爱方程”．
（1）判断一元二次方程（2x+1）2＝1是否为“有爱方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为
“有爱方程”的根；
（3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，
求a的值．
二．解一元二次方程-配方法（共1小题）
3．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5
三．根的判别式（共1小题）
1
4．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程 kx2﹣（k+3）x+6
2
＝0的两根，则△ABC的周长为（ ）
A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8
四．二次函数的定义（共1小题）
5．二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是 ．
五．二次函数的图象（共1小题）
6．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．六．二次函数的性质（共10小题）
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，
p），B（2m，q）是抛物线 y＝ax2+bx+c 上的两点，且 p＞q，则 m 的取值范围为
（ ）
5 5
A．−1＜m＜ B．m＜﹣1或m＞
3 3
5 5
C．− ＜m＜1 D．m＜− 或m＞1
3 3
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m，且该二次函
数的图象经过点P（3，t2+5），Q（d，4t）两点，则d的值可能是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣6
9．已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m＞0），若点A（t，a），点B（t+2，a），点C（4，
b）都在二次函数图象上，且a＜b＜3，则t的取值范围为（ ）
A．t＜2 B．2＜t＜4或t＞6
C．1＜t＜2 D．1＜t＜2或t＞4
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，设A（﹣2，y ），B（1，
1
y ），C（2，y ）是抛物线上的三点，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
11．已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣2，则a的值
为（ ）
1 2 1 2
A．1/2或4 B．2或− C．− 或2 D．− 或
4 3 4 3
12．二次函数y＝﹣x2+bx+c，若y≥2时，x的取值范围为n﹣3≤x≤n+1（n为常数），则当n
﹣4≤x≤n时，y的取值范围为（ ）
A．﹣3≤y≤5 B．﹣3≤y≤6 C．0≤y≤5 D．0≤y＜6
13．二次函数y＝2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是 ．
14．已知函数y＝|x2+2x﹣a+3|，当﹣2≤x≤1时，y有最大值5，则a的值为 ．15．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤3时，则y的取值范围 ．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，c）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若点（n，y ）和点（n﹣2，y ）均在该抛物线上，当n＜2时，请你比较y ，y 的
1 2 1 2
大小关系；
1
（3）若c＝1，且当﹣1≤x≤2时，y有最小值为 ，求a的值．
3
七．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）和x轴正半轴于点B，
且BO＝3AO，交y轴正半轴于点C．有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③x＝1
时y有最大值﹣4a；④3a+c＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．已知二次函数 y＝mx2，当 x≤0 时，y 随 x 增大而减小，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点
b2−4ac
C，且OA＝kOC，有下列结论：①abc＜0；② ＞0；③k2ac﹣kb+1＝0；
4a
c
④OA⋅OB=− ，其中正确结论的序号是（ ）
a
A．①④ B．①③④ C．①③ D．②③④
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②b+4a＝0；③b+c＞0；④若图象上有两点（x ，y ），（x ，y ）且0＜x ＜4＜x ，则y ＜y ．其
1 1 2 2 1 2 1 2
中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），若当4≤x＜5时，对应的函数值y恰
好有3个整数值，则a的取值范围是 ．
22．已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求
n与b的值及m的取值范围．
八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
23．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y ），B（1，y ），C（2，y ），
1 2 3
则y ，y ，y 的大小关系是 ．
1 2 3九．二次函数图象与几何变换（共2小题）
24．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
25．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的
图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线 y＝m与新图象有且只有2个公共点，
则t的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m≤3 B．﹣3≤m＜3或m＝﹣4
C．﹣3＜m＜3或m＝﹣4 D．﹣3＜m≤3或m＝4
十．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
26．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线
1
x=− ．
2
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰
好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
9
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．
4
27．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围．十一．抛物线与x轴的交点（共6小题）
28．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C ，它与x轴于点O和A ：将C 绕A 旋
1 1 1 1
转180°得到C ，交x轴于A ；将C 绕旋转180°得到C ，交x轴于A ，如此进行下去，
2 2 2 3 3
若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（ ）
3
A．0 B．− C．2 D．﹣2
2
29．已知点A（m，k），B（n，k+1）（m＞0＞n）是二次函数y＝x2+1函数图象上的两个
点，若关于x的一元二次方程mx2+nx+k＝0有两根x ，x ，则（ ）
1 2
A．0＜x +x ＜1，x •x ＞0 B．x +x ＜0，x •x ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
C．x +x ＞1，x •x ＞0 D．x +x ＝0，x •x ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
30．如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣5）（其中0≤x≤5）与y轴交于点A，将这段抛物线向
左平移，使其经过点A，交x轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0）
31．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根
为x＝4，则另一个根为 ．32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是
（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是
．
33．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标为（2，5），若关于x的方程﹣x2+bx+c﹣k＝0在
﹣1≤x≤4范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是 ．
十二．二次函数的应用（共11小题）
34．如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度 y（米）与水平距离 x（米）间的关系为
1
y=− (x−5) 2+4，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米．
9
2
35．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为 y=− x2+10，为了
25
给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，
则这两个救生圈间的水平距离EF为 米．3
36．飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足s=− t2+bt．当滑行
2
时间为 10 秒时，滑行距离为 450 米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是
秒．
37．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，
增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫
每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
38．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷
射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点 O处，喷水头的高度（喷
水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米
时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请
通过计算说明．
39．根据以下素材，探索完成任务．素材1 一圆形喷泉池的中央安装了
一个喷水装置 OA，通过调
节喷水装置OA的高度，从
而实现喷出水柱竖直方向的
升降，但不改变水柱的形
状．为了美观在半径为 2.1
米的喷泉池四周种植了一圈
宽度均相等的花卉（图1中
的阴影部分）．
素材2 从喷泉口A喷出的水柱成抛
物线形，如图2是该喷泉喷
水时的一个截面示意图，已
知喷水口 A 离地面高度为
0.72米，喷出的水柱在离喷
水口水平距离为 0.3米处离
地面最高，高度为0.75米．
问题解决
任务1 建立模型 以点O为原点，OA所在直线
为y轴建立平面直角坐标系，
根据素材2求抛物线的函数表
达式．
任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，
在欣赏喷泉之余也能喷灌四周
的花卉，确定喷水口A升高的
最小值．
任务3 分析计算 7
喷泉口A升高的最大值为
12
米，为能充分喷灌四周花卉，
请对花卉的种植宽度提出合理
的建议．40．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形
场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个
面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为 32m，设矩形场地的长
为xm，宽为ym，面积为sm2．
（1）分别求出y与x，s与x的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
（3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求
出x的值；若不能，请说明理由．
41．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价
为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套．
（1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数
式表示）
（2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大
利润是多少？
（3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值 m元
的小零食（m＞0），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日
销售最大利润是2112元，求m的值．42．某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克 30元，物价部门规定其销售单
价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）
与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商要想每天获得600元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利
润是多少元？
43．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙
的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩
形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图），养殖场的总面积为
ym2．
（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？44．某童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定
降价销售，经市场调查反应：每降价2元，每星期可多卖20件．已知该款童装每件成
本为40元．设该款童装每件售价为x元，销售量为y件．
（1）每星期的销售量y＝ （用含x的代数式表示y并化简）；
（2）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得2210元的利润？
（3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
十三．二次函数综合题（共1小题）
45．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛
物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线
C ：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C ．
1 2
（1）写出C 的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
2
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M，N．
1 2
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C 的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
2
十四．垂径定理的应用（共1小题）
46．如图，圆柱形水管内积水的水平面宽AB＝8cm，水深CD＝2cm．则水管的半径是（
）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
十五．圆周角定理（共4小题）
47．如图，AB是 O的直径，C，D是 O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是
（ ） ⊙ ⊙
A．36° B．40° C．46° D．65°
48．如图，在半圆O中，直径AB＝8，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若∠AOC＝
48°，∠AOD＝72°，则PC+PD的最小值为（ ）
A．2❑√3 B．4❑√3 C．2❑√5 D．4❑√5
49．如图，在 O中，∠BAC＝50°．则∠BOC的度数为（ ）
⊙
A．100° B．110° C．120° D．130°
50．如图，在平面直角坐标系中，已知点D（2，0），A（2﹣m，0），B（2+m，0），点
C在以E（10，6）为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足∠ACB＝90°，则m的取
值范围是 ．十六．圆内接四边形的性质（共1小题）
51．如图，四边形ABCD内接于 O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（
） ⊙
A．128° B．100° C．64° D．32°
十七．点与圆的位置关系（共1小题）
52．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点
B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，
BE的取值范围是（ ）
9
A．❑√13−2＜BE≤ B．❑√13−2≤BE＜3
5
9 9
C． ≤BE＜3 D．❑√13− ≤BE＜3
5 5
十八．弧长的计算（共1小题）
53．点A，B，C在 O上的位置如图所示，∠A＝70°， O的半径为3，则^BC的长是（
） ⊙ ⊙7 7 7
A． π B． π C． π D．7
6 3 2
π
十九．旋转的性质（共1小题）
54．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，
若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下
结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN
的周长保持不变．其中说法正确的是 （填序号）．
二十．中心对称图形（共2小题）
55．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下
列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，
又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
56．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆
成的图案是中心对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
二十一．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
57．点M（1，﹣2）关于原点对称点的坐标是 ．
二十二．概率的意义（共1小题）
58．在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，从袋子里随机
3
摸出一个小球，摸到红球的概率是 ，则袋子中黄球的个数可能是（ ）
5
A．6 B．9 C．10 D．12
二十三．概率公式（共1小题）
59．一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随
1
机摸一球，已知摸到白球的概率是 ，估计袋中白球的个数是（ ）
3
A．1 B．2 C．3 D．4
二十四．列表法与树状图法（共1小题）
60．甲、乙两名同学来杭州学习传统技艺，两人都计划在雕铜技艺、织锦技艺、茶艺制作
技艺中分别选择一项，则甲和乙选择不同技艺的概率是 ．
