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期中复习易错题（24 个考点 60 题）
一．一元二次方程的解（共2小题）
1．已知x＝1是方程x2+mx﹣n＝0的一个根，则m2﹣2mn+n2＝ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx﹣n＝0的一个根，
∴代入得：1+m﹣n＝0，
m﹣n＝﹣1，
∴m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝（﹣1）2＝1，
故答案为：1．
2．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个
方程为“有爱方程”．
（1）判断一元二次方程（2x+1）2＝1是否为“有爱方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为
“有爱方程”的根；
（3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，
求a的值．
【答案】（1）是，理由见解答；
（2）见解答；
3
（3）﹣1或 ．
2
【解答】（1）解：一元二次方程（2x+1）2＝1是“有爱方程”．理由如下：
∵（2x+1）2＝1，
∴4x2+4x+1＝1，
∴4x2+4x＝0，
∵a＝4，b＝4，c＝0，
∴b＝a+c，
∴一元二次方程（2x+1）2＝1是“有爱方程”．
（2）证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，
∴b＝a+c，
∴ax2+（a+c）x+c＝0，
∴（x+1）（ax+c）＝0，∴x＝﹣1为“有爱方程”的根．
（3）解：∵3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，
∴﹣a＝3+b，
∴3x2﹣ax﹣（a+3）＝0，
∵a是该“有爱方程”的一个根，
∴3a2﹣a2﹣（a+3）＝0，
∴（a+1）（2a﹣3）＝0，
3
∴a＝﹣1或 ．
2
二．解一元二次方程-配方法（共1小题）
3．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5
【答案】A
【解答】解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，
故选：A．
三．根的判别式（共1小题）
1
4．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程 kx2﹣（k+3）x+6
2
＝0的两根，则△ABC的周长为（ ）
A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8
【答案】B
1
【解答】解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程 kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，
2
1
∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4× k×6＝0，
2
解得k＝3，
3
∴一元二次方程为 x2﹣6x+6＝0，
2
6
=
∴两腰之和为3 4，
2
∴△ABC的周长为4+3＝7，故选：B．
四．二次函数的定义（共1小题）
5．二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是 ﹣ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2，
故答案为：﹣2．
五．二次函数的图象（共1小题）
6．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：①当k＞0时：
函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向下；
∴B不正确，不符合题意．
②当k＜0时：
函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向上；
∴C不正确，不符合题意．
4 2
∵函数y＝﹣kx2+4x+4的对称轴为直线x=− = ＜0，
−2k k
∴A正确，符合题意；D不正确，不符合题意．
故选：A．
六．二次函数的性质（共10小题）
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线 y＝ax2+bx+c 上的两点，且 p＞q，则 m 的取值范围为
（ ）
5 5
A．−1＜m＜ B．m＜﹣1或m＞
3 3
5 5
C．− ＜m＜1 D．m＜− 或m＞1
3 3
【答案】A
【解答】解：由题意，∵当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4，
−m−2−m+4
∴抛物线开口向上，且对称轴是直线x= =−m+1．
2
∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小．
∵﹣m﹣3＜﹣m+1，
又A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，
∴﹣m+1﹣（﹣m﹣3）＞|﹣m+1﹣2m|．
∴|3m﹣1|＜4．
∴﹣4＜3m﹣1＜4．
5
∴﹣1＜m＜ ．
3
故选：A．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m，且该二次函
数的图象经过点P（3，t2+5），Q（d，4t）两点，则d的值可能是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣6
【答案】D
【解答】解：如图，根据题意可知，该二次函数开口向下．m−3+1−m
对称轴为x= =−1，
2
∵t2+5﹣4t＝（t﹣2）2+1＞0，
∴与点Q相比，点P更靠近对称轴，
即3﹣（﹣1）＜|d﹣（﹣1）|，整理得|d+1|＞4．
∴当d+1≥0时，有d+1＞4，
解得d＞3；
当d+1＜0时，有﹣（d+1）＞4，
解得d＜﹣5．
综上，d＞3或d＜﹣5．
故选：D．
9．已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m＞0），若点A（t，a），点B（t+2，a），点C（4，
b）都在二次函数图象上，且a＜b＜3，则t的取值范围为（ ）
A．t＜2 B．2＜t＜4或t＞6
C．1＜t＜2 D．1＜t＜2或t＞4
【答案】D
【解答】解：由题意，∵A（t，a），B（t+2，a）两点纵坐标相等，
t+t+2 −2m
∴抛物线的对称轴是直线x= =t+1=− =m．
2 2
∴m＝t+1＞0，即t＞﹣1．
∵抛物线开口向上，a＜b＜3，且当x＝0时，y＝3，
∴点B、C到抛物线对称轴距离比点（0，3）近．∴|t﹣（t+1）|＜|4﹣（t+1）|＜|0﹣（t+1）|．
∴1＜|t﹣3|＜|t+1|．
①当t＜﹣1时，此时1＜3﹣t＜﹣1﹣t，
∴无解．
②当﹣1≤t＜3时，此时1＜3﹣t＜t+1，
∴1＜t＜2．
③当t≥3时，1＜t﹣3＜t+1，
∴t＞4．
综上，1＜t＜2或t＞4．
故选：D．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，设A（﹣2，y ），B（1，
1
y ），C（2，y ）是抛物线上的三点，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
【答案】C
【解答】解：由题意，∵y＝ax2+bx+c，且a＞0，对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线的开口向上，当x＝﹣1时，函数有最小值．
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵﹣1﹣（﹣2）＜1﹣（﹣1）＜2﹣（﹣1），
∴y ＞y ＞y ．
3 2 1
故选：C．
11．已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣2，则a的值
为（ ）
1 2 1 2
A．1/2或4 B．2或− C．− 或2 D．− 或
4 3 4 3
【答案】B
【解答】解：由题意得，y＝a（x﹣2）2﹣a的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣
a），
①当a＞0时，在﹣1≤x≤4，
∵y的最小值为﹣2，
∴﹣a＝﹣2，
∴a＝2；
②当a＜0时，在﹣1≤x≤4，∴当x＝﹣1时函数有最小值，
∴a（﹣1﹣2）2﹣a＝﹣2，
1
解得a=− ；
4
1
综上所述：a的值为2或− ．
4
故选：B．
12．二次函数y＝﹣x2+bx+c，若y≥2时，x的取值范围为n﹣3≤x≤n+1（n为常数），则当n
﹣4≤x≤n时，y的取值范围为（ ）
A．﹣3≤y≤5 B．﹣3≤y≤6 C．0≤y≤5 D．0≤y＜6
【答案】B
【解答】解：由题意，∵y≥2时，x的取值范围为n﹣3≤x≤n+1，且抛物线开口向下，
n−3+n+1 b
∴对称轴是直线x= =n﹣1=− ．
2 −2
∴b＝2（n﹣1）．
∴抛物线为y＝﹣x2+2（n﹣1）x+c．
又当x＝n+1时，y＝﹣（n+1）2+2（n﹣1）（n+1）+c＝2，
∴c＝﹣n2+2n+5．
∴二次函数为y＝﹣x2+2（n﹣1）x﹣n2+2n+5．
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
∵n﹣1﹣（n﹣4）＝3＞n﹣（n﹣1）＝1，n﹣4＜n﹣1＜n，
又n﹣4≤x≤n，
∴当x＝n﹣1时，y取最大值为y＝﹣（n﹣1）2+2（n﹣1）2﹣n2+2n+5＝6；
当x＝n﹣4时，y取最小值为y＝﹣（n﹣4）2+2（n﹣4）（n﹣1）﹣n2+2n+5＝﹣3．
∴当n﹣4≤x≤n时，﹣3≤y≤6．
故选：B．
13．二次函数y＝2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是 （ 1 ， 3 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2+3，
∴二次函数y＝2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是 （1，3）．
故答案为：（1，3）．14．已知函数y＝|x2+2x﹣a+3|，当﹣2≤x≤1时，y有最大值5，则a的值为 1 或 7 ．
【答案】1或7．
2
【解答】解：由题意，y＝x2+2x﹣a+3的对称轴是直线x=− =−1，
2
∴当x＝﹣1时，y＝|2﹣a|．
又当x＝﹣2时，y＝|3﹣a|，当x＝1时，y＝|6﹣a|，
∴①当最大值为|2﹣a|＝5，
∴a＝7或a＝﹣3（不合题意）；
②当最大值为|3﹣a|＝5，
∴a＝8或a＝﹣2，均不合题意；
③当最大值为|6﹣a|＝5，
∴a＝11（不合题意）或a＝1．
综上，a＝1或7．
故答案为：1或7．
15．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤3时，则y的取值范围 2≤ y ≤ 6 ．
【答案】2≤y≤6．
【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，y取最小值为2．
又∵当x＝0时，y＝3；当x＝3时，y＝6，
∴当0≤x≤3时，2≤y≤6．
故答案为：2≤y≤6．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，c）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若点（n，y ）和点（n﹣2，y ）均在该抛物线上，当n＜2时，请你比较y ，y 的
1 2 1 2
大小关系；
1
（3）若c＝1，且当﹣1≤x≤2时，y有最小值为 ，求a的值．
3
【答案】（1）x＝1；
（2）当a＞0时，y ＞y ；
1 2
当a＜0时，y ＜y ；
1 2
2 2
（3）a的值为 或− ．
3 9【解答】解：（1）由题意，∵当x＝0时，y＝c，
又过A（2，c），
0+2
∴抛物线的对称轴是直线x= =1．
2
（2）由题意，对称轴是直线x＝1，
∵当a＞0时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
∴y ＜y ；
1 2
∵当a＜0时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
∴y ＞y ；
1 2
（3）当a＞0时，由题意得：当x＝1时，y值最小，
1 b
∴a+b+1= 且− =1，
3 2a
2 4
解得：a= ，b=− ；
3 3
当a＜0时，由题意得：当x＝﹣1时，y值最小，
1 b
∴a﹣b+1= 且− =1，
3 2a
2 4
解得：a=− ，b= ，
9 9
2 2
综上所述：a的值为 或− ．
3 9
七．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）和x轴正半轴于点B，
且BO＝3AO，交y轴正半轴于点C．有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③x＝1
时y有最大值﹣4a；④3a+c＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0；∵对称轴在y轴的右侧，
b
∴x=− ＞0，
2a
∴b＞0，
又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
②∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OB＝3OA，
∴OB＝3，
∴B（3，0），
−1+3
∴对称轴为：直线x= =1，
2
b
即− = 1，
2a
∴2a+b＝0，
所以②正确；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），
∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，
∵a＜0，
∴x＝1时，y有最大值﹣4a，
所以③正确；
④当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
由②知：b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
所以④正确．
正确结论有②③④，共有3个．
故选：C．
18．已知二次函数 y＝mx2，当 x≤0 时，y 随 x 增大而减小，则实数 m 的取值范围是
（ ）A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
【答案】C
【解答】解：当x≤0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴m＞0．
故选：C．
19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点
b2−4ac
C，且OA＝kOC，有下列结论：①abc＜0；② ＞0；③k2ac﹣kb+1＝0；
4a
c
④OA⋅OB=− ，其中正确结论的序号是（ ）
a
A．①④ B．①③④ C．①③ D．②③④
【答案】B
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵当x＝0时，y＝c＞0，
∴OC＝c．
∴OA＝kOC＝kc．
∴A（﹣kc，0）．
b
∵对称轴是直线x=− ＞0，且a＜0，
2a
∴b＞0．
∴abc＜0，故①正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
又∵a＜0，
b2−4ac
∴ ＜0，故②错误．
4a
∵A（﹣kc，0）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，∴ak2c2﹣kbc+c＝0．
又c≠0，
∴k2ac﹣kb+1＝0，故③正确．
由题意，令y＝ax2+bx+c＝0，
c
∴抛物线与x轴的两交点横坐标x ，x 满足，x1•x2= ．
1 2 a
又∵OA•OB＝﹣x ，x ，
1 2
c
∴OA•OB=− ，故④正确．
a
综上，正确的是①③④．
故选：B．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②b+4a＝0；
③b+c＞0；④若图象上有两点（x ，y ），（x ，y ）且0＜x ＜4＜x ，则y ＜y ．其
1 1 2 2 1 2 1 2
中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
b
又抛物线为x=− =2．
2a
∴b＝﹣4a＞0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0．
∴abc＞0，故①正确．
又b＝﹣4a，∴b+4a＝0，故②正确．
由题意，当x＝1时，y＝a+b+c＞0．
又a＜0，
∴b+c＞﹣a＞0，故③正确．
∵抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴当x＝0时与当x＝4时函数值相等．
∴当0＜x ＜4＜x ，则y ＞y ，故④错误．
1 2 1 2
综上，正确的有：①②③．
故选：C．
21．抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），若当4≤x＜5时，对应的函数值y恰
2 3
好有3个整数值，则a的取值范围是 ＜a≤ ．
5 5
2 3
【答案】 ＜a≤ ．
5 5
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），
−4a
∴对称轴为直线x=− =2，
2a
∴当4≤x＜5时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y＝﹣3，
x＝5时，y＝5a﹣3，
∵当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，
∴它的三个整数分别是﹣3，﹣2，﹣1，
∴﹣1≤5a﹣3≤0，
2 3
∴ ＜a≤ ；
5 5
2 3
故答案为： ＜a≤ ．
5 5
22．已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ﹣ 2 ，点B的坐标是 （﹣ 1 ， 0 ） ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围．
【答案】（1）①﹣2；（﹣1，0）；②﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4；
b2+12
（2）t＜− ；
4
21
（3）m＜− ．
4
【解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0），
∴9+3b﹣3＝0，
∴b＝﹣2，
∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，
∴x2﹣2x﹣3＝0，
∴解得，x＝﹣1或x＝3，
∴B（﹣1，0）；
故答案为：﹣2；（﹣1，0）；
②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，
∴x＝4或x＝﹣2．
又∵a＝1＞0，
∴二次函数图象开口向上．
∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分，
∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．
（2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，
即x2+bx﹣3＞t恒成立．
即x2+bx﹣3﹣t＞0．
∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上，
∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0，
b2+12
∴t＜− ．
4
（3）由抛物线的对称性可知，抛物线与直线y＝n有两个交点，
若抛物线与直线y＝m也有两个交点，则x的解集有两部分，
∴抛物线与直线y＝m只有一个交点或没有，
∴直线y＝n与抛物线的交点为（1，n），（2，n），m小于等于抛物线的最小值，b 1+2
∴对称轴x=− = ，
2 2
∴b＝﹣3．
3 21
∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x− ）2− ，
2 4
∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5，
由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2，
21
∴m＜− ．
4
八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
23．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y ），B（1，y ），C（2，y ），
1 2 3
则y ，y ，y 的大小关系是 y ＞ y ＞ y ．
1 2 3 2 3 I
【答案】y ＞y ＞y ．
2 3 1
【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2，﹣2＜0
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y ），B（1，y ），C（2，
1 2
y ），
3
|﹣1﹣1|＝2，|1﹣1|＝0，|2﹣1|＝1，
∴y ＞y ＞y ，
2 3 1
故答案为：y ＞y ＞y ．
2 3 1
九．二次函数图象与几何变换（共2小题）
24．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛
物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣4+2，即y＝（x﹣2）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
故选：B．
25．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的
图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线 y＝m与新图象有且只有2个公共点，则t的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m≤3 B．﹣3≤m＜3或m＝﹣4
C．﹣3＜m＜3或m＝﹣4 D．﹣3＜m≤3或m＝4
【答案】C
【解答】解：由题意，抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3位于y轴左侧的部分沿x轴翻折后的图象如下．
又直线y＝m与新图象有且只有2个公共点，如图，
∴﹣3＜m＜3或m＝﹣4．
故选：C．
十．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
26．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线
1
x=− ．
2
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰
好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
9
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．
4
【答案】（1）y＝x2+x+3；（2）m＝4；
1
（3）− ≤n≤1．
2
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，
b 1
∴抛物线的对称轴为直线x=− =− ．
2 2
∴b＝1．
∴抛物线为y＝x2+x+c．
又图象经过点A（﹣2，5），
∴4﹣2+c＝5．
∴c＝3．
∴抛物线为y＝x2+x+3．
（2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞
0），
∴平移后的点为（1﹣m，9）．
又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3，
∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3．
∴m＝4或m＝﹣1（舍去）．
∴m＝4．
1
（3）由题意，当 n＜− 时，
2
1 11 9
∴最大值与最小值的差为5−[(n+ ) 2+ ]= ．
2 4 4
1
∴n =n =− ，不符合题意，舍去．
1 2 2
1
当− ≤n≤1 时，
2
11 9
∴最大值与最小值的差为5− = ，符合题意．
4 4
1 11 11 9
当n＞1时，最大值与最小值的差为 (n+ ) 2+ − = ，解得 n ＝1 或 n ＝﹣2，
2 4 4 4 1 2
不符合题意．
1
综上所述，n的取值范围为− ≤n≤1．
227．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3），
∴a+2a+c＝0，且c＝3．
∴a＝﹣1．
∴所求二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由题意，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，y取最大值为4．
①当t≤1时，
又﹣2≤x≤t，
∴当x＝t时，y取最大值为﹣t2+2t+3＝m；
当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝n．
又m﹣n＝9，
∴﹣t2+2t+3﹣（﹣5）＝9．
∴t2﹣2t+1＝0．
∴t＝1．
②当t＞1时，
若t﹣1≤1﹣（﹣2），即t≤4，
∴1＜t≤4．
∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m；
当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝﹣5＝n，此时m﹣n＝9，符合题意．
若t﹣1＞1﹣（﹣2），即t＞4，
∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m；
当x＝t时，y取最小值为﹣t2+2t+3＝n．
又m﹣n＝9，
∴n＝﹣5．
∴﹣t2+2t+3＝﹣5．
∴t＝﹣2或t＝4，不合题意．
综上，1≤t≤4．十一．抛物线与x轴的交点（共6小题）
28．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C ，它与x轴于点O和A ：将C 绕A 旋
1 1 1 1
转180°得到C ，交x轴于A ；将C 绕旋转180°得到C ，交x轴于A ，如此进行下去，
2 2 2 3 3
若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（ ）
3
A．0 B．− C．2 D．﹣2
2
【答案】C
【解答】解：当y＝0时，x2﹣3x＝0，
解得：x ＝0，x ＝3，
1 2
∴点A 的坐标为（3，0）．
1
由旋转的性质，可知：点A 的坐标为（6，0）．
2
∵2020＝336×6+4，
∴当x＝4时，y＝m．
由图象可知：当x＝2时的y值与当x＝4时的y值互为相反数，
∴m＝﹣（2×2﹣3×2）＝2．
故选：C．
29．已知点A（m，k），B（n，k+1）（m＞0＞n）是二次函数y＝x2+1函数图象上的两个
点，若关于x的一元二次方程mx2+nx+k＝0有两根x ，x ，则（ ）
1 2
A．0＜x +x ＜1，x •x ＞0 B．x +x ＜0，x •x ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
C．x +x ＞1，x •x ＞0 D．x +x ＝0，x •x ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【解答】解：∵点A（m，k），B（n，k+1）是二次函数y＝x2+1函数图象上的两个点，
又m＞0＞n，
∴点A（m，k）在其第一象限的图象上，点B（n，k+1）在其第二象限的图象上．
∴n＜0，k+1＝n2+1，m＞0，k＞0，k＝m2+1，
∴n2＝m2+1．n 1
∴（ ）2＝1 + ＞1
m m2
n
∵m、n异号， ＜0，
m
设x＝＜0，即x2＞1，
即x2﹣1＞0，则x＜﹣1，
n
故− ＞1，
m
∵m＞0，k＞0，
k
∴ ＞0．
m
n k
由mx2+nx+k＝0得，x +x =− ＞1，x x = ＞0．
1 2 m 1 2 m
故选：C．
30．如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣5）（其中0≤x≤5）与y轴交于点A，将这段抛物线向
左平移，使其经过点A，交x轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0）
【答案】B
【解答】解：过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，设未平移前，抛物线与x的正半轴交
D，如图：
由题意，把x＝0代入y＝a（x+2）（x﹣5），
∴y＝a×（0+2）×（0﹣5）＝﹣10a．∴A（0，﹣10a）．
∵抛物线y＝a（x+2）（x﹣5）（其中0≤x≤5）与y轴交于点A，将这段抛物线向左平移，
使其经过点A，交x轴于点B，
∴AC＝BD，D（5，0），OD＝5，
令y＝﹣10a，
∴﹣10a＝a（x+2）（x﹣5），
∴x（x﹣3）＝0，
∴x ＝0，x ＝3，
1 2
∴AC＝3﹣0＝3，
∴BD＝3，OB＝5﹣3＝2，
∴B为（2，0）．
故选：B．
31．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根
为x＝4，则另一个根为 x ＝﹣ 2 ．
【答案】x＝﹣2．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
b
∴− =1，即b＝﹣2a，
2a
b −2a
根据根与系数的关系得4+x=− =− =2，
a a
解得x＝﹣2，
即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是
（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是
（ 1 ， 0 ） ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意，∵对称轴为直线x＝﹣1，
又抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴另一交点的横坐标为：﹣1+（﹣1+3）＝1．
∴抛物线与x轴的另一交点的坐标是（1，0）．
故答案为：（1，0）．
33．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标为（2，5），若关于x的方程﹣x2+bx+c﹣k＝0在
﹣1≤x≤4范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是 1≤ k ＜ 5 ．
【答案】1≤k＜5．
【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+bx+c，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣k＝0的根可以看作是二次函数y＝﹣x2+bx+c与直
线y＝k交点的横坐标的值．
又关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣k＝0（为实数）在﹣1≤x≤4范围内有两个不同的实
数根，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+c与直线y＝k在﹣1≤x≤4时有两个不同的交点．
∵抛物线顶点为（2，5），
b
∴对称轴直线x =− = 2．
2×(−1)
∴b＝4．
∴抛物线为y＝﹣x2+4x+c．
∴5＝﹣4+8+c．
∴c＝1．
∴抛物线为y＝﹣x2+4x+1．
∵﹣1≤x≤4，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝4时，y＝1．
此时对应图象如下，∵在﹣1≤x≤4范围内有两个不同的实数根，
∴1≤k＜5．
故答案为：1≤k＜5．
十二．二次函数的应用（共11小题）
34．如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度 y（米）与水平距离 x（米）间的关系为
1
y=− (x−5) 2+4，则运动员小铭将铅球推出的距离为 1 1 米．
9
【答案】见试题解答内容
1
【解答】解：当y＝0时，− (x−5) 2+4=0，
9
解得：x ＝11，x ＝﹣1（不合题意，舍去），
1 2
∴推铅球的距离是11米．
故答案为：11．
2
35．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为 y=− x2+10，为了
25
给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，
则这两个救生圈间的水平距离EF为 1 0 米．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意，由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，
可知y＝8，
2
把y＝8代入y=− x2+10，得：
25
2
8=− x2+10，
25
∴x＝±5．
∴由两点间距离公式可求出EF＝10（米）．
故答案为：10．
3
36．飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足s=− t2+bt．当滑行
2
时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 2 0 秒．
【答案】20．
3
【解答】解：由题意，∵s=− t2+bt，
2
又t＝10s，s＝450m，
3
∴450=− ×102+10b．
2
∴b＝60．
3
∴函数关系式为s=− t2+60t．
2
3 3 3
又s=− t2+60t=− （t2﹣40t+400）+600=− （t﹣20）2+600，
2 2 2
∴当t＝20时，飞机着陆后滑行600米停下．
故答案为：20．
37．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫
每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得 x ＝10，x ＝20，
1 2
经检验，x ＝10，x ＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
1 2
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
38．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷
射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点 O处，喷水头的高度（喷
水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米
时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请
通过计算说明．
1
【答案】（1）抛物线为：y=− （x﹣8）2+5．
16
（2）不能，理由见解答部分．【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（8，5），
设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，
1
将点（0，1）代入可得a=− ，
16
1
∴抛物线为：y=− （x﹣8）2+5．
16
（2）不能，理由如下：
1
当x＝12时，y=− （12﹣8）2+5＝4＞3.5，
16
∴水流不能碰到这棵果树．
39．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 一圆形喷泉池的中央安装了
一个喷水装置 OA，通过调
节喷水装置OA的高度，从
而实现喷出水柱竖直方向的
升降，但不改变水柱的形
状．为了美观在半径为 2.1
米的喷泉池四周种植了一圈
宽度均相等的花卉（图1中
的阴影部分）．
素材2 从喷泉口A喷出的水柱成抛
物线形，如图2是该喷泉喷
水时的一个截面示意图，已
知喷水口 A 离地面高度为
0.72米，喷出的水柱在离喷
水口水平距离为 0.3米处离
地面最高，高度为0.75米．
问题解决
任务1 建立模型 以点O为原点，OA所在直线
为y轴建立平面直角坐标系，
根据素材2求抛物线的函数表
达式．
任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，
在欣赏喷泉之余也能喷灌四周
的花卉，确定喷水口A升高的
最小值．
任务3 分析计算 7
喷泉口A升高的最大值为
12
米，为能充分喷灌四周花卉，
请对花卉的种植宽度提出合理
的建议．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：任务1：由题意得，A（0，0.72），顶点为（0.3，0.75）．∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣0.3）2+0.75．
又抛物线过A（0，0.72），
∴0.72＝0.09a+0.75．
1
∴a=− ．
3
1 3 3
∴抛物线的函数表达式为y=− （x− ）2+ ．
3 10 4
任务2：由题意，∵喷泉池的半径为2.1米，
1 3 3
∴令x＝2.1，则y=− （2.1− ）2+ =−0.33．
3 10 4
∴喷水口升高的最小值为|﹣0.33|＝0.33（米）．
1 3 3 7
任务3：当y=− （x− ）2+ 向上平移 个单位，
3 10 4 12
1 3 3 7
∴y=− （x− ）2+ + ．
3 10 4 12
1 3 3 7
令y＝0，即0=− （x− ）2+ + ．
3 10 4 12
∴当x＝2.3或x＝﹣1.7（舍去）．
∴2.3﹣2.1＝0.2（米）．
∴建议花卉的种植宽度为0.2米．
40．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形
场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个
面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为 32m，设矩形场地的长
为xm，宽为ym，面积为sm2．
（1）分别求出y与x，s与x的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
（3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求
出x的值；若不能，请说明理由．1
【答案】（1）s=− x2+8x；（2）当x＝16时，矩形场地的总面积最大，最大面积
4
为64；（3）矩形场地的最大总面积不能达到100m2，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意得，x+4y＝32，
1
∴y=− x+8．
4
1 1
∴s=xy=x(− x+8)，即s=− x2+8x．
4 4
1
（2）由题意，∵− ＜0，
4
8
x=− =16 1
∴S有最大值．当 1 时，S =− ×162+8×16=64．
2×(− ) 暖大值 4
4
答：当x＝16 时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64．
（3）由题意得，x+4y＝32+8，
1
∴y=− x+10．
4
1
∴s=xy=x(− x+10)=100．
4
∴x ＝x ＝20．
1 2
∵18＜20，
∴矩形场地的最大总面积不能达到100m2．
41．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价
为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套．
（1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ 500﹣1 0 x ．（用含x的代数式表
示）
（2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大
利润是多少？
（3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值 m元
的小零食（m＞0），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日
销售最大利润是2112元，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套，
∴日销售量为y＝250﹣10（x﹣25）＝500﹣10x，即y＝500﹣10x．故答案为：500﹣10x．
（2）由题意，∵日销售量为y＝500﹣10x，
∴销售该文具的日利润为w＝（x﹣20）（500﹣10x）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x
﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴当x＝35时，w取最大值，最大值为2250．
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元．
（3）由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套，
{ x≥30 )
∴ ．
500−10x≥160
∴30≤x≤34．
又此时日销量利润w＝（500﹣10x）（x﹣20﹣m）
＝﹣10x2+（10m+700）x﹣10000﹣500m，
1
∴对称轴为直线x= m+35＞35．
2
∵﹣10＜0，
∴当x≤35时，w随x的增大而增大，
∴当x＝34时，w有最大值，
∴（500﹣10×34）（34﹣20﹣m）＝2112，
∴m＝0.8．
42．某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克 30元，物价部门规定其销售单
价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）
与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商要想每天获得600元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利
润是多少元？【答案】（1）y＝﹣2x+140；（2）销售单价为40元或60元；（3）销售单价为50元时，
利润最大，最大利润为800元．
【解答】解：（1）由题意，设y＝kx+b，
又∵图象过（30，80），（50，40），
{30k+b=80)
∴ ．
50k+b=40
{k=−2)
∴ ．
b=140
∴y＝﹣2x+140．
（2）由题意，设利润为w，则w＝（x﹣30）（﹣2x+140）＝﹣2x2+200x﹣4200，
∴当w＝600时，﹣2x2+200x﹣4200＝600．
∴x ＝40，x ＝60．
1 2
∴在30⩽x⩽60范围内，销售单价为40元或60元．
（3）由（2）得w＝﹣2x2+200x﹣4200，
200
∴当x=− =50时，利润最大，最大利润为：w＝2×502+200×50﹣4200＝800
2×(−2)
（元）．
∴销售单价为50元时，利润最大，最大利润为800元．
43．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙
的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩
形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图），养殖场的总面积为
ym2．
（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
10
【答案】（1）y＝﹣3x2+24x；0＜x≤ ；
310 140
（2）当x为 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 ．
3 3
【解答】解：（1）由题意，∵较小矩形的宽为xm，中间再用栅栏把它分成两个面积为
1：2的矩形，
∴较大矩形的宽为2x m．
1
∴矩形养殖场的长为3xm，矩形养殖场的宽为 （24﹣3x） m＝（8﹣x） m．
3
∴养殖场的总面积为y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x．
∵墙的长度为10，
∴0＜3x≤10，
10
∴0＜x≤ ．
3
10
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣3x2+24x（0＜x≤ ）．
3
（2）由题意，∵y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∴当x＜4时，y随x的增大而增大．
10
又∵0＜x≤ ，
3
10 10 140
∴当x= 时，y取最大值，最大值为：﹣3（ −4）2+48= ．
3 3 3
10 140
答：当x为 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 ．
3 3
44．某童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定
降价销售，经市场调查反应：每降价2元，每星期可多卖20件．已知该款童装每件成
本为40元．设该款童装每件售价为x元，销售量为y件．
（1）每星期的销售量y＝ ﹣ 1 0 x +70 0 （用含x的代数式表示y并化简）；
（2）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得2210元的利润？
（3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）﹣10x+700；
（2）当每件童装售价定为53元或57元时，该店一星期可获得2210元的利润．
（3）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为2250元．
60−x
【解答】解：（1）y＝100+ •20＝﹣10x+700；
2
故答案为：＝10x+700；（2）设每星期利润为W元，
W＝（x﹣40）（﹣10x+700），由题意，得（x﹣40）（﹣10x+700）＝2210，
解得x＝53或57，
∴当每件童装售价定为53元或57元时，该店一星期可获得2210元的利润．
（3）W＝（x﹣40）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣55）2+2250，
∴x＝55时，W取得最大值为2250．
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为2250元．
十三．二次函数综合题（共1小题）
45．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛
物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线
C ：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C ．
1 2
（1）写出C 的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
2
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M，N．
1 2
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C 的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
2
【答案】（1）C 的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，C 的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；
2 2
（2）①P（﹣1，0）或（2，0）．
②a的值为2−❑√2或❑√2．
【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C 的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣
2
3，
∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，
∴C 的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；
2
（2）①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M，N，
1 2
∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），
∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，
∵MN＝6a，
∴|3am2﹣3am|＝6a，
解得m＝﹣1或m＝2，
∴P（﹣1，0）或（2，0）．
②∵C
2
的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，
当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，
且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2−❑√2或a＝2+❑√2（舍）；
当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a=❑√2或a=−❑√2（舍）；
Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，
函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；
∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，
3
解得a= （舍）；
2
Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；
综上，a的值为2−❑√2或❑√2．
十四．垂径定理的应用（共1小题）
46．如图，圆柱形水管内积水的水平面宽AB＝8cm，水深CD＝2cm．则水管的半径是（
）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】B
【解答】解：连接OA，∵OD⊥AB，
1
∴AC= AB＝4cm，
2
在Rt△OAC中，AO2＝OC2+AC2，
∴OA2＝（OD﹣2）2+42，
又∵OA＝OD，
∴OA＝5，
∴圆柱形排水管的半径为5cm，
故选：B．
十五．圆周角定理（共4小题）
47．如图，AB是 O的直径，C，D是 O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是
（ ） ⊙ ⊙
A．36° B．40° C．46° D．65°
【答案】A
【解答】解：连接AD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∵∠ABD＝54°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝36°，
∴∠DAB＝∠BCD＝36°，
故选：A．
48．如图，在半圆O中，直径AB＝8，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若∠AOC＝
48°，∠AOD＝72°，则PC+PD的最小值为（ ）A．2❑√3 B．4❑√3 C．2❑√5 D．4❑√5
【答案】B
【解答】解：将半圆O补充成一个整圆，过点C作AB的垂线交AB O于点C′，连接
C′D交AB于点P，连接PC、OC，连接OD，延长DO交 O于点E，⊙连接C′E．
⊙
∵AB为直径，AB⊥CC′，
∴AB是CC′的垂直两平分线，
∴PC′＝PC，
∴PC′+PD＝PC+PD＝C′D，
∴PC+PD最小值为C′D的长度，
∵∠AOC＝48°，∠AOD＝72°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝72°﹣48°＝24°，
1 1
∴∠CC′D= ∠COD= ×24°＝12°，
2 2
∴∠APC′＝90°﹣∠CC′D＝90°﹣12°＝78°，
∴∠DPO＝∠APC′＝78°，
∴∠PDO＝180°﹣∠DPO﹣∠AOD＝180°﹣78°﹣72°＝30°，
∵DE为直径，
∴∠DC′E＝90°，DE＝AB＝8，
❑√3
∴C′D＝DE•cos∠PDO＝8× =4❑√3，
2∴PC+PD的最小值为4❑√3．
故选：B．
49．如图，在 O中，∠BAC＝50°．则∠BOC的度数为（ ）
⊙
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】A
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：A．
50．如图，在平面直角坐标系中，已知点D（2，0），A（2﹣m，0），B（2+m，0），点
C在以E（10，6）为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足∠ACB＝90°，则m的取
值范围是 8≤ m ≤1 2 ．
【答案】8≤m≤12．
【解答】解：如图，连接CD，连接DE交 E于点G，延长DE交 E于点F．
⊙ ⊙
∵D（2，0），A（2﹣m，0），B（2+m，0），
∴AB＝2+m﹣（2﹣m）＝2m，点D是AB的中点，
∵∠ACB＝90°，1
∴CD= AB＝m．
2
DE=❑√(10−2) 2+62=10，
当点C运动到点G时，CD的值最小，此时CD＝DG＝DE﹣GE＝10﹣2＝8；
当点C运动到点F时，CD的值最大，此时CD＝DF＝DE+EF＝10+2＝12，
∴8≤CD≤12，
∴8≤m≤12．
故答案为：8≤m≤12．
十六．圆内接四边形的性质（共1小题）
51．如图，四边形ABCD内接于 O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（
） ⊙
A．128° B．100° C．64° D．32°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠A＝∠DCE＝64°， ⊙
∴∠BOD＝2∠A＝128°．
故选：A．
十七．点与圆的位置关系（共1小题）
52．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点
B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，
BE的取值范围是（ ）9
A．❑√13−2＜BE≤ B．❑√13−2≤BE＜3
5
9 9
C． ≤BE＜3 D．❑√13− ≤BE＜3
5 5
【答案】B
【解答】解：如图，
由题意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC为直径的 M的C^N上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接⊙BM与 M的交点（图中E′点），
∵AB是半圆O的直径， ⊙
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，CM＝2，
则BM=❑√CM2+BC2=❑√22+32=❑√13，
∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′=❑√13−2，
当BE最长时，即E与C重合，
∵BC＝3，且点E与点C不重合，
∴BE＜3，
综上，❑√13−2≤BE＜3，
故选：B．
十八．弧长的计算（共1小题）
53．点A，B，C在 O上的位置如图所示，∠A＝70°， O的半径为3，则^BC的长是（
） ⊙ ⊙7 7 7
A． π B． π C． π D．7
6 3 2
π
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝70°，
∴∠BOC＝2∠A＝140°，
140 7
∴ ^BC= ×2 ×3= ．
360 3
π π
故选：B．
十九．旋转的性质（共1小题）
54．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，
若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下
结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN
的周长保持不变．其中说法正确的是 ①②③ （填序号）．
【答案】①②③．
【解答】解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F，∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EPF＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO＝60°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠MPN＝180°﹣∠AOB＝60°，
∴∠MPN﹣∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN，
∴∠MPE＝∠NPF，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∵∠MEP＝∠NFP＝90°，
∴△MEP≌△NFP（ASA），
∴PM＝PN，ME＝NF，
故①正确；
∵OP＝OP，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），
∴OE＝OF，
∴OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE，
∵OP平分∠AOB，
1
∴∠EOP= ∠AOB＝60°，
2
∴∠EPO＝90°﹣∠EOP＝30°，
∴PO＝2OE，
∴OM+ON＝OP，
故②正确；∵△MEP≌△NFP，
∴四边形PMON的面积＝四边形PEOF的面积，
∴四边形PMON的面积保持不变，
故③正确；
∵PM＝PN，∠MPN＝60°，
∴△PMN是等边三角形，
∵MN的长度是变化的，
∴△PMN的周长是变化的，
故④错误；
所以，说法正确的是：①②③，
故答案为：①②③．
二十．中心对称图形（共2小题）
55．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下
列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，
又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
56．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆
成的图案是中心对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
二十一．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
57．点M（1，﹣2）关于原点对称点的坐标是 （﹣ 1 ， 2 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：点M（1，﹣2）关于原点对称点的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
二十二．概率的意义（共1小题）
58．在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，从袋子里随机
3
摸出一个小球，摸到红球的概率是 ，则袋子中黄球的个数可能是（ ）
5
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】A
3
【解答】解：由题意得：15×（1− ）
5
2
＝15×
5
＝6（个），
∴袋子中黄球的个数可能是6个，
故选：A．二十三．概率公式（共1小题）
59．一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随
1
机摸一球，已知摸到白球的概率是 ，估计袋中白球的个数是（ ）
3
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：设袋子中白球的个数为x个，
x 1
则 = ，
8+x 3
解得x＝4，
经检验得x＝4是原方程的解，
∴估计袋中白球的个数是4个．
故选：D．
二十四．列表法与树状图法（共1小题）
60．甲、乙两名同学来杭州学习传统技艺，两人都计划在雕铜技艺、织锦技艺、茶艺制作
2
技艺中分别选择一项，则甲和乙选择不同技艺的概率是 ．
3
2
【答案】 ．
3
【解答】解：雕铜技艺、织锦技艺、茶艺制作技艺分别记作A、B、C，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择不同技艺的有6种结果，
6 2
∴甲、乙两人选择不同技艺的概率为 = ．
9 3
2
故答案为： ．
3
