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第 25 章 概率的初步
【题型01】事件的类型
【题型02】可能性大小
【题型03】概率的意义
【题型04】概率公式
【题型05】几何概率
【题型06】频率估计概率
【题型07】用列举法或树状图求概率
【题型08】游戏的公平性
【知识点1】事件的类型
必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
【知识点2 】概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件
A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生
的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则
它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率
越接近0．
【知识点3】 概率和频率
（1）频率：在 次重复试验中，事件 发生的次数 称为事件 发生的频数，频数 与总
次数 的比值 ，叫做事件 发生的频率．
（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件 发生的频率 总是接近于某个常数，并
且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件 的概率，记作 ．
（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件 ，由于事件 发生的频率 随着试验次
数的增加稳定于概率 ，因此可以用频率 来估计概率 ．
【题型01】事件的类型
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．通过长期努力学习，你会成为数学家
C．下雨天，每个人都打雨伞
D．抛掷两枚骰子一次，朝上面的两个点数和小于15
【答案】D【分析】本题考查必然事件的概念，解题的关键是理解必然事件是在一定条件下必然会
发生的事件．
依次分析每个选项，判断其是否为必然事件．
【详解】解：A、打开电视机，正在播放新闻是随机事件，因为打开电视时可能播放新
闻，也可能播放其他节目，不是必然发生的；
B、通过长期努力学习，成为数学家是随机事件，努力学习不一定就会成为数学家，存
在多种可能性；
C、下雨天，每个人都打雨伞是随机事件，下雨天有人可能打雨伞，也有人可能不打，
不是必然的；
D、抛掷两枚骰子一次，骰子的最大点数是6，两枚骰子最大点数和为6+6=12,12<15，
所以朝上面的两个点数和必然小于15，是必然事件．
故选：D．
2．小亮用商城娃娃机抓娃娃，则他第一次“抓到娃娃”的事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】D
【分析】本题考查随机事件的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为
不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发
生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可求解；
【详解】解：小亮用商城娃娃机抓娃娃，则他第一次“抓到娃娃”的事件是随机事件，
故选：D；
3．下列事件： 打开电视机，正在播广告； 从只装红球的口袋中，任意摸出一个球恰
好是白球；①在学校操场上抛出的篮球会落②下； 抛掷硬币 10 次，第 10 次正面向
上．其中为③随机事件的是（ ） ④
A． B． C． D．
【答①案②】B ①④ ②③ ②④
【分析】本题主要考查了随机事件，解题的关键是掌握随机事件的定义．
根据随机事件的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：根据随机事件的定义得，是随机事件的有：①④，
故选：B．
4．下列说法中正确的是（ ）A．为了解某市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式
B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红桃A”是必然事件
C．数据3，5，7，7，9的中位数是7，平均数是6.2
D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确
【答案】C
【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查、随机事件、中位数、平均数等知识点，
理解相关知识是解题的关键．
根据全面调查与抽样调查、中位数、随机事件、平均数逐项判断即可．
【详解】解：A．为了解某市中学生周末在家干家务活的时间，适宜采用抽样调查，故
该选项不符合题意；
B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红桃A”是随机事件，故该选项不符合题意；
C．数据3，5，7，7，9的中位数是7，平均数是6.2，故该选项符合题意；
D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越不准确，故该选项不符合题意．
故选：C．
【题型02】可能性大小
1．下列成语或词语所反映的事件中发生的可能性大小最小的是（ ）
A．夕阳西下 B．旭日东升 C．瓜熟蒂落 D．守株待兔
【答案】D
【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的概率为1，不可能事件发生
的概率大小为0，随机事件发生的概率大小在0至1之间．根据事件发生的可能性大小
判断相应事件的类型即可得出答案．
【详解】解：A．夕阳西下，是必然事件，发生的概率为1；
B．旭日东升，是必然事件，发生的概率为1；
C．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的概率为1；
D．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，发生的可概率小于1；
∴4个选项中可能性大小最小的是守株待兔，
故选：D．
2．一个盒子里装有10个除了颜色不同其他都相同的小球，其中红球1个，蓝球2个，白
球3个，黄球4个，如果从中任意摸出一个小球，摸到（ ）色小球的可能性最大．
A．红 B．白 C．蓝 D．黄【答案】D
【分析】本题考查了判断可能性的大小．可以直接根据球的数量的多少来判断，数量多
的摸到的可能性就大，数量少的摸到的可能性就小．因为盒子里黄球的个数最多，所以
摸到黄球的可能性最大；盒子里红球的个数最少，所以摸到红球的可能性就最小；据此
解答即可．
【详解】解：盒子里装有大小相同的10个球：红球1个，蓝球2个，白球3个，黄球4
个，从盒子中任意摸出一个球，1<2<3<4，黄球的个数最多，所以摸到黄球可能性最
大；
故选：D．
3．不透明口袋里装有大小、形状完全一样的8个红球和5个白球，则下列说法不正确的是
（ ）
A．从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大
B．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件
C．从中随机摸出5个球，可能都是红球
D．从中随机摸出6个球，可能都是白球
【答案】D
【分析】本题主要考查了可能性的大小，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定
发生，机会小也有可能发生．
【详解】解：A．从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大，正确，此选项不符合
题意；
B．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件，正确，此选项不符合
题意；
C．从中随机摸出5个球，可能都是红球，正确，此选项不符合题意；
D．从中随机摸出6个球，不可能都是白球，不正确，此选项符合题意．
故选：D．
4．投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概
率是（ ）
1 1 3 1
A． B． C． D．
2 5 4 3
【答案】A【分析】本题主要考查了可能性的大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是
解题的关键．
根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可解答．
【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，
∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响，
∴投掷第5次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即投掷第5次硬币正面朝上的概
1
率是 ．
2
故选：A．
【题型03】概率的意义
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一
枚质地均匀的硬币99次，都是正面朝上，那么第100次抛掷时正面朝上的概率是
（ ）
1 2
A．0 B． C． D．1
2 3
【答案】D
【分析】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
每次抛掷硬币都是独立事件，不受之前结果影响．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次抛掷的结果相互独立．无论之前抛掷的结
1
果如何，第100次抛掷时，“正面朝上”的概率仍为 ．
2
故选B．
2．天气预报称，明天全市是晴天的概率为99%，下列说法中正确的是（ ）
A．明天全市将有99%的地方是晴天
B．明天全市将有99%的时间会是晴天
C．明天全市是晴天的可能性较大
D．明天全市一定会是晴天
【答案】C
【分析】本题主要考查了概率的意义，根据概率意义的理解逐项判断即可．
【详解】解：因为明天全市是晴天的概率是99％，所以明天全市可能有99％的地方
是晴天，所以A不符合题意；因为明天全市是晴天的概率是99％，所以明天全市不一定99％的时间是晴天，所以
B不符合题意；
因为明天全市是晴天的概率是99％，所以明天全市可能有99％的地方是晴天，晴天
的可能性较大，所以C符合题意；
因为明天全市是晴天的概率是99％，所以明天全市可能有99％的地方是晴天,不一定
全市一定晴天，所以D不符合题意．
故选：C．
3．在使用某生成式人工智能生成文本时，系统为一个不完整句子末尾的四个待选词语分配
了如下被选择的概率：学习50%、方式10%、方法15%、深度25%，那么最有可能被
选择的词语是（ ）
A．学习 B．方式 C．方法 D．深度
【答案】A
【分析】本题考查概率的与运用，掌握知识点是解题的关键．
将概率比较大小，即可解得．
【详解】解： 概率是刻画可能性大小的数值，概率越大，可能性越大．
因为50%>25%>15%>10%，50%对应的词语是“学习”．
故选A．
4．下列说法正确的是（ ）
A．从装满红球的袋子中随机换出一个球，是白球
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续掷出5次正面，则第6次一定掷出背面
C．若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该彩票一定会中奖
D．标准大气压下，加热到100℃时，水沸腾
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义逐项判断即可求解，理解概率的意
义是解题的关键．
【详解】解：A、从装满红球的袋子中随机换出一个球，一定不是白球，该选项说法
错误，不合题意；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续掷出5次正面，则第6次不一定掷出背面，该选
项说法错误，不合题意；
C、若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该彩票不一定会中奖，该选项说法错误，
不合题意；D、标准大气压下，加热到100℃时，水沸腾，该选项说法正确，符合题意；
故选：D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．打开电视机，正在播放“新闻联播”是随机事件
B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨
C．要调查某品牌新能源汽车的最大续航里程可采用全面调查
D．要调查即将发射的气象卫星的零部件质量可采用抽样调查
【答案】A
【分析】本题考查了调查的方式、事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定
不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件；调查方式
分为抽样调查和全面调查，如果调查一个事件工作量太大或具有破坏性，则需要采用
抽样调查的方式；如果被调查对象的要求比较高则需要采用全面调查．
【详解】解：A选项：打开电视机可能正在播放“新闻联播”也可能在播放其他节目，
所以打开电视机正在播放“新闻联播”是随机事件，故A选项正确；
B选项：天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨也可能不下雨，
故B选项错误；
C选项：要调查某品牌新能源汽车的最大续航里程采用全面调查工作量太大且具有破
坏性，应采用抽样调查，故C选项错误
D选项：要调查即将发射的气象卫星的零部件质量必须采用全面调查，故D选项错误
故选：A．
【题型04】概率公式
36
1．从 ，3.1415926，3.3˙，❑√4，❑√5，−❑√8，❑√9中随机抽取一个数，此数是无
7
理数的概率是（ ）
2 3 4 5
A． B． C． D．
7 7 7 7
【答案】A
【分析】本题主要考查无理数，概率；先找出无理数的个数，再根据概率公式进行计
算即可．
【详解】解：❑√4=2,❑√9=3，36
∴
，3.1415926，3.3˙，❑√4，❑√5，−❑√8，❑√9中是无理数的有：
7
❑√5，−❑√8，共2个；
36
，3.1415926，3.3˙，❑√4，❑√5，−❑√8，❑√9共有7个数，
7
36
∴从 ，3.1415926，3.3˙，❑√4，❑√5，−❑√8，❑√9中随机抽取一个数，此数是
7
2
无理数的概率是 ；
7
故选：A．
2．从“数学”的英文单词“mathematics”中随机抽取一个字母，抽中字母a的概率为
（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 4 5 11
【答案】D
【分析】本题主要考查了概率公式的应用，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比
是解题的关键．
“mathematics”中共11个字母，字母a有2个，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵单词“mathematics”，共11个字母，字母a有2个，
2
∴抽中字母a的概率为 ．
11
故选：D．
3．四张背面完全相同的卡片，正面分别印有直角三角形、矩形、梯形、正六边形．现在把
它们的正面朝下，随机地摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中
心对称图形的概率是（ ）
1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念，结合概率公式求解可得．
【详解】解：从这4张卡片中任意抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的卡片正
面是中心对称图形的有矩形、正六边形这2种结果，
1
所以抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是 ，
2故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式，中心对称图形的识别，解题的关键是掌握概率公式和
中心对称图形的概念．
4．现把分别写有“我”“爱”“祖”“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的盒
子里并密封起来，随机打乱盒子的顺序，然后在四个盒子的外面也分别写上“我”
“爱”“祖”“国”四个字，打开盒子取出卡片，如果每一个盒子外面写的字和里面
卡片上的字都不相同就算失败，其余的情况按字的相同个数分等级发放奖品，那么中
奖的概率是（ ）
1 4 5 3
A． B． C． D．
3 9 8 4
【答案】C
【分析】本题考查概率公式，解题关键是明确题意，求出相应的概率．
根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到中奖的概率．
【详解】解：设“我”、“爱”、“祖”、“国“四个字对应的字母为a、b、c、d，
则所有的可能的情况为：
(abcd)、(abdc)、(acbd)、(acdb)、(adbc)、(adcb)、
(badc)、(bacd)、(bcad)、(bcda)、(bdac)、(bdca)、
(cabd)、(cadb)、(cbad)、(cbda)、(cdab)、(cdba)、
(dabc)、(dacb)、(dbac)、(dbca)、(dcab)、(dcba)，
则都不相同的可能的情况有：(badc)、(bcda)、(bdac)、(cadb)、(cdab)、(cdba)、
(dabc)、(dcab)、(dcba)，
24−9 5
∴中奖的概率为： = ，
24 8
故选：C．
5．徐州有2600余年的建城史，境内历史名迹颇多．小徐一家准备在“云龙山”“回龙
窝”“龟山汉墓”“彭祖园”中随机选择一个游玩，则选到“云龙山”的概率是（
）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
【答案】C
【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键，根据概率的定义，
即可解答．【详解】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“云龙山”的结果有
1种，
1
∴恰好选中“云龙山”的概率是 ；
4
故选：C．
6．二十四节气是一种用来指导农事的历法，是中华民族劳动人民的智慧结晶．从二十四个
节气中随机抽取一个节气，刚好抽到“惊蛰”这个节气的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
24 12 6 4
【答案】A
【分析】本题主要考查概率公式，解题关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可
能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．根据概率公式求解即可．
【详解】解：从二十四个节气中随机抽取一个节气，刚好抽到“惊蛰”这个节气的概
1
率是 .
24
故选：A．
【题型05】几何概率
1．一个小球（看作一点）在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果
每一块方砖除颜色外，其他完全相同，则小球最终停留在黑色方砖上的概率是
（ ）
4 5 2 4
A． B． C． D．
9 9 3 5
【答案】A
【分析】本题考查几何概率；根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率
就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵总面积为9个方砖的面积，其中黑色方砖有4个，4
∴小球最终停留在黑色方砖上的概率是 ．
9
故选：A．
2．如图所示，转盘被等分成4个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、5，若自由转动
转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是（ ）
1 1 3 1
A． B． C． D．
4 2 4 3
【答案】C
【分析】本题主要考查运用概率公式求概率，几何概率，掌握概率公式成为解题的关
键．
先确定所有等可能结果数和针指向奇数区的结果数，然后再运用概率公式求解即可．
【详解】解：解：根据题意可得：转盘被等分成4个扇形，并在上面依次写上数字
1、2、3、5，
则共有4种等可能结果数，其中3个扇形上是奇数．
3
故自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是 ．
4
故选C．
3．如图，一个游戏转盘被分成灰色，白色两个扇形，其中灰色扇形的圆心角度数为120°，
转动转盘，停止后指针落在白色区域的概率是（ ）
1 1 2 7
A． B． C． D．
6 3 3 12
【答案】C
【分析】本题主要考查几何概率的计算，涉及圆周角知识，熟练掌握几何概率公式
（概率 = 对应区域圆心角与圆周角的比值 ）是解题关键．先根据圆周角为360∘求出白色扇形圆心角，再依据概率公式（某区域概率 = 该区域圆心角÷圆周角）计算指针
落在白色区域的概率 ．
【详解】解：∵ 圆周角为360°，灰色扇形圆心角为120°
∴ 白色扇形圆心角为360°−120°=240°
∵ 指针落在白色区域的概率 = 白色扇形圆心角÷圆周角
240° 2
∴ 概率为 =
360° 3
故选：C ．
4．如图，在直径BC为2❑√2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内投一粒
米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 3 2
【答案】D
【分析】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，证明出△ABC是等腰直角三角形，
1
求出AD=BD=CD= BC=❑√2，然后得到AB=❑√AD2 +BD2 =2，然后分别求出
2
S 和S ，然后根据概率公式求解即可．
扇形ABC 圆
【详解】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D
∵BC是直径
∴∠BAC=90°
∵AB=AC
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AD⊥BC1
∴
AD=BD=CD= BC=❑√2，
2
∴AB=❑√AD2 +BD2 =2
∴S =
90π ×22
=π ，S =π ×(❑√2) 2 =2π
扇形ABC 360 圆
π 1
∴该粒米落在扇形内的概率为 = ．
2π 2
故选：D．
【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直
径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
5．“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由5块等腰直角三角形，1块正方形和1块平
行四边形薄板组成．如图①是小明用正方形纸板制作的七巧板，图②是用该七巧板拼
出的狐狸图案的飞镖盘，若小明每次扔飞镖时，飞镖都能掷在狐狸上，则随机投掷一
次，掷在狐狸头部的概率是（ ）
1 1 3 1
A． B． C． D．
4 3 8 8
【答案】A
【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般
用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个
比例即事件(A)发生的概率．根据几何概率的求法：飞镖掷在狐狸头部的概率是就是
狐狸头部的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵七巧板的面积是8个空白正方形的面积，而狐狸头部是2个空白正方
形的面积，
2 1
∴随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是 = ．
8 4故选：A．
6．如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等
可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1
次），则飞镖击中阴影区域的概率是（ ）
1 4 5 2
A． B． C． D．
3 9 9 3
【答案】C
【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面
积之比成为解题的关键．
先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可．
【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为❑√12 +22 =❑√5，
∴阴影区域的面积为(❑√5) 2 =5，
∵整个正方形的面积为3×3=9，
5
∴飞镖击中阴影区域的概率是 ．
9
故选C．
【题型06】频率估计概率
1．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示
的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【答案】B
【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，
随着试验次数的增加频率稳定在0.15以上，0.2以下，通过计算各选项的概率，由此即
可求解．
【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在0.15以上，0.2以下，
A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是0.5，本选项不符合
题意；
1
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6的概率是 ≈0.17，本选
6
项符合题意；
1
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是 ≈0.33，本
3
选项不符合题意；
D、袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的
2
概率是 ≈0.67，本选项不符合题意；
3
故选：B．
2．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球
前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球
实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．27 D．30【答案】D
【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率
为30%，然后根据概率公式计算n的值．
9
【详解】解：根据题意得 =30%，
n
解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
3．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm 2，他在该二维码
纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右，则据
此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ）
A．1.8cm 2 B．4.5cm 2 C．5.4cm 2 D．9cm 2
【答案】C
【分析】本题考查用频率估计概率，几何概率．根据该二维码的面积为9cm 2，点落在
黑色区域的频率稳定在0.6左右，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵该二维码的面积为9cm 2，点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右，
∴9×0.6=5.4(cm 2)，
故选：C．
4．某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频
率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
次
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
数
频 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50
率
A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2”
C．掷一枚一元的硬币，正面朝上D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
【答案】C
【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概
率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这
个性质为频率的稳定性．由表格数据可知：利用频率估计概率得到实验的概率在0.5左
右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行对比判断即可．
【详解】解：A、不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取
3
一球是红球的概率是 ，不符合题意；
5
1
B、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” 概率是 ，不符合题意；
6
1
C、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是 ，符合题意；
2
2
D、三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5概率是 ，不
3
符合题意；
故选：C
5．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表：
试验种子数n/粒 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽频数m 4 45 92 188 476 951 1900 2850
m 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95
发芽频率
n
根据试验结果，若试验的种子数为5000粒，则发芽数约为（ ）
A．4850 B．4750 C．4500 D．4000
【答案】B
【分析】本题考查了由频率估计概率，从表格数据可以看出，随着试验种子数的增加，
发芽频率逐渐稳定在0.95左右，由此计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是
解此题的关键．
【详解】解：从表格数据可以看出，随着试验种子数的增加，发芽频率逐渐稳定在
0.95左右，
若试验的种子数为5000粒，则发芽数约为5000×0.95=4750，故选：B．
6．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的 82 176 267 364 450 720 900
次数
“射中九环以上”的 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
【答案】D
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，
据此求解即可．
【详解】解：由表格可知，随着射击次数的增加，该运动员“射中九环以上”的频率
逐步稳定在0.90附近，
估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.90，
∴故选：D．
7．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共25个，这些球除颜色不同外其他都相同；将
口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复
这一过程．若共摸了100次球，发现有60次摸到红球，则估计口袋中红球的个数为（
）
A．40 B．20 C．10 D．15
【答案】D
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解在大量重复试验中，频率
会趋近于概率，再通过概率与总数量的关系估算红球的个数．
60
计算摸到红球的频率：摸球100次，60次摸到红球，频率为 =0.6；用频率估计概
100
x
率：红球在总球数中的概率约为0.6；计算红球个数：设红球有x个，由 =0.6，解
25
得x=15．
【详解】解：根据题意，共摸球100次，其中60次摸到红球，
则摸到红球的频率为=0.6．由于大量重复试验中，频率可近似看作概率，
因此估计口袋中红球的概率为0.6．
设口袋中红球的个数为x,已知红球和白球共25个，
x
则 =0.6，
25
解得x=25×0.6=15．
故选：D．
【题型07】用列举法或树状图求概率
1．最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小
球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，
随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概
率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 6 8
【答案】D
【分析】本题考查古典概型的概率计算．解题用到的思想是列举法（列表法），通过
列举所有可能结果分析概率；方法是先确定总结果数，再找出符合条件的结果数，最
符合条件的结果数
后根据概率公式P(A)= 计算；解题关键是准确列举所有等可能
总结果数
结果，并明确“组成‘长安’”所对应的结果；易错点是容易混淆“组成‘长安’”
是否考虑顺序，若错误判断顺序要求会导致符合条件的结果数计算错误．
解题时，首先明确摸球方式为“有放回”，因此每次摸球的结果相互独立，第一次和
第二次摸球各有4种可能，根据列表法总结果数为4×4=16种．接着，需确定“组
成‘长安’”对应的结果，即两个字为“长”和“安”，考虑顺序时符合条件的结果
2 1
为（长安）和（安长），共2种．最后，根据概率公式计算，得到概率为 = ．
16 8
【详解】列表如下：
最 美 长 安
最 最最 最美 最长 最安
美 美最 美美 美长 美安长 长最 长美 长长 长安
安 安最 安美 安长 安安
根据表格，总共有4×4=16种等可能的结果．
符合条件的是（长安）和（安长），共2种．
2 1
则概率为：P(两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率)= = ．
16 8
故选：D．
2．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，
其中S ，S ，S ，S 表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡
1 2 3 4
发光的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
2 3 4 3
【答案】A
【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公
式求解即可．
此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于
两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：列表如下：
S S S S
1 2 3 4
S - （S ，S ） （S ，S ） （S ，S ）
1 1 2 1 3 1 4
S （S ，S ） - （S ，S ） （S ，S ）
2 2 1 2 3 2 4
S （S ，S ） （S ，S ） - （S ，S ）
3 3 1 3 2 3 4
S （S ，S ） （S ，S ） （S ，S ） -
4 4 1 4 2 4 3
由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，
6 1
∴灯泡发光的概率为 = ，
12 2故选：A．
3．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想
的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先
随机抽取一本．不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大
学》的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 4 3
【答案】B
【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率，用树状图把所有情况列出来，即可求
解，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．
【详解】解：画树状图如下，
∴一共有12种等可能结果，抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的有2种，
2 1
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率 = ，
12 6
故选：B．
4.某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种
营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
【答案】A
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解
题的关键．先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率
计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4
种，
4 1
∴恰好选到同一种营养套餐的概率是 = ．
16 4
故选：A．
5．本学期学校大课间开设了四种运动游戏，分别为“跳绳”“足球”“篮球”和“体操”，
学校规定每人只能选择自己喜欢的一种参加．小明与小亮对这四种运动都感兴趣，在
没有沟通的情况下，这两人选择同种运动的概率是（ ）
1 3 1 1
A． B． C． D．
4 8 3 2
【答案】A
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，画树状图可得出所有等可能的结果
数以及这两人选择同一种运动的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将“跳绳”“足球”“篮球”和“体操”分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中这两人选择同一种运动的结果有4种，
4 1
∴这两人选择同一种运动的概率为 = ．
16 4
故选：A．
6．如图，某校荷花池有两个入口，三个出口．若小明同学去荷花池赏花，出入均是随机的，
则恰好从入口A进入，从出口E离开的概率为（ ）1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】D
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题关键是掌握列表法与树状图法求
概率．
列表可得出所有等可能的结果数以及从入口A进入，从出口E离开的结果数，再利用
概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
C D E
A (A,C) (A,D) (A,E)
B (B,C) (B,D) (B,E)
共有6种等可能的结果，其中小明同学恰好从入口A进入，从出口E离开的结果有1
种，
1
∴小明同学恰好从入口A进入，从出口E离开的概率为 ，
6
故选：D．
7．为更好的开展党史知识进校园活动，了解学生对党史知识的掌握程度，某校随机抽取了
部分学生进行党史知识测试．并将测试结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格．
将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：
(1)本次调查了___________名学生，在扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为___________度；
(2)补全条形统计图（并标注频数）；
(3)在测试成绩为“优秀”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，
学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动，请用列表法或画树状图法，求
出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)50，72
(2)频数20，图形见解析
1
(3)
2
【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，根据A的人数和比例即可求出总数，用
B的人数除以总人数再乘以360度即可得到B所占的圆心角；
（2）用总人数减去A、B、D的人数即可得到C的人数，从而补全条形图；
（3）画出树状图求解即可．
本题考查统计图表，理解图中数据含义是解题的关键．
【详解】（1）解：由图可知测试结果为A的人数为15，占了总人数的30%，
∴本次调查的学生人数为：15÷30%=50（名），
10
∴扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为360∘× =72∘，
50
故答案为：50，72；
（2）解：C的人数为：50−15−10−5=20（名），
补全条形统计图如下：
；
（3）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，
6 1
∴被选中的两人恰好是一男一女的概率是 = ．
12 2
【题型08】游戏的公平性
1．小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各
两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你
认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？
【答案】不公平，见解析
【分析】本题主要考查游戏的公平性，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时
比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6
和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．
也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平．要想让这个游戏公平：如
果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个
面数字相同．
【详解】解：这个游戏不公平，因为当小光掷到1时，小明掷到哪个面都比他大，有
三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的
有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8
时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种
可能；所以不公平．
可以这样修改：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公
平了．其中有一个面数字相同．
2．学校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明
和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌
面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后
放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸
出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】游戏公平，理由见解析
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能
的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率=
所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先画出树状图展示所有等可能
的结果数，再找出两次摸到的数字之和大于4，和小于4的结果数，然后根据概率公
式分别求出数字之和大于4，和小于4的概率，即可得解．
【详解】解：游戏公平，理由如下：
画树状图如下，
由树状图可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，
两次摸到的数字之和小于4的有3种，
3 1 3 1
∴小明获胜的概率是 = ，小红获胜的概率为 = ，
9 3 9 3
∴两人获胜的概率相等，
∴游戏公平．
3．如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，
上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3，其余部
分上面标有数字4．
如图，是两个质地均匀、可以自由转动的转
盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标
(1)小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是 ；
(2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将
A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为正数，则小春胜；
若差为负数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
1
【答案】(1)
4
(2)这个游戏对双方不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，
概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数和差为正
数的情况数，再根据概率公式求出各自获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案．
1
【详解】（1）解：小明转动一次A盘，则指针指向数字为2的概率是 ．
4
1
故答案为：
4
（2）解：这个游戏对双方不公平，
理由如下：列表如下：
被减数
1 2 4 5
减数
3 −2 −1 1 2
4 −3 −2 0 1
4 −3 −2 0 1
由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果，
6 1 4 1
则小明胜的概率是 = ，小春胜的概率是 = ，
12 2 12 3
1 1
∵ > ，
2 3
∴这个游戏对双方不公平．
4．如图，现有一个转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6．自由转动
转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．(1)转出的数字大于6是______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)小明和小亮一起做游戏，若转出的数字是2的倍数，则小明获胜；若转出的数字是
3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】(1)不可能
(2)不公平，见解析
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）根据题意，分别求出转出的数字是2的倍数的概率和是3的倍数的概率，然后比
较求解即可．
本题考查了事件的分类，简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6
∴转出的数字大于6是不可能事件，
故答案为：不可能
（2）解：根据题意，转出的数字是2的倍数的可能性有3种，
3 1
∴小明获胜的概率为 = ，
6 2
转出的数字是3的倍数的可能性有2种，
2 1
∴小亮获胜的概率为 = ．
6 3
1 1
∵ ≠ ，
2 3
∴游戏不公平．
5．如图，一个均匀转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转动
转盘，当转盘停止转动时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界处则无
效，需重新转动）．两人进行猜数游戏：转一次转盘，转出“大于6的数”甲胜，转
出“不是大于6的数”乙胜，(1)这个游戏对游戏双方公平吗？请说明理由．
(2)如果不公平，能否通过改变规则，使游戏公平吗？（直接写出新规则）
【答案】(1)不公平，理由见解析
(2)转一次转盘，转出“偶数”甲胜，转出“奇数”乙胜
【分析】本题考查概率问题，涉及游戏公平性，读懂题意，由简单概率公式求出概率
即可得到答案．
（1）由题意，分别计算出甲胜的概率和乙胜的概率，比较大小即可得到答案；
（2）两人进行猜数游戏：转一次转盘，转出“偶数”甲胜，转出“奇数”乙胜，从而
得到答案．
【详解】（1）解：这个游戏对游戏双方不公平，
理由如下：
在1，2，…，10这10个数字，大于6的数有7，8，9，10共4个数，则甲胜的概率
4 2
是 = ；
10 5
6 3
不大于6的数有1，2，3，4，5，6共6个数，则乙胜的概率是 = ；
10 5
2 3
∵ ≠ ，
5 5
∴这个游戏对游戏双方不公平；
（2）解：两人进行猜数游戏：转一次转盘，转出“偶数”甲胜，转出“奇数”乙胜，
1
这样可知，甲胜、乙胜的概率均为 ，使游戏公平．
2
