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第 25 章 概率的初步
【题型01】事件的类型
【题型02】可能性大小
【题型03】概率的意义
【题型04】概率公式
【题型05】几何概率
【题型06】频率估计概率
【题型07】用列举法或树状图求概率
【题型08】游戏的公平性
【知识点1】事件的类型
必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
【知识点2 】概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件
A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生
的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则
它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率
越接近0．
【知识点3】 概率和频率
（1）频率：在 次重复试验中，事件 发生的次数 称为事件 发生的频数，频数 与总
次数 的比值 ，叫做事件 发生的频率．
（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件 发生的频率 总是接近于某个常数，并
且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件 的概率，记作 ．
（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件 ，由于事件 发生的频率 随着试验次
数的增加稳定于概率 ，因此可以用频率 来估计概率 ．
【题型01】事件的类型
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．通过长期努力学习，你会成为数学家
C．下雨天，每个人都打雨伞
D．抛掷两枚骰子一次，朝上面的两个点数和小于15
2．小亮用商城娃娃机抓娃娃，则他第一次“抓到娃娃”的事件是（ ）A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
3．下列事件： 打开电视机，正在播广告； 从只装红球的口袋中，任意摸出一个球恰
好是白球；①在学校操场上抛出的篮球会落②下； 抛掷硬币 10 次，第 10 次正面向
上．其中为③随机事件的是（ ） ④
A． B． C． D．
4．下列①说②法中正确的是（① ④） ②③ ②④
A．为了解某市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式
B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红桃A”是必然事件
C．数据3，5，7，7，9的中位数是7，平均数是6.2
D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确
【题型02】可能性大小
1．下列成语或词语所反映的事件中发生的可能性大小最小的是（ ）
A．夕阳西下 B．旭日东升 C．瓜熟蒂落 D．守株待兔
2．一个盒子里装有10个除了颜色不同其他都相同的小球，其中红球1个，蓝球2个，白
球3个，黄球4个，如果从中任意摸出一个小球，摸到（ ）色小球的可能性最大．
A．红 B．白 C．蓝 D．黄
3．不透明口袋里装有大小、形状完全一样的8个红球和5个白球，则下列说法不正确的是
（ ）
A．从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大
B．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件
C．从中随机摸出5个球，可能都是红球
D．从中随机摸出6个球，可能都是白球
4．投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概
率是（ ）
1 1 3 1
A． B． C． D．
2 5 4 3
【题型03】概率的意义
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币99次，都是正面朝上，那么第100次抛掷时正面朝上的概率是
（ ）
1 2
A．0 B． C． D．1
2 3
2．天气预报称，明天全市是晴天的概率为99%，下列说法中正确的是（ ）
A．明天全市将有99%的地方是晴天
B．明天全市将有99%的时间会是晴天
C．明天全市是晴天的可能性较大
D．明天全市一定会是晴天
3．在使用某生成式人工智能生成文本时，系统为一个不完整句子末尾的四个待选词语分配
了如下被选择的概率：学习50%、方式10%、方法15%、深度25%，那么最有可能被
选择的词语是（ ）
A．学习 B．方式 C．方法 D．深度
4．下列说法正确的是（ ）
A．从装满红球的袋子中随机换出一个球，是白球
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续掷出5次正面，则第6次一定掷出背面
C．若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该彩票一定会中奖
D．标准大气压下，加热到100℃时，水沸腾
5．下列说法正确的是（ ）
A．打开电视机，正在播放“新闻联播”是随机事件
B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨
C．要调查某品牌新能源汽车的最大续航里程可采用全面调查
D．要调查即将发射的气象卫星的零部件质量可采用抽样调查
【题型04】概率公式
36
1．从 ，3.1415926，3.3˙，❑√4，❑√5，−❑√8，❑√9中随机抽取一个数，此数是无
7
理数的概率是（ ）
2 3 4 5
A． B． C． D．
7 7 7 7
2．从“数学”的英文单词“mathematics”中随机抽取一个字母，抽中字母a的概率为
（ ）1 1 1 2
A． B． C． D．
6 4 5 11
3．四张背面完全相同的卡片，正面分别印有直角三角形、矩形、梯形、正六边形．现在把
它们的正面朝下，随机地摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中
心对称图形的概率是（ ）
1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
4．现把分别写有“我”“爱”“祖”“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的盒
子里并密封起来，随机打乱盒子的顺序，然后在四个盒子的外面也分别写上“我”
“爱”“祖”“国”四个字，打开盒子取出卡片，如果每一个盒子外面写的字和里面
卡片上的字都不相同就算失败，其余的情况按字的相同个数分等级发放奖品，那么中
奖的概率是（ ）
1 4 5 3
A． B． C． D．
3 9 8 4
5．徐州有2600余年的建城史，境内历史名迹颇多．小徐一家准备在“云龙山”“回龙
窝”“龟山汉墓”“彭祖园”中随机选择一个游玩，则选到“云龙山”的概率是（
）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
6．二十四节气是一种用来指导农事的历法，是中华民族劳动人民的智慧结晶．从二十四个
节气中随机抽取一个节气，刚好抽到“惊蛰”这个节气的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
24 12 6 4
【题型05】几何概率
1．一个小球（看作一点）在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果
每一块方砖除颜色外，其他完全相同，则小球最终停留在黑色方砖上的概率是
（ ）4 5 2 4
A． B． C． D．
9 9 3 5
2．如图所示，转盘被等分成4个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、5，若自由转动
转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是（ ）
1 1 3 1
A． B． C． D．
4 2 4 3
3．如图，一个游戏转盘被分成灰色，白色两个扇形，其中灰色扇形的圆心角度数为120°，
转动转盘，停止后指针落在白色区域的概率是（ ）
1 1 2 7
A． B． C． D．
6 3 3 12
4．如图，在直径BC为2❑√2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内投一粒
米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 3 2
5．“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由5块等腰直角三角形，1块正方形和1块平
行四边形薄板组成．如图①是小明用正方形纸板制作的七巧板，图②是用该七巧板拼
出的狐狸图案的飞镖盘，若小明每次扔飞镖时，飞镖都能掷在狐狸上，则随机投掷一
次，掷在狐狸头部的概率是（ ）1 1 3 1
A． B． C． D．
4 3 8 8
6．如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等
可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1
次），则飞镖击中阴影区域的概率是（ ）
1 4 5 2
A． B． C． D．
3 9 9 3
【题型06】频率估计概率
1．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示
的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
2．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球
前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球
实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．27 D．30
3．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm 2，他在该二维码
纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右，则据
此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ）
A．1.8cm 2 B．4.5cm 2 C．5.4cm 2 D．9cm 2
4．某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频
率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
次
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
数
频 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50
率
A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2”
C．掷一枚一元的硬币，正面朝上
D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
5．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表：
试验种子数n/粒 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽频数m 4 45 92 188 476 951 1900 2850
m 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95
发芽频率
n
根据试验结果，若试验的种子数为5000粒，则发芽数约为（ ）A．4850 B．4750 C．4500 D．4000
6．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的 82 176 267 364 450 720 900
次数
“射中九环以上”的 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
7．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共25个，这些球除颜色不同外其他都相同；将
口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复
这一过程．若共摸了100次球，发现有60次摸到红球，则估计口袋中红球的个数为（
）
A．40 B．20 C．10 D．15
【题型07】用列举法或树状图求概率
1．最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小
球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，
随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概
率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 6 8
2．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，
其中S ，S ，S ，S 表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡
1 2 3 4
发光的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
2 3 4 33．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想
的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先
随机抽取一本．不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大
学》的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 4 3
4.某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种
营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
5．本学期学校大课间开设了四种运动游戏，分别为“跳绳”“足球”“篮球”和“体操”，
学校规定每人只能选择自己喜欢的一种参加．小明与小亮对这四种运动都感兴趣，在
没有沟通的情况下，这两人选择同种运动的概率是（ ）
1 3 1 1
A． B． C． D．
4 8 3 2
6．如图，某校荷花池有两个入口，三个出口．若小明同学去荷花池赏花，出入均是随机的，
则恰好从入口A进入，从出口E离开的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
7．为更好的开展党史知识进校园活动，了解学生对党史知识的掌握程度，某校随机抽取了
部分学生进行党史知识测试．并将测试结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格．
将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：(1)本次调查了___________名学生，在扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数
为___________度；
(2)补全条形统计图（并标注频数）；
(3)在测试成绩为“优秀”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，
学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动，请用列表法或画树状图法，求
出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
【题型08】游戏的公平性
1．小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各
两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你
认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？
2．学校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明
和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌
面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后
放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸
出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
3．如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，
上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3，其余部分上
面标有数字4．
如图，是两个质地均匀、可以自由转动的转
盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标
(1)小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是 ；
(2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将
A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为正数，则小春胜；
若差为负数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你
的理由．
4．如图，现有一个转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6．自由转动
转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．(1)转出的数字大于6是______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)小明和小亮一起做游戏，若转出的数字是2的倍数，则小明获胜；若转出的数字是
3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
5．如图，一个均匀转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转动
转盘，当转盘停止转动时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界处则无
效，需重新转动）．两人进行猜数游戏：转一次转盘，转出“大于6的数”甲胜，转
出“不是大于6的数”乙胜，
(1)这个游戏对游戏双方公平吗？请说明理由．
(2)如果不公平，能否通过改变规则，使游戏公平吗？（直接写出新规则）
