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专题 06 圆的重难点四模型汇编
【模型01：点圆最值问题】...............................................................................................1
【模型02：定弦定角】.......................................................................................................3
【模型03：四点共圆】......................................................................................................5
【模型04：瓜豆原理】......................................................................................................6
【模型01：点圆最值问题】
1．如图，P是矩形ABCD(AB>AD)的边AB上一动点，F是BC的中点，连接DP，将△DAP沿DP所
在直线折叠，点A的对应点是点E，连接EF．已知AB=2❑√10，当线段EF的最小值为1时，边BC的
长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所
在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2❑√3 B．❑√3+1 C．2❑√7﹣2 D．33．如图，正方形ABCD的边长为2，在平面内有一点P，始终保证AP=❑√2，连接CP，设CP的中点为
E，连接BE，则线段BE的最小值为 ，最大值为 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿
EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是 ．
5．如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接
1
AG，点P为平面上的动点，满足∠APB= ∠AGB，则DP的最小值 ．
2
6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点B′在
△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将
△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ．8.如图，已知△ABC，外心为O，BC=18，∠BAC=60°，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角
形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是 ．
9．如图，点A，B的坐标分别为A(4,0)，B(0,4)，C为坐标平面内一动点，且BC=2，点M为线段AC的
中点，连接OM，当AC取最大值时，点M的纵坐标为 ．
【模型02：定弦定角】
1．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在正方形ABCD内部，且满足∠AEB=90°，连接DE，取
DE，CD的中点F,G，连接FG，则FG的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．2❑√2−1 D．❑√5−1
2．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=3cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．❑√5
3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有
AP⊥BP，则CP长的最小值是 ．
4．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，D为AP的中点，连接
CD．若⊙O的直径为4，则CD长的最小值是 ．
5.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的两个动点（不与端点重合），
AE，BF交于点O，若线段AE与BF始终保持垂直，点M是线段CD上的动点，则BM+OM的最小
值为 ．6．如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，点P为弧CD上一动点（不与C，D重合），过点C作
CG⊥BP于点G，连接DG，则DG的最小值是 ．
7．如图，在▱ABCD中，AB=2❑√2，AD=4，∠ABC=45°．点E是▱ABCD内部一点，且
∠BAE+∠CDE=90°，连接BE，则BE长的最小值为 ．
8．如图，等边△ABC的边长为6cm，D、E分别是BC和AC上的点，且BD=CE，AD、BE交于点P，
连接CP，则CP长度的最小值是 ．
9．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝❑√6，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD
的最小值是
【模型03：四点共圆】
1.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（
）A．4 B．8 C．10 D．6
2.如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的
最大值．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在斜边AC上取一点D，使得AD=AB，连接BD并延长至点
E，连接AE．若AB=AD=3,BD=2,∠C=∠E，则线段AE的长为 ．
4．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ADC，AC⊥CD，且∠BAC=∠ADB．(1)证明：∠BAD+∠BCD=180°；
(2)若∠ADB=30°，AD+CD=4❑√3，求BD的长．
【模型04：瓜豆原理】
1．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，P为AD边上一点（不与A、D重合），连接BP，过C点作
CE⊥BP，垂足为点E，点F为CE的中点，则DF的最小值是（ ）
A．4 B．❑√10 C．❑√10−1 D．❑√13−2
2．如图，在平面直角坐标系中，已知A(5,5)，B(8,0)，点P在以A为圆心，2为半径的圆上，P关于B的
对称点为Q，连接OP，将OP绕点O逆时针旋转90°得到OR，连接RQ，则RQ的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．2❑√89−4 D．2❑√89−2❑√2
3．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2❑√2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．
当点P沿半圆从点A运动至点B时，AM的最小值是（ ）
A．❑√5−1 B．❑√5 C．❑√2+1 D．2❑√2
4．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一
点，连接CD，点E是CD的中点，连接BE，那么BE长度的取值范围是 ．5．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=❑√5，以点B为圆心，以❑√2为半径作圆．
(1)设点P为⊙B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA，DB，
PB，如图2，求证：AD=BP；
(2)在（1）的条件下，若∠CPB=135°，求BD的长；
(3)在（1）的条件下，当∠PBC=______°时，BD有最大值，且最大值为______；当∠PBC=
______°时，BD有最小值，且最小值为______．
