文档内容
专题 06 圆的重难点四模型汇编
【模型01：点圆最值问题】...............................................................................................1
【模型02：定弦定角】.......................................................................................................13
【模型03：四点共圆】......................................................................................................22
【模型04：瓜豆原理】......................................................................................................27
【模型01：点圆最值问题】
1．如图，P是矩形ABCD(AB>AD)的边AB上一动点，F是BC的中点，连接DP，将△DAP沿DP所
在直线折叠，点A的对应点是点E，连接EF．已知AB=2❑√10，当线段EF的最小值为1时，边BC的
长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】由矩形的性质可得∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=2❑√10，通过折叠性质可知：
∠PAD=∠PED，AD=ED，则有点E在以点D为圆心，AD为半径的圆上运动，连接DF，由
DE+EF≥DF，从而可知当点D、E、F三点共线时，EF有最小值，然后设BC=2x，则CF=x，
DF=DE+EF=2x+1，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=2❑√10，
由折叠性质可知：∠PAD=∠PED，AD=ED，
∴点E在以点D为圆心，AD为半径的圆上运动，连接DF，如图，∵DE+EF≥DF，
∴当点D、E、F三点共线时，EF有最小值，即此时EF=1，如图，
∵F是BC的中点，
1
∴
CF= BC，
2
设BC=2x，则CF=x，DF=DE+EF=2x+1，
由勾股定理得：DF2 =CD2 +CF2，
∴(2x+1) 2 =(2❑√10) 2 +x2，整理得：3x2 +4x−39=0，
13
解得：x =− （舍去），x =3，
1 3 2
∴BC=2x=2×3=6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，
圆的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键．
2．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所
在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）A．2❑√3 B．❑√3+1 C．2❑√7﹣2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小
值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于点H，再
利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可．
【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，
∴MD=2，∠HMD=30°，
1
∴HD= MD=1，
2
∴HM=❑√DM2−DH2=❑√3，CH=CD+DH=5，
∴MC=❑√CH2 +M H2 =2❑√7，
∴A′C=MC-MA′=2❑√7-2；
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置．3．如图，正方形ABCD的边长为2，在平面内有一点P，始终保证AP=❑√2，连接CP，设CP的中点为
E，连接BE，则线段BE的最小值为 ，最大值为 ．
❑√2 1 3❑√2 3
【答案】 / ❑√2 / ❑√2
2 2 2 2
【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位
线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题．
1
延长CB至T，使得BT=BC=2，连接PT，根据三角形的中位线性质得到BE= PT，即只需求PT
2
的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，❑√2为半径的圆上运动，如图，连接TA并
延长，交该圆于P ，P ，利用正方形的性质和勾股定理求得AT=2❑√2，进而求得PT的最小值和最大
1 2
值即可求解．
【详解】解：延长CB至T，使得BT=BC=2，连接PT，
∵CP的中点为E，
∴BE是△CPT的中位线，
1
∴
BE= PT，即只需求PT的最大值和最小值；
2
∵始终保证AP=❑√2，
∴点P在以A为圆心，❑√2为半径的圆上运动，如图，连接TA并延长，交该圆于P ，P ，
1 2
∵∠ABT=∠ABC=90°，BT=BC=AB=2，
∴AT=❑√AB2 +BT2 =2❑√2，∴AP =AT−AP =❑√2，AP =AT+AP =3❑√2，
1 1 2 2
∴PT的最小值为❑√2，PT的最大值为3❑√2，
❑√2 3❑√2
∴BE的最小值为 ，BE的最大值为 ，
2 2
❑√2 3❑√2
故答案为： ， ．
2 2
4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿
EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是 ．
【答案】2❑√10−2/−2+2❑√10
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点B′在以E为圆心EA
为半径的圆上运动，可得当D、B′、E共线时，B′D的值最小，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：△EBF ≌△EB′F，
1
∴
B′E=BE= AB=2，
2
∴点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，如图所示：
故：当D、B′、E共线时，B′D的值最小，
∵DE=❑√AD2 +AE2 =❑√62 +22 =2❑√10，
∴B′D =DE−B′E=2❑√10−2，
故答案为：2❑√10−2．
5．如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接
1
AG，点P为平面上的动点，满足∠APB= ∠AGB，则DP的最小值 ．
2【答案】2❑√10−2❑√2
1
【分析】由题意可知，∠AGB=90°，可得∠APB= ∠AGB=45°，可知点P在以AB为弦，圆
2
周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在AB的右侧），设圆心为
O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，可知△AOB为等腰直角三角形，求得
❑√2 ❑√2
OA= AB=2❑√2=OP，AQ=OQ= OA=2，QD=AD−AQ=6，
2 2
OD=❑√OQ2 +QD2 =2❑√10，再由三角形三边关系可得：DP≥OD−OP=2❑√10−2❑√2，当点P在线
段OD上时去等号，即可求得DP的最小值．
【详解】解：∵B、G关于EF对称，
∴BH=GH，且EF⊥BG
∵E为AB中点，则EH为△ABG的中位线，
∴EH∥AG，
∴∠AGB=90°，
1 1
∵∠APB= ∠AGB，即∠APB= ∠AGB=45°，
2 2
∴点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在
AB的右侧）
设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，
则OA=OB=OP，
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=90°，则△AOB为等腰直角三角形，
❑√2
∴OA= AB=2❑√2=OP，
2又∵E为AB中点，
1
∴OE⊥AB，OE= AB=AE=BE，
2
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=8，
∴四边形AEOQ是正方形，
❑√2
∴AQ=OQ= OA=2，QD=AD−AQ=6，
2
∴OD=❑√OQ2 +QD2 =2❑√10，
由三角形三边关系可得：DP≥OD−OP=2❑√10−2❑√2，当点P在线段OD上时去等号，
∴DP的最小值为2❑√10−2❑√2，
故答案为：2❑√10−2❑√2．
【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等
1
腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB= ∠AGB=45°得知点P在以AB为弦，圆周角
2
∠APB=45°的圆上是解决问题的关键．
6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点B′在
△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ．
9 5
【答案】
