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专题 06 圆的重难点四模型汇编
【模型01：点圆最值问题】...............................................................................................1
【模型02：定弦定角】.......................................................................................................13
【模型03：四点共圆】......................................................................................................22
【模型04：瓜豆原理】......................................................................................................27
【模型01：点圆最值问题】
1．如图，P是矩形ABCD(AB>AD)的边AB上一动点，F是BC的中点，连接DP，将△DAP沿DP所
在直线折叠，点A的对应点是点E，连接EF．已知AB=2❑√10，当线段EF的最小值为1时，边BC的
长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】由矩形的性质可得∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=2❑√10，通过折叠性质可知：
∠PAD=∠PED，AD=ED，则有点E在以点D为圆心，AD为半径的圆上运动，连接DF，由
DE+EF≥DF，从而可知当点D、E、F三点共线时，EF有最小值，然后设BC=2x，则CF=x，
DF=DE+EF=2x+1，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=2❑√10，
由折叠性质可知：∠PAD=∠PED，AD=ED，
∴点E在以点D为圆心，AD为半径的圆上运动，连接DF，如图，∵DE+EF≥DF，
∴当点D、E、F三点共线时，EF有最小值，即此时EF=1，如图，
∵F是BC的中点，
1
∴
CF= BC，
2
设BC=2x，则CF=x，DF=DE+EF=2x+1，
由勾股定理得：DF2 =CD2 +CF2，
∴(2x+1) 2 =(2❑√10) 2 +x2，整理得：3x2 +4x−39=0，
13
解得：x =− （舍去），x =3，
1 3 2
∴BC=2x=2×3=6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，
圆的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键．
2．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所
在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）A．2❑√3 B．❑√3+1 C．2❑√7﹣2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小
值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于点H，再
利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可．
【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，
∴MD=2，∠HMD=30°，
1
∴HD= MD=1，
2
∴HM=❑√DM2−DH2=❑√3，CH=CD+DH=5，
∴MC=❑√CH2 +M H2 =2❑√7，
∴A′C=MC-MA′=2❑√7-2；
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置．3．如图，正方形ABCD的边长为2，在平面内有一点P，始终保证AP=❑√2，连接CP，设CP的中点为
E，连接BE，则线段BE的最小值为 ，最大值为 ．
❑√2 1 3❑√2 3
【答案】 / ❑√2 / ❑√2
2 2 2 2
【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位
线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题．
1
延长CB至T，使得BT=BC=2，连接PT，根据三角形的中位线性质得到BE= PT，即只需求PT
2
的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，❑√2为半径的圆上运动，如图，连接TA并
延长，交该圆于P ，P ，利用正方形的性质和勾股定理求得AT=2❑√2，进而求得PT的最小值和最大
1 2
值即可求解．
【详解】解：延长CB至T，使得BT=BC=2，连接PT，
∵CP的中点为E，
∴BE是△CPT的中位线，
1
∴
BE= PT，即只需求PT的最大值和最小值；
2
∵始终保证AP=❑√2，
∴点P在以A为圆心，❑√2为半径的圆上运动，如图，连接TA并延长，交该圆于P ，P ，
1 2
∵∠ABT=∠ABC=90°，BT=BC=AB=2，
∴AT=❑√AB2 +BT2 =2❑√2，∴AP =AT−AP =❑√2，AP =AT+AP =3❑√2，
1 1 2 2
∴PT的最小值为❑√2，PT的最大值为3❑√2，
❑√2 3❑√2
∴BE的最小值为 ，BE的最大值为 ，
2 2
❑√2 3❑√2
故答案为： ， ．
2 2
4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿
EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是 ．
【答案】2❑√10−2/−2+2❑√10
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点B′在以E为圆心EA
为半径的圆上运动，可得当D、B′、E共线时，B′D的值最小，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：△EBF ≌△EB′F，
1
∴
B′E=BE= AB=2，
2
∴点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，如图所示：
故：当D、B′、E共线时，B′D的值最小，
∵DE=❑√AD2 +AE2 =❑√62 +22 =2❑√10，
∴B′D =DE−B′E=2❑√10−2，
故答案为：2❑√10−2．
5．如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接
1
AG，点P为平面上的动点，满足∠APB= ∠AGB，则DP的最小值 ．
2【答案】2❑√10−2❑√2
1
【分析】由题意可知，∠AGB=90°，可得∠APB= ∠AGB=45°，可知点P在以AB为弦，圆
2
周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在AB的右侧），设圆心为
O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，可知△AOB为等腰直角三角形，求得
❑√2 ❑√2
OA= AB=2❑√2=OP，AQ=OQ= OA=2，QD=AD−AQ=6，
2 2
OD=❑√OQ2 +QD2 =2❑√10，再由三角形三边关系可得：DP≥OD−OP=2❑√10−2❑√2，当点P在线
段OD上时去等号，即可求得DP的最小值．
【详解】解：∵B、G关于EF对称，
∴BH=GH，且EF⊥BG
∵E为AB中点，则EH为△ABG的中位线，
∴EH∥AG，
∴∠AGB=90°，
1 1
∵∠APB= ∠AGB，即∠APB= ∠AGB=45°，
2 2
∴点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在
AB的右侧）
设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，
则OA=OB=OP，
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=90°，则△AOB为等腰直角三角形，
❑√2
∴OA= AB=2❑√2=OP，
2又∵E为AB中点，
1
∴OE⊥AB，OE= AB=AE=BE，
2
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=8，
∴四边形AEOQ是正方形，
❑√2
∴AQ=OQ= OA=2，QD=AD−AQ=6，
2
∴OD=❑√OQ2 +QD2 =2❑√10，
由三角形三边关系可得：DP≥OD−OP=2❑√10−2❑√2，当点P在线段OD上时去等号，
∴DP的最小值为2❑√10−2❑√2，
故答案为：2❑√10−2❑√2．
【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等
1
腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB= ∠AGB=45°得知点P在以AB为弦，圆周角
2
∠APB=45°的圆上是解决问题的关键．
6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点B′在
△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ．
9 5
【答案】 <BE<
5 2
【分析】首先根据运动特点分析出点B′的运动轨迹在以D为圆心，BD为半径的圆弧上，然后分点B′
恰好落在AB边上和点B′恰好落在AC边上两种情况讨论，分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和
判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下BE的长度，从而得出结论．
【详解】解：∵点B与B′关于DE对称，
∴BD=B′D，则点B′的运动轨迹在以D为圆心，BD为半径的圆弧上，
①如图所示，当点B′恰好落在AB边上时，此时，连接AD和DE，
1
由题意及“三线合一”知，AD⊥BD，BD= BC=3，
2∴在Rt△ABD中，AD=❑√AB2−BD2 =❑√52−32 =4，
此时，根据对称的性质，DE⊥AB，
1 1
∴由等面积法， AB·DE= AD·BD，
2 2
12
∴ DE= ，
5
9
在Rt△BDE中，BE=❑√BD2−DE2
= ；
5
②如图所示，当点B′恰好落在AC边上时，连接AD、DE、BB′和DB′，
由题意，BD=DB′ =DC，
∴∠DBB′ =∠DB′B，∠DB′C=∠DCB′，
∴∠DBB′ +∠DCB′ =∠DB′B+∠DB′C，
即：∠BCB′ +∠CBB′ =∠BB′C，
∴∠BB′C=90°，
即：BB′ ⊥AC，
∵点B与B′关于DE对称，
∴DE⊥BB′，BE=B′E，
∴DE∥AC，
∴∠BED=∠BAC，∠DEB′ =∠AB′E，
由对称的性质，∠BED=∠DEB′，
∴∠AB′E=∠BAC，
∴AE=B′E，
∴AE=BE=B′E，
即：此时点E为AB的中点，
1 5
∴此时，BE= AB= ，
2 29 5
综上，BE长的范围为 <BE< ，
5 2
9 5
故答案为： <BE< ．
5 2
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析
出动点的运动轨迹，并构建适当的三角形进行求解是解题关键．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将
△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ．
【答案】3❑√5−3/−3+3❑√5
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且
F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=❑√CD2 +BC2 =❑√32 +62 =3❑√5，
∴BF=BD－DF=3❑√5−3，
故答案为：3❑√5−3．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属
于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
8.如图，已知△ABC，外心为O，BC=18，∠BAC=60°，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角
形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是 ．
【答案】9−3❑√3
【分析】由△ABD与△ACE是等腰直角三角形，得到∠BAD=∠CAE=90°，∠DAC=∠BAE，
根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠ABE，求得在以BC为直径的圆上，由△ABC的外心为O，
∠BAC=60°，得到∠BOC=120°，如图，当PO⊥BC时，OP的值最小，解直角三角形即可得到
结论．
【详解】解：∵△ABD与△ACE是等腰直角三角形，∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，
{ AD=AB )
∠DAC=∠BAE ，
AC=AE
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠PDB+∠PBD=90°，
∴∠DPB=90°，
∴P在以BC为直径的圆上，
∵△ABC的外心为O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
如图，当PO⊥BC时，OP的值最小，
∵BC=18，
1
∴BH=CH=9，OH= OB
2
∴BH=❑√OB2−OH2 =❑√3OH
∴OH=3❑√3，PH=9，
∴OP=9−3❑√3．
则OP的最小值是9−3❑√3，
故答案为：9−3❑√3．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正
确的作出辅助线是解题的关键．
9．如图，点A，B的坐标分别为A(4,0)，B(0,4)，C为坐标平面内一动点，且BC=2，点M为线段AC的
中点，连接OM，当AC取最大值时，点M的纵坐标为 ．❑√2
【答案】2+
2
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在AB的延长线上时，
AC最大，根据中点坐标公式可得结论．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
∴当C在AB的延长线上时，AC最大，
过点C作CD⊥x轴，
∵点A，B的坐标分别为A(4,0)，B(0,4)，
∴OA=OB=4，
∵∠BOA=90°，
∴△BOA是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，AB=❑√OA2 +OB2 =4❑√2，
∴AC=BC+AB=2+4❑√2．
∵CD⊥x轴，
∴△CDA是等腰直角三角形，
∴CD=AD，
∵CD2 +AD2 =AC2，即2CD2 =(2+4❑√2) 2 ，解得：CD=❑√2+4，
∴C点的纵坐标为❑√2+4，
∵点M为线段AC的中点，
❑√2
∴点M的纵坐标为 +2．
2
❑√2
故答案为： +2．
2
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定AC为最大值时
点C的位置是解题的关键．
【模型02：定弦定角】
1．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在正方形ABCD内部，且满足∠AEB=90°，连接DE，取
DE，CD的中点F,G，连接FG，则FG的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．2❑√2−1 D．❑√5−1
【答案】D
【分析】本题主要考查正方形的性质，中位线的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，掌握
正方形的性质，共圆的判定是关键．
1
连接CE，根据中位线的判定和性质得到FG= CE，点A,E,B共圆，圆心为AB的中点，记为O，当
2
O,E,C三点共线时，CE最小，此时FG最小，由勾股定理得到CE′ =OC−OE′ =2❑√5−2，由此即可
求解．
【详解】解：连接CE，∵F,G分别是DE，CD的中点，
1
∴
FG= CE，
2
∵∠AEB=90°，
∴点A,E,B共圆，圆心为AB的中点，记为O，
当O,E,C三点共线时，CE最小，此时FG最小，
连接OC，交A´B于点E′，
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
1
∴
OE′ =OB= AB=2，
2
∴OC=❑√OB2 +BC2 =❑√22 +42 =2❑√5，
∴CE′ =OC−OE′ =2❑√5−2，
∴FG的最小值为❑√5−1．
2．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=3cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，
过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．❑√5
【答案】A
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的C´N上（不含点C、可含点N），从而得BE
最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】如图，由题意知，∠AEC=90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的C´N上（不含点C、可含点N)，
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
1
在RtΔBCM中，BC=3cm，CM= AC=4cm，则BM=❑√BC2 +CM2 =5cm．
2
∵ME′=MC=4cm，
∴BE长度的最小值BE′=BM−ME′=1cm，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，
注意辅助线的作法．
3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有
AP⊥BP，则CP长的最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，根据∠APB=90°，可知点P在以AB为直径的⊙O
上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，利用勾股定理得到OC=5，此时CP的最小值为2．
【详解】解：如图所示，∵AP⊥BP，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，
连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
1
在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=OA=OP= AB=3，
2
∴OC=❑√OB2 +BC2 =❑√32 +42 =5，
∴PC=OC−OP=5−3=2，
∴线段CP长的最小值为2．
故答案为：2．
4．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，D为AP的中点，连接
CD．若⊙O的直径为4，则CD长的最小值是 ．
【答案】❑√5−1
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，中位线的判定与性质，根据题意得出
点D的移动轨迹，再根据CO′交⊙O′于点D ，此时CD 的长最小，进行计算即可．
1 1
【详解】解：连接PB，DO，
∵AB是⊙O的直径，
∴O为AB的中点，∠APB=90°，
∵D为AP的中点，
∴OD是△APB的中位线则DO∥PB，
∴∠ADO=∠APB=90°，
如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点D的轨迹是以OA为直径的⊙O′，
∵ ⊙O的直径为4，
∴OA=2
因此CO′交⊙O′于点D ，此时CD 的长最小，
1 1
1
由题意得，OA=OB=OC=2，OO'
=
OA=1=O'D=O'D
，
2 1
在Rt△O′OC中，OC=2，OO′ =1，
∴O′C=❑√22 +12 =❑√5，
∴CD =CO'−OD =❑√5−1，
1 1
故答案为：❑√5−1．
5.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的两个动点（不与端点重合），
AE，BF交于点O，若线段AE与BF始终保持垂直，点M是线段CD上的动点，则BM+OM的最小
值为 ．
【答案】3❑√17−3
【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，圆周角定理等，作线段AB关于CD的对称线段
C′D′，取AB、C′D′的中点N、N′，连接BN′交CD于M，则点N、N′关于CD对称，以点N为圆
心，AB为直径画半⊙N，由圆周角定理可知点O在半⊙N上运动，连接MN交⊙N于点O，由轴对称可得BM+MN=BM+M N′ =BN′，根据两点之间线段最短，可知此时BM+MN的值最小，最小
值等于BN′长，又由BM+MN=BM+OM+ON=BM+OM+3可知BM+MN取最小值时，
BM+OM的值最小，利用勾股定理求出BN′长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，作线段AB关于CD的对称线段C′D′，取AB、C′D′的中点N、N′，连接BN′交
CD于M，则点N、N′关于CD对称，以点N为圆心，AB为直径画半⊙N，
∴BN=C′N′ =3，CC′ =BC=6，
∴BC′ =6+6=12，
∵线段AE与BF始终保持垂直，
∴∠AOB=90°，
∴点O在半⊙N上运动，
连接MN交⊙N于点O，
∵点N、N′关于CD对称，
∴MN=M N′，
∴BM+MN=BM+M N′ =BN′，
根据两点之间线段最短，可知此时BM+MN的值最小，最小值等于BN′长，
∵BM+MN=BM+OM+ON=BM+OM+3，
∴可知BM+MN取最小值时，BM+OM的值最小，
∵BN′ =❑√BC′2 +C′N′2 =❑√122 +32 =❑√153=3❑√17，
∴BM+OM的最小值=3❑√17−3，
故答案为：3❑√17−3．
6．如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，点P为弧CD上一动点（不与C，D重合），过点C作
CG⊥BP于点G，连接DG，则DG的最小值是 ．【答案】❑√5−1#−1+❑√5#
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，到圆上一点的最值
1
问题，勾股定理，取点BC的中点M，连接DM，得出GM= BC=1，则G在以M为圆心的圆上运动，
2
当G在MD上时，DG取得最小值，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，取BC的中点M，连接DM，
∵CG⊥BP
1
∴
GM= BC=1
2
∴G在以M为圆心的圆上运动，
∴当G在MD上时，DG取得最小值，
最小值为DM−GM=❑√DC2 +CM2−GM=❑√1+22−1=❑√5−1
故答案为：❑√5−1．
7．如图，在▱ABCD中，AB=2❑√2，AD=4，∠ABC=45°．点E是▱ABCD内部一点，且
∠BAE+∠CDE=90°，连接BE，则BE长的最小值为 ．
【答案】2❑√5−2/−2+2❑√5
【分析】本题主要考查圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握点E的运动轨迹是解题的
关键．设AD的中点为O，连接BO，易知当点E在BO上时，BE的值最小，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，根据勾股定理求出OB=2❑√5，即可得到答案．
【详解】解：∵ ▱ABCD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵ ∠BAE+∠CDE=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴点E的轨迹是以AD为直径的圆的一部分．
设AD的中点为O，连接BO，易知当点E在BO上时，BE的值最小，过点B作BF⊥AD，交DA的延
长线于点F，
则∠ABF=45°，
❑√2
∴AF=BF= AB=2，
2
1
∵OA= AD=2，
2
∴OF=4，
∴OB=❑√OF2 +BF2 =2❑√5，
∴BE=OB−OE=2❑√5−2．
故答案为：2❑√5−2．
8．如图，等边△ABC的边长为6cm，D、E分别是BC和AC上的点，且BD=CE，AD、BE交于点P，
连接CP，则CP长度的最小值是 ．
【答案】2❑√3cm
【分析】首先证明∠APB=120°，推出点P的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（易求∠AOB=120°，OA=2❑√3），连接OC交⊙O于N，当点P与N重合时，CP的值最小，只需求得
OC的长即可．
【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°，
∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
又∵∠APE=∠BAD+∠ABE，
∴∠APE=∠CBE+∠ABE=∠ABC，
∴∠APE=60°，
∴∠APB=120°，
作△ABP的外接圆，圆心为O，则点p在以O为圆心，OA为半径的劣弧AB上运动，
连接OC，交⊙O于N，当点p与N重合时，CF的值最小，最小值为OC−ON．
∵∠APB=120°，
∴∠AOB=2×(180°−∠APB)=120°，
∵OB=OA，
180°−∠AOB
∴∠OAB=∠OBA= =30°，
2
∴∠OBC=∠OAC=30°+60°=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
∴△OAC≌△OBC(HL)，
1
∴∠OCB=∠OCA= ∠ACB=30°，
2
∴OC=2OB=2OA，
∵OA2 +AC2 =OC2，
∴OA2 +62 =(2OA) 2，∴OA=2❑√3，OC=4❑√3，
∴CP的最小值为OC−ON=4❑√3−2❑√3=2❑√3cm．
故答案为：2❑√3cm．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、
等腰三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学
会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝❑√6，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD
的最小值是
【答案】3−❑√3/−❑√3+3
【分析】作AH⊥BC于H，证明△ACH为等腰直角三角形，求得BC=❑√3+1，在BC上截取BO=AB=2，
则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB=30°，可得点D在⊙O上运动，
当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长．
【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=2，AC=❑√6，∠ABC=60°，
1
∴BH= AB=1，
2
∴AH=❑√AB2−BH2 =❑√22−12 =❑√3，
CH=❑√AC2−AH2 =❑√ (❑√6) 2 −(❑√3) 2 =❑√3，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，BC=CH+BH=❑√3+1，
在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，
以O为圆心，2为半径作⊙O，
∵∠ADB=30°，
∴点D在⊙O上运动，
当DB经过圆心O时，CD最小，
最小值为4-（❑√3+1）=3-❑√3．
故答案为：3−❑√3．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周
角定理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动．
【模型03：四点共圆】
1.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（
）
A．4 B．8 C．10 D．6
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC，∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∴A，B，C，D，四点共圆，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°，
∵DM＝DC，
∴△DMC是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ACD＝60°，
∴∠ADM＝∠BDC，
∵AD＝BD，
∴△ADM≌△BDC（SAS），
∴AM＝BC，
∴AC＝AM+MC＝BC+CD，
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，
且AD＝AB＝6，
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，
此时C点在 的中点处，
∴∠CAB＝30°，
∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4 ，
∴CB+CD最大值为AC＝4 ，
故选：A．
2.如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的
最大值．【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴AB是圆的直径，即A，C，B，D四个点在以AB为直径的圆上，
∵AC＝BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∵四边形ACBD的面积＝△ACB的面积+△ADB的面积，
∴四边形ACBD的面积＝ AB•DE+ AB•DF
＝ AB•（DE+DF），
∴当DE与DF的和等于圆的直径时，四边形ACBD的面积最大，
即当DE+DF＝ 时，
四边形ACBD的面积＝ × × ＝16，
∴四边形ACBD面积的最大值为16．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在斜边AC上取一点D，使得AD=AB，连接BD并延长至点
E，连接AE．若AB=AD=3,BD=2,∠C=∠E，则线段AE的长为 ．18❑√2
【答案】
7
【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、四点共圆，由∠C=∠E可知A、B、C、E四点共
圆，进而可得∠AEC=90°，过A作AG⊥BD于点G，易得BG=DG=1,AG=2❑√2,再利用
tan∠ABG= tan∠ACE，可设CE=a，则AE=2❑√2a，易证ED=EC=a，最后解Rt△AGE即可得
解．
【详解】解：∵∠C=∠E，
∴点A、B、C、E四点共圆，
∵∠ABC=90°，
∴AC为直径，
∴∠AEC=90°，
过A作 AG⊥BD于点G，
1
则 BG=DG= BD=1，
2
在 Rt△ABG中，AG=❑√AB2−BG2 =2❑√2，
∵ A´E=A´E，
∴∠ABG=∠ACE，
AE AG
∴tan∠ABG=tan∠ACE，即 = =2❑√2，
CE BG
设CE=a，则 AE=2❑√2a,
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，∴∠EDC=∠ECD，
∴ED=EC=a，
∴≥=DG+DE=a+1，
在 Rt△AGE中， AG2 +GE2 =AE2，
即 8+(a+1) 2 =8a2，
9
解得a= 或a=−1(舍去)，
7
18❑√2
∴AE=2❑√2a= ；
7
18❑√2
故答案为： ．
7
4．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ADC，AC⊥CD，且∠BAC=∠ADB．
(1)证明：∠BAD+∠BCD=180°；
(2)若∠ADB=30°，AD+CD=4❑√3，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)BD=4
【分析】（1）由题意推出∠BCA=∠ADB，从而得到A、B、C、D四点共圆，进而得出结论即可；
（2）首先根据已知信息求出AD，再结合四点共圆的结论，在Rt△ABD中求解BD即可．
【详解】（1）证：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠ADB，
∴∠BCA=∠ADB，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°；
（2）解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，∵∠ADB=30°，BD平分∠ADC，
∴∠ADC=60°，∠CAD=30°
∴在Rt△ACD中，AD=2CD，
∵AD+CD=4❑√3，
8❑√3 4❑√3
∴AD= ，CD= ，
3 3
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ACD=∠ABD=90°，
8❑√3 8❑√3 ❑√3
∴在Rt△ABD中，BD=AD·cos∠ADB= ×cos30°= × =4，
3 3 2
∴BD=4．
【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结
论，准确求解直角三角形是解题关键．
【模型04：瓜豆原理】
1．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，P为AD边上一点（不与A、D重合），连接BP，过C点作
CE⊥BP，垂足为点E，点F为CE的中点，则DF的最小值是（ ）
A．4 B．❑√10 C．❑√10−1 D．❑√13−2
【答案】A
【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位
线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
取BC中点O，再取OC中点G，连接OE，FG，点E的轨迹是以O为圆心，半径为5的圆弧，可知
1 5 5
FG= OE= ，所以点F的轨迹是以G为圆心，以 为半径的圆弧，当点D、F、G共线时，DF值最
2 2 2
小，再进一步可得答案．
【详解】解：∵矩形ABCD，∴AB=CD=6，∠BCD=90∘，
如图，取BC中点O，再取OC中点G，连接OE，FG，
∴OB=OC=OE=5，OG=CG=2.5，
∵CE⊥PB BC=10
， ，
∴点E的轨迹是以O为圆心，半径为5的圆弧，
∵点F为CE的中点，
1 5
∴FG= OE= ，
2 2
5
∴点F的轨迹是以G为圆心，以 为半径的圆弧，
2
当点D、F、G共线时，DF值最小，
13
连接DG，∴DG=
2
13 5
∴DF最小为 − =4，
2 2
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知A(5,5)，B(8,0)，点P在以A为圆心，2为半径的圆上，P关于B的
对称点为Q，连接OP，将OP绕点O逆时针旋转90°得到OR，连接RQ，则RQ的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．2❑√89−4 D．2❑√89−2❑√2
【答案】D
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运用规律，掌握点的运动，建立合理的数量关系，数形结
合分析是关键．
根据题意，轴对称，旋转的性质得到点A关于点B的对称点A 的横坐标为2×8−5=11，纵坐标为
1，即 ，点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，点 在以点 为圆心， 为半
0×2−5=−5 A (11,−5) Q A 2 R A 2
1 1 2
径的圆上，由此得到RQ的最小值是A A 的值减去QN的最大值，数形结合分析即可求解．
1 2
【详解】解：∵点A(5,5),B(8,0)，
∴点A关于点B的对称点A 的横坐标为2×8−5=11，纵坐标为0×2−5=−5，即A (11,−5)，
1 1
∵点P在以A为圆心，2为半径的圆上，P关于B的对称点为Q，
∴点Q在以点A 为圆心，2为半径的圆上，
1
如图所示，连接OA，
∵A(5,5)，
∴点A到x轴的距离为5，到y轴的距离为5，
∴∠AOB=45°，
将OA绕点O逆时针旋转90°度得OA ，则∠AOA =90°，
2 2
∴ OA 与x轴的负半轴的夹角为45°，
2
∴A (−5,5)，
2
∴点R在以点A 为圆心，2为半径的圆上，
2
∴当点P在⊙A上顺时针运动时，根据轴对称的性质得到点Q在⊙A 上逆时针运动，点R在⊙A 上
1 2
顺时针运用，
连接A A ，
1 2
∴A A =❑√(11+5) 2 +(−5−5) 2 =2❑√89，
1 2
∵点Q,R的运动方向不同，
∴线段RQ与线段A A 的关系是：相交与平行，如图所示，
1 2∴如图3所述，当RQ∥A A 时，延长RQ交⊙A 于点N，过点A 作A M⊥RQ于点M，
1 2 1 1 1
当RN∥A A ,RN=A A =2❑√89时，RQ=A A −QN，
1 2 1 2 1 2
∴QN最大时，RQ的值最小，
∴当QA ⊥N A 时，QN的值在四边形A NRA 是平行四边形时最大，
1 1 1 2
∴QN=❑√2A Q=2❑√2，
1
∴RQ=2❑√89−2❑√2，
故选： D．
3．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2❑√2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．
当点P沿半圆从点A运动至点B时，AM的最小值是（ ）
A．❑√5−1 B．❑√5 C．❑√2+1 D．2❑√2
【答案】A
【分析】本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取AB的中点E，1
取CE的中点F，连接PE，CE，MF，则FM= PE=1，故M的轨迹为以F为圆心，1为半径的半圆
2
弧，据此求解即可．
【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，取CE的中点F，连接PE，MF,AF，
∴MF为△CPE的中位线，
∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2❑√2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，
∴AB=❑√AC2 +BC2 =4，
1
∴
PE=AE= AB=2，
2
∵MF为△CPE的中位线，
1
∴
FM= PE=1，
2
∵AM+FM≥AF，
∴当点A、M、F在同一直线上时，AM有最小值，AM的最小值是AF−FM，
∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2❑√2，点E斜边AB的中点，
1 1
∴
AE=CE= AB=2,EF=CF= CE=1，
2 2
∴AF=❑√AE2 +FE2 =❑√5，
∴AM的最小值是AF−FM=❑√5−1，
故选：A．
4．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一
点，连接CD，点E是CD的中点，连接BE，那么BE长度的取值范围是 ．【答案】4≤BE≤6
【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理和勾股定理．根据题意正确作出辅助线、
懂得利用中位线定理确定点E的运动轨迹是解题的关键．
先取AC的中点M，点E是CD的中点，连接AD、ME，根据中位线定理确定点E的运动轨迹是在以
M为圆心，半径为1的圆上，然后根据勾股定理求出BM的长度，最后确定BE的范围．
【详解】解：取AC的中点M，连接AD、ME、BM，如图：
∵点E是CD的中点，点M是AC的中点，AD=2，
1 1
∴ME∥AD，ME= AD= ×2=1，
2 2
∴当点D在圆A上时，点E始终在以M为圆心，半径为1的圆上，
∵点M是AC的中点，
1 1
∴CM= AC= ×6=3，
2 2
∴在Rt△BCM中，BM=❑√CM2 +BC2 =❑√32 +42 =5，
∵BM−1≤BE≤BM+1，
∴5−1≤BE≤5+1，
即4≤BE≤6．
故答案为：4≤BE≤6．
5．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=❑√5，以点B为圆心，以❑√2为半径作圆．(1)设点P为⊙B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA，DB，
PB，如图2，求证：AD=BP；
(2)在（1）的条件下，若∠CPB=135°，求BD的长；
(3)在（1）的条件下，当∠PBC=______°时，BD有最大值，且最大值为______；当∠PBC=
______°时，BD有最小值，且最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)2或2❑√2
(3)135；❑√10+❑√2；45；❑√10−❑√2
【分析】（1）由旋转可得CP=CD，∠PCD=90°，进而得到∠PCB=∠DCA，从而证明
△PCB≌△DCA(SAS)，根据全等三角形的对应边线段得证结论；
（2）分点P在BC的上方或下方两种情况求解即可；
（3）连接PD，由△PCB≌△DCA得到AD=BP=❑√2，从而点D在以点A为圆心，半径为❑√2的
圆上．当点D在BA的延长线上时，BD有最大值，最大值为BD=AB+AD，根据
△PCB≌△DCA，可求得∠PBC=∠DAC=135°．当点D在线段AB上时，BD有最小值，最
小值为BD=AB−AD，根据△PCB≌△DCA，可求得∠PBC=∠BAC=45°．
【详解】（1）证明：由旋转可得CP=CD，∠PCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠PCD−∠BCD=∠ACB−∠BCD，即∠PCB=∠DCA，
∵CB=CA，
∴△PCB≌△DCA(SAS)，
∴BP=AD．
（2）解：分两种情况讨论：
①如图，若点P在BC的上方，连接DP，∵CP=CD，∠PCD=90°，
∴△CDP是等腰直角三角形，
∴∠CPD=∠CDP=45°，
∵△PCB≌△DCA，
∴AD=BP=❑√2，∠ADC=∠BPC=135°，
∴∠ADP=∠ADC+∠CDP=135°+45°=180°，
∴点A，D，P在同一直线上，
∵在Rt△ABC中，AC=BC=❑√5，
∴AB=❑√AC2 +BC2 =❑√10，
∵∠APB=∠BPC−∠DPC=135°−45°=90°，
∴在Rt△ABP中，AP=❑√AB2−BP2 = ❑√(❑√10) 2 −(❑√2) 2 =2❑√2，
∴PD=AP−AD=2❑√2−❑√2=❑√2，
∴在Rt△PBD中，BD=❑√BP2 +PD2 = ❑√(❑√2) 2 +(❑√2) 2 =2；
②如图，若点P在BC的下方，连接DP
由①得AB=❑√10，∠CPD=∠CDP=45°，
∵∠BPC=135°，
∴∠CPD+∠BPC=180°，
∴点B，P，D在同一直线上，
∵△PCB≌△DCA，∴AD=BP=❑√2，∠ADC=∠BPC=135°，
∴∠ADB=∠ADC−∠CDP=135°−45°=90°，
∴在Rt△ABD中，BD=❑√AB2−AD2 = ❑√(❑√10) 2 −(❑√2) 2 =2❑√2．
综上所述，BD的长为2或2❑√2．
（3）解：连接PD，
∵△PCB≌△DCA，
∴AD=BP=❑√2，
∴点D在以点A为圆心，半径为❑√2的圆上．
如图，当点D在BA的延长线上时，BD有最大值，
最大值为BD=AB+AD=❑√10+❑√2，
此时∠CAD=180°−∠CAB=180°−45°=135°，
∵△PCB≌△DCA，
∴∠PBC=∠DAC=135°．
如图，当点D在线段AB上时，BD有最小值，
最小值为BD=AB−AD=❑√10−❑√2，
此时∠PBC=∠BAC=45°．故答案为：135；❑√10+❑√2；45；❑√10−❑√2
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的
定义，两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键．
