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专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与
外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接
圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................1
模型趣事.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................4
模型运用.............................................................................................................................................................6
模型1.内切圆模型...........................................................................................................................................6
模型2.外接圆模型.........................................................................................................................................12
...............................................................................................................................................18
古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角
平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质
命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。
内切圆 是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。
内心到三角形各个边的垂线段相等。
外接圆 是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂
直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。（24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为 的 中，
，内切圆 的半径为 ．连接 被划分为三个小三角形．
． ．
(1)类比推理：若面积为 的四边形 存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为
，求四边形的内切圆半径 ；(2)理解应用：如图③，在四边形 中，
与 分别为 与 的内切圆， 与 切点分别为 ，设它们的半径分别为
和 ，若 ， ， ， ， ，求 的值．
【答案】(1) ；(2)2．
【详解】（1）解：如图2，连接 ．
； ；
，（2） ， ， ， ．
是 的内切圆， ， ， ，
，∴设 ，则 ，
， ，即（ ，解得 ，
，
， ，
．
（24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交
于点D，与 相交于点G，则下列结论：① ；②若点G为 的中点，则 ；
③连接 ，若 ，则 ；④ ．其中一定正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：∵点E是 的内心，∴ 平分 ，∴ ，故①正确；
设 外接圆圆心为O，连接 ，则 垂直平分 ，∵点G为 的中点，∴点G为 与 的交点，即 ，故②正确；
∵ ，∴ ，
∵点E是 的内心，∴ ， ，
∴ ，故③错误；
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，故④正确，
综上，正确的有3个，故选：B．
1）三角形的内切圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；② ；③r= 。
证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，
∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∴∠BAO=∠CAO= ，∠BCO=∠ACO= ，∠ABO=∠CBO= ，
∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（ - ）=180°-
=180°- =90°+ ，，即r=
∴
图1 图2 图3
2）直角三角形的内切圆模型
条件：如图2，⊙O为Rt 的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；② ；③r= ；
证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt 的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，
∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，
∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r= ；
3）四边形的内切圆模型
条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论： 。
证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴ 。
4）三角形的外接圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。
结论：①OA=OB=OC；② 。
证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，
∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC图1 图2 图3
5）等边三角形的外接圆模型
条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。
结论：① ，PM平分 ；②PA=PB+PC；③ ；
证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵点P为等边 ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形
∴∠BPC+∠BAC△=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC
∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分 ；在PA上截取PD=PC，连结CD．
∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在 ACD和 BCP中， ，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，
∵P
△
A=AD+DP
△，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。
BMP≌△AMC，∴ ，同理： 。
∴△
∴ ，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴ 。
6）四边形的外接圆模型
条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
结论：① ； ；② 。
证明：连结OA、OC，设∠AOC= ，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC= ，
同理：∠ABC= ，∴ ；同理： ；∵ ，∴ 。
模型1.内切圆模型
例1（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，点 是 的内心，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点 是 的内心，∴ ，
∵ ，
∴ ，故选：D．
例2（24-25·浙江金华·九年级统考期中）如图， 截 三边所得的弦长相等，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： 截 的三条边所得的弦长相等，
到三角形三条边的距离相等，即 是 的内心， ， ，
， ，
，故选：C．
例3（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在 中， ， ， ，点 是
的内心．点 到边 的距离为 ；【答案】2
【详解】解：如图，连接 ， ， ，过点 分别作 ， ， 于点 ， ，
，
在 中， ， ， ， ，
是 的内心， ，
， ， ，
点 到边 的距离为2；故答案为：2．
例4（24-25·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，点 是 的内心， ， ， ，
，则 的半径为 ．【答案】
【详解】过O作交 于E，设 。 点 是 的内心， ， ，
在 中，由勾股定理可得： 在 中，由勾股定理可得：
故 解得 故 故答案为
例5（24-25·福建福州·九年级校考期末）如图， 的内切圆 与两直角边 、 分别相切于点
D、E，过劣弧 （不包括端点D、E）上任一点P作 的切线 ，与 、 分别交于点M、N，
， ，则 的周长为 ．
【答案】4
【详解】如图，连接 、 ，在 中， ，设内切圆半径为r， 、 为 的切线，∴ ， ，
∵ ， ，∴四边形 为正方形，∴ ，
由切线长定理得， ， ， ， ，
∴ ，解得 ，
则的周长为 ．
故答案为：4．
例6（2024·四川·校考一模）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（ ，1）与x轴、y轴分别交于
A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O 的半径r＝ ﹣1；若⊙O 与⊙O、l、y轴分别相
1 1 2 1
切，⊙O 与⊙O、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O 的半径r ＝ ．
3 2 2014 2014
【答案】
【详解】连接OO 、AO 、BO ，作O D⊥OB于D，O E⊥AB于E，O F⊥OA于F，如图所示：则O D＝O
1 1 1 1 1 1 1 1
E＝O F＝r ，
1 1
∵M是AB的中点，∴B（0，2），A（2 ，0），则S ＝ ×OB×r ＝r ，
OO1B 1 1
△
S ＝ ×AO×r ＝ r
AO1O 1 1
△∵S ＝S +S +S ＝ ∴
AOB OO1B AO1O AO1B
△ △ △ △
同理得： …∴ 依此类推可得：⊙O 的半径r ＝ 故答案为
2014 2014
例7（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在 中， ，点 在 边上，过 的
内心 作 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【详解】解：如图，过点I作 ， ，垂足分别为G，F，
∵点I为 的内心，∴以 为半径的圆I是 的内切圆，
∴ ， ， ，设 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，解得： ，∴ ．故选：C．
模型2.外接圆模型
例1（24-25·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆
半径R＝ ，内切圆半径r＝ ．
【答案】
【详解】解：如图，∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，
∴过A作AD⊥BC于D，则外接圆的圆心O在AD上，连接OB、OC，
∴BD=CD= BC=8，AD= =6，∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，
∴R2=（6-R）2+82，∴R= ；如图，过A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC的外心I在AD上，过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC，
则IF=IE=ID=r，∵S ABC=S BIC+S AIC+S ABI，
△ △ △ △
∴由三角形的面积公式得： BC×AD= BC×r+ AC×r+ AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r= ，
即三角形ABC的外接圆半径R= ，内切圆半径r= ，故答案为： ， ．
例2（2024·河南·模拟预测）如图， 是 的外接圆，点M是 的内心，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 点 是 的内心， 平分 ， 平分 ，， ， ，
， ，
，故选：B．
例3（2023·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，点M，N分
别是 的内心和外心，则 ．
【答案】
【详解】解：连接 ，过点M作 于点D，作 于点E，作 于点 ，
∵ ， ， ，∴ ，
∵N为 的外心，∴ ，∵M为 的内心，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴四边形 为正方形，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
例4（2024·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图， 的直径 的长为8，P是 上一动点， 的角平分线交 于点Q，点I为 的内心，连接 ，下列结论：①点Q是定点；② 的最大值为8；
③ 的长为定值；④ 的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都
填上）．
【答案】①②③
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 为 的直径，∴ ，∵ 的角平分线交 于点Q，点I为 的内心，
∴ ，∴ ，且 是等腰直角三角形，
∴ ，即点Q是定点，故①正确；
由圆中最长的弦是直径可知 的最大值为8，故②正确；
∵ ，且 ，
∴ ，∴ ，即 的长为定值，故③正确；
过点P作 于点D，∴ ，
当 的值为最大，则 的值为最大，即 的值为最大，∴当 是半径时，即为 ，∴ 的最大值为 ；故④错误；
综上所述：正确的有①②③；故答案为①②③．
例5（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形 内接于 ， ，点 是 的内心，连接
并延长交 于点 ，点 在 的延长线上，满足 ．试证明：(1) 所在的直线经过
点I；(2)点D是 的中点．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：连接 、 、 、 ，
， ， ， ， ， 平分 ，
点 是 的内心， 平分 ， 与 在同一条直线上， 所在的直线经过点 ．
（2）证明：连接 ，则 ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
， ， ，
， ， 点 是 的中点．
例6（2024·江苏泰州·一模）已知， 是半径为 的 的内接三角形，点 是 的内心，射线
分别交 、 于点 ．(1)如图 ，连接 ，求证： ；(2)如图 ， ；若 ，求 的长； 若 ，求 的值；(3)如图 ， ，射线 分别交
于点 ，点 在直线 上方的圆弧上运动，无论点 如何移动，线段 中有一个为
定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ； ；(3)线段 为定值，且 ．
【详解】（1）∵点 是 的内心，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ；
（2） 由题意知 ， ，直径 ，
∴由勾股定理得 ，连接 ， ，过点 作 于点 ，
∵点 是 的内心，∴ ，∴ ，
在 中， ，
；
连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵点 是 的内心，∴ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）连接 ， ， ， ，
∵点 是 的内心， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ 为等边三角形，∴ ∴ ，
同理， ， ，但 ， 随着点 的运动而变化，∴线段 为定值，且 ．
1．（24-25·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O是 的内切圆，且 ，则 的度数是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： 圆 是 的内切圆， 点 为三角形的内心，即点 为 三个内角平分线的交点，
平分 ， 平分 ． ， ．
， ． ．
．故选：C．
2．（24-25·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，
则∠BOC＝（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】C
【详解】解：如图，∵△ABC中∠A=50°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∠1+∠3= （180°-∠A）= （180°-50°）=65°，∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-65°=115°．故选：C．
3．（24-25九年级上·江苏·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数
学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其
中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，
中， 的长分别为 ．则可以用含 的式子表示出 的内切圆直径 ，下列
表达式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： 为直角三角形， 令 ．
选项A： ，选项B： ，选项C： ，选项D：
，只有D选项结果跟其他选项结果不一致，
表达式错误的是D选项，故选：D．
4．（24-25·浙江九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】解：设内切圆的半径为r 解得：r=1故选D．5．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图， 中， ， ，内心为I，连接 并延长交
的外接圆于D，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，设 的外接圆的圆心为O，连接 ， ， ， ，
在 中， ， ，内心为I，∴ 平分 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∵I是 的内心，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．故选：D．
6．（24-25·江苏·九年级统考期末）如图，在 中， ，过点 作 于点D，P是
内一点，且 ，连接 交 于点 ，若点 恰好为 内心，则 的度数为（ ）A．36° B．48° C．60° D．72°
【答案】C
【详解】∵点 恰好为 内心，
∴ ， ， 分别是 ， ， 的角平分线，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， 于点D，∴点 是 的中点， ，
又 ， ，∴ ,∴ ，
又 ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，故选：C．
7．（24-25·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC
＝5，则AB＋CD的值是
A．14 B．12 C．9 D．7
【答案】D
【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，∴可以假设切点分别为E、H、G、F，∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，
∵AD＝2，BC＝5，∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，故选D.
8．（24-25广东梅州·九年级校考开学考试）若四边形 的对角线 ， 相交于O， ，
， ， 的周长相等，且 ， ， 的内切圆半径分别为3，4，6，则 的
内切圆半径是（ ）
A． B． C． D．以上答案均不正确
【答案】A
【详解】解：设 的内切圆半径为 ， ， ， ， 的周长为L，如图， 是
的内切圆，切点分别为 ， ， ，则 ，
由切线长定理可知： ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，∴
，
同理： ， ， ，
由等高三角形面积之比等于对应的底之比可得： ，∴ ，∴ ，∴ ．故选：A．
9．（2022·湖北十堰·中考真题）如图， 是等边 的外接圆，点 是弧 上一动点（不与 ，
重合），下列结论：① ；② ；③当 最长时， ；④ ，其
中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴ ，∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点 是 上一动点，∴ 不一定等于 ，∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当 最长时，DB为圆O的直径，∴∠BCD=90°，
∵ 是等边 的外接圆，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴ ，故③正
确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD，∵DE=AD+AE=AD+CD，∴ ，故④正确；∴正确的有3个．故选：C．
10．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图， 周长为18， ，圆O是 的内切圆，圆O
的切线 与 、 相交于点M、N，则 的周长为 ．
【答案】
【详解】解：∵圆 是 的内切圆，圆 的切线 与 相交于点
∴ ， ， ， ， ，
∵ 周长为 ， ，∴ ，
∴ 的周长为： ，故答案为： ．
11．（24-25·四川宜宾·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（ ，1）与x轴、y
轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O 的半径r ＝ ﹣1；若⊙O 与⊙O 、l、y
1 1 2 1
轴分别相切，⊙O 与⊙O 、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O 的半径r ＝ ．
3 2 2014 2014
【答案】【详解】连接OO 、AO 、BO ，作O D⊥OB于D，O E⊥AB于E，O F⊥OA于F，如图所示：
1 1 1 1 1 1
则O D＝O E＝O F＝r ，∵M是AB的中点，∴B（0，2），A（2 ，0），则S ＝ ×OB×r ＝r ，
1 1 1 1 OO1B 1 1
△
S ＝ ×AO×r ＝ r
AO1O 1 1
△
∵S ＝S +S +S ＝ ∴
AOB OO1B AO1O AO1B
△ △ △ △
同理得： …∴
依此类推可得：⊙O 的半径r ＝ 故答案为
2014 2014
12．（24-25·山东泰安·九年级统考期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则
∠AOB的度数为 ．
【答案】140°
【详解】解：分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝ ∠CAB，∠IBA＝ ∠CBA，
∵∠AIB＝125°，∴∠IAB+∠IBA＝180°-∠AIB＝55°，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝110°，
∴∠ACB＝180°-（∠CAB+∠CBA）＝70°，
∵点O是△ACB是外心，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，故答案为：140°．
13．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点D．
(1)求证： ；(2)求证： ；(3)连接 、 ，求证：点D是 的外心．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）证明： 点I是 的内心， 平分 ， ，
， ， ．
（2）证明：如图，连接 ， 点I是 的内心，
平分 ， 平分 ， ，又 ， ，
， ， ， ．
（3）证明：如图，连接 ， ， ， ， ．
，∴点D是 的外心．
14．（24-25·江苏·九年级假期作业）如图 内接于 ， ， 是 的直径，点 是 延
长线上一点，且 ， ．(1)求证： 是 的切线；(2)求 的直径；(3)当点B在 下方
运动时，直接写出 内心的运动路线长是 ．
【答案】(1)见解析(2)6(3)
【详解】（1）解：证明：连接 ， ，
是圆 的直径， ， ， ，
， 是等边三角形， ，， ， ，
， ， 点在圆上， 是 的切线；
（2）由（1）可知， ， ，
， ， ， ， ， 圆 的直径是6；
（3）设 的内切圆圆心为 ，连接 ， ， ，
， ， 是 的平分线， 是 的平分线，
， ，由（2）可知， ，
点在以 为弦， 弦所对的圆周角为 的圆上，作 的外接圆 ，连接 、 ，
， ， ， 点在圆 上，
连接 ， ， ， 是等边三角形， ，
当 点与 点重合时， ， 内心的运动路线长 ，故答案为： ．
15．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于 ．
(1)连接AC、BD，若 ，则 的形状为______；
(2)在（1）的条件下，试探究线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若 ， ，点P为AB上的一动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PD，
求证： ．
【答案】(1)等边三角形(2)AC＝AB+AD；证明见解析；(3)证明见解析
【详解】（1）解：∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°，
∴∠BDC＝∠CBD＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形．
（2）结论：AC＝AB+AD．理由：如图1，在AC上截取AE＝AD，连接DE．∵∠DAE＝60°，AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，∠ADE＝∠BDC＝60°，∴∠ADB＝∠EDC，
∵DA＝DE，DB＝DC，∴△DAB≌△DEC(SAS)，
∴EC＝AB，∴DE＝AD∴AC＝AE+EC＝AD+AB．
（3）如图2中，在PD上取DE＝BP，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，
∵ ，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，
∴DA＝BD，∠ADE＝∠ABF，DE＝BP，∴△DAE≌△BAP(SAS)，
∴AE＝AP，∠DAE＝∠BAP，∴∠PAE＝∠BAD＝90°，∴PE＝ PA，
∴PD﹣PB＝PD﹣DE＝PE＝ PA，∴ ．
16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图， 为 的直径， 内接于 ， ，
点 是 的内心，延长 交 于点 ，连接 ．
(1)求证： ；(2)已知 的半径是 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明： 为 的直径， ，点 是 的内心， ， ， ，
， ，
， ；
（2）解：连接 ，过点 作 于 ，如图所示：
为 的直径， 的半径是 ， ，
， 是等腰直角三角形， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ．
18．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图， 是 的直径， 内接于 ，点 是 的内心，
的延长线与 交于点 是 上任意一点，连接 ．(1)若 ，求 的度
数：(2)若 ， ， ，请直接写出 与 的数量关系；(3)找出图中所有与 相等的
线段，并证明．【答案】(1) (2) (3) ，证明见解析
【详解】（1）解：∵ 内接于 ， 是 上任意一点，
∴四边形 为圆内接四边形，∴ ，
∵ 是 的直径，∴ ，∴ ；
（2）同（1）法可得： ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ；
（3） ，证明如下：连接 ，
∵点 是 的内心，∴ 平分 ， 平分 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ．
19．（2025·江西抚州·一模）综合与实践
基本图形法：在复杂图形中，找到或构造基本图形，再利用基本图形的概念和性质，寻求解题的突破口，
从而达到解决几何问题的目的，我们把这种解决几何问题的方法叫做基本图形法．
【基本图形】（1）①如图1，点 是 的内心，若 ，则 _____；
②如图2， ， 平分 ，求证： ．
【方法运用】（2）运用基本图形法解决下面问题：如图3，点 是 的内心，以点 为圆心， 为
半径画弧，交 的延长线于点 ，连接 ，若 ，猜想线段 的关系，并进行证明．【拓展延伸】（3）如图4，四边形 的对角线 与 相交于点 ， ， 两点分别
是 的内心和外心，若 ，求证： ．
【答案】（1）① ；②见解析；（2） ， ，理由见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）①∵点 是 的内心，
平分 ， 平分 ， ,
， ，
，故答案为： ；
② 平分 ， ．
在 和 中， ；
（2） ， ，理由如下：如图，连接 ，
是 的内心， 平分 ．又∵ ，
根据基本图形（图2），可推出 ． ， ．
是 的内心， ， 根据基本图形（图1），可推出 ．
． ． ；
（3）如图，连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，由（2）知， ， ， ， ， ，
由基本图形（图1）可知， ， ，
在 和 中， ， ，
是 的外心， ， ，又 ， ， ．
20．（2025·山西运城·一模）阅读与思考
阅读下列材料，完成下面的任务．关于“三角形的内切圆”的研究报告
【研究内容】如图 ，在 中，三边 ， ， ， 是它的内切圆，切点分别为 ， ，
，如何求 、 、 的长呢？
【解法】 是 的内切圆，切点为 ， ， ， ， ， ．设
， ， ，则有 ， ，如果设 ，那么有
．任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______．
(2)如图 ，这是一张三角形纸片 ， 为它的内切圆，小悦沿着与 相切的 剪下了一个三角形
纸片 ，已知 ， ， ，求三角形纸片 的周长．(3)如图 ， 的内
切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ， ， ， ，求 ．
【答案】(1) ；(2)三角形纸片 的周长是 ；(3) ．
【详解】（1）解： 是 的内切圆，切点为 ， ， ，
， ， ，
设 ， ， ，则有 ，三式相加可得 ，
，故答案为： ；
（2）解： 的周长为 ， 由题意得 ，
如图，设切点分别为 ， ， ，则 ，
， ， ，
三角形纸片 的周长 ；，（3）解：设 ，依题意得 ， ， ， ，
，根据勾股定理可得 ，整理得 ，
解得 或 不合题意，合去 ， ，
， ， ．
21．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图 ，已知 中， ， ，点 是 内一
点，若 且 平分 ．
(1)求证：点 是 的内心；(2)如图 ：直接写出答案： 外接圆的半径 ___________ ；
的内心 与外心 的距离 ___________．
【答案】(1)见解析；(2) ．
【详解】（1）证明： 中， ， ，
平分 ， ，
， ，
，
， 平分 ， 点 是 的内心；
（2）解：连接 ， ， ， ， ，如图所示：
是等腰三角形，点 是内心，点 是外心， ， 在同一条直线上，且 ， ， ，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ，由勾股定理得： ，
，解得： ， ， ，
点 为 的内心， ， ， 为切点， ，
， ，
，解得： ， ， ，
外接圆的半径 ； 的内心 与外心 的距离 ．故答案为： ．
