文档内容
25.3 用频率估计概率
【考点归纳】
考点一：频率与概率的关系
考点二：求某事件的频率
考点三：概率在抽奖问题的应用
考点四：概率在比赛中的应用
考点五：用频率估计概率
考点六：频率与概率的综合
【知识梳理】
通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示
出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.
用频率估计
概率的方法 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等
时，一般通过统计频率来估计概率．
【题型归纳】
题型一：频率与概率的关系
1．（22-23九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（ ）．
A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2．（21-22九年级上·北京西城·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
3．（20-21九年级上·河南洛阳·期末）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大
B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大
C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比
D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度
题型二：求某事件的频率
4．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子 次的试验中，“偶数朝上”的频数为 ，则“偶数朝上”的频率为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛
掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中
白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验
发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
题型三：概率在抽奖问题的应用
7．（2021·江苏盐城·二模）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指
针指向A区域的概率是 ．
8．（2021·山东青岛·一模）小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，
8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、
20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是 元．
9．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获
得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案：
方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品；
方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转）
(1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________；
(2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果；
(3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由．
题型四：概率在比赛中的应用
10．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢
乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一
人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均 ，各局比赛的结果相互独
立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
11．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，
记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
12．（2020·新疆·二模）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有 个选项，
第二道题有 个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人
去掉其中一题的一个错误选项．
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．
题型五：用频率估计概率
13．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的
豆子数的比，多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在C中”记作事件W，估计
W的概率P（W）的值为（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑
色阴影部分面积的频率稳定在 左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25九年级上·山东青岛·期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋
子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放
回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ）
A．2.9枚 B．3枚 C．7枚 D．7.1枚
题型六：频率与概率的综合
16．（23-24九年级上·福建厦门·期末）电影公司随机收集了2000部电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类
第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
型
电影部
140 50 300 200 800 510
数
好评率 0.4 0.2 m 0.25 0.2 0.1
注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则 ．
(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率．
(3)在（1）的条件下电影公司为了增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假
设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可
使改变投资策略后总的好评率达到最大？
(4)设一到六类电影的票价依次为60元，50元，40元，30元，20元，10元，未获好评的电影的上座率均相同．获
好评的六类电影的上座率依次会加 ， ， ， ， ， ，在（3）的条件下，试说明总票房是
否增加？
17．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获
得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到 ），由此估出红球有
______个．
(2)在这次摸球实验中，从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，请用树状图或列表
的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．
18．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）某水果批发公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克苹果，在运输过
程中，有部分苹果损坏，该公司对刚运到的苹果进行随机抽查，并得到如图的“苹果损坏率”统计图．由于市场
调节，苹果（只售好的苹果）的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售
记录．
苹果的售价（元/千克） 14 15 16 17 18
苹果的日销售量（千
1000 950 900 850 800
克）
(1)估计购进的10000千克苹果中完好的苹果的总重量为______千克，此时公司应将售完这批完好的苹果的成本调
整为______元/千克；
(2)按此市场调节的规律来看，若苹果的售价定为16.5元/千克，估计日销售量并说明理由；
(3)考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批苹果（只售完好的苹果），且售价保持不变，求该
公司每日销售该苹果可能达到的最大利润，并说明理由．
【高分达标】一、单选题
19．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和 个黑球．随机
地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在 附近，则
的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．11
20．（23-24九年级上·河南郑州·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850
发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950
则种子发芽的概率估计值是（ ）
A．0.960 B．0.950 C．0.945 D．0.940
21．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）灵武长红枣栽培历史悠久，具有独特的品质和形态特征，是中国国家地理
标志产品．有“活维生素丸”、“百果之王”之美称．某研究院跟踪调查了灵武长红枣的移栽成活情况，得到如
图所示的统计图，由此可估计灵武长红枣移栽成活的概率约为（ ）
A． B． C． D．
22．（23-24九年级上·广东清远·期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外
其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在 ，则口袋中白色球的个数可能是
（ ）
A．24 B．18 C．16 D．6
23．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）一个不透明的袋子中只装有红球和黄球，这些球除颜色外都相同．将袋子
中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子中．不断重复这一过程，摸出 1000次球，发
现有800次摸到红球．从口袋中随机摸一次，摸到红球的概率大约为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
24．（23-24九年级上·四川成都·期末）王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，
绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（ ）A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张
扑克牌是黑桃”的试验
B．关于“50个同学中，有2个同学同月份生日”的试验
C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验
D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验
25．（23-24九年级上·四川自贡·期末）种子被称作农业的“芯片”，关系到国家粮食安全．某种业公司培育成功
了 两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，
在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量 200 500 800 1500 3000
出芽率 0.98 0.94 0.96 0.98 0.97
出芽率 0.98 0.95 0.94 0.97 0.96
下面在三个推断：
①当实验种子数员为200时，两种种子的出芽率均为0.98，所以 两种新五米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加， 种子出芽率在0.96附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计 种子出芽的概率
是0.96：
③在同样的地质环境下播种， 种子的出芽率可能会高于 种子．
其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
26．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同，小
文将这些小球摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色
小球的频率依次为 和 ，由此可估计盒中大约有白球（ ）
A．20 B．24 C．32 D．56
27．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约
有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在 左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘
大约有多少尾鲢鱼（ ）
A．7350 B．7500 C．7650 D．7800
28．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷的次
数
正面朝上的次
数
正面朝上的频
率
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的；
②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在 左
右摆动；
③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为 ．
其中正确的推断有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
29．（23-24九年级上·四川达州·期末）一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有5个．
每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在
附近，那么可以推算出a的值大约是 ．
30．（23-24九年级上·广东佛山·期末）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗
移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数
成活的棵数
成活的频率
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 （结果保留一位小数）．
31．（23-24九年级上·山东威海·期末）林业部门要分析一种树苗移植的成活率，对该树苗移植后的成活情况进行
了记录，并统计了如下表格：树苗数 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
成活树苗数 1862 3487 5343 7234 9108 10931 12752
成活频率 0.931 0.8718 0.8905 0.9043 0.9108 0.9109 0.9109
根据表格信息，可以估计该树苗移植成活的概率是 ．（精确到0.001）
32．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其
余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红
球、黄球和绿球的频率分别稳定在 ， 和 ．由此，推测口袋中黄色球的个数有 ．
33．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某水果销售网络平台以 元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台
销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为
元时（精确到 元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润）
沃柑总质量 … 100 200 300 400 500
损坏沃柑质量 …
沃柑损坏的频率 （精确到0.001） …
34．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解
该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 ，宽为 的长方形将不规则图案围起来，然后在适当
位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试
验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是
．
三、解答题35．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）一个不透明的袋子中装有4个质地大小均相同的小球，这些小球分别标有
数字4、5、6、 ，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记
录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总次数 10 20 60 120 180 240 330 450
“和为10”出现的频
2 10 24 37 58 82 110 150
数
“和为10”出现的频
0.20 0.50 0.40 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33
率
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为10”的频率趋于稳定．请估计出现“和为10”的概率是
______；
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是 ，那么 的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法说明理
由；如果 的值不可以取8，请写出一个符合要求的 值．
36．（23-24九年级上·山东青岛·期末）在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共 个，它们除颜色外其
余都相同．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，
下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的频
率
(1)试估算口袋中白球有______个．
(2)现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同，一学生从两个口袋中各摸出一个
球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
37．（23-24九年级上·重庆江津·期末） 年重庆入选“中国研学旅行目的地·标杆城市”，某校为了了解九年级学生对以下哪类研学内容最感兴趣(每人仅选一类)： ．源远流长的巴渝文化； ．享誉世界的三峡文化； ．可
歌可泣的抗战文化； ．感天动地的移民文化．从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示
的统计表和扇形统计图(均不完整)．
抽取的学生最感兴趣研学内容统计表如下：
研学内容 人数 频率
抽取的学生最感兴趣研学内容扇形统计图如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ；
(2)若该校九年级共有 名学生，估计选择“ ．可歌可泣的抗战文化”的有多少人?
(3)小聪和小明参加了本次调查，请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一类内容的概率．
38．（23-24九年级上·江西上饶·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数 200 500 1000 1500 2000优等品频数 188 471 946 1426 1898
优等品频率
(1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
(2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于 ，问
至少取出了多少个黑球？
39．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）学校为增加节日气氛，在新年来临之际举行一次抽奖活动；如图是一个可
以自由转动、质地均匀的转盘，每位学生都有一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得
相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔”的次数
落在“铅笔”的频率
(1)直接写出转动该转盘一次，获得铅笔的概率（结果保留小数点后两位），并直接写出饮料所在扇形的圆周角的
度数（结果精确到 ）；
(2)小明同学设计了一个摸球试验，在口袋中放一个白球和若干个红球，从中随机摸出一球，如果是白球，就获得
饮料，如果是红球，就获得铅笔．并且这个试验中获得铅笔的概率跟学校抽奖活动的结果是一样的．
直接写出红球的个数；
直接写出两次摸球都获得饮料的概率．
40．（22-23九年级上·湖北十堰·期末）李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的
一组统计数据．
50
摸球的次数 100 200 300 800 1000
0
13
摸到黑球的次数 23 48 81 201 251
0
摸到黑球的频率
(1)补全表中的有关数据，并根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是______．
(2)估算袋中白球的个数；
(3)在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出摸出一个黑球一个白球
的概率．
