§21.二次根式_人教版数学九年级上册_版本二_九年级数学上册（人教版）_教学设计_教案多套_九年级上册教案选择2_人教版九年级上册全册教案4（56份）

课题 §21.1二次根式（概念及基本性质） 课型 新知课3课时 1．了解二次根式的概念及基本性质． 教 2．经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生概括、归纳能力． 学 3．通过对二次根式概念和基本性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力. 目 4．学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发 标 现的乐趣，并提高应用的意识. 教学重点 二次根式的概念和基本性质. 教学难点 二次根式基本性质的灵活应用. 教具准备 主要教学过程 个人修改 【活动1】 已知：反比 学生根据所学知识填写课本第2页“思考”栏目，教师提问： 例函数y= ⑴所填的结果有什么特点？ 3 ，那么它 ⑵平方根的性质是什么？ x ⑶如果把上面所填的式子叫做二次根式，那么你能用数学符号表示二次 的图象在第 根式吗？ 一象限横、 纵坐标相等 教 （学生可能碰到的困难：①是否会想到用字母表示数；②是否能概括出 ≥0这一条 的点的坐标 件.） 是 （备用问题）议一议： _________． 学 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 过 3．当a<0， a 有意义吗？ 2 、 x 、 1 程 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、3 3、 、 x（x>0）、 0 、- 2 x 、 x y 1 0 、4 2 、- 2 、 、 x y （x≥0，y≥0）． x y 1 例2 当x是多少时， 3x1在实数范围内有意义？ x≥ 3 【巩固练习】 1.课本第3页练习1、2、3 2.课本第3页“思考”栏目 【拓展应用】 1 例3 当x是多少时， 2x3+ 在实数范围内有意义？ x1 3 1 （答案：当x≥- 且x≠-1时， 2x3+ 在实数范围内有意义．） 2 x1 x 2 例4 (1)已知y= 2x+ x2+5，求 的值．(答案: ) y 5 (2)若 a1+ b1=0，求a2011+b2011的值．(答案:0) 1．A 【归纳小结】 本节课要掌握： 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 2．D 【作业设计一】 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- 7 B．3 7 C． x D．x 3．B2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） 1 1 ． a A． 4 B． 16 C． 8 D． x （a≥ 0） 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） 2． a 1 A．5 B． 5 C． D．以上皆不对 3．没有 5 二、填空题 1. 5 1．形如________的式子叫做二次根式． 3 2．面积为a的正方形的边长为________． 2. x>- 且 2 3．负数________平方根． x≠0 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底 面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 1 3. 2x3 3 2．当x是多少时， +x2在实数范围内有意义？ 4．B x 3．若 3x + x3有意义，则 x2 =_______． 5．a=5，b=-4 4.使式子 (x5)2 有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 5.已知a、b为实数，且 a5+2 102a =b+4，求a、b的值． 【活动2】 问题：比较 与0的大小. 结论： a （a≥0）是一个非负数．即 ≥0. 具有双重非负性. 【做一做】根据算术平方根的意义填空： （ 4 ）2=_______；（ 2 ）2=_______；（ 9）2=______；（ 3）2=_______； 1 7 （ ）2=______；（ ）2=_______；（ 0 ）2=_______． 3 2 结论： （ a ）2=a（a≥0） 例1 计算 3 5 7 1．（ ）2 2．（3 5）2 3．（ ）2 4．（ ）2 2 6 2 【巩固练习】 计算下列各式的值： 2 9 7 （ 18）2 （ ）2 （ ）2 （ 0 ）2 （4 ）2 3 4 8 (3 5)2 (5 3)2 【拓展应用】例2 计算 1．（ x1）2（x≥0） 2．（ a2 ）2 3．（ a2 2a1）2 4．（ 4x2 12x9）2 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 【归纳小结】 本节课应掌握： 1． a （a≥0）是一个非负数； 2．（ a ）2=a（a≥0）;反之:a=（ a ）2（a≥0）． 【作业设计二】 一、选择题1．下列各式中 15、 3a 、 b2 1、 a2 b2 、 m2 20、 144，二次根 式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0 二、填空题 1．（- 3）2=________． 2．已知 x1有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算 1 2 （1）（ 9）2 （2）-（ 3）2 （3）（ 6 ）2 （4）（-3 ）2 2 3 (5) (2 33 2)(2 33 2) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: 1 （1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0） 6 3．已知 x y1+ x3=0，求xy的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 【活动3】问题：填空 1 22 =_______； 0.012 =_______； ( )2 =______； 10 2 3 ( )2 =________； 02 =________； ( )2 =_______． 3 7 （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 1 1 2 2 3 3 22 =2； 0.012 =0.01； ( )2 = ； ( )2 = ； 02 =0； ( )2 = ． 10 10 3 3 7 7 因此，一般地： a2 =a（a≥0） 例1 化简 （1） 9 （2） (4)2 （3） 25 （4） (3)2 解：（1） 9= 32 =3 （2） (4)2 = 42 =4 （3） 25 = 52 =5 （4） (3)2 = 32 =3 【巩固练习】 教材P 练习2． 5 【应用拓展】 例2 填空：当a≥0时， a2 =_____；当a<0时， a2 =_______，并根据这一 性质回答下列问题． （1）若 a2 =a，则a可以是什么数？ （2）若 a2 =-a，则a可以是什么数？ （3） a2 >a，则a可以是什么数？ 分析：∵ a2 =a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不 行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时， a2 = (a)2 ，那么- a≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知 a2 =│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为 a2 =a，所以a≥0； （2）因为 a2 =-a，所以a≤0； （3）因为当a≥0时 a2 =a，要使 a2 >a，即使a>a所以a不存在；当a<0时， a2 =-a，要使 a2 >a，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2，化简 (x2)2 - (12x)2 ． 【归纳小结】本节课应掌握： a2 =a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时， a2 ＝－a的应用拓展． 【作业设计三】 一、选择题 1 1 1． (2 )2  (2 )2 的值是（ ）． 3 3 2 2 A．0 B． C．4 D．以上都不对 3 3 2．a≥0时， a2 、 (a)2 、- a2 ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的 是（ ）． A． a2 = (a)2 ≥- a2 B． a2 > (a)2 >- a2 C． a2 < (a)2 <- a2 D．- a2 > a2 = (a)2 二、填空题 1．- 0.0004 =________． 2．若 20m 是一个正整数，则正整数m的最小值是________． 三、综合提高题 1．先化简再求值：当a=9时，求a+ 12aa2 的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+ (1a)2 =a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+ (1a)2 =a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+ a2000 =a，求a-19952的值． 3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+ (x3)2 + x2 10x25。 教后反思： 课题 §21.2二次根式的乘除（一） 课型 新知课 教 理解 a · b ＝ ab（a≥0，b≥0）， ab = a · b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简 学 由具体数据，发现规律，导出 a · b ＝ ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思 目 标 维，得出 ab = a · b （a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重点 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）， ab = a · b （a≥0，b≥0）及它们的运用． 教学难点 发现规律，导出 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）． 教具准备 主要教学过程 个人修改一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （1） 4 × 9=_______， 49 =______； （2） 16× 25 =_______， 1625 =________． （3） 100× 36=________， 10036=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 教 4 × 9_____ 49 ， 16× 25 _____ 1625 ， 100× 36________ 10036 学 2．利用计算器计算填空 （1） 2 × 3______ 6 ，（2） 2 × 5______ 10， 过 （3） 5× 6 ______ 30，（4） 4 × 5______ 20 ， 程 （5） 7 × 10______ 70 ． 老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相 乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ ab ．（a≥0，b≥0） 反过来: ab = a · b （a≥0，b≥0） 例1．计算 1 1 （1） 5× 7 （2） × 9 （3） 9× 27 （4） × 6 3 2 分析：直接利用 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）计算即可． 解：（1） 5× 7 = 35 1 1 （2） × 9= 9 = 3 3 3 （3） 9× 27 = 927  923=9 3 1 1 （4） × 6 = 6 = 3 2 2 例2 化简 （1） 916 （2） 1681 （3） 81100 （4） 9x2y2 （5） 54 分析：利用 ab = a · b （a≥0，b≥0）直接化简即可． 解：（1） 916= 9× 16=3×4=12 （2） 1681= 16× 81=4×9=36 （3） 81100= 81× 100=9×10=90 （4） 9x2y2 = 32 × x2y2 = 32 × x2 × y2 =3xy （5） 54= 96 = 32 × 6 =3 6 三、巩固练习 （1）计算（学生练习，老师点评）1 ① 16× 8 ②3 6 ×2 10 ③ 5a · ay 5 (2) 化简: 20 ; 18; 24 ; 54; 12a2b2 教材P 练习全部 11 四、应用拓展 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） (4)(9)  4 9 12 12 12 （2） 4 × 25 =4× × 25 =4 × 25 =4 12=8 3 25 25 25 解：（1）不正确． 改正： (4)(9) = 49 ＝ 4 × 9=2×3=6 （2）不正确． 12 112 112 改正： 4 × 25 = × 25 = 25 = 112= 167 ＝4 7 25 25 25 五、归纳小结 本节课应掌握：（1） a · b ＝ ab =（a≥0，b≥0）， ab = a · b（a≥0， b≥0）及其运用． 第一课时作业设计 一、选择题 1．若直角三角形两条直角边的边长分别为 15cm和 12cm，那么此直角三 角形斜边长是（ ）． A．3 2 cm B．3 3cm C．9cm D．27cm 1 2．化简a  的结果是（ ）． a A． a B． a C．- a D．- a 3．等式 x1 x1 x2 1成立的条件是（ ）  A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（ ）． A．4 5×2 5=8 5 B．5 3×4 2 =20 5 C．4 3×3 2 =7 5 D．5 3×4 2 =20 6 二、填空题 1． 1014=_______． 1 2．自由落体的公式为S= gt（2 g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落 2 的高度为720m，则下落的时间是_________． 三、综合提高题 1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个 底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁 桶的底面边长是多少厘米？ 2．探究过程：观察下列各式及其验证过程． 2 2 （1）2 = 2 3 3 2 2 222 23 (23 2)2 验证：2 = 22 × = =  3 3 3 3 323 2 2 2(22 1) 2 2 =    = 2 22 1 22 1 22 1 22 1 3 3 3 （2）3 = 3 8 8 3 3 33 33 33 验证：3 = 32 × = = 8 8 8 32 1 3(32 1)3 3(32 1) 3 3 =   = 3 32 1 32 1 32 1 8 1．B 4 4 同理可得：4  4 15 15 5 5 5  5 ，…… 24 24 a 2．C 通过上述探究你能猜测出： a =_______（a>0）,并验证你的结论． a2 1 a a 答案: 2． a = a a2 1 a2 1 3.A a a a3 验证：a = a2  a2 1 a2 1 a2 1 4.D a3 aa a3a a a(a2 1) a =   =  = a2 1 a2 1 a2 1 a2 1 a2 1 a a . a2 1 1．13 6 2．12s 1．设：底面 正方形铁桶 的底面边长 为x， 则 x2×10=30×3 0×20 ， x2=30×30×2 ， x=30 2 教后反思： 课题 §21.2二次根式的乘除（二） 课型 新知课教 a a a a 理解 = （a≥0，b>0）和 = （a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 学 b b b b 目 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式 标 及利用它们进行计算和化简． a a a a 教学重点 理解 = （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． b b b b 教学难点 发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教具准备 主要教学过程 个人修 改 【课堂引入】（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 9 9 16 16 （1） =________， =_________； （2） =________， =________； 16 16 36 36 4 4 36 36 （3） =________， =_________； （4） =________， =________． 教 16 16 81 81 学 9 9 16 16 4 4 36 36 规律： _____ ； _____ ； ______ ； _____ ． 16 16 36 36 16 16 81 81 过 3．利用计算器计算填空: 程 3 2 2 7 （1） =_________，（2） =_________，（3） =______，（4） =________． 4 3 5 8 3 3 2 2 2 2 7 7 规律： ______ ； _______ ； _____ ； _____ . 4 4 3 3 5 5 8 8 【探索新知】 一般地，对二次根式的除法规定： a a a a = （a≥0，b>0），反过来， = （a≥0，b>0） b b b b 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 【例题讲解】 12 3 1 1 1 64 例1．计算：（1） （2）  （3）  （4） 3 2 8 4 16 8 a a 分析：上面4小题利用 = （a≥0，b>0）便可直接得出答案． b b 例2．化简： 3 64b2 9x 5x （1） （2） （3） （4） 64 9a2 64y2 169y2 a a 分析：直接利用 = （a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． b b 【随堂练习】 教材P14 练习1． 【应用拓展】9x 9x x2 5x4 例3．已知  ，且x为偶数，求（1+x） 的值． x6 x6 x2 1 a a 分析：式子 = ，只有a≥0，b>0时才能成立． b b 因此得到9-x≥0且x-6>0，即60）和 = （a≥0，b>0）及其运用． b b b b 【课后练习】 答案:6 一、选择题 1 1 2 1．计算 1  2  1 的结果是（ ）． 3 3 5 2 2 2 A． 5 B． C． 2 D． 7 7 7 2．阅读下列运算过程： 1 3 3 2 2 5 2 5   ，   3 3 3 3 5 5 5 5 2 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简 的 6 结果是（ ）． 1 A．2 B．6 C． 6 D． 6 3 教后反思： 课题 §21.2二次根式的乘除（三） 课型 新知课 教 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 学 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否 满足最简二次根式的要求． 目 标 教学重点 最简二次根式的运用． 教学难点 会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 3 15 = ， 3 3 2 8 5 5 1．计算（1） ，（2） ，（3） 5 27 2a 3 2 6 = ， 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是hkm，hkm，那 1 2 27 3 么它们的传播半径的比是_________． 8 2 a 【探索新知】 = 2a a 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特 教 点： 1．被开方数不含分母；学 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2Rh 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 1 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根 2Rh 过 2 式． 学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书． 程 老师点评：不是． 2Rh 2Rh h hh 1 = 1  1  1 2 . 2Rh 2Rh h h 2 2 2 2 【例题讲解】 5 例1．(1) 3 ; (2) x2y4 x4y2 ; (3) 8x2y3 12 例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长． 【随堂练习】教材P 练习2、3 14 【应用拓展】 例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次 根式： 1 1( 21) 21 =  = 2 -1， 21 ( 21)( 21) 21 1 1( 3 2) 3 2 =  = 3- 2 ， 3 2 ( 3 2)( 3 2) 32 1 同理可得： = 4 - 3，…… 4 3 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 1 1 1 1 （ + + +…… ）（ 2002 +1）的值． 21 3 2 4 3 2002 2001 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化 后就可以达到化简的目的． 解：原式=（ 2 -1+ 3- 2 + 4 - 3+……+ 2002 - 2001）×（ 2002 +1） =（ 2002 -1）（ 2002 +1） =2002-1=2001 【归纳小结】 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 【课后练习】 一、选择题 x 1．如果 （y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． y x xy A． （y>0） B． xy（y>0） C． （y>0） D．以上都不对 y y 1 2．把（a-1）  中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． a1 A． a1 B． 1a C．- a1 D．- 1a 3．在下列各式中，化简正确的是（ ） 5 1 1 A． =3 15 B． =± 2 3 2 2 C． a4b=a2 b D． x3x2 =x x1教后反思： 课题 §21.3二次根式的加减（一） 课型 新知课 教 理解和掌握二次根式加减的方法． 学 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经 验，用它来指导根式的计算和化简． 目 标 教学重点 二次根式化简为最简根式． 教学难点 会判定是否是最简二次根式． 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】 学生活动：计算下列各式． （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并 就是字母不变，系数相加减． 【探索新知】 学生活动：计算下列各式． （1）2 2 +3 2 （2）2 8-3 8+5 8 教 （3） 7 +2 7 +3 97 （4）3 3-2 3+ 2 老师点评： 学 （1）如果我们把 2 当成x，不就转化为上面的问题吗？ 过 2 2 +3 2 =（2+3） 2 =5 2 （2）把 8当成y； 程 2 8-3 8+5 8=（2-3+5） 8=4 8=8 2 （3）把 7 当成z； 7 +2 7 + 9 7 =2 7 +2 7 +3 7 =（1+2+3） 7 =6 7 （4） 3看为x， 2 看为y． 3 3-2 3+ 2 =（3-2） 3+ 2 = 3+ 2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2 2 与 8表面上看是不相 同的，但它们可以合并吗？可以的． （板书）3 2 + 8=3 2 +2 2 =5 2 3 3+ 27 =3 3+3 3=6 3 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同 的二次根式进行合并． 【例题讲解】 例1．计算（1） 8+ 18 （2） 16x + 64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的 最简二次根式进行合并． 解：（1） 8+ 18=2 2 +3 2 =（2+3） 2 =5 2 （2） 16x + 64x =4 x +8 x =（4+8） x =12 x 例2．计算 1 （1）3 48 -9 +3 12 3 （2）（ 48 + 20 ）+（ 12- 5） 1 解：（1）3 48 -9 +3 12=12 3-3 3+6 3=（12-3+6） 3=15 3 3 （2）（ 48 + 20 ）+（ 12- 5）= 48 + 20 + 12- 5 =4 3+2 5+2 3- 5=6 3+ 5 【随堂练习】教材P 练习1、2． 19 【应用拓展】 2 x 1 y 例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ x 9x +y2 ）-（x2 -5x ）的值． 3 y3 x x 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3） 1 2=0，即x= ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式， 2 再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 ∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 1 ∴x= ，y=3 2 2 x 1 y 原式= x 9x +y2 -x2 +5x 3 y3 x x =2x x + xy -x x +5 xy =x x +6 xy 1 当x= ，y=3时， 2 1 1 3 2 原式= × +6 = +3 6 2 2 2 4 【归纳小结】 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二 次根式进行合并． 【课后练习】 一、选择题 2 1．以下二次根式：① 12；② 22 ；③ ；④ 27 中，与 3是同类二次根式 3 的是（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 1 24 2．下列各式：①3 3+3=6 3；② 7 =1；③ 2 + 6 = 8=2 2 ；④ 7 3=2 2 ，其中错误的有（ ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 1 2 2 1 1．在 8、 75a 、 9a、 125、 3a3 、3 0.2 、-2 中，与 3a 是 3 3 a 8 同类二次根式的有________． 2．计算二次根式5 a -3 b -7 a +9 b 的最后结果是________． 三、综合提高题 4 1 4 1．已知 5≈2.236，求（ 80- 1 ）-（ 3 + 45）的值．（结果精确到 5 5 5 0.01） 教后反思： 课题 §21.3二次根式的加减（二） 课型 新知课 教 运用二次根式、化简解应用题． 学 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题． 目 标 教学重点 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学难点 讲清如何解答应用题既是本节课的难点. 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步， 先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并， 下面我们讲三道例题以做巩固． 【探索新知】【例题讲解】 例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒 的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移 动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简 二次根式表示） 教 分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面 积公式就可以求出x的值． 学 解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米． 则有PB=x，BQ=2x C 过 1 依题意，得： x·2x=35 2 程 x2=35 Q x= 35 所以 35秒后△PBQ的面积为35平方厘米． A P B PQ= PB2 BQ2  x2 4x2  5x2  535 =5 7 答： 35秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5 7 厘米． 例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？ 分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段 的长度． 解：由勾股定理，得AB= AD2 BD2  42 22  20 =2 5 BC= BD2 CD2  22 12 = 5 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2 5+ 5+5+2 =3 5+7 ≈3×2.24+7≈13.7（m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材． 【随堂练习】教材P19 练习3 【应用拓展】 例3．若最简根式3ab4a3b 与根式 2ab2 b3 6b2 是同类二次根式，求a、b的 值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同； 事实上，根式 2ab2 b3 6b2 不是最简二次根式，因此把 2ab2 b3 6b2 化简 成|b|· 2ab6，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b． 解：首先把根式 2ab2 b3 6b2 化为最简二次根式： 2ab2 b3 6b2 = b2(2a16)=|b|· 2ab6 4a3b2ab6 由题意得 3ab2 2a4b6 ∴ 3ab2 ∴a=1，b=1 【归纳小结】 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 【课后练习】 一、选择题X|k |b| 1 . c|o |m 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）． （结果用最简二次根式） A．5 2 B． 50 C．2 5 D．以上都不对 2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加 其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同 最简二次根式表示） A．13 100 B． 1300 C．10 13 D．5 13 教后反思： 课题 §21.3二次根式的加减（三） 课型 新知课 教 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 学 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 目 标 教学重点 二次根式的乘除、乘方等运算规律； 教学难点 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教具准备主要教学过程 个人修改 【课堂引入】 请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式× 单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差 公式的运用． 教 【探索新知】 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成 学 立． 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当 过 然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 例1．计算: 程 （1）（ 6 + 8）× 3 （2）（4 6 -3 2 ）÷2 2 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式 的运算规律． 解：（1）（ 6 + 8）× 3= 6 × 3+ 8× 3 = 18+ 24 =3 2 +2 6 解：（4 6 -3 2 ）÷2 2 =4 6 ÷2 2 -3 2 ÷2 2 3 =2 3- 2 例2．计算 （1）（ 5+6）（3- 5） （2）（ 10+ 7 ）（ 10- 7 ） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍 然成立． 解：（1）（ 5+6）（3- 5） =3 5-（ 5）2+18-6 5 =13-3 5 （2）（ 10+ 7 ）（ 10- 7 ）=（ 10）2-（ 7 ）2 =10-7=3 【随堂练习】课本P 练习1、2． 20 【应用拓展】 xb xa 例3．已知 =2- ，其中a、b是实数，且a+b≠0， a b x1 x x1 x 化简 + ，并求值． x1 x x1 x 分析：由于（ x1+ x ）（ x1- x ）=1，因此对代数式的化简，可先将分 母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即 可． ( x1 x)2 ( x1 x)2 解：原式= + ( x1 x)( x1 x) ( x1 x)( x1 x) ( x1 x)2 ( x1 x)2 = + (x1)x (x1)x =（x+1）+x-2 x(x1) +x+2 x(x1) =4x+2xb xa ∵ =2- a b ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2 ∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 【归纳小结】 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 【课后练习】 教后反思：