文档内容
25.3 用频率估计概率
【考点归纳】
考点一：频率与概率的关系
考点二：求某事件的频率
考点三：概率在抽奖问题的应用
考点四：概率在比赛中的应用
考点五：用频率估计概率
考点六：频率与概率的综合
【知识梳理】
通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示
出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.
用频率估计
概率的方法 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等
时，一般通过统计频率来估计概率．
【题型归纳】
题型一：频率与概率的关系
1．（22-23九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（ ）．
A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【答案】D
【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项．
【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意；
B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意；
C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意；
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事
件发生的频率可以估计概率．
2．（21-22九年级上·北京西城·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【答案】B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大
小可判断B，可判断C，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D．
【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故
选项A不正确；
事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确；
某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖
机会很小，故选项C不正确；
图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用
频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确．
故选择B．
【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率
知识是解题关键．
3．（20-21九年级上·河南洛阳·期末）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大
B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大
C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比
D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度
【答案】A
【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案．
【详解】A、随着试验次数的增多，某一事件发生的频率不会改变，故原说法错误，符合题意；
B、一个事件A试验中出现的次数越多，频数就越大，正确，不合题意；
C、试验的总次数一定时，频率与频数成正比，正确，不合题意；
D、频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度，正确，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了频数与频率，正确掌握相关定义是解题关键．
题型二：求某事件的频率
4．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子 次的试验中，“偶数朝上”的频数为 ，则“偶数朝上”
的频率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用频率 频数 总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率 频数 总次数是
解题的关键．【详解】解：由题意得：
，
“偶数朝上”的频率为 ，
故选：C．
5．（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛
掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是
解题的关键；
由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案．
【详解】 骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，
掷得朝上一面的点数是6的频率为： ，
故选：B．
6．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中
白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验
发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据题意可得 ＝0.4，解方程即可求解．
【详解】根据题意得：
＝0.4，
解得：n＝6，
经检验：n＝6是分式方程的解且符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率的计算方法列式是解题的关键．
题型三：概率在抽奖问题的应用
7．（2021·江苏盐城·二模）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指
针指向A区域的概率是 ．【答案】
【分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解．
【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°，
∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结
果，那么事件A的概率P（A） ．
8．（2021·山东青岛·一模）小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，
8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、
20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是 元．
【答案】6
【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求
得．
【详解】解：
=2+4
=6（元）
故答案为6
【点睛】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加
权平均数．
9．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获
得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案：
方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品；
方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转）(1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________；
(2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果；
(3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由．
【答案】(1)
(2)图见解析，共有9种等可能的结果
(3)会选择方案二；理由见解析
【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）利用概率公式求解；
（2）根据题意画出树状图即可解决；
（3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来
判断选择哪个方案．
【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为 ，
故答案为： ；
（2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果；
（3）解：会选择方案二．
理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为 ，
，
选择方案二．
题型四：概率在比赛中的应用
10．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体
育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一
人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均 ，各局比赛的结果相互独
立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题．
（2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题．
【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输，
第1局甲当裁判，
第2局甲为选手，
每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，
第2局甲获胜，
第4局甲当裁判的概率 ；
（2）解： 第1局甲当裁判，
乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局，
当在第2局时的概率 ，
当在第3局时的概率 ，
当在第4局时的概率 ，
乙恰好当1次裁判的概率 ．
11．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，
记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？【答案】(1)
(2)甲
【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；
（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．
【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：
共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，
所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为 ．
（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：
共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，
根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
12．（2020·新疆·二模）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有 个选项，
第二道题有 个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人
去掉其中一题的一个错误选项．
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．
【答案】（1） ；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析
【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，然后根据概率公式计算；
（2）如果小新在第二题使用“求助卡”，画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，利用概率公式计算出小新顺利通过第一关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小新在第几题使用“求助卡“．
【详解】解: （1）列树状图如下:
共有 种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有 个，
所以小新顺利通过第一关的概率为
（2）建议小明在第二题使用“求助卡”，
若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下:
此时小新顺利通过第一关的概率为
因为 ，
所以建议小新在第二题使用“求助卡”
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A
或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
题型五：用频率估计概率
13．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的
豆子数的比，多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在C中”记作事件W，估计
W的概率P（W）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域C和最大的圆的面积，再根据概率公式求
解即可．
【详解】解：由图可知区域C的面积为 ，
最大的圆的面积为 ，
∴“豆子落在C中” 的概率 ．
故选C．
14．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一
部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑
色阴影部分面积的频率稳定在 左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值；根据落在黑色
阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积，进而求得黑色部分的面积，则总面积与黑色部分面积的
差即为白色部分面积．
【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 左右，
∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为 ，
∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的 ，
∴黑色阴影区域的面积是 ，
∴二维码中白色部分的面积为 ；
故选：C．
15．（24-25九年级上·山东青岛·期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋
子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放
回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ）
A．2.9枚 B．3枚 C．7枚 D．7.1枚
【答案】B
【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．
先求出摸到白棋的频率为 ，即为概率，根据白棋个数=棋子的总数×摸到的白棋的概率，棋子的总数减去
白棋的个数即为黑棋的个数．【详解】解：∵不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，
∴摸到白棋的频率为 ，即为概率，
∴盒子中黑色棋子为 （枚），
∴盒子中黑色棋子可能有 （枚），
故答案为：B．
题型六：频率与概率的综合
16．（23-24九年级上·福建厦门·期末）电影公司随机收集了2000部电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类
第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
型
电影部
140 50 300 200 800 510
数
好评率 0.4 0.2 m 0.25 0.2 0.1
注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则 ．
(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率．
(3)在（1）的条件下电影公司为了增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假
设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可
使改变投资策略后总的好评率达到最大？
(4)设一到六类电影的票价依次为60元，50元，40元，30元，20元，10元，未获好评的电影的上座率均相同．获
好评的六类电影的上座率依次会加 ， ， ， ， ， ，在（3）的条件下，试说明总票房是
否增加？
【答案】(1)0.15
(2)
(3)第五类好评率增加0.1，第二类好评率减少0.1，就可以使总的好评率得到最大
(4)票房增加．说明见详解
【分析】本题考查概率的计算，理解题意，正确使用概率计算公式 是求解本题的关键，
（1）根据所有好评率的定义计算 好评率等于好评的电影数除以对应的电影总数即可．
（2）根据古典概型公式计算．
（3）只需使好评电影部数增加最大即可
（4）分别计算改变投资前后的票房，然后比较即可得出答案．
【详解】（1）解：
（2）根据题意： ，（3）只需部数最多的那类好评率增加0.1，部数最少的那类好评率减少0.1，就可以使总的好评率达到最大，
第五类好评率增加0.1，第二类好评率减少0.1，就可以使总的好评率得到最大，
∴（4）设未获好评电影的上座率为x，只需计算第二类和第五类电影的票房即可．
未改变投资策略前，第二类和第五类电影票房的和为
∶
（元）
改变投资策略前，第二类和第五类电影票房的和为
∶
（元）
∵票房增加．
∴17．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，
某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获
得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到 ），由此估出红球有
______个．
(2)在这次摸球实验中，从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，请用树状图或列表
的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．
【答案】(1) ，2；
(2)树状图见解析，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为 ．
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，画树状图计算概率：
（1），根据多次试验的结果可得常数，再根据多次试验的频率估计概率，求出红球的个数；
（2），先画出树状图得到所有等可能性的结果数，并找到恰好摸到1个白球，1个红球的结果数，再根据概率公
式计算即可．
【详解】（1）解：随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近 ，因此接近的常数就是 ，
∴摸到白球的概率为 ，
设红球由x个，由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是分式方程的解，
故答案为： ，2；
（2）解：画树状图得：
共有9种等可能得结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
摸到一个白球一个红球的概率为： .
18．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）某水果批发公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克苹果，在运输过
程中，有部分苹果损坏，该公司对刚运到的苹果进行随机抽查，并得到如图的“苹果损坏率”统计图．由于市场
调节，苹果（只售好的苹果）的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售
记录．
苹果的售价（元/千克） 14 15 16 17 18
苹果的日销售量（千
1000 950 900 850 800
克）
(1)估计购进的10000千克苹果中完好的苹果的总重量为______千克，此时公司应将售完这批完好的苹果的成本调
整为______元/千克；
(2)按此市场调节的规律来看，若苹果的售价定为16.5元/千克，估计日销售量并说明理由；
(3)考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批苹果（只售完好的苹果），且售价保持不变，求该
公司每日销售该苹果可能达到的最大利润，并说明理由．
【答案】(1)9000(2)特级苹果的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克．理由见解析
(3)该公司每日销售该苹果可能达到的最大利润为6750元．理由见解析
【分析】本题考查了利用频率估计概率，求一次函数解析式，二次函数的实际应用：
（1）根据“苹果损坏率”统计图即可得出苹果损坏的概率，进而可求出苹果完好的概率，再利用苹果的总质量苹
果完好的概率，即可得出答案．
（2）由表格数据可知，销量与售价的函数关系式为一次函数，设 ，再由待定系数法求出函数表
达式，然后代入 ，求出值即可；
（3）根据12天内售完这批特级苹果及总销量 天数 日销量，列出不等式，求出的取值范围，设利润为w元，然
后根据总利润 （单价 成本） 日销量，即可得出关于利润w与售价x的二次函数关系式，然后根据二次函数的
增减性解题即可．
【详解】（1）解：“苹果损坏率”统计图可知，苹果损坏率在0.1上下波动，并趋于稳定，
所以，估计10000千克特级苹果中完好的苹果的总重量为： （千克），
（元/千克）；
故答案为：9000；10．
（2）特级苹果的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克．理由如下：
解：设特级苹果的售价为x元/千克，日销售量是y千克，
由表格可知，销量与售价的函数关系式为一次函数，
设 ，把 代入得：
，解得∶ ，
∴ ，
当 时， ，
∴特级苹果的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克．
（3）解：该公司每日销售该苹果可能达到的最大利润为6750元．理由如下：
∵12天内售完这批特级苹果，
∴ ，
解得： ，
设该公司每日销售该特级苹果的利润为w元，
根据题意得： ，∵ ，顶点坐标为 ，
∴w的抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
又∵ ，
∴w随着x的增大而增大，
∴当 时，w取最大值，最大值为 （元），
答：该公司每日销售该特级苹果可能达到的最大利润是6750元．
【高分达标】
一、单选题
19．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和 个黑球．随机
地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在 附近，则
的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．11
【答案】C
【分析】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件 出现 种结果，那么事件 的概率 是解题关键．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解： ，
解得： ，
故选：C
20．（23-24九年级上·河南郑州·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850
发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950
则种子发芽的概率估计值是（ ）
A．0.960 B．0.950 C．0.945 D．0.940
【答案】B
【分析】本题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，根据某农科所在相
同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，所以估计该作物种子发芽的概率为0.950．
【详解】解：根据频率估计概率可知该作物种子发芽的概率为0.950，
故选：B．
21．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）灵武长红枣栽培历史悠久，具有独特的品质和形态特征，是中国国家地理
标志产品．有“活维生素丸”、“百果之王”之美称．某研究院跟踪调查了灵武长红枣的移栽成活情况，得到如
图所示的统计图，由此可估计灵武长红枣移栽成活的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知
识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．由图可知，成活概率在 上下波
动，故可估计这种树苗成活的占比稳定在 左右，成活的概率估计值为 ．
【详解】解：这种树苗成活的占比稳定在 ，成活的概率估计值约是 ．
故选：C．
22．（23-24九年级上·广东清远·期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外
其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在 ，则口袋中白色球的个数可能是
（ ）
A．24 B．18 C．16 D．6
【答案】A
【分析】大量反复试验下频率稳定值即概率．先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数 频率 频数计
算白球的个数．关键是算出摸到白球的频率．
【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在 ，
∴口袋中白色球的个数可能是 个，
故选：A．
23．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）一个不透明的袋子中只装有红球和黄球，这些球除颜色外都相同．将袋子
中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子中．不断重复这一过程，摸出 1000次球，发
现有800次摸到红球．从口袋中随机摸一次，摸到红球的概率大约为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D
【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据概率公式求出摸到红球的概率即可得出答案．
【详解】解：∵共摸了1000次球，发现有800次摸到红球，
∴摸到红球的概率为 ，
故选：D．
24．（23-24九年级上·四川成都·期末）王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，
绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（ ）
A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张
扑克牌是黑桃”的试验
B．关于“50个同学中，有2个同学同月份生日”的试验
C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验
D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验
【答案】A
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆
动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个
事件的概率．
【详解】解：A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相
同），这张扑克牌是黑桃”的试验的频率约为 ，符合题意；
B．关于“50个同学中，有2个同学同月份生日”的试验的频率为1，不符合题意；
C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验的频率为0.5，不符合题意；
D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验的频率为 ，不符合题意；
故选：A．
25．（23-24九年级上·四川自贡·期末）种子被称作农业的“芯片”，关系到国家粮食安全．某种业公司培育成功
了 两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，
在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：种子数量 200 500 800 1500 3000
出芽率 0.98 0.94 0.96 0.98 0.97
出芽率 0.98 0.95 0.94 0.97 0.96
下面在三个推断：
①当实验种子数员为200时，两种种子的出芽率均为0.98，所以 两种新五米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加， 种子出芽率在0.96附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计 种子出芽的概率
是0.96：
③在同样的地质环境下播种， 种子的出芽率可能会高于 种子．
其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】C
【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解随机事件发生的频率与概率之间的关系是解题的关键．大量重复实
验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摇摆，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用
频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．
【详解】①在大量重复实验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量
为200，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．
②随着实验种子数量的增加，B种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计B种子发芽的概率
是0.97．故②推断合理．
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率约为0.97、B种子的出芽率约为0.96，可能会高于B种子，故③合理；
故选：C．
26．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同，小
文将这些小球摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色
小球的频率依次为 和 ，由此可估计盒中大约有白球（ ）
A．20 B．24 C．32 D．56
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出盒中白球所占的比例，再计算其个数．根据
题意，先求出摸到白色小球的频率，再乘以总球数即可求解．
【详解】解：∵多次试验的频率会稳定在概率附近，
∴从盒子中摸出一个球恰好是白球的概率约为 ，
∴白球的个数约为 个．
故选：B．
27．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约
有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在 左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘
大约有多少尾鲢鱼（ ）
A．7350 B．7500 C．7650 D．7800
【答案】A
【分析】本题考查用样本估计总体．根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可．
【详解】解： 尾，
即鱼塘大约有7350尾鲢鱼．
故选：A
28．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷的次
数
正面朝上的次
数
正面朝上的频
率
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的；
②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在 左
右摆动；
③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为 ．
其中正确的推断有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】题目主要考查频率估计概率，根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．
【详解】①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的，故①正确；
②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在 左
右摆动，故②正确；
③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为 ，故③正确．
故选：D．
二、填空题
29．（23-24九年级上·四川达州·期末）一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有5个．
每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，那么可以推算出a的值大约是 ．
【答案】25
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据频率稳定在 附近，得到概率为 ，进而利用概率求出数量即可．
【详解】解：由题意，得：摸到红球的概率为 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：25．
30．（23-24九年级上·广东佛山·期末）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗
移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数
成活的棵数
成活的频率
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 （结果保留一位小数）．
【答案】
【分析】先保留一位小数，后观察成活率的数值稳定在哪一个数值上，即可估算这种树苗移植成活率的概率，可
得出答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
【详解】解：根据题意，保留一位小数，表格数据可得，
成活的频率
随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在 ，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 ，
故答案为： ．
31．（23-24九年级上·山东威海·期末）林业部门要分析一种树苗移植的成活率，对该树苗移植后的成活情况进行
了记录，并统计了如下表格：
树苗数 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
成活树苗数 1862 3487 5343 7234 9108 10931 12752
成活频率 0.931 0.8718 0.8905 0.9043 0.9108 0.9109 0.9109
根据表格信息，可以估计该树苗移植成活的概率是 ．（精确到0.001）
【答案】0.911
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用频率的集中趋势来估计概率，
这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.911左右，
故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.911．
故答案为：0.911
32．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其
余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红
球、黄球和绿球的频率分别稳定在 ， 和 ．由此，推测口袋中黄色球的个数有 ．
【答案】24个
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆
动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个
事件的概率．
【详解】解：估计箱子里黄色球有 （个），
故答案为： 个．
33．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某水果销售网络平台以 元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台
销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为
元时（精确到 元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润）
沃柑总质量 … 100 200 300 400 500
损坏沃柑质量 …
沃柑损坏的频率 （精确到0.001） …
【答案】
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、一元一次方程的应用等知识，正确确定沃柑的完好率是解题关键．
从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数 左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，易得沃柑的完
好率应为 ．设每千克沃柑的实际售价定为 元，根据题意列方程求解即可获得答案．
【详解】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数 左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，
所以沃柑的完好率应为 ，
设每千克沃柑的实际售价定为 元，
则有 ，
解得 ，
所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时，可获得13000元利润．
故答案为： ．
34．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 ，宽为 的长方形将不规则图案围起来，然后在适当
位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试
验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是
．
【答案】42
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．
根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.6，设不规则图案的面积为 ，根据几何概率可得：不规则
图案的面积÷长方形的面积＝小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】根据题意可得：
小球落在不规则图案内的概率约为0.6，长方形的面积为 （ ），
设不规则图案的面积为 ，
则 ，
解得： ，
∴不规则图案的面积约为 ．
故答案为：42．
三、解答题
35．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）一个不透明的袋子中装有4个质地大小均相同的小球，这些小球分别标有
数字4、5、6、 ，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记
录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总次数 10 20 60 120 180 240 330 450
“和为10”出现的频
2 10 24 37 58 82 110 150
数
“和为10”出现的频
0.20 0.50 0.40 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33
率解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为10”的频率趋于稳定．请估计出现“和为10”的概率是
______；
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是 ，那么 的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法说明理
由；如果 的值不可以取8，请写出一个符合要求的 值．
【答案】(1)
(2)详情见解析
【分析】本题考查了概率的应用，运用列表法或树状图求概率即可．
【详解】（1）由表中数据可得，出现“和为10”的频率稳定在 左右，所以估计出现“和为10”的概率是 ；
（2）假设x的值可以取8，列表如下：
乙 甲 4 5 6 8
4 × 9 10 12
5 9 × 11 13
6 10 11 × 14
8 12 13 14 ×
当 ，摸出的这两个小球上数字之和为11的概率为 ，
如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是 ，x的值不可以取8；
乙 甲 4 5 6 x
4 × 9 10
5 9 × 11
6 10 11 ×
x ×
由上表可知一共有12种等可能结果，要想数字之和为11的概率是 ，就要出现4次数字之和为11的结果，
x的值可以为7．
36．（23-24九年级上·山东青岛·期末）在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共 个，它们除颜色外其
余都相同．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，
下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数摸到白球的频
率
(1)试估算口袋中白球有______个．
(2)现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同，一学生从两个口袋中各摸出一个
球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据统计数据，摸到白球的频率接近 ，根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为 ，
然后利用概率公式计算白球的个数；
（ ）先利用画树状图法展示所有8种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求
解；
本题考查了利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，解题的关键是正确理解频率和概率之间的关系．
【详解】（1）根据统计数据，摸到白球的频率接近 ，根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为 ，
设白球有 个，
则 ，解得 ，
故答案为： ；
（2）将第一个口袋中 个白球分别记为白 ，白 ，白 ，画树状图如下：
1 2 3
共有 种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有 种．
∴两个球颜色相同的的概率为 ．
37．（23-24九年级上·重庆江津·期末） 年重庆入选“中国研学旅行目的地·标杆城市”，某校为了了解九年级
学生对以下哪类研学内容最感兴趣(每人仅选一类)： ．源远流长的巴渝文化； ．享誉世界的三峡文化； ．可
歌可泣的抗战文化； ．感天动地的移民文化．从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示
的统计表和扇形统计图(均不完整)．
抽取的学生最感兴趣研学内容统计表如下：
研学内容 人数 频率抽取的学生最感兴趣研学内容扇形统计图如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ；
(2)若该校九年级共有 名学生，估计选择“ ．可歌可泣的抗战文化”的有多少人?
(3)小聪和小明参加了本次调查，请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一类内容的概率．
【答案】(1) ， ；
(2) 人；
(3) ．
【分析】（ ）利用 求出总人数，根据扇形统计图可求出 ，进而求出选择 的人数，再由频率计算公式即可求
出 ；
（ ）根据样本估计总体，用 乘以 即可求解；
（ ）画出树状图，根据树状图即可求解；
本题考查了列表法与树状图法求概率、频数(率)分布表、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用
列表法与树状图法求概率以及用样本估计总体是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，调查的总人数为 (人)，
∴ ，
∴选择 的人数为 (人)，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解： (人)，
∴估计选择“ .可歌可泣的抗战文化”的约有 人；
（3）解：画树状图如下：由树状图可得，共有 中等可能的结果，其中选择同一类内容的结果有 种，
∴他们选择同一类内容的概率 ．
38．（23-24九年级上·江西上饶·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数 200 500 1000 1500 2000
优等品频数 188 471 946 1426 1898
优等品频率
(1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
(2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于 ，问
至少取出了多少个黑球？
【答案】(1)
(2)① ；②9个
【分析】本题主要考查利用频率估计概率：
（1）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（2）①用黄球的个数除以球的总个数即可；②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄
球的概率不小于 ， 列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（2）解：①∵袋中一共有球 个，其中有5个黄球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为： ；
②设从袋中取出了 个黑球，由题意得
，解得 ，
故至少取出了9个黑球．39．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）学校为增加节日气氛，在新年来临之际举行一次抽奖活动；如图是一个可
以自由转动、质地均匀的转盘，每位学生都有一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得
相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔”的次数
落在“铅笔”的频率
(1)直接写出转动该转盘一次，获得铅笔的概率（结果保留小数点后两位），并直接写出饮料所在扇形的圆周角的
度数（结果精确到 ）；
(2)小明同学设计了一个摸球试验，在口袋中放一个白球和若干个红球，从中随机摸出一球，如果是白球，就获得
饮料，如果是红球，就获得铅笔．并且这个试验中获得铅笔的概率跟学校抽奖活动的结果是一样的．
直接写出红球的个数；
直接写出两次摸球都获得饮料的概率．
【答案】(1) ， ；
(2) 个； ．
【分析】（ ）根据图表中的频率去估计概率及用 即可；
（ ） 利用概率公式，摸到白球的概率为 ，摸到红球的概率为 即可求解；
画树状图，然后利用概率公式求解；
本题考查了利用频率估计概率和列表法与树状图法求概率，解题的关键是灵活运用知识点的应用．
【详解】（1）根据表格可知：转动该转盘一次，获得铅笔的概率为 ，
饮料所在扇形的圆周角的度数 ；
（2） 设红球的个数有 个，
由（ ）得，铅笔的概率为 ，
，解得： ，
经检验： 是分式方程的解，∴红球的个数有 个；
列表如下：
白 红 红 红
白 白、白 红、白 红、白 红、白
红 白、红 红、红 红、红 红、红
红 白、红 红、红 红、红 红、红
红 白、红 红、红 红、红 红、红
共有 种等可能的结果数，其中两人都获得“饮料”的结果数为 ，
∴两人都获得“饮料”的概率为 ．
40．（22-23九年级上·湖北十堰·期末）李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透
明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的
一组统计数据．
50
摸球的次数 100 200 300 800 1000
0
13
摸到黑球的次数 23 48 81 201 251
0
摸到黑球的频率
(1)补全表中的有关数据，并根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是______．
(2)估算袋中白球的个数；
(3)在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出摸出一个黑球一个白球
的概率．
【答案】(1)见解析，0.25
(2)3
(3)见解析，
【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）列用概率公式列出方程求解即可；
（3）用画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解： ， ， ，
补全表格如下：摸球的次数 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数 23 48 81 130 201 251
摸到黑球的频率
根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是 ；
故答案为：
（2）解：设口袋中白球有x个，
∵从袋中摸出一个黑球的概率大约是 ，
∴ ，解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
所以估算袋中白球的个数为3；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有6种结果，
所以两次都摸出白球的概率为 ．
【点睛】此题考查列表法和树状图法求概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A
出现m种结果，那么事件A的概率 ，不重不漏列出所有等可能的结果是解题的关键．
